Hopp til hovedinnholdet

Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

arealsetningen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

11 oppgaver om arealsetningen · viser 1–10

Oppgavene

Ordinær eksamen 2026

Oppgave 6

2 poeng

Oppgave 6a)

Regn ut alle vinklene i trekanten ABC
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
∠A=40∘, ∠B=60∘, ∠C=80∘‾‾ \underline{\underline{\angle A = 40^\circ, \ \angle B = 60^\circ, \ \angle C = 80^\circ}}
I \( B \) ligger \( x \) og \( 2x \) langs en rett linje, så de er \( 180^\circ \) til sammen. Deretter bruker vi vinkelsummen i trekanten.
1. Finn x Vinklene langs en rett linje er \( 180^\circ \) til sammen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} + 2\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]
2. Finn y Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} + 2\textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{60^\circ} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{red}{y} &= 120^\circ \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{red}{40^\circ} \end{aligned} \]
3. Sett opp vinklene Vinkelen i \( C \) er \( 2\textcolor{red}{y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle A &= \textcolor{red}{y} = 40^\circ \\ \angle B &= \textcolor{blue}{x} = 60^\circ \\ \angle C &= 2\textcolor{red}{y} = 80^\circ \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Regn ut siden AC og arealet av trekanten ABC
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Avrundet til to desimaler er:
AC≈1,76‾‾ \underline{\underline{AC \approx 1{,}76}}
Arealet≈1,13‾‾ \underline{\underline{\text{Arealet} \approx 1{,}13}}
Vi bruker vinklene fra a): \( {\angle A = 40^\circ}\text{,} \) \( {\angle B = 60^\circ} \) og \( {\angle C = 80^\circ}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi kjenner én side og alle vinklene, så vi finner \( AC \) med sinussetningen. Da kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så arealet finner vi med arealsetningen.
1. Finn siden AC Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{\sin \textcolor{red}{C}} \]Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.
Side \( AC \) står rett overfor \( B\text{,} \) og side \( AB \) står rett overfor \( C\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{AC} & \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \\ \textcolor{red}{c} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{C} &= \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} \\ AC &= \dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \\ AC &\approx 1{,}76 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.
2. Finn arealet Arealsetningen forteller oss at, med nye farger: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Her er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{,} \) som i videoen Arealsetningen.
Vinkelen mellom \( AB \) og \( AC \) er vinkelen i \( A\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{40^\circ} \]
Plugger vi dette inn, med den uavrundede \( AC\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &\approx 1{,}13 \end{aligned} \]

Konteeksamen 2025

Oppgave 5

3 poeng

Gitt en trekant ABC ABC der ∠A=30∘, {\angle A = 30^\circ}\text{,} ∠B=90∘ {\angle B = 90^\circ} og siden AB=3,0. {AB = 3{,}0}\text{.}

Oppgave 5a)

Finn lengden av AC. AC\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Med to desimaler er:
AC=23≈3,46‾‾ \underline{\underline{AC = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46}}
Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( AC \) er hypotenusen og \( AB \) er hosliggende katet til vinkelen i \( A\text{.} \) Vi bruker derfor cosinus.
1. Bruk cosinus I en rettvinklet trekant forteller definisjonen av cosinus oss at: \[ \cos \theta = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Her er: \[ \begin{aligned} \theta &= 30^\circ \\ \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og bruker \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]
Trekanten utvides med et punkt D D slik at vi får en firkant ABCD. ABCD\text{.} I denne firkanten er ∠DAB=70∘ {\angle DAB = 70^\circ} og ∠BCD=140∘. {\angle BCD = 140^\circ}\text{.}

Oppgave 5b)

Finn ∠CDA \angle CDA og lengden AD. AD\text{.}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Med to desimaler er:
∠CDA=60∘‾‾AD=4sin⁡80∘≈3,94‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\angle CDA = 60^\circ}} \\ &\underline{\underline{AD = 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94}} \end{aligned}
Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).
Vinkelsummen i firkanten gir \( \angle CDA\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) bruker vi sinussetningen.
1. Finn vinkelen i D Diagonalen deler firkanten i to trekanter, så vinkelsummen er \( {2 \cdot 180^\circ = 360^\circ}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CDA &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]
2. Finn vinklene i trekant ACD I trekant \( ABC \) er den siste vinkelen: \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]
Da blir vinklene ved diagonalen i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CAD &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \angle ACD &= 140^\circ - 60^\circ = 80^\circ \end{aligned} \]
3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side \( s \) delt på sinus til vinkelen \( v \) den står mot, er det samme for alle sidene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{s_1}}{\sin \textcolor{red}{v_1}} = \dfrac{\textcolor{blue}{s_2}}{\sin \textcolor{blue}{v_2}} \]Hvis du er usikker på sinussetningen, kan du se videoen Sinussetningen.
I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot vinkelen i \( C\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen i \( D\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_1} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{v_1} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{v_2} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og bruker \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{AD}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} = 4 \\ \textcolor{red}{AD} &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Oppgave 5c)

Finn firkantens areal.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Arealet av firkanten er, med to desimaler:
T≈6,98‾‾ \underline{\underline{T \approx 6{,}98}}
Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle CAD = 40^\circ} \) fra b).
Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger dem sammen.
1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]der \( \textcolor{green}{\theta} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
2. Finn arealet av trekant ABC Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{30^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ T_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \]
3. Finn arealet av trekant ACD Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{40^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]
4. Legg sammen Slår vi dette sammen, og runder av først til slutt, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 2{,}598 + 4{,}386 \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

Konteeksamen 2024

Oppgave 5

2 poeng

I en trekant ABC ABC er BC=2AB {BC = 2AB} og vinkel B B er 150∘. 150^\circ\text{.} Arealet av trekanten er lik 8. 8\text{.}

Oppgave 5a)

Finn lengdene av sidene i trekanten.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Sidene er, med AC AC også avrundet til én desimal:
AB=4‾‾ \underline{\underline{AB = 4}}
BC=8‾‾ \underline{\underline{BC = 8}}
AC=45+23≈11,6‾‾ \underline{\underline{AC = 4\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \approx 11{,}6}}
Vi kjenner arealet og vinkelen mellom \( AB \) og \( BC\text{,} \) så arealsetningen gir oss de to sidene. Den siste siden finner vi med cosinussetningen.
1. Finn AB og BC med arealsetningen Vi kaller \( {AB = x}\text{,} \) så er \( {BC = 2x}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} A &= 8 & \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{150^\circ} \end{aligned} \]
Vi trenger også sinus til vinkelen: \[ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x} \cdot \dfrac{1}{2} \\ 8 &= \dfrac{x^2}{2} \\ x^2 &= 16 \end{aligned} \]
En lengde er positiv, så \( {x = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ AB = 4, \quad BC = 2 \cdot 4 = 8 \]
2. Finn AC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden overfor vinkel \( B \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]Du finner den i videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]
Cosinus til vinkelen er: \[ \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{4}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 + 64 + 32\sqrt{3} \\ &= 80 + 32\sqrt{3} \end{aligned} \]
Tar vi kvadratroten og setter \( 16 \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} AC &= \sqrt{80 + 32\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{16 \cdot (5 + 2\sqrt{3})} \\ &= 4\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \\ &\approx 11{,}6 \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Vi kaller midtpunktet på siden AB AB for M. M\text{.} Finn vinkel BMC. BMC\text{.}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Vinkel BMC BMC er, avrundet til én desimal:
24,1∘‾‾ \underline{\underline{24{,}1^\circ}}
Vi bruker sidene \( {AB = 4} \) og \( {BC = 8} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi ser på trekanten \( BMC\text{,} \) der vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Cosinussetningen gir siden \( MC\text{,} \) og da gir sinussetningen vinkelen.
1. Finn siden MC
I a) fant vi \( {AB = 4}\text{,} \) så \( {BM = 2}\text{.} \) Cosinussetningen, som i videoen Cosinussetningen, forteller oss at i trekanten \( BMC \) er: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{BM}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{BM} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]
Her er: \[ \textcolor{red}{BM} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]
Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos(150^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 68 + 16\sqrt{3} \end{aligned} \]
Så lengden er: \[ \textcolor{magenta}{MC} = \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \]
2. Finn vinkelen med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\sin(\textcolor{blue}{M})}{\textcolor{blue}{BC}} = \dfrac{\sin(\textcolor{green}{B})}{\textcolor{magenta}{MC}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{8} \\ \textcolor{green}{B} &= \textcolor{green}{150^\circ} \\ \textcolor{magenta}{MC} &= \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og bruker \( {\sin(150^\circ) = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin(\textcolor{blue}{M}) &= \dfrac{\textcolor{blue}{8} \cdot \sin(\textcolor{green}{150^\circ})}{\textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \approx 0{,}409 \end{aligned} \]
3. Velg riktig vinkel Sinus gir to mulige vinkler, men vinkel \( B \) er \( 150^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene i trekanten har til sammen bare \( 30^\circ\text{.} \) Vinkelen må derfor være spiss: \[ \begin{aligned} \angle BMC &= \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}\right) \\ &\approx 24{,}1^\circ \end{aligned} \]

Konteeksamen 2023

Oppgave 5

3 poeng

Gitt firkanten ABCD ABCD vist i figuren.

Oppgave 5a)

Vis at BD=73. {BD = 7\sqrt{3}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
BD=73‾‾ \underline{\underline{BD = 7\sqrt{3}}}
I trekant \( ABD \) kjenner vi to vinkler og siden \( AB\text{.} \) Da kan vi bruke sinussetningen.
1. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekant \( ABD \) forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} = \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} \]Hver side står over sinus til vinkelen rett overfor seg. Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{120^\circ}, & \sin \textcolor{blue}{120^\circ} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{30^\circ}, & \sin \textcolor{red}{30^\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{7} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{blue}{BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} &= \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\dfrac{1}{2}} = 14 \\ \textcolor{blue}{BD} &= 14 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} \]

Oppgave 5b)

Vis at omkretsen av ABCD ABCD er 14+143. {14 + 14\sqrt{3}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Omkretsen av firkanten er:
14+143‾‾ \underline{\underline{14 + 14\sqrt{3}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).
Omkretsen er summen av de fire sidene. Vi mangler \( AD \) og \( CD\text{,} \) og begge får vi fordi trekantene er spesielle.
1. Finn siden AD Vinkelsummen i trekant \( ABD \) gir vinkelen ved \( B\text{:} \) \[ \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]
Vinklene ved \( B \) og \( D \) er like, så trekanten er likebeint. Det betyr at sidene overfor dem er like lange, som i videoen Oppgave 3A (Trigonometri + Pytagoras): \[ \textcolor{blue}{AD} = AB = \textcolor{blue}{7} \]
2. Finn siden CD I trekant \( BCD \) er to av sidene like lange. \( BD \) har vi fra a), og \( BC \) fra figuren: \[ BD = BC = 7\sqrt{3} \]
Vinkelen mellom dem er \( 60^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene er også like store: \[ \begin{aligned} \angle BCD = \angle BDC &= \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]
Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet: \[ \textcolor{red}{CD} = BC = \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \]
3. Legg sammen sidene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O &= AB + BC + \textcolor{red}{CD} + \textcolor{blue}{AD} \\ &= 7 + 7\sqrt{3} + \textcolor{red}{7\sqrt{3}} + \textcolor{blue}{7} \\ &= 14 + 14\sqrt{3} \end{aligned} \]

Oppgave 5c)

Vis at arealet av ABCD ABCD er 493. 49\sqrt{3}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Arealet av firkanten er:
493‾‾ \underline{\underline{49\sqrt{3}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).
Diagonalen \( BD \) deler firkanten i to trekanter. I hver av dem kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.
1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]der \( \textcolor{green}{v} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{.} \) Se videoen Arealsetningen hvis du er usikker.
2. Regn ut trekantene I trekant \( ABD \) er vinkelen ved \( A \) mellom \( {AB = 7} \) og \( {AD = 7}\text{,} \) der \( {AD = AB} \) fordi vinklene ved \( B \) og \( D \) begge er \( 30^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{7} \cdot \sin \textcolor{green}{120^\circ} \\ &= \dfrac{49}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{49\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]
I trekant \( BCD \) er vinkelen ved \( B \) mellom \( {BC = 7\sqrt{3}} \) og \( {BD = 7\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= \dfrac{147}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]
3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABD} + T_{BCD} &= \dfrac{49\sqrt{3}}{4} + \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{196\sqrt{3}}{4} \\ &= 49\sqrt{3} \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2023

Oppgave 7

2 poeng

En sirkel har sentrum i S. S\text{.} AB AB er diameter, og C C ligger på sirkelen. Se figur. Arealet av ΔSBC \Delta SBC er 32. 3\sqrt{2}\text{.}

Oppgave 7a)

Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Radien er:
r=23‾‾ \underline{\underline{r = 2\sqrt{3}}}
Vi kjenner arealet av \( \Delta SBC \) og vinkelen mellom to sider som begge er radier. Da setter vi opp arealsetningen og løser for radien.
1. Sett opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.
Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SB \) og \( SC \) går fra sentrum ut til sirkelen, så begge er lik radien \( r\text{.} \) Arealet er \( {A = 3\sqrt{2}}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{45^\circ} \]
2. Løs for radien Vi bruker den eksakte verdien \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ 3\sqrt{2} &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} r^2 \\ r^2 &= 12 \end{aligned} \]
En radius er positiv, og vi forenkler roten med \( {12 = 4 \cdot 3}\text{:} \) \[ r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Oppgave 7b)

Bestem arealet av ΔABC. \Delta ABC\text{.} Bruk eksakte verdier.
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Arealet av ΔABC \Delta ABC er:
A=62‾‾ \underline{\underline{A = 6\sqrt{2}}}
Vi bruker radien fra a).
Linja \( SC \) deler \( \Delta ABC \) i to trekanter. Vi kjenner arealet av den ene, og finner arealet av den andre med arealsetningen.
1. Finn vinkelen ved S \( AB \) er en rett linje, så vinklene ved \( S \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ASC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]
2. Finn arealet av den andre trekanten Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.
Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SA \) og \( SC \) er også radier. I a) fant vi \( {r^2 = 12}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{135^\circ} \]
Vi bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{:} \) \[ \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ASC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]
3. Legg sammen arealene Slår vi de to trekantene sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ABC} &= A_{SBC} + A_{ASC} \\ &= 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{aligned} \]

Konteeksamen 2022

Oppgave 3

1 poeng

I trekanten ABC er ∠A=40∘, {\angle A = 40^\circ}\text{,} AB=6 {AB = 6} og AC=4. {AC = 4}\text{.} Regn ut arealet til trekanten, lengden av siden BC og ∠C. \angle C\text{.}
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Avrundet til to desimaler for arealet og siden, og én for vinkelen:
Arealet≈7,71‾‾ \underline{\underline{\text{Arealet} \approx 7{,}71}}
BC≈3,90‾‾ \underline{\underline{BC \approx 3{,}90}}
∠C≈98,8∘‾‾ \underline{\underline{\angle C \approx 98{,}8^\circ}}
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da gir arealsetningen arealet og cosinussetningen siden BC. Vinkel \( C \) finner vi med cosinussetningen igjen.
1. Regn ut arealet Vi kaller siden BC for \( a\text{,} \) siden AC for \( \textcolor{blue}{b} \) og siden AB for \( \textcolor{red}{c}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin(\textcolor{green}{A}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \sin(\textcolor{green}{40^\circ}) \\ &= 12\sin(40^\circ) \\ &\approx 7{,}71 \end{aligned} \]
2. Regn ut lengden av siden Cosinussetningen forteller oss at: \[ a^2 = \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{red}{c}^2 - 2\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{c} \cdot \cos(\textcolor{green}{A}) \]Det er setningen i videoen Cosinussetningen.
Plugger vi inn de samme verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a^2 &= \textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{red}{6}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos(\textcolor{green}{40^\circ}) \\ &= 52 - 48\cos(40^\circ) \\ &\approx 15{,}23 \end{aligned} \]
En lengde er positiv, så: \[ a = \sqrt{52 - 48\cos(40^\circ)} \approx 3{,}90 \]
3. Regn ut vinkelen Vi skriver cosinussetningen med siden motsatt vinkel \( C \) alene på venstre side, som i videoen Cosinussetningen: \[ \textcolor{red}{c}^2 = a^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2a\textcolor{blue}{b} \cdot \cos(C) \]
Løser vi for \( \cos(C)\text{,} \) og setter inn de uavrundede verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(C) &= \dfrac{a^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - \textcolor{red}{c}^2}{2a\textcolor{blue}{b}} \\ &\approx \dfrac{15{,}23 + \textcolor{blue}{16} - \textcolor{red}{36}}{2 \cdot 3{,}90 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &\approx -0{,}153 \end{aligned} \]
Vi går baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. Cosinus er negativ, så vinkelen er stump: \[ C = \cos^{-1}(-0{,}153) \approx 98{,}8^\circ \]
Med sinussetningen måtte vi ha valgt mellom to vinkler, her gir cosinussetningen bare én.

Ordinær eksamen 2022

Oppgave 2

5 poeng

Gitt koordinatene til de tre hjørnene i en trekant ABC: ABC\text{:} A(1,2,1), A(1, 2, 1)\text{,} B(2,1,0) B(2, 1, 0) og C(4,3,6). C(4, 3, 6)\text{.}

Oppgave 2a)

Regn ut vektorene: AB→, \overrightarrow{AB}\text{,} AC→ \overrightarrow{AC} og 3AB→−12CA→. {3\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
AB→=[1,−1,−1]AC→=[3,1,5]3AB→−12CA→=[92,−52,−12]‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [1, -1, -1] \\ \overrightarrow{AC} &= [3, 1, 5] \\ 3\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} &= \left[\dfrac{9}{2}, -\dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right] \end{aligned}}}
En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke startpunktet fra sluttpunktet, koordinat for koordinat. Det siste uttrykket regner vi også koordinat for koordinat.
1. Finn vektorene fra A Vektoren fra \( A \) til \( B \) er gitt ved, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]
Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{2 - 1},\ \textcolor{red}{1 - 2},\ \textcolor{green}{0 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{4 - 1},\ \textcolor{red}{3 - 2},\ \textcolor{green}{6 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]
2. Regn ut uttrykket Vektoren \( \overrightarrow{CA} \) går motsatt vei av \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \]
Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} 3\overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-3}] \\ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} &= \left[\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}}\right] \end{aligned} \]
Så trekker vi vektorene fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\left[\textcolor{blue}{3 + \dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-3 + \dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-3 + \dfrac{5}{2}}\right] \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{9}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}}\right] \end{aligned} \]

Oppgave 2b)

Regn ut vinkel C C i trekanten.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til én desimal er:
∠C≈14,5∘‾‾ \underline{\underline{\angle C \approx 14{,}5^\circ}}
Vinkel \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Vi bruker derfor skalarproduktet.
1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot \cos C \]Hvis du er usikker på skalarproduktet, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Her er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{2 - 4},\ \textcolor{red}{1 - 3},\ \textcolor{green}{0 - 6}] \\ &= [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{-6}] \end{aligned} \]
2. Regn ut produktet og lengdene Skalarproduktet ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \\ &= \textcolor{blue}{(-3)(-2)} + \textcolor{red}{(-1)(-2)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(-5)(-6)} \\ &= \textcolor{blue}{6} + \textcolor{red}{2} + \textcolor{green}{30} = 38 \end{aligned} \]
Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{4 + 4 + 36} = 2\sqrt{11} \end{aligned} \]
3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos C &= \dfrac{38}{\sqrt{35} \cdot 2\sqrt{11}} \\ &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]
Vinkelen finner vi med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren: \[ C = \cos^{-1}\left(\dfrac{19}{\sqrt{385}}\right) \approx 14{,}5^\circ \]

Oppgave 2c)

Regn ut arealet av trekanten.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Arealet av trekanten er:
26‾‾ \underline{\underline{2\sqrt{6}}}
Vi bruker sidene og \( \cos C \) fra b).
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor arealsetningen, med \( \sin C \) regnet ut eksakt.
1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{\sin C} \]Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er, fra b): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= |\overrightarrow{CB}| = \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \\ \textcolor{red}{b} &= |\overrightarrow{CA}| = \textcolor{red}{\sqrt{35}} \\ \cos C &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]
2. Finn sinus til vinkelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \]
Siden \( C \) ligger mellom \( 0^\circ \) og \( 180^\circ\text{,} \) er \( \sin C \) positiv: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin C} &= \sqrt{1 - \dfrac{361}{385}} \\ &= \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \end{aligned} \]
3. Regn ut arealet Plugger vi dette inn, og bruker at \( {2\sqrt{11} \cdot \sqrt{35} = 2\sqrt{385}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{35}} \cdot \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \\ &= \sqrt{385} \cdot \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{385}} \\ &= \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{aligned} \]

Oppgave 2d)

Regn ut en likning for planet α \alpha gjennom punktene A, A\text{,} B B og C. C\text{.}
Vis løsning på oppgave 2d
Svar
α: x+2y−z−4=0‾‾ \underline{\underline{\alpha:\ x + 2y - z - 4 = 0}}
Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).
For å skrive opp planet trenger vi et punkt og en normalvektor. Normalvektoren får vi som vektorproduktet av to vektorer i planet.
1. Finn en normalvektor Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \times \vec{v} = [\,&u_2v_3 - u_3v_2, \\ &u_3v_1 - u_1v_3, \\ &u_1v_2 - u_2v_1\,] \end{aligned} \]
Her er: \[ \begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \vec{v} &= \overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{-1} \cdot \textcolor{green}{5} - (\textcolor{green}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1}, \\ &\quad\ \ \textcolor{green}{-1} \cdot \textcolor{blue}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{5}, \\ &\quad\ \ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{blue}{3}] \\ &= [-4,\ -8,\ 4] \end{aligned} \]
Vi kan dele en normalvektor på et tall, for den står fortsatt vinkelrett på planet. Deler vi på \( {-4}\text{,} \) får vi en enklere normalvektor: \[ \vec{n} = [1,\ 2,\ -1] \]
2. Sett opp planet Formelen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.
Her er: \[ \begin{aligned} {[a, b, c]} &= [1, 2, -1] \\ (x_0, y_0, z_0) &= (1, 2, 1) \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 1(x - 1) + 2(y - 2) - (z - 1) &= 0 \\ x - 1 + 2y - 4 - z + 1 &= 0 \\ x + 2y - z - 4 &= 0 \end{aligned} \]
Kontroll: \( B \) gir \( {2 + 2 - 0 - 4 = 0} \) og \( C \) gir \( {4 + 6 - 6 - 4 = 0}\text{.} \)

Oppgave 2e)

Gitt et punkt D D som ligger på z-aksen. {z\text{-aksen.}} Finn koordinatene til punktet D D slik at AD→ \overrightarrow{AD} står vinkelrett på AB→. \overrightarrow{AB}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2e
Svar
D(0,0,2)‾‾ \underline{\underline{D(0, 0, 2)}}
Vi bruker \( {\overrightarrow{AB} = [1, -1, -1]} \) fra a).
Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) så vi setter det lik \( 0 \) og løser.
1. Skriv opp vektoren Vi kaller punktet \( D(0, 0, t)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= [\textcolor{blue}{0 - 1},\ \textcolor{red}{0 - 2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \end{aligned} \]
2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]
Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{(-1) \cdot 1} + \textcolor{red}{(-2)(-1)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(t - 1)(-1)} = 0 \\ &-1 + 2 - t + 1 = 0 \\ &2 - t = 0 \\ &t = 2 \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 6

4 poeng

Gitt fire punkter A(0,0,0), A(0, 0, 0)\text{,} B(3,1,0), B(3, 1, 0)\text{,} C(2,4,0) C(2, 4, 0) og T(1,2,5). T(1, 2, 5)\text{.}

Oppgave 6a)

Regn ut CA→, \overrightarrow{CA}\text{,} CB→ \overrightarrow{CB} og ∠ACB. \angle ACB\text{.}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Vektorene og vinkelen er:
CA→=[−2,−4,0]CB→=[1,−3,0]∠ACB=45∘‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [-2, -4, 0] \\ \overrightarrow{CB} &= [1, -3, 0] \\ \angle ACB &= 45^\circ \end{aligned}}}
Vi finner vektorene ved å trekke fra koordinatene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet.
1. Finn vektorene Vektoren fra \( C \) til et punkt er koordinatene til punktet minus koordinatene til \( C\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -4, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 0]} \end{aligned} \]
2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} = |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| \cdot |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Her er \( \textcolor{green}{v} \) vinkelen mellom vektorene. Regelen står i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Vi ganger koordinat for koordinat og legger sammen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} \\ &= -2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\ &= -2 + 12 = 10 \end{aligned} \]
3. Regn ut lengdene Lengden finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{20} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| &= \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{10} \end{aligned} \]
4. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

△ABC \triangle ABC utgjør grunnflaten i en pyramide med toppunkt T. T\text{.} Regn ut volumet til pyramiden ABCT. ABCT\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Volumet til pyramiden er:
V=253‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{25}{3}}}
Vi bruker lengdene og vinkelen fra a).
Volumet er en tredel av grunnflaten ganger høyden. Grunnflaten finner vi med arealsetningen, og høyden kan vi lese av \( {z\text{-koordinatene.}} \)
1. Regn ut grunnflaten Arealsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{G} = \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C \]Her er \( CA \) og \( CB \) to sider, og \( C \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
I a) fant vi: \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{20} \\ CB &= \sqrt{10} \\ \angle C &= 45^\circ \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{G} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]
2. Finn høyden \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) har alle \( {z = 0}\text{,} \) så grunnflaten ligger i \( {xy\text{-planet.}} \) Høyden er derfor \( {z\text{-koordinaten}} \) til \( T\text{:} \) \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{5} \]
3. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser hvorfor \( {V = G \cdot h} \) ikke gjelder for en pyramide.
Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{25}{3} \]

Oppgave 6c)

Regn ut AT→×AB→. \overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB}\text{.} Hva er arealet av sideflaten ABT? ABT\text{?}
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Kryssproduktet og arealet av sideflaten er:
AT→×AB→=[−5,15,−5]A=5112‾‾ \underline{\underline{\begin{aligned} \overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} &= [-5, 15, -5] \\ A &= \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned}}}
Vi setter opp kryssproduktet som en determinant. Lengden av kryssproduktet er arealet av et parallellogram, og trekanten er halvparten.
1. Finn vektorene Siden \( A \) er origo, er vektorene de samme tallene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{blue}{[1, 2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 0]} \end{aligned} \]
2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten med enhetsvektorene i første rad. Det vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, et eksempel om curl, der kryssproduktet regnes slik: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \end{vmatrix} \]
Vi regner ut hver komponent: \[ \begin{aligned} \vec{i}: \quad & 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \\ \vec{j}: \quad & -(1 \cdot 0 - 5 \cdot 3) = 15 \\ \vec{k}: \quad & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5 \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{green}{[-5, 15, -5]} \]
3. Regn ut arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot |\textcolor{green}{[-5, 15, -5]}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{25 + 225 + 25} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{275} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 6d)

Sideflaten ABT ABT ligger i et plan α. \alpha\text{.} Finn likningen for planet α. \alpha\text{.}
Vis løsning på oppgave 6d
Svar
Likningen for planet α \alpha er:
x−3y+z=0‾‾ \underline{\underline{x - 3y + z = 0}}
Vi bruker kryssproduktet fra c) som normalvektor.
Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet. Det er derfor en normalvektor, og \( A \) er et punkt i planet.
1. Finn normalvektoren I c) fant vi \( {\overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} = [-5, 15, -5]}\text{.} \) Vi kan dele på \( {-5} \) og få en enklere vektor med samme retning: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \]
2. Sett opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.
Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \\ (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{1}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x - 3y + z &= 0 \end{aligned} \]
Kontroll: \( B(3, 1, 0) \) gir \( {3 - 3 + 0 = 0}\text{,} \) og \( T(1, 2, 5) \) gir \( {1 - 6 + 5 = 0}\text{.} \)

Ordinær eksamen 2020

Oppgave 5

3 poeng

Gitt en trekant ABC ABC der ∠A=30∘, {\angle A = 30^\circ}\text{,} ∠B=90∘ {\angle B = 90^\circ} og siden AB=3. {AB = 3}\text{.}

Oppgave 5a)

Finn lengde av AC. AC\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
AC=23≈3,46‾‾ \underline{\underline{AC = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46}}
Trekanten er rettvinklet, så vi kan bruke cosinus. Vi kjenner den hosliggende kateten og skal finne hypotenusen.
1. Bruk cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos A = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.
Sett fra \( A \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]
Trekanten utvides med et punkt D D slik at vi får en firkant ABCD. ABCD\text{.} I denne firkanten er ∠A=70∘ {\angle A = 70^\circ} og ∠C=140∘. {\angle C = 140^\circ}\text{.}

Oppgave 5b)

Finn ∠D \angle D og lengden AD AD i denne firkanten.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
∠D=60∘‾‾ \underline{\underline{\angle D = 60^\circ}}
AD=4sin⁡80∘≈3,94‾‾ \underline{\underline{AD = 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94}}
Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).
Vinkelsummen gir \( \angle D\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) kan vi bruke sinussetningen.
1. Finn vinkel D Vinkelsummen i en firkant er \( 360^\circ\text{.} \) Vinkel \( B \) er fortsatt \( 90^\circ\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \angle D &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]
2. Finn vinklene i trekant ACD Figuren viser firkanten med diagonalen \( AC\text{.} \)
Diagonalen deler vinklene i \( A \) og \( C\text{.} \) Vinkelsummen i trekant \( ABC \) gir oss vinkelen i \( C\text{:} \) \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]
Det gir oss vinklene i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle DAC &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \textcolor{red}{\angle ACD} &= 140^\circ - 60^\circ = \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]
3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{\alpha}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{\beta}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
I trekant \( ACD \) står \( AD \) rett overfor \( \angle ACD\text{,} \) og \( AC \) rett overfor \( \angle D\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{\alpha} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{\beta} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Oppgave 5c)

Finn firkantens areal.
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Arealet≈6,98‾‾ \underline{\underline{\text{Arealet} \approx 6{,}98}}
Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle DAC = 40^\circ} \) fra b).
Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver av dem med arealsetningen og legger sammen.
1. Finn arealet av trekant ABC Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
I trekant \( ABC \) er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AB}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ &= \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]
2. Finn arealet av trekant ACD Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AD}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]
3. Legg sammen Slår vi dette sammen og runder av til to desimaler, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2018

Oppgave 5

1 poeng

Finn arealet av figuren:
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Avrundet til én desimal, som sidene i figuren, er:
Arealet≈24,0‾‾ \underline{\underline{\text{Arealet} \approx 24{,}0}}
Vi deler firkanten i to trekanter med diagonalen \( BD\text{.} \) I trekant \( ABD \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, og i trekant \( BCD \) finner vi siden \( CD \) med cosinussetningen.
1. Finn arealet av trekant ABD Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{C} \]der \( \textcolor{green}{C} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3{,}4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6{,}0}} \) og \( {\textcolor{green}{C} = \textcolor{green}{65^\circ}}\text{,} \) så: \[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3{,}4} \cdot \textcolor{red}{6{,}0} \cdot \sin \textcolor{green}{65^\circ} \approx \underline{9{,}244} \]
2. Finn diagonalen BD Cosinussetningen forteller oss at: \[ c^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} \cos \textcolor{green}{C} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Plugger vi inn de samme tallene, med \( {c = BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{3{,}4}^2 + \textcolor{red}{6{,}0}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{3{,}4} \cdot \textcolor{red}{6{,}0} \cdot \cos \textcolor{green}{65^\circ} \\ &\approx 30{,}31717 \end{aligned} \]
Merk – Ikke rund av for tidlig: Vi regner videre med alle desimalene på kalkulatoren, og viser nok av dem til at du får de samme tallene. Vi runder av først i svaret.
3. Sett opp likningen for CD Vi bruker cosinussetningen i trekant \( BCD\text{,} \) med vinkelen \( 50^\circ \) i \( C\text{.} \) Der er \( BD \) siden rett overfor vinkelen. Vi kaller \( {CD = \textcolor{magenta}{y}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} BD^2 &= 7{,}1^2 + \textcolor{magenta}{y}^2 \\ &\quad - 2 \cdot 7{,}1 \cdot \textcolor{magenta}{y} \cdot \cos 50^\circ \end{aligned} \]
Plugger vi inn \( BD^2 \) og samler alt på én side, får vi en andregradslikning: \[ \textcolor{magenta}{y}^2 - 9{,}12758\textcolor{magenta}{y} + 20{,}09283 = 0 \]
4. Løs likningen med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ \textcolor{magenta}{y} = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-9{,}12758} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{20{,}09283} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r} &= \textcolor{red}{9{,}12758}^2 \\ &\quad - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{20{,}09283} \\ &\approx 2{,}9414 \\ \textcolor{magenta}{y} &= \dfrac{\textcolor{red}{9{,}12758} \pm \sqrt{2{,}9414}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ \textcolor{magenta}{y} &\approx 5{,}4213 \ \text{ eller } \ \textcolor{magenta}{y} \approx 3{,}7063 \end{aligned} \]
5. Velg roten som passer med figuren Begge tallene er positive, og hver av dem gir en firkant. Regner vi ut vinklene i \( B \) og \( D\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} CD \approx 5{,}4213\text{:} \ & B \approx 130^\circ, \ D \approx 115^\circ \\ CD \approx 3{,}7063\text{:} \ & B \approx 112^\circ, \ D \approx 133^\circ \end{aligned} \]
Måler vi i figuren, er vinkelen i \( B \) omtrent \( 130^\circ \) og vinkelen i \( D \) omtrent \( 115^\circ\text{.} \) Figuren avgjør altså, og: \[ CD = \textcolor{magenta}{y} \approx 5{,}4213 \]
Merk – To firkanter: Den andre roten gir en annen firkant, med arealet \( {T \approx 19{,}32}\text{.} \) Det er ikke firkanten i figuren.
6. Finn arealet av trekant BCD Vi bruker arealsetningen igjen, med vinkelen \( 50^\circ \) mellom sidene \( 7{,}1 \) og \( CD\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_2 &= \dfrac{1}{2} \cdot 7{,}1 \cdot \textcolor{magenta}{5{,}4213} \cdot \sin 50^\circ \\ &\approx \underline{14{,}743} \end{aligned} \]
7. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T &= T_1 + T_2 \\ &\approx 9{,}244 + 14{,}743 = 23{,}987 \end{aligned} \]