Forkurseksamen etter tema

Kvotienten er et ledd delt på leddet foran. Så bruker vi formelen for summen av en konvergent geometrisk rekke.

1. Finn kvotienten Kvotienten i en geometrisk rekke er: \[ k = \dfrac{\textcolor{red}{a_{n + 1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \]Hvis du er usikker på kvotienten, kan du se videoen Geometriske rekker intro.

Vi deler andre ledd på første, og tredje på andre: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 + x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}} \\ &= (1 + x) \cdot \dfrac{1 - x}{1 + x} = 1 - x \\ k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 - x^2}}{\textcolor{blue}{1 + x}} \\ &= \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{1 + x} = 1 - x \end{aligned} \]Vi får den samme kvotienten, så rekka er geometrisk.

2. Finn summen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ s = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Den kommer fram i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}, \qquad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}}{1 - (\textcolor{green}{1 - x})} = \dfrac{\dfrac{1 + x}{1 - x}}{x} \\ &= \dfrac{1 + x}{x(1 - x)} = \dfrac{1 + x}{x - x^2} \end{aligned} \]

I a) fant vi kvotienten \( {k = 1 - x}\text{.} \)

En geometrisk rekke konvergerer når \( {|k| < 1}\text{.} \) I tillegg må alle leddene være definert.

1. Bruk konvergenskravet Kravet forteller oss at: \[ |\textcolor{green}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på kravet, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x}} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{green}{1 - x} &< 1 \\ -2 < -x &< 0 \\ 0 < x &< 2 \end{aligned} \]

2. Sjekk at leddene er definert Første ledd har nevneren \( {1 - x}\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x \neq 1 \]

Merk – Spesialtilfelle: For \( {x = -1} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så den spesielle rekka konvergerer også, selv om den ikke har noen kvotient.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( s(x) \) står i oppgaveteksten i a). Vi bruker også konvergensområdet fra b).

Vi setter uttrykket for summen lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{,} \) løser likningen og sjekker hvilke løsninger som ligger der rekka konvergerer.

1. Sett opp likningen Vi setter summen fra a) lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{1 + x}{x - x^2} = -\dfrac{10}{3} \]

Vi kryssmultipliserer og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} 3(1 + x) &= -10(x - x^2) \\ 3 + 3x &= -10x + 10x^2 \\ 0 &= \textcolor{blue}{10}x^2 \textcolor{red}{{}- 13}x \textcolor{green}{{}- 3} \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{10}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-13}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{13 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-13})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{10} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{10}} \\ &= \dfrac{13 \pm \sqrt{289}}{20} = \dfrac{13 \pm 17}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = \dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = -\dfrac{1}{5} \]

3. Sjekk konvergensområdet Fra b) konvergerer rekka for \( {0 < x < 1} \) og \( {1 < x < 2}\text{.} \) Vi sjekker begge løsningene: \[ \begin{aligned} x_1 = \dfrac{3}{2}\text{:} \ \ &1 < \dfrac{3}{2} < 2, \text{ gyldig} \\ x_2 = -\dfrac{1}{5}\text{:} \ \ &k = \dfrac{6}{5} > 1, \text{ ikke gyldig} \end{aligned} \]

Vi ser at hver dag er \( 0{,}01 \) km kortere enn dagen før. Det er en aritmetisk rekke, så vi bruker sumformelen.

1. Finn det n-te leddet I en aritmetisk rekke legger vi til det samme tallet \( \textcolor{red}{d} \) hver gang. Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a_n} = a_1 + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}01} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 - 0{,}01(n - 1)} \]

2. Bruk sumformelen Sumformelen forteller oss at: \[ s_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{a_n}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} s_n &= \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 - 0{,}01(n - 1)}) \cdot n}{2} \\ &= \dfrac{2a_1 n - 0{,}01(n - 1)n}{2} \\ &= a_1 n - 0{,}005(n^2 - n) \end{aligned} \]

3. Skriv om til formen i oppgaven Siden \( {0{,}005 = \dfrac{1}{200}}\text{,} \) får vi: \[ s_n = a_1 n - \dfrac{n^2 - n}{200} \]

Formelen for \( s_n \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Etter \( 365 \) dager skal summen være \( 1748 \) km. Vi setter dette inn i formelen fra a) og løser for \( a_1\text{.} \)

1. Sett inn i formelen Formelen fra a) er: \[ s_n = a_1 n - \dfrac{n^2 - n}{200} \]Sumformelen bak den står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{365}, \quad \textcolor{red}{s_n} = \textcolor{red}{1748} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{1748} = a_1 \cdot \textcolor{blue}{365} - \dfrac{\textcolor{blue}{365}^2 - \textcolor{blue}{365}}{200} \]

2. Løs for den første dagen Brøken regner vi ut først: \[ \dfrac{365^2 - 365}{200} = \dfrac{132\,860}{200} = 664{,}3 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 1748 &= 365a_1 - 664{,}3 \\ 365a_1 &= 2412{,}3 \\ a_1 &\approx 6{,}61 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{(x + 1)^2}{4} \cdot \dfrac{2}{x + 1} = \textcolor{red}{\dfrac{x + 1}{2}} \]

2. Bruk konvergenskriteriet En uendelig geometrisk rekke konvergerer når: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{red}{\dfrac{x + 1}{2}} &< 1 \\ -2 < x + 1 &< 2 \\ -3 < x &< 1 \end{aligned} \]

Kvotienten kan ikke regnes ut for \( {x = -1}\text{,} \) der alle leddene er \( 0\text{.} \) Rekka har da summen \( 0\text{,} \) så den konvergerer også der, og \( {-1} \) ligger i intervallet.

Vi bruker fra a) at \( {k = \dfrac{x + 1}{2}} \) og at rekka konvergerer for \( {-3 < x < 1}\text{.} \)

\( {x = -2} \) ligger i intervallet fra a), så rekka har en sum. Vi finner første ledd og kvotienten, og setter dem inn i sumformelen.

1. Finn første ledd og kvotient Vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{-2 + 1}{2} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{-2 + 1}{2} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke med \( {|k| < 1} \) er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du vil se hvordan den brukes, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{-\dfrac{1}{2}}}{1 - \left(\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right)} = \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = -\dfrac{1}{3} \]

Vi legger til differansen for å finne leddene. Til summen trenger vi ledd nummer \( 72 \) først.

1. Finn de fem første leddene Vi starter på \( 5 \) og legger til \( 8 \) hver gang: \[ 5, \; 13, \; 21, \; 29, \; 37 \]

2. Finn ledd nummer 72 Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er: \[ \textcolor{red}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{green}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{8}, \quad n = 72 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a_{72}} = \textcolor{blue}{5} + 71 \cdot \textcolor{green}{8} = \textcolor{red}{573} \]

3. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Formelen står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} S_{72} &= \dfrac{72(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{573})}{2} \\ &= 36 \cdot 578 \\ &= 20\,808 \end{aligned} \]

Vi skriver summen som et uttrykk i \( n \) og setter det lik \( 5\,000\text{.} \) Så runder vi opp til neste hele tall.

1. Skriv summen med n Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{5 + (n - 1) \cdot 8 = 8n - 3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_n &= \dfrac{n(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{8n - 3})}{2} \\ &= \dfrac{n(8n + 2)}{2} \\ &= 4n^2 + n \end{aligned} \]

2. Finn hvor summen blir 5000 Vi setter summen lik \( 5\,000 \) og samler alt på én side: \[ 4n^2 + n - 5\,000 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ n = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er brukt til leddene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-5\,000} \]

Plugger vi dette inn og ser på den positive løsningen, får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} n &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} + \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5\,000})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-1 + \sqrt{80\,001}}{8} \\ &\approx 35{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn antall ledd og siste ledd Antall ledd er et helt tall, og summen vokser for hvert ledd, så vi må opp til \( {n = 36}\text{.} \) Vi sjekker de to nærmeste verdiene: \[ \begin{aligned} S_{35} &= 4 \cdot 35^2 + 35 = 4\,935 \\ S_{36} &= 4 \cdot 36^2 + 36 = 5\,220 \end{aligned} \]

Det siste leddet er da: \[ a_{36} = 8 \cdot 36 - 3 = 285 \]

Vi går gjennom linje 4 og 5, som er selve løkka. Linje 4 sier hvor mange ganger den kjører, og linje 5 hva som skjer hver gang.

1. Se hvor mange ganger den kjører Et program gjør én ting om gangen, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 lar \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) gå gjennom tallene i \( \texttt{range(1,31)}\text{.} \) Der er 1 med, mens 31 ikke er med, så: \[ \textcolor{blue}{n} = 1, 2, 3, \dots, 30 \]Det er \( 30 \) verdier, så løkka kjører \( 30 \) ganger.

2. Se hva linje 5 gjør I en geometrisk rekke er ledd nummer \( \textcolor{blue}{n} \) gitt ved: \[ \textcolor{red}{a_n} = a_1 \cdot k^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Det er nettopp det som står etter plusstegnet i linje 5, der to stjerner betyr «opphøyd i». Linja regner ut ledd nummer \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) og legger det til summen \( \texttt{s}\text{,} \) som starter på \( 0\text{.} \) Med \( {a_1 = 1} \) og \( {k = 1{,}2} \) blir summen til slutt: \[ s = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1{,}2} + \textcolor{red}{1{,}2^2} + \dots + \textcolor{red}{1{,}2^{29}} \]

I a) så vi at programmet legger sammen de \( 30 \) første leddene i den geometriske rekka.

Å legge sammen \( 30 \) ledd for hånd tar for lang tid, så vi bruker formelen for summen av en geometrisk rekke.

1. Skriv opp sumformelen Summen av de \( \textcolor{green}{n} \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}2}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30} \]

2. Regn ut summen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{\textcolor{green}{30}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}2}^{\textcolor{green}{30}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}2} - 1} \\ &\approx \dfrac{237{,}3763 - 1}{0{,}2} \\ &\approx 1181{,}9 \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{e^{-x}}{1} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

2. Bruk konvergenskravet Kravet for konvergens forteller oss at: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \]Se videoen Geometrisk rekke test hvis du er usikker.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ |\textcolor{blue}{e^{-x}}| < 1 \]

Siden \( {e^{-x}} \) alltid er positiv, trenger vi bare at den er mindre enn \( {1 = e^0}\text{.} \) Funksjonen \( e^u \) er voksende, så vi kan sammenligne eksponentene: \[ \begin{aligned} e^{-x} &< e^0 \\ -x &< 0 \\ x &> 0 \end{aligned} \]

Vi bruker kvotienten og konvergenskravet fra a).

Vi setter summen av den uendelige rekken lik \( 3 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Sett opp summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er, med kvotienten fra a): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

Plugger vi dette inn og setter summen lik \( 3\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1}}{1 - \textcolor{blue}{e^{-x}}} = 3 \]

2. Løs for x Ganger vi begge sider med nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} 1 &= 3 - 3e^{-x} \\ 3e^{-x} &= 2 \\ e^{-x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} -x &= \ln \dfrac{2}{3} \\ x &= -\ln \dfrac{2}{3} = \ln \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\dfrac{3}{2} > 1} \) er \( {x > 0}\text{,} \) så rekken konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \)

Summen av de tre første leddene minus summen av de to første leddene er akkurat det tredje leddet.

1. Skriv leddet som en differanse \( s_n \) er summen av de \( n \) første leddene, som i videoen Sum tegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= a_1 + a_2 + a_3 \\ \textcolor{blue}{s_2} &= a_1 + a_2 \end{aligned} \]

Trekker vi den ene fra den andre, står bare det tredje leddet igjen: \[ a_3 = \textcolor{red}{s_3} - \textcolor{blue}{s_2} \]

2. Regn ut summene Vi setter inn i \( {s_n = 3n^2 + 4n}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = \textcolor{red}{39} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = \textcolor{blue}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ a_3 = \textcolor{red}{39} - \textcolor{blue}{20} = 19 \]

Vi kjenner summen av de 10 første og av de 20 første leddene. Sumformelen gir da to likninger med de to ukjente \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp formlene Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Det siste leddet finner vi med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet, som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 + (n - 1)d} \]

Her er summen av de 20 første leddene de to summene lagt sammen: \[ \begin{aligned} S_{10} &= 400 \\ S_{20} &= 400 + 1000 = 1400 \end{aligned} \]

2. Sett opp to likninger Plugger vi dette inn med \( {n = 10} \) og \( {n = 20}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 9d}) \cdot 10}{2} &= 400 \\ 10a_1 + 45d &= 400 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 19d}) \cdot 20}{2} &= 1400 \\ 20a_1 + 190d &= 1400 \end{aligned} \]

3. Løs likningssettet Vi ganger den første likningen med \( 2 \) og trekker den fra den andre, som med addisjonsmetoden i videoen Likningssett: \[ \begin{aligned} 20a_1 + 190d &= 1400 \\ 20a_1 + 90d &= 800 \\ 100d &= 600 \\ d &= 6 \end{aligned} \]

Setter vi \( {d = 6} \) inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 10a_1 + 45 \cdot 6 &= 400 \\ 10a_1 &= 130 \\ a_1 &= 13 \end{aligned} \]

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( n \)-te leddet. Trekker vi dem fra hverandre, forsvinner \( a_1\text{.} \)

1. Finn differansen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den øverste fra den nederste, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Vi setter \( \textcolor{red}{d} \) inn i den øverste likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{7}{3} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ s_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad n = 40 \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \dfrac{1}{3} + 39 \cdot \dfrac{1}{3} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s_{40} &= \dfrac{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right) \cdot 40}{2} \\ &= \dfrac{41}{3} \cdot 20 = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten er mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

Det neste leddet stemmer, og \( {x \neq 0} \) siden vi deler på \( x^2\text{:} \) \[ (x^2 - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \]

2. Sett opp konvergenskravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \quad \iff \quad -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten som to ledd og setter den inn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} &= \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \\ -1 &< \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} < 1 \end{aligned} \]

3. Løs de to ulikhetene Høyre side holder alltid, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \quad \iff \quad \dfrac{1}{x^2} > 0 \]

Venstre side gir oss kravet. Vi ganger med \( x^2\text{,} \) som er positiv, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{1}{x^2} \\ \dfrac{1}{x^2} &< 2 \\ 1 &< 2x^2 \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Roten av \( \dfrac{1}{2} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så det gir oss: \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter opp summen av den uendelige rekka, setter den lik \( 4 \) og sjekker at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er, med kvotienten fra b): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

2. Finn summen Vi regner først ut nevneren: \[ 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \]

3. Sett summen lik fire Det gir oss likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

Her kan \( x^2 \) ikke være \( {-2}\text{,} \) siden et kvadrat aldri er negativt. Begge svarene ligger i konvergensintervallet fra b), siden \( {\sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \)

Fra ledd nummer \( 8 \) til ledd nummer \( 27 \) legger vi til \( d \) nitten ganger. Det gir \( d\text{,} \) og deretter \( a_1 \) og summen.

1. Finn differansen Formelen for ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1)\textcolor{blue}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Vi skriver opp de to leddene vi kjenner: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7\textcolor{blue}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} + 26\textcolor{blue}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{blue}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{blue}{d} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Setter vi dette inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{red}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {n = 40}\text{,} \) og det siste leddet er: \[ \textcolor{green}{a_{40}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den doble ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}}, \quad x \neq 0 \]

2. Sett opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten om: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2} \]

3. Løs de to ulikhetene \( {\textcolor{blue}{k} < 1} \) er alltid oppfylt, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \]

\( {\textcolor{blue}{k} > -1} \) gir oss, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - \dfrac{1}{x^2} &> -1 \\ 2 &> \dfrac{1}{x^2} \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss, med \( {\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter inn i sumformelen for en konvergent geometrisk rekke, forenkler og setter summen lik \( 4\text{.} \) Så sjekker vi at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent geometrisk rekke forteller oss at: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{1 - \left(\textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}}\right)} \\ &= \dfrac{x^2}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \end{aligned} \]

2. Sett summen lik 4 Vi løser likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

\( {x^2 = -2} \) har ingen løsning, så den er ikke med.

3. Sjekk konvergensintervallet I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {|x| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og det holder her: \[ \sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Begge løsningene er altså med.