Forkurs matematikk ordinær eksamen 2022 – løsningsforslag

Først finner vi ut hvilken graf som er \( f \) og hvilken som er \( f'\text{.} \) Så leser vi av hvor grafene ligger over og under \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn grafen til hver funksjon Der \( f \) har et topp- eller bunnpunkt, er \( {\textcolor{red}{f'(x)} = 0}\text{.} \) Den stiplede grafen har toppunkt i \( {x = 1} \) og bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og det er akkurat der den heltrukne grafen er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{stiplet graf} &= f(x) \\ \text{heltrukken graf} &= \textcolor{red}{f'(x)} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinjen til f Vi setter opp en linje for hver funksjon, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den stiplede grafen er \( 0 \) i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 0}\text{,} \) og ellers over. I \( {x = 3} \) bare berører den aksen: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "f(x)", "expr": "x*(x - 3)^2"}]}

En strek viser hvor funksjonen er \( 0\text{.} \)

3. Tegn fortegnslinjen til den deriverte Den heltrukne grafen er \( 0 \) i \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) mellom dem og over ellers: :::fortegnsskjema {"points": [1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "3*(x - 1)*(x - 3)"}]}

4. Tegn fortegnslinjen til den dobbeltderiverte \( f''(x) \) er den deriverte av \( \textcolor{red}{f'(x)}\text{,} \) så den sier om den heltrukne grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den grafen har bunnpunkt i \( {x = 2}\text{:} \) den synker før og stiger etter. Det gir: :::fortegnsskjema {"points": [2], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "6*x - 12"}]}

Vi bruker at den stiplede grafen er \( f\text{,} \) fra a).

Vi kan lese av nullpunktene til \( f \) på grafen. Vi skriver derfor funksjonen på faktorisert form, og bruker et punkt til å finne tallet foran.

1. Skriv opp faktorisert form En tredjegradsfunksjon kan skrives med nullpunktene sine, som i videoen Nullpunktssetningen: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_1})(x - \textcolor{red}{x_2})(x - \textcolor{red}{x_3}) \]

Her er: \[ \textcolor{red}{x_1} = \textcolor{red}{0}, \quad \textcolor{red}{x_2} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{red}{x_3} = \textcolor{red}{3} \]

Nullpunktet \( {x = 3} \) telles to ganger, siden grafen bare berører \( {x\text{-aksen}} \) der. Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x \cdot (x - 3)^2 \]

2. Finn tallet foran Toppunktet \( (1, 4) \) ligger på grafen, så \( {f(1) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot 1 \cdot (1 - 3)^2 &= 4 \\ 4\textcolor{blue}{a} &= 4 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

3. Gang ut Ganger vi ut, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= x(x - 3)^2 \\ &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x \end{aligned} \]

Kontroll: Da er \( {f'(x) = 3x^2 - 12x + 9}\text{,} \) og \( {f'(2) = -3}\text{,} \) som bunnpunktet til den heltrukne grafen.

En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke startpunktet fra sluttpunktet, koordinat for koordinat. Det siste uttrykket regner vi også koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene fra A Vektoren fra \( A \) til \( B \) er gitt ved, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{2 - 1},\ \textcolor{red}{1 - 2},\ \textcolor{green}{0 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{4 - 1},\ \textcolor{red}{3 - 2},\ \textcolor{green}{6 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Vektoren \( \overrightarrow{CA} \) går motsatt vei av \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \]

Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} 3\overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-3}] \\ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} &= \left[\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}}\right] \end{aligned} \]

Så trekker vi vektorene fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\left[\textcolor{blue}{3 + \dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-3 + \dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-3 + \dfrac{5}{2}}\right] \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{9}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}}\right] \end{aligned} \]

Vinkel \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Vi bruker derfor skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot \cos C \]Hvis du er usikker på skalarproduktet, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{2 - 4},\ \textcolor{red}{1 - 3},\ \textcolor{green}{0 - 6}] \\ &= [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{-6}] \end{aligned} \]

2. Regn ut produktet og lengdene Skalarproduktet ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \\ &= \textcolor{blue}{(-3)(-2)} + \textcolor{red}{(-1)(-2)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(-5)(-6)} \\ &= \textcolor{blue}{6} + \textcolor{red}{2} + \textcolor{green}{30} = 38 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{4 + 4 + 36} = 2\sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos C &= \dfrac{38}{\sqrt{35} \cdot 2\sqrt{11}} \\ &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]

Vinkelen finner vi med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren: \[ C = \cos^{-1}\left(\dfrac{19}{\sqrt{385}}\right) \approx 14{,}5^\circ \]

Vi bruker sidene og \( \cos C \) fra b).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor arealsetningen, med \( \sin C \) regnet ut eksakt.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{\sin C} \]Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er, fra b): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= |\overrightarrow{CB}| = \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \\ \textcolor{red}{b} &= |\overrightarrow{CA}| = \textcolor{red}{\sqrt{35}} \\ \cos C &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]

2. Finn sinus til vinkelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \]

Siden \( C \) ligger mellom \( 0^\circ \) og \( 180^\circ\text{,} \) er \( \sin C \) positiv: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin C} &= \sqrt{1 - \dfrac{361}{385}} \\ &= \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Plugger vi dette inn, og bruker at \( {2\sqrt{11} \cdot \sqrt{35} = 2\sqrt{385}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{35}} \cdot \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \\ &= \sqrt{385} \cdot \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{385}} \\ &= \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

For å skrive opp planet trenger vi et punkt og en normalvektor. Normalvektoren får vi som vektorproduktet av to vektorer i planet.

1. Finn en normalvektor Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \times \vec{v} = [\,&u_2v_3 - u_3v_2, \\ &u_3v_1 - u_1v_3, \\ &u_1v_2 - u_2v_1\,] \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \vec{v} &= \overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{-1} \cdot \textcolor{green}{5} - (\textcolor{green}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1}, \\ &\quad\ \ \textcolor{green}{-1} \cdot \textcolor{blue}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{5}, \\ &\quad\ \ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{blue}{3}] \\ &= [-4,\ -8,\ 4] \end{aligned} \]

Vi kan dele en normalvektor på et tall, for den står fortsatt vinkelrett på planet. Deler vi på \( {-4}\text{,} \) får vi en enklere normalvektor: \[ \vec{n} = [1,\ 2,\ -1] \]

2. Sett opp planet Formelen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} {[a, b, c]} &= [1, 2, -1] \\ (x_0, y_0, z_0) &= (1, 2, 1) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 1(x - 1) + 2(y - 2) - (z - 1) &= 0 \\ x - 1 + 2y - 4 - z + 1 &= 0 \\ x + 2y - z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) gir \( {2 + 2 - 0 - 4 = 0} \) og \( C \) gir \( {4 + 6 - 6 - 4 = 0}\text{.} \)

Vi bruker \( {\overrightarrow{AB} = [1, -1, -1]} \) fra a).

Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) så vi setter det lik \( 0 \) og løser.

1. Skriv opp vektoren Vi kaller punktet \( D(0, 0, t)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= [\textcolor{blue}{0 - 1},\ \textcolor{red}{0 - 2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{(-1) \cdot 1} + \textcolor{red}{(-2)(-1)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(t - 1)(-1)} = 0 \\ &-1 + 2 - t + 1 = 0 \\ &2 - t = 0 \\ &t = 2 \end{aligned} \]

For å finne skjæringen med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) For å finne skjæringen med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ (1 - x) \cdot \textcolor{red}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må den andre faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - x &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = (1 - 0) \cdot \textcolor{red}{e^0} = 1 \]

Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til \( f'(x)\text{.} \)

1. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 - x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{(1 - x)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(-1 + 1 - x) \\ &= -x \cdot e^x \end{aligned} \]

2. Finn hvor den deriverte er null Når den deriverte er \( 0\text{,} \) kan vi ha et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( e^x \) aldri er \( 0\text{,} \) får vi: \[ -x \cdot e^x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

3. Sett opp en fortegnslinje Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-x}", "expr": "-x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "-x*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt der.

4. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f\text{:} \) \[ f(0) = (1 - 0) \cdot e^0 = 1 \]

Det er det eneste punktet der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så grafen har ingen bunnpunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Vendepunkter finner vi der \( {f''(x) = 0} \) og \( f''(x) \) skifter fortegn. Fortegnet sier også hvilken vei grafen krummer.

1. Deriver en gang til I b) fant vi: \[ f'(x) = -x \cdot e^x \]

Dette er også et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{(-x)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= -(1 + x) \cdot e^x \end{aligned} \]

2. Finn vendepunktet Vi setter \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( e^x \) aldri er \( 0\text{,} \) får vi: \[ -(1 + x) = 0 \Rightarrow x = -1 \]

Fortegnet til \( f''(x) \) får vi ved å gange fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [-1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-(1 + x)}", "expr": "-(1 + x)"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f''(x)", "expr": "-(1 + x)*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) skifter fortegn i \( {x = -1}\text{,} \) så vi har et vendepunkt der. Grafen krummer opp der \( {f''(x) > 0} \) og ned der \( {f''(x) < 0}\text{.} \)

Vi setter inn i \( f\text{:} \) \[ f(-1) = (1 - (-1)) \cdot e^{-1} = \dfrac{2}{e} \]

Vi bruker den deriverte fra b).

En tangent er bestemt av et punkt og et stigningstall. Stigningstallet er den deriverte i punktet.

1. Finn delene i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y - \textcolor{blue}{f(a)} = \textcolor{red}{f'(a)}(x - a) \]Hvis du er usikker på tangentformelen, kan du se videoen Tangentlinje.

I b) fant vi: \[ f'(x) = -x \cdot e^x \]

Her er \( {a = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(1)} &= (1 - 1) \cdot e^1 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f'(1)} &= -1 \cdot e^1 = \textcolor{red}{-e} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - \textcolor{blue}{0} &= \textcolor{red}{-e}(x - 1) \\ y &= -ex + e \end{aligned} \]

Vi skisserer trapeset. Da ser vi at diagonalen \( BD \) gir en rettvinklet trekant, der vi finner den øverste siden og høyden med sinus og cosinus.

1. Skisser trapeset Siden \( {\angle ABC = 90^\circ} \) og \( AD \) er parallell med \( BC\text{,} \) er også vinkelen i \( A \) rett. Parallelle sider gir at \( {\angle ADB = \angle DBC = \beta}\text{:} \)

2. Finn høyden og den øverste siden Trekant \( ABD \) er rettvinklet. Sinus og cosinus forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\text{hypotenus}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\text{hypotenus}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på sinus og cosinus, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er hypotenusen \( {BD = 2}\text{:} \) \[ \sin \beta = \dfrac{\textcolor{red}{h}}{2}, \quad \cos \beta = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{2} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h} \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{2\sin \beta}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2\cos \beta} \]

3. Regn ut arealet Formelen for arealet av et trapes forteller oss at: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + b) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på formelen for arealet av et trapes, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er \( {b = BC = 4}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A(\beta) &= \dfrac{(\textcolor{blue}{2\cos \beta} + 4) \cdot \textcolor{red}{2\sin \beta}}{2} \\ &= (2\cos \beta + 4)\sin \beta \\ &= 4\sin \beta + 2\sin \beta \cos \beta \end{aligned} \]

Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2\beta) = 2\sin \beta \cos \beta \]

Det gir oss: \[ A(\beta) = 4\sin(\beta) + \sin(2\beta) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(\beta) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(\beta) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Med formelen for dobbel vinkel blir dette en andregradslikning i \( \cos \beta\text{.} \)

1. Deriver arealet Vi deriverer med \( \beta \) i radianer og gjør om til grader til slutt. \( 4\sin \beta \) derivert blir \( \underline{4\cos \beta}\text{.} \)

For \( \sin(2\beta) \) bruker vi kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2\beta}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi \( \underline{2\cos(2\beta)}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ A'(\beta) = 4\cos \beta + 2\cos(2\beta) \]

2. Sett den deriverte lik null Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos(2\beta) = 2\cos^2 \beta - 1 \]

Setter vi inn og setter \( {A'(\beta) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4\cos \beta + 2(2\cos^2 \beta - 1) &= 0 \\ 2\cos^2 \beta + 2\cos \beta - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Vi setter \( {t = \cos \beta}\text{.} \) Da får likningen formen \( {\textcolor{blue}{a}t^2 + \textcolor{red}{b}t + \textcolor{green}{c} = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{2}t^2 + \textcolor{red}{2}t \textcolor{green}{- 1} = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

For \( \beta \in \langle 0^\circ, 90^\circ \rangle \) ligger \( \cos \beta \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så bare plusstegnet gir en løsning: \[ \begin{aligned} \cos \beta &= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ \beta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \approx 68{,}5^\circ \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er størst areal Vi setter inn en vinkel på hver side: \[ \begin{aligned} A'(60^\circ) &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 1 > 0 \\ A'(80^\circ) &\approx -1{,}18 < 0 \end{aligned} \]

\( A'(\beta) \) går fra pluss til minus, så arealet stiger og så synker. Dermed gir denne vinkelen størst areal.

Vi finner \( \cos x \) med enhetsformelen. Så bruker vi formlene for dobbel vinkel, og tangens er sinus delt på cosinus.

1. Finn cosinus Enhetsformelen forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 x} + \textcolor{blue}{\cos^2 x} = 1 \]

Vinkelen ligger i første kvadrant, så \( \textcolor{blue}{\cos x} \) er positiv. Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\cos x} &= \sqrt{1 - \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{24}{25}} = \textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \end{aligned} \]

2. Bruk formlene for dobbel vinkel Formlene for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin 2x &= 2\textcolor{red}{\sin x}\textcolor{blue}{\cos x} \\ \cos 2x &= 1 - 2\textcolor{red}{\sin^2 x} \end{aligned} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 2x &= 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{25} \\ \cos 2x &= 1 - 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{25}} = \dfrac{23}{25} \end{aligned} \]

3. Finn tangens Tangens er sinus delt på cosinus, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \tan 2x = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} = \dfrac{\dfrac{4\sqrt{6}}{25}}{\dfrac{23}{25}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{23} \]

Vi bruker \( {\cos x = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \) fra a).

Et punkt på enhetssirkelen har \( \cos \) som førstekoordinat og \( \sin \) som andrekoordinat. Hver av de nye vinklene er speilingen av vinkelen \( x\text{,} \) så vi leser av koordinatene.

1. Tegn enhetssirkelen Punktet for vinkelen \( x \) har koordinatene \( (\textcolor{blue}{\cos x}, \textcolor{red}{\sin x})\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B - Løs ulikheten: \[ (\textcolor{blue}{\cos x}, \textcolor{red}{\sin x}) = \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}}, \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}\right) \]

Vi tegner dette punktet og de tre andre vinklene:

2. Les av verdiene \( {\sin(-x)}\text{:} \) Vinkelen \( {-x} \) er speilet om \( {x\text{-aksen,}} \) så andrekoordinaten bytter fortegn: \[ \sin(-x) = -\textcolor{red}{\sin x} = -\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}} \]

\( {\cos(\pi - x)}\text{:} \) Vinkelen \( {\pi - x} \) er speilet om \( {y\text{-aksen,}} \) så førstekoordinaten bytter fortegn: \[ \cos(\pi - x) = -\textcolor{blue}{\cos x} = -\textcolor{blue}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}} \]

\( {\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)}\text{:} \) Vinkelen \( {\dfrac{\pi}{2} - x} \) er speilet om linjen \( {y = x}\text{,} \) så koordinatene bytter plass: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}} \]

Vi skal bruke derivasjon, så vi deriverer høyre side. Blir det \( f(x)\text{,} \) stemmer integralet.

1. Skriv om det første leddet Her står kvadratet inni logaritmen, \( {\ln\left((x + 3)^2\right)}\text{.} \) Siden \( {x + 3 > 0}\text{,} \) forteller logaritmeregelen for potenser oss at: \[ \ln(x + 3)^2 = 2\ln(x + 3) \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Deriver ledd for ledd Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 3}} \) i det første leddet og \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}} \) i det andre, med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}} \) i begge.

\( {2\ln(\textcolor{green}{x + 3})} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}}} \]

\( {-\ln(\textcolor{green}{x + 2})} \) derivert blir: \[ \underline{-\dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}}} \]

\( C \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

3. Sett på felles brøkstrek Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}} - \dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}} \\ &= \dfrac{2(x + 2) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} \\ &= \dfrac{x + 1}{x^2 + 5x + 6} = f(x) \end{aligned} \]

Den deriverte av høyre side er \( f(x)\text{,} \) så integralet stemmer.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: integralet står i oppgaveteksten til a).

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 2 \) er både teller og nevner positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor det bestemte integralet fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \)

1. Sett opp integralet Fra a) vet vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx = \ &\ln(x + 3)^2 \\ &- \ln(x + 2) + C \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} f(x)\,dx \\ &= \Big[\ln(x + 3)^2 - \ln(x + 2)\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (\textcolor{red}{\ln 25 - \ln 4}) - (\textcolor{blue}{\ln 9 - \ln 2}) \end{aligned} \]

2. Slå sammen logaritmene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln a + \ln b &= \ln(ab) \\ \ln a - \ln b &= \ln \dfrac{a}{b} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmereglene, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Bruker vi dem, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln 25} + \textcolor{blue}{\ln 2} \textcolor{red}{- \ln 4} \textcolor{blue}{- \ln 9} \\ &= \ln \dfrac{\textcolor{red}{25} \cdot \textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{9}} \\ &= \ln \dfrac{25}{18} \end{aligned} \]

Vi ser etter vertikale asymptoter der nevneren er \( 0\text{,} \) og horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer nevneren: \[ \textcolor{blue}{x^2 + 5x + 6} = \textcolor{blue}{(x + 2)(x + 3)} \]

Den er \( 0 \) for \( {x = -2} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Begge ligger utenfor definisjonsmengden \( [0, \to\rangle\text{,} \) så \( f \) har ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i \( \textcolor{red}{\text{telleren}} \) og \( \textcolor{blue}{\text{nevneren}} \) hver for seg. Begge vokser over alle grenser, så vi deler teller og nevner på den høyeste potensen, \( x^2\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\textcolor{blue}{1 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^2}}} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{0 + 0}}{\textcolor{blue}{1 + 0 + 0}} = 0 \end{aligned} \]

Grafen nærmer seg derfor linjen \( {y = 0}\text{.} \)

Vi regner først ut hvor mange det er i hver gruppe. Så tegner vi treet med kjønn først og matpakke etterpå, og venndiagrammet med en sirkel for jentene og en for dem med matpakke.

1. Tell opp hver gruppe Først finner vi guttene, og så hvor mange i hver gruppe som har matpakke: \[ \begin{aligned} \text{Gutter:} \quad & 28 - 7 = 21 \\ \text{Jenter med:} \quad & \textcolor{blue}{2} \\ \text{Jenter uten:} \quad & 7 - 2 = \textcolor{red}{5} \\ \text{Gutter med:} \quad & \dfrac{1}{3} \cdot 21 = \textcolor{green}{7} \\ \text{Gutter uten:} \quad & 21 - 7 = \textcolor{darkorange}{14} \end{aligned} \]

2. Tegn valgtreet Første gren går til jenter eller gutter. På grenene videre står sannsynligheten for matpakke når vi vet kjønnet. Det er en betinget sannsynlighet, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1:

3. Tegn venndiagrammet I overlappet står jentene med matpakke. Utenfor begge sirklene står guttene uten matpakke. Totalt er det: \[ \textcolor{red}{5} + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{green}{7} + \textcolor{darkorange}{14} = 28 \]

Vi bruker tallene fra a).

Alle elevene er like sannsynlige, så vi deler antall gunstige på antall mulige.

1. Del gunstige på mulige Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]

Her er det \( \textcolor{red}{2} \) jenter med matpakke blant \( \textcolor{blue}{28} \) elever. Det gir oss: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{28}} = \dfrac{1}{14} \]

Vi bruker tallene fra a).

Vi teller alle med matpakke, både jenter og gutter, og deler på antall elever.

1. Tell alle med matpakke Det er \( 2 \) jenter og \( 7 \) gutter med matpakke: \[ \textcolor{red}{2 + 7 = 9} \]

Vi deler antall gunstige på antall mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{blue}{28}} \]

Vi bruker tallene fra a).

Vi vet at eleven har matpakke. Da er det bare elevene med matpakke som er mulige, så dette er en betinget sannsynlighet.

1. Del på dem med matpakke Betinget sannsynlighet forteller oss at: \[ P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{\textcolor{red}{\text{gunstige}}}{\textcolor{blue}{\text{mulige}}} \]Hvis du er usikker på betinget sannsynlighet, kan du se videoen Betinget sannsynlighet Del1.

Gunstige er guttene med matpakke, og mulige er alle med matpakke. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{gunstige}} &= \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{blue}{\text{mulige}} &= 2 + 7 = \textcolor{blue}{9} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{gutt} \mid \text{matpakke}) = \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{9}} \]

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Integralet av \( 2x\ln x \) tar vi med delvis integrasjon.

1. Separer likningen Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( y \) og \( x \) hver for seg, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x\ln x}{y} \\ y\,dy &= 2x\ln x\,dx \end{aligned} \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \int y\,dy = \int 2x\ln x\,dx \]

Venstre side blir: \[ \underline{\dfrac{1}{2}y^2} \]

2. Integrer høyre side Høyre side er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Den forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= \underline{x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K} \end{aligned} \]

3. Løs for y Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{1}{2}y^2 = x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K \]

Vi ganger med \( 2 \) og kaller konstanten \( 2K \) for \( C\text{:} \) \[ y^2 = 2x^2\ln x - x^2 + C \]

Siden \( {y > 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + C} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den generelle løsningen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter punktet inn i den generelle løsningen og løser for konstanten \( C\text{.} \)

1. Finn konstanten Vi setter inn \( {y = \textcolor{red}{2}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) i den generelle løsningen, som i videoen Differensialligning oppgave 3: \[ \textcolor{red}{2} = \sqrt{2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \ln \textcolor{blue}{1} - \textcolor{blue}{1}^2 + C} \]

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \) Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 4 &= -1 + C \\ C &= 5 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i den generelle løsningen, får vi: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + 5} \]