Forkurs matematikk ordinær eksamen 2020 – løsningsforslag

Uttrykket består av røtter og potenser. Vi skriver derfor røttene som potenser, og samler så potensene med samme grunntall.

1. Skriv opp reglene En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]Regelen står i videoen Potenser og røtter.

Potensreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} (a^n)^m &= a^{n \cdot m} \\ (a \cdot b)^n &= a^n \cdot b^n \\ a^n \cdot a^m &= a^{n + m} \\ \dfrac{a^n}{a^m} &= a^{n - m} \\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoene Flere regneregler med Potenser og Regneregler med Potenser.

2. Skriv om telleren Vi skriver røttene som potenser, ganger sammen eksponentene og legger sammen potensene av \( a\text{.} \) Potensene av \( 5 \) er blå, og potensene av \( a \) er røde: \[ \begin{aligned} &\sqrt{5}\left(\sqrt[5]{a^2}\right)^2 a^{\tfrac{1}{5}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{\left(a^{\tfrac{2}{5}}\right)^2} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \end{aligned} \]

3. Skriv om nevneren Eksponenten \( 3 \) går på begge faktorene i parentesen: \[ \begin{aligned} &a^{-1}\left(\sqrt{5}\,a^{\tfrac{1}{3}}\right)^3 \\ &= \textcolor{red}{a^{-1}} \cdot \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{1}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{0}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \end{aligned} \]

4. Sett sammen brøken Vi trekker eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren, og skriver den negative eksponenten som en brøk: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}}} &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \textcolor{blue}{5^{-1}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5}} \end{aligned} \]

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken. Så faktoriserer vi og stryker det som er likt.

1. Gjør om til ganging Regelen for brøk delt på brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \]Du ser dette i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).

Plugger vi inn brøkene våre, får vi: \[ \dfrac{5t^2 - 45}{t - 3} \cdot \dfrac{3t^2 + 6t}{t + 2} \]

2. Faktoriser I \( {5t^2 - 45} \) setter vi \( 5 \) utenfor. Da står vi igjen med et uttrykk der konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{t}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 45 &= 5(\textcolor{blue}{t}^2 - \textcolor{red}{3}^2) \\ &= 5(\textcolor{blue}{t} + \textcolor{red}{3})(\textcolor{blue}{t} - \textcolor{red}{3}) \end{aligned} \]

I \( {3t^2 + 6t} \) setter vi \( 3t \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 3t^2 + 6t = 3t(t + 2) \]

3. Stryk like faktorer Plugger vi dette inn, kan vi stryke \( {\textcolor{darkorange}{t - 3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{t + 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(t + 3)\cancel{\textcolor{darkorange}{(t - 3)}}}{\cancel{\textcolor{darkorange}{t - 3}}} \cdot \dfrac{3t\cancel{\textcolor{magenta}{(t + 2)}}}{\cancel{\textcolor{magenta}{t + 2}}} \\ &= 5(t + 3) \cdot 3t \\ &= 15t(t + 3) \\ &= 15t^2 + 45t \end{aligned} \]

Uttrykket i oppgaven er bare definert når vi ikke deler på \( 0\text{:} \) \[ t \neq 3, \quad t \neq 0, \quad t \neq -2 \]

Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så vi finner først hvilke \( x \) som er lov. Så slår vi sammen logaritmene til én.

1. Finn hvilke verdier som er lov Vi kan ikke ta \( \ln \) av null eller et negativt tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Begge uttrykkene må derfor være positive: \[ \begin{aligned} x &> 0 \\ x^2 - x = x(x - 1) &> 0 \end{aligned} \]

Når \( x \) er positiv, er den andre ulikheten oppfylt bare når \( {x - 1} \) også er positiv: \[ x > 1 \]

2. Slå sammen logaritmene Regneregelen for logaritmer forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regnereglene gjelder for \( \ln \) også, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x^2 - x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og stryker \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x(x - 1)}} &= 1 \\ \ln \dfrac{1}{x - 1} &= 1 \end{aligned} \]

3. Løs for x Definisjonen av \( \ln \) forteller oss at: \[ \ln c = 1 \quad \Leftrightarrow \quad c = e^1 \]Definisjonen står i videoen Hva er en Logaritme?

Her er \( {c = \dfrac{1}{x - 1}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 1} &= e \\ x - 1 &= \dfrac{1}{e} \\ x &= 1 + \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Denne verdien er lov, siden: \[ 1 + \dfrac{1}{e} > 1 \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler ledd for ledd til det som står igjen har lavere grad enn nevneren.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {3x^3 - 4x^2 - 14x + 11} \) på \( {x^2 - 3x + 2} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{3x^3} - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^3}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{red}{3x} \\ &\textcolor{red}{3x} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 3x^3 - 9x^2 + 6x \\ &-(3x^3 - 9x^2 + 6x) \\ &= \textcolor{red}{-3x^3 + 9x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & 5x^2 & {}- 20x & {}+ 11 \end{array} \end{array} \]\( 3x^3 \) strykes mot \( {-3x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + 9x^2 = 5x^2}\text{,} \) \( {-14x - 6x = -20x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 11\text{.} \) Linja \( {5x^2 - 20x + 11} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{magenta}{5} \\ &\textcolor{magenta}{5} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 5x^2 - 15x + 10 \\ &-(5x^2 - 15x + 10) \\ &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 15x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 20x & {}+ 11 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \textcolor{magenta}{{}- 10} \\ \hline & & -5x & {}+ 1 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-20x + 15x = -5x}\text{,} \) og \( {11 - 10 = 1}\text{.} \) Linja \( {-5x + 1} \) har grad 1, som er lavere enn nevnerens grad 2. Da stopper vi, og \( {-5x + 1} \) er restleddet.

2. Skriv opp svaret Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret: \[ \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{-5x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]

Nullpunktsetningen gir oss en rask sjekk: vi setter inn det tallet som gjør \( {x + 3} \) lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktsetningen Nullpunktsetningen forteller oss at for et polynom \( P(x) \) gjelder: \[ x - \textcolor{blue}{r} \text{ er en faktor} \quad \Leftrightarrow \quad P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 - 13x - 12 \\ x + 3 &= x - (\textcolor{blue}{-3}) \end{aligned} \]

Plugger vi \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{-3}} \) inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{-3}) &= (\textcolor{blue}{-3})^3 - 13 \cdot (\textcolor{blue}{-3}) - 12 \\ &= -27 + 39 - 12 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {x + 3} \) er en faktor.

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: at \( {x + 3} \) er en faktor, står i oppgaveteksten til b).

Vi flytter alt over på én side og faktoriserer med faktoren fra b). Så finner vi fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Flytt alt over på én side Vi trekker \( 12 \) fra på begge sider og får: \[ x^3 - 13x - 12 > 0 \]

2. Del med polynomdivisjon I b) så vi at \( {x + 3} \) er en faktor. Vi deler \( {x^3 - 13x - 12} \) på \( {x + 3} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Leddet med \( x^2 \) mangler, så vi skriver \( 0x^2 \) på plassen, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 3) &= x^3 + 3x^2 \\ -(x^3 + 3x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - 3x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 13x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {0x^2 - 3x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-13x} \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x + 3) &= -3x^2 - 9x \\ -(-3x^2 - 9x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 + 9x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & -4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-13x + 9x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {-4x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x + 3) &= -4x - 12 \\ -(-4x - 12) &= \textcolor{blue}{4x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Vi bruker den til å faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 4} \) og \( {x = -1}\text{.} \) Dermed får vi tre faktorer, med hver sin farge fra nå av: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)}\textcolor{magenta}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x - 4)} \end{aligned} \]

4. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, -1, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)", "expr": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt mellom \( {-3} \) og \( {-1} \) og til høyre for \( 4\text{:} \) \[ -3 < x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 4 \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]Disse deriverte står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} \end{aligned} \]

2. Forkort brøken Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{x} \) i telleren, kan vi forkorte: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(1 - 2\ln x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den andre faktoren deriverer vi med kjerneregelen.

1. Deriver den andre faktoren Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{k}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{k}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x + 3}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{1}, \quad n = 3 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x + 3})^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{x + 3})^2 \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= 3(x + 3)^2 \end{aligned} \]

2. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x + 3)^3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{(x + 3)^3} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \]

3. Faktoriser svaret Faktoriserer vi ut \( {\textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}\left((x + 3) + 3x\right) \\ &= (x + 3)^2(4x + 3) \end{aligned} \]

Vi kan samle alt med \( y \) på én side og alt med \( x \) på den andre. Likningen er altså separabel.

1. Separer likningen Vi ganger begge sider med \( 2x \) og med \( e^{y}\text{,} \) og bruker at \( {e^{y} \cdot e^{-y} = 1}\text{:} \) \[ e^{y} \cdot y' = 2x \]

En separabel likning løser vi ved at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{g(y)} \cdot y' = \textcolor{red}{h(x)} \\ &\Rightarrow \ \int \textcolor{blue}{g(y)}\,dy = \int \textcolor{red}{h(x)}\,dx \end{aligned} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Seperable diff-ligninger.

Her er \( {\textcolor{blue}{g(y)} = \textcolor{blue}{e^{y}}} \) og \( {\textcolor{red}{h(x)} = \textcolor{red}{2x}}\text{:} \) \[ \int \textcolor{blue}{e^{y}}\,dy = \int \textcolor{red}{2x}\,dx \]

2. Integrer begge sider Integrerer vi begge sider, får vi resultatet under. Reglene står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler for \( 2x\text{,} \) og fra 3:08 for \( e^{y}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{y}} = \textcolor{red}{x^2} + C \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{1} &= 0^2 + C \\ C &= e \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} e^{y} &= x^2 + e \\ y &= \ln(x^2 + e) \end{aligned} \]

Trekanten er rettvinklet, så vi kan bruke cosinus. Vi kjenner den hosliggende kateten og skal finne hypotenusen.

1. Bruk cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos A = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sett fra \( A \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen gir \( \angle D\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) kan vi bruke sinussetningen.

1. Finn vinkel D Vinkelsummen i en firkant er \( 360^\circ\text{.} \) Vinkel \( B \) er fortsatt \( 90^\circ\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \angle D &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD Figuren viser firkanten med diagonalen \( AC\text{.} \)

Diagonalen deler vinklene i \( A \) og \( C\text{.} \) Vinkelsummen i trekant \( ABC \) gir oss vinkelen i \( C\text{:} \) \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Det gir oss vinklene i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle DAC &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \textcolor{red}{\angle ACD} &= 140^\circ - 60^\circ = \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{\alpha}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{\beta}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( AD \) rett overfor \( \angle ACD\text{,} \) og \( AC \) rett overfor \( \angle D\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{\alpha} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{\beta} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle DAC = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver av dem med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn arealet av trekant ABC Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ABC \) er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AB}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ &= \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trekant ACD Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AD}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen og runder av til to desimaler, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

En asymptote er en linje som grafen kommer stadig nærmere. Her viser de stiplede linjene oss hvor de er, så vi leser av likningene.

1. Finn de loddrette asymptotene Grafen går mot pluss eller minus uendelig på begge sider av de loddrette linjene, som asymptotene i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Linjene står i: \[ x = -1 \quad \text{og} \quad x = 3 \]

2. Finn den skrå asymptoten Grafen nærmer seg den skrå linja når \( x \) går mot pluss og minus uendelig. En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]

Vi leser av to punkter på linja, \( {(-6, 0)} \) og \( (0, 3)\text{.} \) Den skjærer \( {y\text{-aksen}} \) i \( 3\text{,} \) og stigningstallet blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{a} &= \dfrac{3 - 0}{0 - (-6)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}x + \textcolor{blue}{3} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen stiger og synker, og hvilken vei den krummer.

1. Les av fortegnet til den deriverte \( f'(x) \) er positiv der grafen stiger, negativ der den synker og \( 0 \) i topp- og bunnpunktene, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren ligger disse punktene nær: \[ f'(x) = 0 \text{ for } \textcolor{darkorange}{x \approx 1{,}7} \text{ og } \textcolor{darkorange}{x \approx 4{,}4} \]

Grafen stiger til venstre for \( {x = -1}\text{,} \) og fra \( {x = -1} \) til toppunktet. Den synker fra toppunktet mot \( {x = 3}\text{.} \) Til høyre for \( {x = 3} \) synker den fra uendelig ned til bunnpunktet, og etter det stiger den igjen. I \( {x = -1} \) og \( {x = 3} \) er \( f \) ikke definert. Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1.7, 3, 4.4], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "(x - 1.7)*(x - 4.4)/((x + 1)^2*(x - 3)^2)"}]}

En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{,} \) og × hvor den ikke er definert.

2. Les av fortegnet til den andrederiverte \( f''(x) \) er positiv der grafen krummer oppover, som en skål, og negativ der den krummer nedover, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren har vi: \[ \begin{aligned} x < -1 &: \ \text{krummer oppover} \\ -1 < x < 3 &: \ \text{krummer nedover} \\ x > 3 &: \ \text{krummer oppover} \end{aligned} \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "1/((x + 1)*(x - 3))"}]}

Vi bruker fortegnslinjene fra b).

Fortegnslinjene forteller oss hvor grafen snur og hvor den skifter krumning. Koordinatene leser vi av i figuren.

1. Finn toppunktet I \( {x = 1{,}7} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus. Grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{red}{f(1{,}7)} \approx \textcolor{red}{2{,}9} \]

2. Finn bunnpunktet I \( {x = 4{,}4} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss. Grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{blue}{f(4{,}4)} \approx \textcolor{blue}{5{,}8} \]

3. Se etter vendepunkter I et vendepunkt skifter \( f''(x) \) fortegn, som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Fortegnet til \( f''(x) \) skifter bare i asymptotene, der \( f \) ikke er definert: \[ f(-1) \text{ og } f(3) \text{ finnes ikke} \]

Grafen har derfor ingen vendepunkter i figuren.

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vektoren fra \( A \) til \( D \) må derfor være lik vektoren fra \( B \) til \( C\text{.} \)

1. Finn vektoren fra B til C En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [-2 - 2,\ 2 - 3,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Finn punktet D Vi starter i \( A \) og legger til vektoren. Vektorer legger vi sammen koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= A + \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \\ &= (4 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 1 + (\textcolor{blue}{-1}),\ -1 + \textcolor{blue}{1}) \\ &= (0, 0, 0) \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Arealet av et parallellogram er lengden av kryssproduktet til to vektorer langs sidene.

1. Sett opp vektorene Vi tar de to sidene som går ut fra \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 4,\ 3 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{blue}{[-2,\ 2,\ 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 4,\ 0 - 1,\ 0 + 1] \\ &= \textcolor{red}{[-4,\ -1,\ 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Arealet er gitt ved: \[ T = \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\ &\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3}, \\ &\textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}\ ] \end{aligned} \]Kryssproduktet som determinant vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) &= 3 \\ \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} &= -2 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) &= 10 \end{aligned} \]

Det gir oss kryssproduktet, i grønt: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \]

3. Finn lengden Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av koordinatene opphøyd i andre, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \sqrt{\textcolor{green}{3}^2 + (\textcolor{green}{-2})^2 + \textcolor{green}{10}^2} \\ &= \sqrt{113} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a), og kryssproduktet \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Kryssproduktet står vinkelrett på grunnflata. Høyden er derfor hvor langt vektoren fra \( D \) til \( T \) rekker i retningen til denne vektoren.

1. Sett opp formelen Med en normalvektor \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og et punkt \( D \) i planet forteller avstandsformelen oss at: \[ h = \dfrac{\left|\textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}\right|}{\left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right|} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\vec{n}} &= \textcolor{green}{[3,\ -2,\ 10]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \\ \left|\textcolor{green}{\vec{n}}\right| &= \sqrt{113} \end{aligned} \]

2. Plugg inn Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram? Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{green}{3} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{green}{-2}) \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{green}{10} \cdot \textcolor{red}{4}|}{\sqrt{113}} \\ &= \dfrac{41}{\sqrt{113}} \approx 3{,}86 \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren \( {[3,\ -2,\ 10]} \) fra b).

Et plan er bestemt av en normalvektor og ett punkt. Normalvektoren har vi, og punktet kan vi velge.

1. Skriv opp likningen Likningen til et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{blue}{b},\ \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[3,\ -2,\ 10]} \\ (\textcolor{red}{x_0},\ \textcolor{red}{y_0},\ \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(4,\ 1,\ -1)} \end{aligned} \]

2. Plugg inn punktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{3}(x - \textcolor{red}{4}) \textcolor{blue}{{}- 2}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{10}(z + \textcolor{red}{1}) = 0 \\ &3x - 12 - 2y + 2 + 10z + 10 = 0 \\ &3x - 2y + 10z = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker \( D(0, 0, 0) \) fra a).

Vinkelen ligger i \( D\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet til de to vektorene som går ut fra \( D\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Siden \( D \) er origo, er vektorene de samme som koordinatene til punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} &= \textcolor{blue}{[2,\ 3,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= \textcolor{red}{[1,\ 1,\ 4]} \end{aligned} \]

2. Bruk skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Regelen brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{DT}} &= 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 5 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{DB}}| &= \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{DT}}| &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \theta\text{,} \) får vi, avrundet til én desimal: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}}\right) \\ \theta &\approx 70{,}9^\circ \end{aligned} \]

Vi starter med formelen for \( \cos 2x\text{,} \) og bruker enhetsformelen til å få bort \( \cos^2 x\text{.} \)

1. Skriv opp de to formlene Formelen for dobbel vinkel og enhetsformelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{\cos^2 x} - \sin^2 x \\ \textcolor{red}{\cos^2 x} &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} \end{aligned} \]Enhetsformelen er Pytagoras på katetene i enhetssirkelen, som du ser i videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Sett inn og løs for sinus Plugger vi den andre inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} - \sin^2 x \\ \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \end{aligned} \]

Vi løser for \( \sin^2 x \) og får: \[ \begin{aligned} 2\sin^2 x &= 1 - \cos 2x \\ \sin^2 x &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( f \) om til en vanlig cosinusfunksjon. Da kan vi lese av alle de tre størrelsene.

1. Skriv om funksjonen Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\cos(\textcolor{blue}{2}x) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Les av størrelsene En cosinusfunksjon på formen \( {\textcolor{red}{A}\cos(\textcolor{blue}{k}x) + \textcolor{green}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= |\textcolor{red}{A}| \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{d} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{k}} \end{aligned} \]At sinus og cosinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= \left|\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right| = \dfrac{1}{2} \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{2}} = \pi \end{aligned} \]

Vi bruker amplituden \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) likevektslinjen \( {y = \dfrac{1}{2}} \) og perioden \( \pi \) fra b).

Vi regner ut funksjonsverdien der grafen snur, og tegner en bølge gjennom punktene.

1. Regn ut punktene Grafen svinger \( \dfrac{1}{2} \) opp og ned fra \( {y = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) altså mellom \( 0 \) og \( 1\text{.} \) Perioden er \( \pi\text{,} \) så den snur for hver \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Sinusverdiene står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \sin^2 0 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(\pi)} &= \sin^2 \pi = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{3\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(2\pi)} &= \sin^2 2\pi = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Tegn grafen Vi tegner en jevn bølge gjennom punktene, med to hele perioder på intervallet:

Verdimengden er alle verdiene funksjonen kan få. Vi starter med hva vi vet om sinus.

1. Finn største og minste verdi Sinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da er \( \sin^2 x \) høyst \( 1\text{,} \) og et kvadrat er aldri negativt: \[ \begin{aligned} |\sin x| \leq 1 \ &\Rightarrow \ \sin^2 x \leq 1 \\ \sin^2 x &\geq 0 \end{aligned} \]

Begge endene blir nådd, og \( f \) er kontinuerlig, så den får også alle verdiene imellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( \sin^2 x \) om til to ledd som er enkle å integrere. Vi tar dem ledd for ledd.

1. Skriv om integralet Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \sin^2 x \, dx \\ &= \int \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{2}\cos 2x}\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x}}\text{.} \)

For det andre leddet forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \cos(nx)\,dx = \dfrac{1}{n}\sin(nx) + C \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\cos 2x}\,dx \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2x + C \\ &= \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}\sin 2x}} + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{4}\sin 2x} + C \]

I e) fant vi at \[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C \]

Vi skriver \( \sin^2 x \) som et produkt. Da dukker det opprinnelige integralet opp igjen, og vi kan løse for det som i en likning.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I &= \int \sin^2 x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\sin x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\cos x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x})\,dx \\ &= -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx \end{aligned} \]

2. Løs for integralet Enhetsformelen gir \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x}\text{.} \) Da kommer \( \textcolor{darkorange}{I} \) tilbake på høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2 x)dx \\ &= -\sin x \cos x + \int 1\,dx - \textcolor{darkorange}{I} \\ \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + x - \textcolor{darkorange}{I} \end{aligned} \]

Vi legger \( \textcolor{darkorange}{I} \) til på begge sider, deler på \( 2 \) og tar med konstanten: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{I} &= x - \sin x \cos x + C_1 \\ \textcolor{darkorange}{I} &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\sin x \cos x + C \end{aligned} \]

3. Sammenlign med e) Resultatet ser annerledes ut enn i e). Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi denne inn i svaret fra e), får vi: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{4}\sin 2x &= -\dfrac{1}{4} \cdot 2\sin x \cos x \\ &= -\dfrac{1}{2}\sin x \cos x \end{aligned} \]

De to svarene er altså det samme uttrykket, skrevet på to måter.