Forkurseksamen etter tema

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]

Vi setter \( {x = 0} \) for \( {y\text{-aksen}} \) og \( {f(x) = 0} \) for \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn skjæringspunktene Med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{0}) = \dfrac{\textcolor{blue}{0}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{0} - 1} = 0 \]

Med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Nevneren er \( {-1} \) for \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{,} \) så brøken finnes der. Begge gir samme punkt, origo.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon for å finne en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Telleren er \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 0} \) der, så \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 + 0x} \) på \( {(2x - 1)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \cdot (2x - 1) &= x^2 - \dfrac{1}{2}x \\ -(x^2 - \dfrac{1}{2}x) &= \textcolor{red}{-x^2 + \dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \dfrac{1}{2}x & \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) og \( {0x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}x}\text{.} \) Linja \( \dfrac{1}{2}x \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \cdot (2x - 1) &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \\ -(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}) &= \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{\dfrac{1}{2}x}} & \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-\dfrac{1}{2}x}} & \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \\ \hline & & \dfrac{1}{4} \end{array} \end{array} \]\( \dfrac{1}{2}x \) strykes mot \( {-\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) og \( {0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}}\text{.} \) Tallet \( \dfrac{1}{4} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( \dfrac{1}{4} \) er restleddet.

3. Les av den skrå asymptoten Restleddet delt på nevneren legges til svaret: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} + \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \]

Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, blir nevneren i den siste brøken stor i tallverdi, og brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \to 0 \]

Da nærmer grafen seg linja \( {y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}}\text{,} \) og det er den skrå asymptoten. Siden \( |f(x)| \) vokser uten grense, har grafen ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{2x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2x}(\textcolor{blue}{2x - 1}) - \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{2}}{(\textcolor{blue}{2x - 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x(x - 1)}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn ekstremalpunktene For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 1)} &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 0.5, 1], "labels": ["0", "\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "(2x - 1)^2", "expr": "(2x - 1)^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "2x(x - 1)/(2x - 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor \( f'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-verdiene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{0^2}{2 \cdot 0 - 1} = 0 \\ f(1) &= \dfrac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = 1 \end{aligned} \]

Vi bruker polynomdivisjonen fra b), som gir oss \( f(x) \) skrevet som ledd vi kan integrere.

Arealet under grafen er et bestemt integral. Vi integrerer ledd for ledd.

1. Sett opp integralet For \( x \) mellom \( 1 \) og \( 2 \) er både telleren og nevneren positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor integralet, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 f(x) \, dx \]

I b) fant vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2x - 1}} \]

2. Integrer ledd for ledd Reglene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Den gjelder også konstanten, siden \( {\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}x^0}\text{.} \)

Brøken følger regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, med en faktor \( \dfrac{1}{2} \) fordi kjernen \( {2x - 1} \) har derivert \( 2\text{:} \) \[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Her er \( {2x - 1 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdien. Leddene gir: \[ A = \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}x^2} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)}\right]_1^2 \]

3. Sett inn grensene Vi setter inn øvre og nedre grense, med \( {\ln 1 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\textcolor{red}{1} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln 3}\right) \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{0}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3 \end{aligned} \]

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi ganger opp nevneren og får en andregradslikning.

1. Sett funksjonene like Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og ganger med nevneren, som ikke er \( 0 \) for \( {x \neq \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{2x - 1} &= x \\ x^2 &= x(2x - 1) \\ x^2 &= 2x^2 - x \\ 0 &= x^2 - x \end{aligned} \]

2. Faktoriser og finn punktene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor som felles faktor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x}(x - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

\( {y\text{-verdien}} \) finner vi i \( {g(x) = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(0) &= 0 \\ g(1) &= 1 \end{aligned} \]

Vi finner vektorene og lengdene først. Vinkelen får vi så fra skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [6 - 3, 1 - 2, -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 3, 4 - 2, 0 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn lengdene Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-3})^2} \\ &= \sqrt{19} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}| &= \sqrt{\textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\ &= 0 - 2 + 6 = 4 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{4}{\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{38}} \\ v &= \arccos \dfrac{2}{\sqrt{38}} \approx 71{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) fra a).

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vi setter derfor \( {\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}} \) og løser for \( C\text{.} \)

1. Sett opp vektorene I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \]

Vi kaller \( {C = (x, y, z)}\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?, gir: \[ \overrightarrow{DC} = [x - 3, y - 4, z - 0] \]

2. Løs for koordinatene \( ABCD \) er et parallellogram når \( {\overrightarrow{DC} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vi setter koordinatene like hver for seg: \[ \begin{aligned} x - 3 &= \textcolor{blue}{3} & &\Rightarrow & x &= 6 \\ y - 4 &= \textcolor{blue}{-1} & &\Rightarrow & y &= 3 \\ z &= \textcolor{blue}{-3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AD} \) fra a).

Arealet av et parallellogram utspent av to vektorer er lengden av kryssproduktet. Vi regner ut kryssproduktet og tar lengden.

1. Regn ut kryssproduktet Arealet av parallellogrammet utspent av \( \textcolor{blue}{\vec{a}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{b}} \) er: \[ G = |\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}| \]

Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Hvis du vil se kryssproduktet regnet som determinant, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2} = 8 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) = 6 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} = 6 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] \]

2. Finn lengden Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} G &= \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} \\ &= 2\sqrt{34} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går \( t \) ganger retningsvektoren \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Finn retningsvektoren Med \( A(3, 2, 2) \) og \( {C(6, 3, -3)} \) fra b) gir sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [6 - 3, 3 - 2, -3 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, 1, -5]} \end{aligned} \]

2. Sett opp parameterframstillingen Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi starter i \( \textcolor{red}{A} \) og går \( t \) ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{3}t \\ y &= \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1}t \\ z &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{{}- 5}t \end{aligned} \]

Vi regner ut midtpunktet til hvert av de to punktparene og ser at de er like.

1. Finn begge midtpunktene Midtpunktet mellom to punkter er gjennomsnittet av koordinatene: \[ M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}, \dfrac{z_1 + z_2}{2}\right) \]Vi legger sammen koordinatene hver for seg og deler på \( 2\text{,} \) slik vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

Med \( \textcolor{blue}{A(3, 2, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{C(6, 3, -3)}} \) får vi: \[ \begin{aligned} M &= \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3 + 6}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 - 3}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{B(6, 1, -1)}} \) og \( \textcolor{red}{D(3, 4, 0)} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{\textcolor{red}{6 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{1 + 4}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{-1 + 0}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Punktene er like, så \( M \) er også midtpunktet mellom \( B \) og \( D\text{.} \)

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \) fra c).

Høyden er avstanden fra \( T \) til planet grunnflaten ligger i. Vi finner likningen til planet, og bruker avstandsformelen.

1. Finn likningen til planet Kryssproduktet står vinkelrett på begge vektorene i grunnflaten, så det er en normalvektor. I c) fant vi: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] = 2 \cdot \textcolor{blue}{[4, 3, 3]} \]

Planet gjennom et punkt med en normalvektor har likningen, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her er normalvektoren den enkleste, og punktet er \( A\text{:} \) \[ [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] = \textcolor{blue}{[4, 3, 3]}, \quad A = (\textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}) \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4}(x - \textcolor{red}{3}) + \textcolor{blue}{3}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{blue}{3}y + \textcolor{blue}{3}z - 24 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk avstandsformelen Avstanden fra et punkt \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{blue}{b}y + \textcolor{blue}{c}z + d = 0} \) er: \[ h = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{c}\textcolor{red}{z_0} + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{blue}{c}^2}} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{4}, \ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{3}, \ \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{3}, \ d = -24 \\ T &= (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{5}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} - 24|}{\sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{3}^2}} \\ &= \dfrac{|16 + 6 + 15 - 24|}{\sqrt{34}} \\ &= \dfrac{13}{\sqrt{34}} \end{aligned} \]

Vi kjenner sannsynligheten for god dagsform når motorsykkelen er i orden, og det er en betinget sannsynlighet. Vi ganger den med sannsynligheten for at motorsykkelen er i orden.

1. Skriv opp det vi vet Vi kaller hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) (motorsykkelen er i orden) og \( \textcolor{red}{G} \) (god dagsform). Oppgaveteksten gir: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) &= 0{,}30 \\ P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}25 \\ P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) &= 0{,}40 \end{aligned} \]

\( P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \) betyr sannsynligheten for \( \textcolor{red}{G} \) når vi vet at \( \textcolor{blue}{M} \) har skjedd, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

2. Bruk produktsetningen Produktsetningen forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G} \mid \textcolor{blue}{M}) \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}30 \cdot 0{,}40 = 0{,}12 \]

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

To hendelser er uavhengige når sannsynligheten for begge er produktet av sannsynlighetene hver for seg. Vi sjekker om det stemmer her.

1. Sjekk kravet Hendelsene \( \textcolor{blue}{M} \) og \( \textcolor{red}{G} \) er uavhengige hvis og bare hvis: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) \]

Her er: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{M}) \cdot P(\textcolor{red}{G}) &= 0{,}30 \cdot 0{,}25 = 0{,}075 \\ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) &= 0{,}12 \end{aligned} \]

De to er ulike: \[ 0{,}12 \neq 0{,}075 \]

Det å vite at motorsykkelen er i orden endrer altså sannsynligheten for god dagsform, fra \( 0{,}25 \) til \( 0{,}40\text{.} \) At en betingelse kan endre sannsynligheten, ser du i videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Vi bruker \( {P(M \cap G) = 0{,}12} \) fra a).

Nå vet vi at \( G \) har skjedd, så vi bruker formelen for betinget sannsynlighet andre veien.

1. Bruk formelen Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G})}{P(\textcolor{red}{G})} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Eks 2.

Her er: \[ P(\textcolor{blue}{M} \cap \textcolor{red}{G}) = 0{,}12, \quad P(\textcolor{red}{G}) = 0{,}25 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\textcolor{blue}{M} \mid \textcolor{red}{G}) = \dfrac{0{,}12}{0{,}25} = 0{,}48 \]

Vi følger én tablett om gangen og ser hvor mye som er igjen av den etter hvert døgn. Mengden i kroppen er summen av det som er igjen av alle tablettene.

1. Følg én tablett Bryter kroppen ned \( 20\,\% \text{,} \) er \( 80\,\% \) igjen. Etter hvert døgn ganger vi derfor med \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{ny} &: \ 1{,}5 \\ \text{etter 1 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} \\ \text{etter 2 døgn} &: \ 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^2 \end{aligned} \]

2. Legg sammen alle tablettene Like etter at Emma har tatt en tablett, har hun den nye, den fra i går, den fra i forgårs og så videre i kroppen. Hvert ledd i rekka er det som er igjen av én tablett. Etter \( n \) tabletter er mengden derfor summen av de \( n \) første leddene: \[ 1{,}5 + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80} + \ldots + 1{,}5 \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^{n - 1} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, \( \textcolor{blue}{0{,}80}\text{,} \) så rekka er geometrisk, som i videoen Geometriske rekker intro. Fortsetter kuren, får vi flere og flere ledd i rekka.

Vi leser av første ledd og kvotienten. Så bruker vi formelen for ledd nummer \( n \) og formelen for summen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}80}{1{,}5} = \textcolor{blue}{0{,}80} \]

Første ledd er \( {\textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1{,}5}}\text{.} \)

2. Finn ledd nummer seks Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{k}^{\,n - 1} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometriske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ a_6 = \textcolor{red}{1{,}5} \cdot \textcolor{blue}{0{,}80}^5 = 0{,}49152 \]

3. Finn summen Formelen for summen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}\left(1 - \textcolor{blue}{k}^n\right)}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 6}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} S_6 &= \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}\left(1 - \textcolor{blue}{0{,}80}^6\right)}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} \\ &= \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}737856}{0{,}20} \\ &= 5{,}53392 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {a_1 = 1{,}5} \) og \( {k = 0{,}80} \) fra e).

Fortsetter kuren for lenge, blir rekka uendelig. Vi sjekker om den konvergerer, og sammenligner summen med grensen.

1. Sjekk at rekka konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| = \textcolor{blue}{0{,}80} < 1 \]

2. Regn ut den uendelige summen Summen av en uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{1{,}5}}{1 - \textcolor{blue}{0{,}80}} = 7{,}5 \]

Alle leddene er positive, så mengden vokser mot \( 7{,}5 \) mg uten å nå dit: \[ S_n < 7{,}5 < 10 \]

Emma overskrider derfor ikke grensen på \( 10 \) mg, uansett hvor lenge kuren varer.

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]

Vi ser at funksjonen er en brøk. Den er ikke definert der nevneren er \( 0\text{,} \) og den er \( 0 \) der telleren er \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren \( \textcolor{blue}{x} \) må være forskjellig fra \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} \neq 0 \]

Alle andre tall går fint, så: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

2. Finn nullpunktene For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren \( {\textcolor{red}{4x^2 + 1}} \) er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x^2 + 1} &= 0 \\ x^2 &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Et kvadrat kan aldri bli negativt, så likningen har ingen løsning. Funksjonen har ingen nullpunkter.

Vi bruker fra a) at nevneren er \( 0 \) for \( {x = 0}\text{.} \)

Vi sjekker hva som skjer der nevneren er \( 0\text{,} \) og deler så opp brøken for å se hva grafen nærmer seg når \( x \) blir stor.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). For \( {x = 0} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Nevner:} \quad & x = 0 \\ \text{Teller:} \quad & 4 \cdot 0^2 + 1 = 1 \end{aligned} \]

Dermed har \( f \) den vertikale asymptoten: \[ x = 0 \]

2. Del opp brøken Vi deler hvert ledd i telleren på \( x\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{4x^2}{x} + \dfrac{1}{x} = \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \]

3. Finn den skrå asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Da går \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \) mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \big( f(x) - \textcolor{blue}{4x} \big) = \lim_{x \to \pm\infty} \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} = 0 \]

Grafen nærmer seg altså linja \( {y = \textcolor{blue}{4x}}\text{.} \) Dette kalles en skrå asymptote. \( |f(x)| \) vokser uten grense når \( {x \to \pm\infty}\text{,} \) så funksjonen har ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk med \( x \) i både teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{4x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{8x^2 - 4x^2 - 1}{x^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og faktoriserer telleren. Et fortegnsskjema viser så hvor \( f \) stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Fra c) vet vi at: \[ f'(x) = \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \]

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{.} \) Konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene, gir oss: \[ \begin{aligned} 4x^2 - 1 &= (\textcolor{darkorange}{2x + 1})(\textcolor{magenta}{2x - 1}) = 0 \\ x &= -\dfrac{1}{2} \ \text{ eller } \ x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0, 0.5], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0", "\\dfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "x^2", "expr": "x^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2x + 1)(2x - 1)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så her har vi et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så her har vi et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{2}} = 4 \end{aligned} \]

Skjemaet viser at grafen stiger for \( {x \le -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x \ge \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og synker mellom disse, bortsett fra i \( {x = 0}\text{,} \) der \( f \) ikke er definert.

Vi bruker asymptotene fra b) og topp- og bunnpunktet fra d).

Vi tegner asymptotene først og setter av punktene. Verdimengden leser vi av på hver side av \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skisser grafen Fra b) og d) vet vi: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \quad & x = 0, \quad y = 4x \\ \textcolor{blue}{\text{Toppunkt:}} \quad & \textcolor{blue}{\left(-\dfrac{1}{2},\, -4\right)} \\ \textcolor{red}{\text{Bunnpunkt:}} \quad & \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2},\, 4\right)} \end{aligned} \]

Vi regner også ut ett punkt til på hver side, så grafen blir riktig: \[ f(2) = \dfrac{17}{2}, \quad f(-2) = -\dfrac{17}{2} \]

Grafen har to deler. Hver del følger \( {x = 0} \) nær \( {y\text{-aksen}} \) og \( {y = 4x} \) langt ute. Hva en asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x):

2. Finn verdimengden Når \( {x > 0} \) er \( \textcolor{red}{4} \) den minste verdien, og \( f \) vokser mot uendelig på begge sider av bunnpunktet. Når \( {x < 0} \) er \( {\textcolor{blue}{-4}} \) den største verdien, og \( f \) går mot minus uendelig på begge sider av toppunktet. Det gir oss: \[ \begin{aligned} x > 0: \quad & f(x) \ge \textcolor{red}{4} \\ x < 0: \quad & f(x) \le \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

Begge regnes ut fra koordinatene. Skalarproduktet gir et tall, og vektorproduktet gir en ny vektor.

1. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet (prikkproduktet) får vi ved å gange koordinatene parvis og legge sammen: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_1} + \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_2} + \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_3} \]Videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram bruker at det er \( 0 \) for vinkelrette vektorer.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{(-2)} \\ &\quad + \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= -2 - 2 - 3 = -7 \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{(-2)} = 1 \\ y &= \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{3} = 5 \\ z &= \textcolor{blue}{(-2)} \cdot \textcolor{red}{(-2)} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = 3 \end{aligned} \]

Vi bruker skalarproduktet fra a).

Skalarproduktet henger sammen med vinkelen, så vi finner lengdene og løser for \( \cos\theta\text{.} \)

1. Skriv opp regelen og finn lengdene Skalarproduktet med vinkel forteller oss at: \[ \textcolor{green}{\vec{u} \cdot \vec{v}} = \textcolor{blue}{|\vec{u}|} \cdot \textcolor{red}{|\vec{v}|} \cdot \cos\theta \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengden til en vektor finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{|\vec{u}|} &= \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{6}} \\ \textcolor{red}{|\vec{v}|} &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \textcolor{red}{\sqrt{14}} \end{aligned} \]

I a) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{u} \cdot \vec{v} = -7}}\text{.} \)

2. Løs for vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-7} &= \textcolor{blue}{\sqrt{6}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{14}} \cdot \cos\theta \\ \cos\theta &= \dfrac{-7}{\sqrt{84}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{-7}{\sqrt{84}}\right) \\ \theta &\approx 139{,}8^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a).

Vektorproduktet står vinkelrett på både \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{,} \) så det er en normalvektor til planet.

1. Finn normalvektoren I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \vec{u} \times \vec{v} = \textcolor{blue}{[1, 5, 3]} \]

2. Sett opp likningen Likningen til et plan med normalvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[1, 5, 3]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{5}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x + 5y + 3z &= 0 \end{aligned} \]

Et parallelt plan spennes ut av de samme vektorene. Vi starter derfor i \( P \) og går langs \( \vec{u} \) og \( \vec{v}\text{.} \)

1. Sett opp framstillingen Vi kommer til alle punktene i \( \beta \) ved å starte i \( \textcolor{green}{P} \) og legge til en del av \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og en del av \( \textcolor{red}{\vec{v}}\text{:} \) \[ (x, y, z) = \textcolor{green}{P} + \textcolor{blue}{s \cdot \vec{u}} + \textcolor{red}{t \cdot \vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en framstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{(2, 3, -2)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{red}{[1, -2, 3]} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi én likning per koordinat: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 2s} \textcolor{red}{{}+ t} \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}+ s} \textcolor{red}{{}- 2t} \\ z &= \textcolor{green}{-2} \textcolor{blue}{{}- s} \textcolor{red}{{}+ 3t} \end{aligned} \]

Andre svar er også riktige. Vi kan for eksempel bruke et annet punkt i planet enn \( P\text{.} \)

Vi bruker punktet \( P \) fra d).

Linja går gjennom både \( P \) og \( Q\text{,} \) så \( \overrightarrow{PQ} \) er en retningsvektor for den.

1. Finn retningsvektoren En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{PQ}} &= [4 - 2,\ 1 - 3,\ -3 - (-2)] \\ &= \textcolor{blue}{[2, -2, -1]} \end{aligned} \]

2. Sett opp framstillingen Vi starter i \( \textcolor{green}{P} \) og går en del \( t \) av retningsvektoren, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ (x, y, z) = \textcolor{green}{P} + t \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{PQ}} \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{green}{P(2, 3, -2)}} \) og \( {\textcolor{blue}{[2, -2, -1]}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} + \textcolor{blue}{2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 2}t \\ z &= \textcolor{green}{-2} \textcolor{blue}{{}- 1}t \end{aligned} \]

Andre svar er også riktige. Vi kan for eksempel starte i \( Q\text{.} \)

Vi starter med overlappet, som er oppgitt. Så trekker vi fra for å finne hva som står alene i hver sirkel, og hva som står utenfor.

1. Tell opp hver gruppe Snittet \( F \cap M \) er de som tar begge fagene, og de teller med i begge sirklene. Hva symbolet betyr, ser du i videoen Grunnleggende symboler. Vi får: \[ \begin{aligned} \text{Begge:} \quad & \textcolor{green}{5} \\ \text{Bare fysikk:} \quad & 10 - 5 = \textcolor{blue}{5} \\ \text{Bare matte:} \quad & 22 - 5 = \textcolor{red}{17} \\ \text{Ingen:} \quad & 30 - \textcolor{blue}{5} - \textcolor{green}{5} - \textcolor{red}{17} = \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

2. Tegn venndiagrammet Vi tegner en sirkel for F og en for M, med overlappet i midten og resten av klassen utenfor:

Vi bruker tallene fra venndiagrammet i a).

Vi teller gunstige studenter og deler på mulige. Ved betinget sannsynlighet er de mulige bare dem vi vet noe om.

1. Regn ut de tre første \( P(F) \) og \( P(F \cap M) \) leser vi rett av tallene, siden alle \( 30 \) er mulige: \[ \begin{aligned} P(F) &= \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \\ P(F \cap M) &= \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Addisjonssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &P(F \cup M) \\ &= P(F) + P(M) - P(F \cap M) \end{aligned} \]

Plugger vi inn tallene, får vi: \[ \begin{aligned} P(F \cup M) &= \dfrac{10}{30} + \dfrac{22}{30} - \dfrac{\textcolor{green}{5}}{30} \\ &= \dfrac{27}{30} = \dfrac{9}{10} \end{aligned} \]

2. Regn ut de betingede Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ \begin{aligned} P(B \mid A) &= \dfrac{g}{m} \\ &= \dfrac{\text{antall i både } A \text{ og } B}{\text{antall i } A} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.

De mulige er altså bare dem vi vet oppfyller betingelsen. Av alle som ikke tar fysikk, \( {30 - 10 = 20}\text{,} \) er det \( \textcolor{red}{17} \) som tar matematikk. Det gir oss: \[ \begin{aligned} P(F \mid M) &= \dfrac{\text{begge}}{\text{matte}} = \dfrac{\textcolor{green}{5}}{22} \\ P(M \mid \overline{F}) &= \dfrac{\text{bare matte}}{\text{ikke fysikk}} = \dfrac{\textcolor{red}{17}}{20} \end{aligned} \]

Vi velger \( 5 \) av \( 7 \) viner, og rekkefølgen spiller ingen rolle. Hver person må ha sitt eget utvalg, så antallet utvalg er antallet deltakere.

1. Skriv opp regelen Antall måter å velge \( \textcolor{red}{k} \) av \( \textcolor{blue}{n} \) ulike ting på, når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er: \[ \binom{\textcolor{blue}{n}}{\textcolor{red}{k}} = \dfrac{\textcolor{blue}{n}!}{\textcolor{red}{k}! \cdot (\textcolor{blue}{n} - \textcolor{red}{k})!} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{7}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5} \]

2. Regn ut antallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{5}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{7}!}{\textcolor{red}{5}! \cdot 2!} \\ &= \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \end{aligned} \]

Det finnes altså \( 21 \) forskjellige utvalg. Med \( 21 \) deltakere kan alle ha hvert sitt utvalg. Med én til må to ha det samme.