Forkurseksamen etter tema

Vi får \( \cos x \) alene, og så går vi baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, slik videoen Introduksjon til Trigonometri viser med \( \arccos\text{.} \)

1. Få cosinus alene Vi flytter \( \sqrt{3} \) over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\cos x &= \sqrt{3} \\ \cos x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn vinkelen Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]Alle løsningene er: \[ x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \]

Av disse er det bare \( \dfrac{\pi}{6} \) som ligger i intervallet \( [0, \pi]\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{6} \]

Vi faktoriserer telleren og nevneren. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

1. Faktoriser telleren og nevneren Telleren er en differanse mellom to kvadrater, så konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Med \( {a = x} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \]

I nevneren setter vi \( x \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ x^2 - x = x(x - 1) \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 1)} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 0} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \)

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene.

:::fortegnsskjema {"points": [-3, 0, 1, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x}", "expr": "(x + 3)(x - 3)/(x(x - 1))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ fra \( {-3} \) til \( 0 \) og fra \( 1 \) til \( 3\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = -3} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er med. Den er ikke definert i \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x \in [-3, 0\rangle \cup \langle 1, 3] \]

Vi flytter \( 2 \)-tallet inn i logaritmen. Da står det \( \lg \) av noe på begge sider, og vi kan sette det som står inni, likt. Til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Skriv venstre side som én logaritme Den tredje logaritmeregelen forteller oss at, for \( {\textcolor{red}{a} > 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b} \cdot \lg \textcolor{red}{a} = \lg \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{b}} \]Den står i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lg (\textcolor{red}{3x + 1})^{\textcolor{blue}{2}} = \lg x^2 \]

2. Løs likningen uten logaritmer Siden \( \lg \) gir samme verdi bare for samme tall, må det som står inni, være likt: \[ (3x + 1)^2 = x^2 \]

To kvadrater er like når tallene er like eller motsatte: \[ 3x + 1 = x \quad \text{eller} \quad 3x + 1 = -x \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -1 & 4x &= -1 \\ x &= -\dfrac{1}{2} & x &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Vi setter inn begge i \( {3x + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 &= -\dfrac{1}{2} < 0 \\ 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) + 1 &= \dfrac{1}{4} > 0 \end{aligned} \]

\( {x = -\dfrac{1}{2}} \) faller derfor bort. For \( {x = -\dfrac{1}{4}} \) er også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så den er løsningen.

Vi løser først for \( \sin x\text{.} \) Siden to vinkler gir samme sinusverdi og sinus gjentar seg, finner vi så begge vinklene og alle rundene som ligger i intervallet.

1. Løs for sinus 0:26 Intervallet går til \( 4\pi\text{,} \) så vi svarer i radianer. Vi flytter over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn den første vinkelen 0:47 Vi vet at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og siden \( {\sin(-v) = -\sin v} \) gir sinus invers: \[ x = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6} \]Sinus invers forklares i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) der \( k \) er et helt tall: \[ \textcolor{blue}{x_1} = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k} \]

3. Finn den andre vinkelen 2:57 På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = -\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_2} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi k \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k} \end{aligned} \]

4. Test verdier av k 4:52 Vi tester \( k \) og beholder det som ligger i \( [0,\ 4\pi\rangle\text{.} \) Her er \( {4\pi = \dfrac{24\pi}{6}}\text{.} \)

For \( \textcolor{blue}{x_1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; -\dfrac{\pi}{6} \; \text{utenfor} \\ k = 1&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{11\pi}{6}} \\ k = 2&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \underline{\dfrac{23\pi}{6}} \\ k = 3&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{35\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

For \( \textcolor{red}{x_2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; \underline{\dfrac{7\pi}{6}} \\ k = 1&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{19\pi}{6}} \\ k = 2&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{31\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi slår sammen de to logaritmene til én, fjerner \( \ln \) med \( e\text{,} \) og løser for \( x\text{.} \) Til slutt må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater.

Merk – Videoen stopper før sjekken: Videoen ender på \( {x = \dfrac{e}{1 - e}}\text{.} \) Det tallet er negativt, så det er ikke en løsning, som siste steg her viser.

1. Slå sammen logaritmene 0:16 Logaritmeregelen for minus forteller oss at: \[ \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} = \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) \]Regelen vises i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{x + 1}}\right) = 1 \]

2. Fjern logaritmen 1:17 Vi opphøyer begge sider med \( e\text{,} \) siden: \[ e^{\ln u} = u \]

Det gir oss: \[ \dfrac{x}{x + 1} = e \]

3. Løs for x 1:53 Vi ganger med \( {x + 1} \) og samler \( x \) på venstre side: \[ \begin{aligned} x &= e(x + 1) \\ x &= ex + e \\ x - ex &= e \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x(1 - e) &= e \\ x &= \dfrac{e}{1 - e} \end{aligned} \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet Før vi svarer, må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater. \( \ln \) finnes bare av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. I likningen må derfor: \[ x > 0 \quad \text{og} \quad x + 1 > 0 \]

Siden \( {e > 1}\text{,} \) er nevneren negativ og telleren positiv: \[ \dfrac{e}{1 - e} < 0 \]

Tallet er negativt, så \( \ln x \) finnes ikke der. Likningen har derfor ingen løsning.

Vi ser at \( x \) står i nevneren. Vi samler derfor alt på én side, slår sammen til én brøk og bruker fortegnsskjema.

1. Finn bruddpunktet 0:00 Nevneren kan ikke være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 2 &\ne 0 \\ x &\ne -2 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 0:30 Vi flytter \( 1 \) over og skriver det med samme nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{2x - 4}{x + 2} - 1 &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4 - (x + 2)}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 6}}{\textcolor{magenta}{x + 2}} &\ge 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp fortegnsskjema 2:25 Fortegnet til brøken finner vi ved å sette sammen fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 6}{x + 2}", "expr": "(x - 6)/(x + 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 4:17 Brøken er positiv for \( {x < -2} \) og for \( {x > 6}\text{.} \) I \( {x = 6} \) er den \( 0\text{,} \) som er med. I \( {x = -2} \) finnes den ikke, så det punktet er ikke med: \[ x < -2 \quad \text{eller} \quad x \ge 6 \]

Alt står allerede på én side. Vi faktoriserer venstresiden og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Faktoriser venstresiden abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -3}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi faktorene \( {\textcolor{magenta}{x + 3}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ x^2 + x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 3})(\textcolor{darkorange}{x - 2}) \]

2. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "(x + 3)(x - 2)", "expr": "(x + 3)(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi vil ha produktet negativt eller \( 0\text{.} \) Det er det mellom strekene, og i strekene også: \[ -3 \leq x \leq 2 \]

Vi ser at \( 5^x \) går igjen. Setter vi \( {u = 5^x}\text{,} \) får vi en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{5^x}}\text{:} \) \[ \dfrac{18 - \textcolor{darkorange}{u}}{\textcolor{darkorange}{u}} = \textcolor{darkorange}{u} + 2 \]

\( 5^x \) er alltid positiv, så vi kan gange begge sider med \( \textcolor{darkorange}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 18 - u &= u^2 + 2u \\ 0 &= u^2 + 3u - 18 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-18} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-18})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 9}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 3} \) og \( {u = -6}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( 5^x \) er alltid positiv, så \( {5^x = -6} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med: \[ 5^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for en potens, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}}) &= \ln 3 \\ \textcolor{red}{x} \ln \textcolor{blue}{5} &= \ln 3 \\ x &= \dfrac{\ln 3}{\ln 5} \end{aligned} \]

Vi får \( \sin(2\pi x) \) alene og finner vinklene som passer. Intervallet for \( x \) forteller hvilke vinkler vi skal se på.

1. Få sinus alene Vi flytter \( 2 \) over: \[ \dfrac{\sqrt{3}}{\sin(2\pi x)} = 2 \]

Vi ganger med \( \sin(2\pi x)\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{,} \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{3} &= 2 \sin(2\pi x) \\ \sin(2\pi x) &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går vinkelen fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{:} \) \[ 0 \leq \textcolor{blue}{2\pi x} \leq 2\pi \]

Vi kjenner eksaktverdien: \[ \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Det forteller oss at: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\pi x} &= \dfrac{\pi}{3} \\ \text{eller} \quad \textcolor{blue}{2\pi x} &= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ x = \dfrac{1}{6} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{1}{3} \]Begge ligger i \( [0, 1]\text{,} \) og nevneren er ikke \( 0 \) for noen av dem.

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer uttrykket. Så leser vi av et fortegnsskjema hvor det er større enn eller lik \( 0\text{.} \)

1. Finn nullpunktene 0:19 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-9}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\textcolor{red}{9} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \dfrac{9 \pm 11}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = 10 \quad \vee \quad x_2 = -1 \]

2. Faktoriser uttrykket 2:04 Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 10} \) og \( {x_2 = -1}\text{,} \) blir ulikheten: \[ (\textcolor{darkorange}{x - 10})(\textcolor{magenta}{x + 1}) \geq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema 2:33 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 10], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 10}", "expr": "x - 10"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "(x - 10)(x + 1)", "expr": "(x - 10)(x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 6:07 Produktet skal være positivt eller \( 0\text{.} \) Det er det fra og med \( {x = 10} \) og oppover, og fra og med \( {x = -1} \) og nedover: \[ x \leq -1 \quad \vee \quad x \geq 10 \]

Vi setter \( {u = \cos t} \) og løser ulikheten for \( u \) med et fortegnsskjema. Så går vi tilbake til \( t \) med enhetssirkelen.

1. Skift variabel 0:50 Vi setter \( {u = \cos t}\text{,} \) og siden \( {\cos^2 t = (\cos t)^2} \) får vi: \[ 2u^2 + u < 0 \]

2. Finn nullpunktene 1:30 Vi faktoriserer ut \( u\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u}(\textcolor{magenta}{2u + 1}) < 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \vee \quad \textcolor{magenta}{2u + 1} = 0 \]

Løser vi den andre for \( u\text{,} \) får vi: \[ u = 0 \quad \vee \quad u = -\dfrac{1}{2} \]

3. Tegn fortegnsskjema 3:02 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{u}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2u + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "u(2u + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom de to strekene: \[ -\dfrac{1}{2} < u < 0 \]

4. Gå tilbake til cosinus 5:55 Vi satte \( {u = \cos t}\text{,} \) så vi må finne vinklene der: \[ -\dfrac{1}{2} < \cos t < 0 \]

På enhetssirkelen er \( \cos t \) førstekoordinaten til punktet på sirkelen. Vi trenger altså punktene i det skraverte feltet:

5. Finn det første intervallet 9:11 Feltet treffer sirkelen i én bue øverst og én nederst. Den øverste buen starter der \( {\cos t = 0}\text{:} \) \[ t = \dfrac{\pi}{2} \]

Den slutter der \( {\cos t = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) som vi finner med cosinus invers: \[ t = \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{\pi}{2} < t < \dfrac{2\pi}{3} \]

6. Finn det andre intervallet 10:47 Den nederste buen er speilbildet av den øverste om førsteaksen. Vinkelen med samme cosinusverdi finner vi ved å trekke fra en hel runde: \[ t = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Buen slutter der \( {\cos t = 0} \) igjen, etter tre kvarte runder: \[ t = \dfrac{3\pi}{2} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{4\pi}{3} < t < \dfrac{3\pi}{2} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn to tall i \( P(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } P(x) \\ &\iff P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} (x - 1) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \\ (x - 2) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn de to verdiene Plugger vi dette inn i \( P(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 \\ &= 1 - 4 - 7 + 10 \\ &= 0 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{2}) &= 2^3 - 4 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 10 \\ &= 8 - 16 - 14 + 10 \\ &= -12 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor, og siden \( {P(2) \neq 0} \) er \( {(x - 2)} \) ikke en faktor.

Vi deler først. Svaret blir et andregradsuttrykk, og det faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 10\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x - 1) &= -3x^2 + 3x \\ -(-3x^2 + 3x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & -10x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-7x - 3x = -10x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 10\text{.} \) Linja \( {-10x + 10} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-10x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-10x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-10} \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot (x - 1) &= -10x + 10 \\ -(-10x + 10) &= \textcolor{blue}{10x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 10} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-10x}} & {}+ 10 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{10x}} & \textcolor{blue}{{}- 10} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-10x} \) strykes mot \( 10x\text{,} \) og \( {10 - 10 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \\ &= (x - 1)(x^2 - 3x - 10) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 3x - 10} \) ved å løse \( {x^2 - 3x - 10 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på hvordan nullpunktene gir faktorene, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Vi regner ut det som står under roten først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= (\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10}) \\ &= 9 + 40 = 49 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm 7}{2} \]

Det gir oss nullpunktene \( {x = 5} \) og \( {x = -2}\text{,} \) og dermed: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Vi bruker faktoriseringen fra b).

Venstresiden er \( P(x)\text{,} \) som vi har på faktorisert form. Da kan vi finne fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Skriv ulikheten med faktorene I b) fant vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Ulikheten er derfor: \[ (\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1})(\textcolor{green}{x - 5}) \geq 0 \]

Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

2. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1, 5], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 5}", "expr": "x - 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 2)(x - 1)(x - 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi skal ha der \( P(x) \) er positiv, og også der den er \( 0\text{,} \) siden ulikheten har \( {\geq}\text{.} \) Det gir oss: \[ -2 \leq x \leq 1 \quad \text{eller} \quad x \geq 5 \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler ledd for ledd til det som står igjen har lavere grad enn nevneren.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {3x^3 - 4x^2 - 14x + 11} \) på \( {x^2 - 3x + 2} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{3x^3} - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^3}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{red}{3x} \\ &\textcolor{red}{3x} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 3x^3 - 9x^2 + 6x \\ &-(3x^3 - 9x^2 + 6x) \\ &= \textcolor{red}{-3x^3 + 9x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & 5x^2 & {}- 20x & {}+ 11 \end{array} \end{array} \]\( 3x^3 \) strykes mot \( {-3x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + 9x^2 = 5x^2}\text{,} \) \( {-14x - 6x = -20x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 11\text{.} \) Linja \( {5x^2 - 20x + 11} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{magenta}{5} \\ &\textcolor{magenta}{5} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 5x^2 - 15x + 10 \\ &-(5x^2 - 15x + 10) \\ &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 15x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 20x & {}+ 11 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \textcolor{magenta}{{}- 10} \\ \hline & & -5x & {}+ 1 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-20x + 15x = -5x}\text{,} \) og \( {11 - 10 = 1}\text{.} \) Linja \( {-5x + 1} \) har grad 1, som er lavere enn nevnerens grad 2. Da stopper vi, og \( {-5x + 1} \) er restleddet.

2. Skriv opp svaret Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret: \[ \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{-5x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]

Nullpunktsetningen gir oss en rask sjekk: vi setter inn det tallet som gjør \( {x + 3} \) lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktsetningen Nullpunktsetningen forteller oss at for et polynom \( P(x) \) gjelder: \[ x - \textcolor{blue}{r} \text{ er en faktor} \quad \Leftrightarrow \quad P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 - 13x - 12 \\ x + 3 &= x - (\textcolor{blue}{-3}) \end{aligned} \]

Plugger vi \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{-3}} \) inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{-3}) &= (\textcolor{blue}{-3})^3 - 13 \cdot (\textcolor{blue}{-3}) - 12 \\ &= -27 + 39 - 12 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {x + 3} \) er en faktor.

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: at \( {x + 3} \) er en faktor, står i oppgaveteksten til b).

Vi flytter alt over på én side og faktoriserer med faktoren fra b). Så finner vi fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Flytt alt over på én side Vi trekker \( 12 \) fra på begge sider og får: \[ x^3 - 13x - 12 > 0 \]

2. Del med polynomdivisjon I b) så vi at \( {x + 3} \) er en faktor. Vi deler \( {x^3 - 13x - 12} \) på \( {x + 3} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Leddet med \( x^2 \) mangler, så vi skriver \( 0x^2 \) på plassen, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 3) &= x^3 + 3x^2 \\ -(x^3 + 3x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - 3x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 13x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {0x^2 - 3x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-13x} \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x + 3) &= -3x^2 - 9x \\ -(-3x^2 - 9x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 + 9x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & -4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-13x + 9x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {-4x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x + 3) &= -4x - 12 \\ -(-4x - 12) &= \textcolor{blue}{4x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Vi bruker den til å faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 4} \) og \( {x = -1}\text{.} \) Dermed får vi tre faktorer, med hver sin farge fra nå av: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)}\textcolor{magenta}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x - 4)} \end{aligned} \]

4. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, -1, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)", "expr": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt mellom \( {-3} \) og \( {-1} \) og til høyre for \( 4\text{:} \) \[ -3 < x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 4 \]

En dobbel ulikhet er to ulikheter som begge må gjelde. Vi løser dem hver for seg og slår svarene sammen.

1. Løs venstre ulikhet Vi flytter \( x \) og tallene over. Det snur aldri tegnet, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} x - 2 &< 2x - 1 \\ -2 + 1 &< 2x - x \\ \textcolor{blue}{-1} &\textcolor{blue}{{}< x} \end{aligned} \]

2. Løs høyre ulikhet Vi gjør det samme med den andre: \[ \begin{aligned} 2x - 1 &\leq x + 7 \\ 2x - x &\leq 7 + 1 \\ \textcolor{red}{x} &\textcolor{red}{{}\leq 8} \end{aligned} \]

3. Slå sammen svarene Begge må gjelde samtidig, så vi får: \[ \textcolor{blue}{-1 <{}} \textcolor{red}{x \leq 8} \]

Vi kan ikke gange med \( {x - 1}\text{,} \) for vi vet ikke om det er positivt eller negativt. Vi samler alt på én side, skriver det som én brøk og bruker et fortegnsskjema.

1. Samle alt på én side Vi flytter \( x \) over og setter på felles brøkstrek, med \( {x \neq 1} \) siden nevneren ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2}{x - 1} - x &\geq 0 \\ \dfrac{2 - x(x - 1)}{x - 1} &\geq 0 \\ \dfrac{-x^2 + x + 2}{x - 1} &\geq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger med \( {-1} \) for å få \( x^2 \) positiv. Da snur tegnet, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} \leq 0 \]

2. Faktoriser telleren Vi finner nullpunktene til telleren med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2} \]

Plugger vi dette inn, med \( {-\textcolor{red}{b} = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{1 \pm 3}{2} \\ x &= 2 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -1}\text{.} \) Telleren er derfor \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) og ulikheten blir: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x + 1)}\textcolor{magenta}{(x - 2)}}{x - 1} \leq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "x - 1", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{x - 1}", "expr": "(x + 1)*(x - 2)/(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor brøken ikke finnes.

Vi vil ha brøken negativ eller lik \( 0\text{.} \) Det gir oss: \[ x \leq -1 \quad \text{eller} \quad 1 < x \leq 2 \]

Strekene i \( {x = -1} \) og \( {x = 2} \) er med, siden brøken er \( 0 \) der. \( {x = 1} \) er ikke med.

Vi ser potenser, en rot og en brøk. Vi skriver alt som potenser av \( a \) og \( b \) og samler eksponentene.

1. Skriv alt som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]

En potens av et produkt og en potens av en potens forteller oss at: \[ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \qquad (x^n)^m = x^{n \cdot m} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Vi bruker dem på hver av de tre delene: \[ \begin{aligned} (a^2 b)^{-1} &= \textcolor{blue}{a^{-2}} \cdot \textcolor{red}{b^{-1}} \\ \sqrt[3]{b^4 a} &= (b^4 a)^{\tfrac{1}{3}} = \textcolor{red}{b^{\tfrac{4}{3}}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \\ (ab)^{-\tfrac{2}{3}} &= \textcolor{blue}{a^{-\tfrac{2}{3}}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{2}{3}}} \end{aligned} \]

2. Samle eksponentene Ganger vi to potenser, legger vi sammen eksponentene. Deler vi, trekker vi fra eksponenten i nevneren. Regnereglene forteller oss at: \[ x^n \cdot x^m = x^{n + m} \qquad \dfrac{x^n}{x^m} = x^{n - m} \]

For \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) hver for seg gir det: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a}&: \ -2 + \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1 \\ \textcolor{red}{b}&: \ -1 + \dfrac{4}{3} - \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 1 \end{aligned} \]

Uttrykket er derfor: \[ \textcolor{blue}{a^{-1}} \cdot \textcolor{red}{b^{1}} = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{a}} \]

Vi ser sinus og cosinus av samme vinkel. Vi deler på \( \cos x \) og får en likning med bare \( \tan x\text{.} \)

1. Skriv om til tangens Hvis \( {\cos x = 0}\text{,} \) er \( {\sin x = \pm 1}\text{,} \) og da stemmer ikke likningen. Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= -\sqrt{3} \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= -\sqrt{3} \\ \tan x &= -\sqrt{3} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i intervallet Fra enhetssirkelen kjenner vi \( {\sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) og \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Det gir: \[ \tan \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{\cos \dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Tangens skifter fortegn når vinkelen gjør det. Vi finner vinkelen baklengs med \( \arctan\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sqrt{3} \\ \arctan(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg hver \( \pi\text{,} \) så alle løsningene er: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} + \textcolor{blue}{k} \cdot \pi \]

Vi setter inn hele tall for \( \textcolor{blue}{k} \) og beholder det som ligger i \( [0, 2\pi\rangle\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k = 1} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{k = 2} &: \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3} \end{aligned} \]

\( {\textcolor{blue}{k = 0}} \) gir en negativ vinkel, og \( {\textcolor{blue}{k = 3}} \) gir en vinkel større enn \( 2\pi\text{.} \)

Begge leddene har faktoren \( e^x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og bruker \( \ln \) på det som står igjen.

1. Faktoriser ut en felles faktor Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ e^{4x} = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^{3x} \]

Setter vi \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) utenfor, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{e^x}\left(3e^{3x} - 2\right) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må parentesen være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3e^{3x} - 2 &= 0 \\ e^{3x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regnereglene for naturlige logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln\left(e^{u}\right) = u \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 3x &= \ln\dfrac{2}{3} \\ x &= \dfrac{1}{3}\ln\dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Venstresiden er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det og bruker et fortegnsskjema.

1. Finn nullpunktene abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-35} \]

Plugger vi dette inn under rottegnet, får vi: \[ (\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-35}) = 144 \]

Hele formelen gir da: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 12}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -5 \quad \text{eller} \quad x = 7 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 35 = (\textcolor{darkorange}{x + 5})(\textcolor{magenta}{x - 7}) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-5, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 5}", "expr": "x + 5"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "(x + 5)(x - 7)", "expr": "(x + 5)(x - 7)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom \( {-5} \) og \( 7\text{,} \) og \( 0 \) i endepunktene. Ulikheten har \( {\leq}\text{,} \) så endepunktene er med.

Vi ser en funksjon inni en annen: \( x^2 \) står inni cosinus. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(h(\textcolor{green}{u})\right)' = h'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Vi bruker også at \( {(\cos u)' = -\sin u}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} h(\textcolor{green}{u}) &= 2\cos \textcolor{green}{u} & h'(\textcolor{green}{u}) &= -2\sin \textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -2\sin(\textcolor{green}{x^2}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= -4x\sin(x^2) \end{aligned} \]

Funksjonen har to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, det første med potensregelen og det andre med produktregelen.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^{\tfrac{3}{2}} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}} \]

2. Deriver det andre leddet Det andre leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Kjernen i \( {e^{-x}} \) er \( {-x}\text{,} \) så \( {(e^{-x})' = -e^{-x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^{-x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-2} \cdot \textcolor{blue}{e^{-x}} + (\textcolor{red}{-2x}) \cdot (\textcolor{blue}{-e^{-x}}) \\ &= \underline{-2e^{-x} + 2xe^{-x}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x} + 2e^{-x}(x - 1) \end{aligned} \]

Vi setter konstanten \( {-\dfrac{1}{2}} \) utenfor integralet og bruker regelen for å integrere sinus.

1. Integrer sinus Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}} \) utenfor og får: \[ \begin{aligned} &\int \left(-\dfrac{\sin x}{2}\right) dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}} \int \sin x \, dx \\ &= \textcolor{darkorange}{-\dfrac{1}{2}}(-\cos x) + C \\ &= \dfrac{1}{2}\cos x + C \end{aligned} \]

Telleren er nesten den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u Substitusjon forteller oss at: \[ \int h(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \, dx = \int h(\textcolor{green}{u}) \, d\textcolor{green}{u} \]

Ved et bestemt integral bytter vi også grensene til \( {\textcolor{green}{u}\text{-verdier.}} \) Vi velger nevneren som \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, slik vi velger \( u \) i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - x + 2} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{2x - 1} \end{aligned} \]

Det gir \( {du = (2x - 1)\,dx}\text{,} \) og telleren er det dobbelte: \[ (4x - 2)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}(2x - 1)\,dx = \textcolor{darkorange}{2}\,du \]

Vi bytter også grensene: \[ \begin{aligned} x = 0 &: \ \textcolor{green}{u} = 0 - 0 + 2 = 2 \\ x = 2 &: \ \textcolor{green}{u} = 4 - 2 + 2 = 4 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( \textcolor{green}{u} \) positiv mellom grensene, så vi trenger ikke absoluttverdien.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_2^4 \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{\textcolor{green}{u}} \, du &= \textcolor{darkorange}{2}\left[\ln \textcolor{green}{u}\right]_2^4 \\ &= 2(\ln 4 - \ln 2) \end{aligned} \]

Vi bruker regelen for differansen av to logaritmer, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln\dfrac{4}{2} = 2\ln 2 \]

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]