Forkurseksamen etter tema

Brøkene har ulike nevnere. Vi setter dem derfor på felles brøkstrek, med fellesnevneren \( {x(2x - 3)}\text{.} \)

1. Finn fellesnevneren Vi utvider hver brøk med den nevneren den mangler, som i videoen Oppgave 3C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \dfrac{6 \cdot \textcolor{blue}{x}}{(2x - 3) \cdot \textcolor{blue}{x}} - \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}}{x \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}} \]

2. Trekk sammen Nå har brøkene samme nevner, så vi kan trekke sammen tellerne: \[ \begin{aligned} &\dfrac{6x - 3(2x - 3)}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{6x - 6x + 9}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{9}{x(2x - 3)} \end{aligned} \]

Alle leddene har \( x \) som faktor, så vi setter den utenfor. Siden \( {x = 4} \) er et nullpunkt, går divisjonen med \( {(x - 4)} \) opp, og det som står igjen, faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Sett x utenfor Vi setter \( x \) utenfor parentesen: \[ P(x) = x(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) \]

Nullpunktssetningen forteller oss at hvis \( r \) er et nullpunkt, er polynomet delelig med \( {(x - r)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &P(4) = 0 \\ &\Rightarrow \ (x - 4) \text{ er en faktor} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på nullpunktssetningen, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24} \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{-2x^3} + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-2x^3}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{-2x^2} \\ \textcolor{red}{-2x^2} \cdot (x - 4) &= -2x^3 + 8x^2 \\ -(-2x^3 + 8x^2) &= \textcolor{red}{2x^3 - 8x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( {-2x^3} \) strykes mot \( 2x^3\text{,} \) \( {9x^2 - 8x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2x \) og \( {-24}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 4) &= x^2 - 4x \\ -(x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 6x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {2x + 4x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-24}\text{.} \) Linja \( {6x - 24} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{6} \cdot (x - 4) &= 6x - 24 \\ -(6x - 24) &= \textcolor{blue}{-6x + 24} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}+ 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}- 24 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 24} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {-24 + 24 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24 \\ &= (x - 4)(-2x^2 + x + 6) \end{aligned} \]

3. Finn de to siste nullpunktene Vi setter \( {-2x^2 + x + 6 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-2})} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{-4} = \dfrac{-1 \pm 7}{-4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -\dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = 2 \]

4. Sett sammen faktorene Et andregradsuttrykk kan skrives slik: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}} \) og nullpunktene, får vi: \[ \begin{aligned} &-2x^2 + x + 6 \\ &= \textcolor{blue}{-2}\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 2) \\ &= -(2x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med \( x \) og \( {(x - 4)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(x) = -&x(x - 4) \\ &\cdot (x - 2)(2x + 3) \end{aligned} \]

Grafen skjærer \( x \)-aksen der telleren er \( 0\text{,} \) og \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med x-aksen En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -4 \quad \text{eller} \quad x = 1 \]Nevneren er ikke \( 0 \) i noen av dem, så begge er nullpunkter.

2. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 + 3 \cdot 0 - 4}{0 + 2} = \dfrac{-4}{2} = -2 \]

Vi ser etter en vertikal asymptote der nevneren er \( 0\text{.} \) Siden telleren har én grad høyere enn nevneren, finner vi en skrå asymptote med polynomdivisjon.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi finner hvor nevneren er \( 0\text{:} \) \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Vi ser hva telleren er der: \[ (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 4 = -6 \neq 0 \]Telleren er ikke \( 0\text{,} \) så \( f(x) \) går mot pluss eller minus uendelig når \( x \) nærmer seg \( {-2}\text{.} \) Linja \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på nevneren med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 2) &= x^2 + 2x \\ -(x^2 + 2x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {3x - 2x = x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{1} \\ \textcolor{magenta}{1} \cdot (x + 2) &= x + 2 \\ -(x + 2) &= \textcolor{magenta}{-x - 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x}} & \textcolor{magenta}{{}- 2} \\ \hline & & -6 \end{array} \end{array} \]\( x \) strykes mot \( {-x}\text{,} \) og \( {-4 - 2 = -6}\text{.} \) Tallet \( {-6} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( {-6} \) er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret: \[ \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} + \dfrac{-6}{x + 2} = x + 1 - \dfrac{6}{x + 2} \]

3. Finn den skrå asymptoten Funksjonen er altså: \[ f(x) = \textcolor{blue}{x + 1} - \dfrac{6}{x + 2} \]

Når \( x \) blir veldig stor eller veldig liten, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{6}{x + 2} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{blue}{x + 1}}\text{,} \) som er en skrå asymptote. Siden \( f(x) \) ikke går mot et fast tall, er det ingen horisontal asymptote.

Vi bruker skjæringspunktene fra a) og asymptotene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tegner asymptotene først, setter inn skjæringspunktene og regner ut noen få verdier til. Så tegner vi grafen gjennom punktene, tett inntil asymptotene.

1. Sett opp det vi vet I a) fant vi skjæringspunktene: \[ (-4, 0), \quad (1, 0), \quad (0, -2) \]

I b) fant vi asymptotene: \[ \textcolor{red}{x = -2}, \quad \textcolor{blue}{y = x + 1} \]

2. Regn ut noen verdier Vi setter inn noen \( x \)-verdier på hver side av \( {x = -2}\text{,} \) slik vi setter inn verdier for å tegne en graf i videoen Grenseverdier: \[ \begin{aligned} f(-6) &= \dfrac{14}{-4} = -\dfrac{7}{2} \\ f(-3) &= \dfrac{-4}{-1} = 4 \\ f(-1) &= \dfrac{-6}{1} = -6 \\ f(2) &= \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\ f(4) &= \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi tegner \( {\textcolor{red}{x = -2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y = x + 1}} \) stiplet. Fra b) vet vi hvor langt grafen er fra den skrå linja: \[ f(x) - (\textcolor{blue}{x + 1}) = -\dfrac{6}{x + 2} \]

Brøken er positiv til venstre for \( {\textcolor{red}{x = -2}}\text{,} \) så der ligger grafen over linja og går mot pluss uendelig inntil asymptoten.

Til høyre ligger den under linja og kommer fra minus uendelig.

Brøkene har ulike nevnere. Vi finner derfor en felles nevner og trekker sammen til én brøk.

1. Finn felles nevner 0:15 Vi ganger hver brøk over og under med nevneren til den andre brøken: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{5}{x + 2} \\ &= \dfrac{4\textcolor{blue}{(x + 2)}}{(x - 1)\textcolor{blue}{(x + 2)}} \\ &\quad - \dfrac{5\textcolor{red}{(x - 1)}}{(x + 2)\textcolor{red}{(x - 1)}} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesene 1:11 Vi ganger ut tellerne og den felles nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{(x + 2)} &= 4x + 8 \\ 5\textcolor{red}{(x - 1)} &= 5x - 5 \\ (x - 1)(x + 2) &= x^2 + x - 2 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen til én brøk 2:00 Nå har brøkene samme nevner, så vi samler dem på én brøkstrek. Minus foran den andre brøken bytter fortegn på begge leddene i telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4x + 8 - (5x - 5)}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{4x + 8 - 5x + 5}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{13 - x}{x^2 + x - 2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( P(x) \) er et tredjegradspolynom. Vi viser faktoren med nullpunktsetningen, og faktoriserer med polynomdivisjon og abc-formelen.

1. Bruk nullpunktsetningen 0:11 Nullpunktsetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P(x) \) når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 \\ &= 1 + 3 - 1 - 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {(x - 1)} \) er en faktor i \( P(x)\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon 1:49 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 4x^2 & {}- x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + x^2 = 4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-x} \) og \( {-3}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{4x} \\ \textcolor{magenta}{4x} \cdot (x - 1) &= 4x^2 - 4x \\ -(4x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-4x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 3x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {-x + 4x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3}\text{.} \) Linja \( {3x - 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 1) &= 3x - 3 \\ -(3x - 3) &= \textcolor{blue}{-3x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 3 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 3} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-3 + 3 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen på resten 4:13 Vi faktoriserer \( {x^2 + 4x + 3} \) videre. abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

4. Skriv opp faktorene 6:25 Et andregradsuttrykk kan skrives slik, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1} \) og løsningene, får vi: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Slår vi dette sammen med faktoren \( {(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) \]

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]

Vi setter inn \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) for å vise at det er et nullpunkt. Da er \( {x + \dfrac{1}{2}} \) en faktor, så vi deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Sett inn nullpunktet Plugger vi inn \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &\quad - 4\left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{1}{2} + 1 + 2 - \dfrac{5}{2} \\ &= 0 \end{aligned} \]Altså er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) et nullpunkt.

2. Del med polynomdivisjon Nullpunktsetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &f(\textcolor{magenta}{r}) = 0 \\ &\iff f(x) \text{ er delelig med } x - \textcolor{magenta}{r} \end{aligned} \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{magenta}{r} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) så \( f(x) \) er delelig med \( {x + \dfrac{1}{2}}\text{.} \)

Vi deler \( f(x) \) på \( {x + \dfrac{1}{2}} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^3} + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4x^2} \\ \textcolor{red}{4x^2} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 4x^3 + 2x^2 \\ -(4x^3 + 2x^2) &= \textcolor{red}{-4x^3 - 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & 2x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 4x^3 \) strykes mot \( {-4x^3}\text{,} \) \( {4x^2 - 2x^2 = 2x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4x} \) og \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{2x} \\ \textcolor{magenta}{2x} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 2x^2 + x \\ -(2x^2 + x) &= \textcolor{magenta}{-2x^2 - x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & -5x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-4x - x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \) Linja \( {-5x - \dfrac{5}{2}} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{blue}{-5} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= -5x - \dfrac{5}{2} \\ -(-5x - \dfrac{5}{2}) &= \textcolor{blue}{5x + \dfrac{5}{2}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \textcolor{blue}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- \dfrac{5}{2} \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{5x}} & \textcolor{blue}{{}+ \dfrac{5}{2}} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2} \\ &= (x + \dfrac{1}{2})(4x^2 + 2x - 5) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen De andre nullpunktene er der \( {4x^2 + 2x - 5 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{84}}{8} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{21}}{8} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{21}}{4} \end{aligned} \]

Vi deriverer og finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Et fortegnsskjema for \( f'(x) \) viser hvor grafen stiger og synker, og dermed hva slags punkter vi har.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = 12x^2 + 8x - 4 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Slik finner vi ekstremalpunkter også i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og deler på \( 4\text{:} \) \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{3}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{1}{3}} \) og \( {x = -1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Vi faktoriserer \( f'(x) \) med nullpunktene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ f'(x) = 12(\textcolor{magenta}{x + 1})\left(\textcolor{darkorange}{x - \dfrac{1}{3}}\right) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktoren \( 12 \) er positiv og endrer ingenting: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 0.3333333333333333], "labels": ["-1", "\\dfrac{1}{3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - \\dfrac{1}{3}}", "expr": "x - 1/3"}, {"label": "f'(x)", "expr": "12(x + 1)(x - 1/3)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{3}} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så vi har et bunnpunkt. Grafen stiger altså for \( {x \leq -1} \) og \( {x \geq \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og synker mellom.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= 4(-1)^3 + 4(-1)^2 \\ &\quad - 4(-1) - \dfrac{5}{2} \\ &= -4 + 4 + 4 - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{3}\right) &= 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &\quad - 4 \cdot \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{4}{27} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{8 + 24 - 72 - 135}{54} \\ &= -\dfrac{175}{54} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b): \( {f'(x) = 12x^2 + 8x - 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen skjærer y-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Normalen står vinkelrett på tangenten der, så vi finner stigningstallet fra tangentens stigningstall.

1. Finn punktet og tangentens stigningstall Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 4 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{5}{2} \\ f'(0) &= 12 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 4 \\ &= \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

2. Finn normalens stigningstall To linjer som står vinkelrett på hverandre, har stigningstall med produkt \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_t} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

3. Sett opp likningen Formelen for en rett linje forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{green}{b} \]Den står i videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}} \]Konstantleddet \( \textcolor{green}{b} \) er y-verdien der linja skjærer y-aksen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}x \textcolor{green}{{}- \dfrac{5}{2}} \]

Vi bruker nullpunktssetningen: vi setter inn tallet som gjør faktoren lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P \) nøyaktig når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= \textcolor{blue}{1}^3 + 2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 - 7 \cdot \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &= 1 + 2 - 7 + 4 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor i \( P\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( {(x - 1)} \) er en faktor, står i oppgaveteksten i a).

Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon. Da står vi igjen med et andregradsuttrykk, som vi faktoriserer videre.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 + x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 4\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 1) &= 3x^2 - 3x \\ -(3x^2 - 3x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-7x + 3x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4\text{.} \) Linja \( {-4x + 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 1) &= -4x + 4 \\ -(-4x + 4) &= \textcolor{blue}{4x - 4} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 4 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 4} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {4 - 4 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 7x + 4 \\ &= (x - 1)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på faktoriseringen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 1} \) og \( {x = -4}\text{,} \) så: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

3. Sett faktorene sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(x - 1)(x + 4) \\ &= (x - 1)^2(x + 4) \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon. Etterpå integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 - 4} \) på \( {(x + 5)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 5) &= x^2 + 5x \\ -(x^2 + 5x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & -5x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {0x - 5x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {-5x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-5} \\ \textcolor{magenta}{-5} \cdot (x + 5) &= -5x - 25 \\ -(-5x - 25) &= \textcolor{magenta}{5x + 25} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 25} \\ \hline & & 21 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-4 + 25 = 21}\text{.} \) Tallet 21 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 21 er restleddet.

Svaret pluss restleddet delt på nevneren gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} + \dfrac{21}{x + 5} \]

2. Integrer ledd for ledd Integrasjonsreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \ n \neq -1 \\ \int \dfrac{a}{x + b}\,dx &= a \ln|x + b| + C \end{aligned} \]Se videoen Basic integrasjonsregler/​formler hvis du er usikker.

\( x \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}}}\text{.} \)

\( {-5} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{magenta}{-5x}}}\text{.} \)

\( {\dfrac{21}{x + 5}} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|}}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}} \textcolor{magenta}{{}- 5x} \\ &\quad + \textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|} + C \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a).

Området strekker seg fra \( {x = 0} \) til nullpunktet på den positive \( {x\text{-aksen.}} \) Vi finner nullpunktet og sjekker om grafen ligger over eller under aksen.

1. Finn grensene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4 &= 0 \\ x &= \pm 2 \end{aligned} \]

Det positive nullpunktet er \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) så området går fra \( {x = \textcolor{red}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{.} \)

2. Sett opp integralet Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = -\dfrac{4}{5} \]

Grafen krysser ikke aksen mellom \( 0 \) og \( 2\text{,} \) så der ligger den under \( {x\text{-aksen,}} \) og integralet blir negativt. Arealet er derfor minus integralet, med sammenhengen fra videoen Hva er integrasjon: \[ T = -\int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} f(x)\,dx \]

3. Regn ut integralet I a) fant vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \dfrac{x^2}{2} - 5x \\ &\quad + 21 \ln|x + 5| + C \end{aligned} \]

Plugger vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= -\left[ \dfrac{x^2}{2} - 5x + 21 \ln|x + 5| \right]_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} \\ &= -\left( 2 - 10 + 21 \ln 7 - 21 \ln 5 \right) \\ &= 8 - 21 \ln 7 + 21 \ln 5 \end{aligned} \]

Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln \dfrac{p}{q} \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ T = 8 - 21 \ln \dfrac{7}{5} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: omskrivingen av \( f(x) \) står i oppgaveteksten i a).

Vi trenger punktet og stigningstallet der. Vi deriverer \( f \) ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Formelen for tangenten forteller oss at: \[ y = \textcolor{green}{f'(a)}(x - \textcolor{darkorange}{a}) + \textcolor{magenta}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{darkorange}{a} \) \( {x\text{-koordinaten}} \) til punktet, \( \textcolor{magenta}{f(a)} \) funksjonsverdien der og \( \textcolor{green}{f'(a)} \) stigningstallet. Se videoen Tangentlinje hvis du er usikker.

2. Deriver funksjonen Fra a) har vi: \[ f(x) = x - 5 + \dfrac{21}{x + 5} \]

\( x \) derivert blir \( \underline{1}\text{,} \) og \( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

For å derivere \( {\dfrac{21}{x + 5}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{21} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 5} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{21}{x + 5}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x + 5}) - \textcolor{red}{21} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 5})^2} \\ &= \underline{-\dfrac{21}{(x + 5)^2}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 1 - \dfrac{21}{(x + 5)^2} \]

3. Plugg inn punktet Her er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{0}}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{f(0)} &= \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}} \\ \textcolor{green}{f'(0)} &= 1 - \dfrac{21}{5^2} = \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}}(x - \textcolor{darkorange}{0}) + \left(\textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}}\right) \\ &= \dfrac{4}{25}x - \dfrac{4}{5} \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn to tall i \( P(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } P(x) \\ &\iff P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} (x - 1) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \\ (x - 2) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn de to verdiene Plugger vi dette inn i \( P(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 \\ &= 1 - 4 - 7 + 10 \\ &= 0 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{2}) &= 2^3 - 4 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 10 \\ &= 8 - 16 - 14 + 10 \\ &= -12 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor, og siden \( {P(2) \neq 0} \) er \( {(x - 2)} \) ikke en faktor.

Vi deler først. Svaret blir et andregradsuttrykk, og det faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 10\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x - 1) &= -3x^2 + 3x \\ -(-3x^2 + 3x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & -10x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-7x - 3x = -10x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 10\text{.} \) Linja \( {-10x + 10} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-10x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-10x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-10} \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot (x - 1) &= -10x + 10 \\ -(-10x + 10) &= \textcolor{blue}{10x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 10} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-10x}} & {}+ 10 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{10x}} & \textcolor{blue}{{}- 10} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-10x} \) strykes mot \( 10x\text{,} \) og \( {10 - 10 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \\ &= (x - 1)(x^2 - 3x - 10) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 3x - 10} \) ved å løse \( {x^2 - 3x - 10 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på hvordan nullpunktene gir faktorene, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Vi regner ut det som står under roten først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= (\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10}) \\ &= 9 + 40 = 49 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm 7}{2} \]

Det gir oss nullpunktene \( {x = 5} \) og \( {x = -2}\text{,} \) og dermed: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Vi bruker faktoriseringen fra b).

Venstresiden er \( P(x)\text{,} \) som vi har på faktorisert form. Da kan vi finne fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Skriv ulikheten med faktorene I b) fant vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Ulikheten er derfor: \[ (\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1})(\textcolor{green}{x - 5}) \geq 0 \]

Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

2. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1, 5], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 5}", "expr": "x - 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 2)(x - 1)(x - 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi skal ha der \( P(x) \) er positiv, og også der den er \( 0\text{,} \) siden ulikheten har \( {\geq}\text{.} \) Det gir oss: \[ -2 \leq x \leq 1 \quad \text{eller} \quad x \geq 5 \]

En tangent er en rett linje, så vi trenger et punkt og et stigningstall. Stigningstallet får vi fra den deriverte.

1. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 4} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(4) &= 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 16 - 16 + 2 = 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ f'(4) &= 2 \cdot 4 - 4 = 4 \end{aligned} \]

2. Sett inn i tangentformelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y - f(\textcolor{blue}{a}) = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad f(\textcolor{blue}{4}) = 2, \quad \textcolor{red}{f'(4)} = \textcolor{red}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - 2 &= \textcolor{red}{4} \cdot (x - \textcolor{blue}{4}) \\ y - 2 &= 4x - 16 \\ y &= 4x - 14 \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn ett tall i \( f(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } f(x) \\ &\iff f(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Sett inn tallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{5}) &= 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {f(5) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 5)} \) en faktor.

Vi bruker fra b) at \( {(x - 5)} \) er en faktor i telleren.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 5}\text{,} \) men der er også telleren \( 0\text{.} \) Vi deler derfor først, og ser hva som står igjen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Se etter vertikal asymptote En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er det bare \( {x = 5}\text{.} \)

Vi forkorter brøken for \( {x \neq 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{\cancel{(x - 5)}}(x^2 + 3x - 4)}{\textcolor{darkorange}{\cancel{x - 5}}} \\ &= x^2 + 3x - 4 \end{aligned} \]

Når \( x \) går mot \( 5\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 5} f(x) &= 5^2 + 3 \cdot 5 - 4 \\ &= 36 \end{aligned} \]

Funksjonen går mot et tall og vokser ikke over alle grenser. Så \( {x = 5} \) er bare et hull i grafen, ikke en vertikal asymptote.

3. Se etter horisontal asymptote En horisontal asymptote får vi hvis \( f(x) \) går mot et tall når \( x \) blir veldig stor, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er leddet \( x^2 \) størst: \[ \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 + 3x - 4) = \infty \]

Grafen er en parabel med et hull, så den har heller ingen skrå asymptote.

Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Differansen blir enkel, og den integrerer vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Vi regner ut differansen: \[ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= (x + 1)e^{x^2} - e^{x^2} \\ &= x e^{x^2} \end{aligned} \]

På \( [0, 1] \) er \( {x \geq 0} \) og \( {e^{x^2} > 0}\text{,} \) så \( {f(x) \geq g(x)}\text{.} \) Grafen til \( f \) ligger altså øverst.

Arealet mellom grafene er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \int_0^1 (f(x) - g(x))\,dx \\ &= \int_0^1 x e^{x^2}\,dx \end{aligned} \]Arealet som et bestemt integral ser du i videoen Hva er integrasjon.

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 0 \\ x = 1 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 1 \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Integralet av \( e^u \) er \( e^u\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 \\ &= \dfrac{1}{2} (e^1 - e^0) = \dfrac{e - 1}{2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\sin x} \\ du &= \cos x\,dx \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = \dfrac{\pi}{2} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \\ x = \dfrac{2\pi}{3} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som du finner i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{2\pi}{3}} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx &= \int_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \Big[\ln|\textcolor{green}{u}|\Big]_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \ln 1 \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler først med polynomdivisjon. Så integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {4x^2 + 4x + 2} \) på \( {2x - 1} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^2} + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (2x - 1) &= 4x^2 - 2x \\ -(4x^2 - 2x) &= \textcolor{red}{-4x^2 + 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & 6x & {}+ 2 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {4x + 2x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2\text{.} \) Linja \( {6x + 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{magenta}{3} \cdot (2x - 1) &= 6x - 3 \\ -(6x - 3) &= \textcolor{magenta}{-6x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}+ 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-6x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3} \\ \hline & & 5 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {2 + 3 = 5}\text{.} \) Tallet 5 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 5 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x^2 + 4x + 2}{2x - 1} = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} + \dfrac{5}{2x - 1} \]

2. Integrer ledd for ledd De to første leddene integrerer vi som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int (\textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3})\,dx = x^2 + 3x \]

Det siste leddet løser vi med substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{2x - 1} \\ du &= 2\,dx \\ dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Siden \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{5}{\textcolor{blue}{2x - 1}}\,dx &= \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,du \\ &= \dfrac{5}{2}\ln|\textcolor{blue}{2x - 1}| + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ x^2 + 3x + \dfrac{5}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre: \[ \begin{aligned} 2x^2 - 2x + 3 &= -x^2 + 4x + 3 \\ 3x^2 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( 3x\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 3x(x - 2) &= 0 \\ x = \textcolor{blue}{0} \quad &\text{eller} \quad x = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn hvilken graf som er øverst Vi tester \( {x = 1} \) mellom skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 2 - 2 + 3 = 3 \\ g(1) &= -1 + 4 + 3 = 6 \end{aligned} \]

Så \( g \) ligger øverst.

3. Regn ut integralet Arealet under en graf er et integral, som i videoen Hva er integrasjon. Mellom to grafer tar vi den øverste minus den nederste. Grensene \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{2} \) er skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \left(g(x) - f(x)\right)dx \\ &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} (-3x^2 + 6x)\,dx \\ &= \Big[-x^3 + 3x^2\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (-8 + 12) - 0 = 4 \end{aligned} \]