Forkurseksamen etter tema

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta koordinatene til sluttpunktet minus koordinatene til startpunktet.

1. Trekk fra startpunktet Vektoren fra \( P \) til \( Q \) er: \[ \overrightarrow{PQ} = [\textcolor{blue}{x_Q} - \textcolor{red}{x_P},\ \textcolor{blue}{y_Q} - \textcolor{red}{y_P},\ \textcolor{blue}{z_Q} - \textcolor{red}{z_P}] \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Der er det to koordinater, og her kommer \( z \) i tillegg.

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{0} - \textcolor{red}{2},\ \textcolor{blue}{3} - (\textcolor{red}{-1}),\ \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1}] \\ &= [-2, 4, 1] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{0} - (\textcolor{red}{-2}),\ \textcolor{blue}{3} - (\textcolor{red}{-1}),\ \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{4}] \\ &= [2, 4, -2] \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene, regner ut kryssproduktet og tar lengden av det.

1. Finn vektorene \( \overrightarrow{BA} \) er \( \overrightarrow{AB} \) med motsatt fortegn, og \( \overrightarrow{BC} \) er \( \overrightarrow{CB} \) med motsatt fortegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[2, -4, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Det er det samme som determinanten i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) = -12 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} = -2 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -16 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} = [-12, -2, -16] \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC}| \\ &= \sqrt{(-12)^2 + (-2)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{144 + 4 + 256} \\ &= \sqrt{404} = \sqrt{4 \cdot 101} \\ &= 2\sqrt{101} \end{aligned} \]

Vinkelen ved \( B \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[2, -4, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Vi ganger koordinat for koordinat, og tar lengdene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= -4 + 16 - 2 = 10 \\ |\textcolor{blue}{\vec{a}}| &= \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \\ |\textcolor{red}{\vec{b}}| &= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos \textcolor{green}{v}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{24}} = \dfrac{10}{\sqrt{504}} \\ \textcolor{green}{v} &= \cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{504}}\right) \approx 63{,}5^\circ \end{aligned} \]

Et punkt ligger i planet hvis det finnes verdier av \( t \) og \( s \) som gir punktets koordinater. Vi bruker \( x \) og \( z \) til å finne \( t \) og \( s\text{,} \) og så gir \( y \) oss \( y_0\text{.} \)

1. Sett inn punktet A Punktet \( {A(2, -1, 1)} \) gir disse likningene for \( x \) og \( z\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + 2t + s &= 2 \\ 5 - t - s &= 1 \end{aligned} \]

Rydder vi, får vi et likningssett: \[ \begin{aligned} 2t + s &= 4 \\ t + s &= 4 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, får vi: \[ \textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{0}, \qquad \textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{4} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Likningssett.

Plugger vi dette inn i likningen for \( y \) med \( {y = -1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y_0 - 4 \cdot \textcolor{blue}{0} + 2 \cdot \textcolor{red}{4} &= -1 \\ y_0 &= -9 \end{aligned} \]

2. Sjekk de to andre punktene Planet må gå gjennom alle tre, så vi sjekker \( B \) og \( C \) med \( {y_0 = -9}\text{.} \) \( B(0, 3, 2) \) svarer til \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {\textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= -2 + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{4} = 0 \\ y &= -9 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + 2 \cdot \textcolor{red}{4} = 3 \\ z &= 5 - (\textcolor{blue}{-1}) - \textcolor{red}{4} = 2 \end{aligned} \]

\( {C(-2, -1, 4)} \) svarer til \( {\textcolor{blue}{t} = \textcolor{blue}{-1}} \) og \( {\textcolor{red}{s} = \textcolor{red}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= -2 + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{2} = -2 \\ y &= -9 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + 2 \cdot \textcolor{red}{2} = -1 \\ z &= 5 - (\textcolor{blue}{-1}) - \textcolor{red}{2} = 4 \end{aligned} \]

Alle tre punktene ligger altså i planet.

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \) fra b).

Volumet av et tetraeder er en sjettedel av tallverdien til trippelproduktet. Vi setter opp volumet som et uttrykk i \( z \) og setter det lik \( 8\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer fra samme hjørne er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{c}}\right| \]

Fra hjørnet \( B \) er \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = \overrightarrow{BA}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = \overrightarrow{BC}} \) og \( {\textcolor{green}{\vec{c}} = \overrightarrow{BT}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} &= [-12, -2, -16] \\ \textcolor{green}{\vec{c}} &= [4 - 0,\ 3 - 3,\ z - 2] \\ &= \textcolor{green}{[4, 0, z - 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut trippelproduktet Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &[-12, -2, -16] \cdot \textcolor{green}{[4, 0, z - 2]} \\ &= -48 + 0 - 16(z - 2) \\ &= -16z - 16 \end{aligned} \]

3. Sett volumet lik åtte Plugger vi dette inn i volumformelen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6}|-16z - 16| &= 8 \\ |16z + 16| &= 48 \\ |z + 1| &= 3 \end{aligned} \]

Tallverdien gir to muligheter: \[ z + 1 = 3 \quad \text{eller} \quad z + 1 = -3 \]

Det gir oss: \[ z = 2 \quad \text{eller} \quad z = -4 \]

Begge gir et tetraeder med volum \( 8\text{,} \) med \( T \) på hver sin side av planet gjennom \( A\text{,} \) \( B \) og \( C\text{.} \)

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Lengden finner vi med Pytagoras, og \( \overrightarrow{AB} \) er like lang som \( \overrightarrow{BA}\text{.} \)

1. Finn vektoren Vektoren fra \( B \) til \( A \) er: \[ \overrightarrow{BA} = [\textcolor{blue}{x_A - x_B},\ \textcolor{red}{y_A - y_B},\ \textcolor{green}{z_A - z_B}] \]Slik setter vi opp en vektor i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [\textcolor{blue}{1 - (-1)},\ \textcolor{red}{1 - 4},\ \textcolor{green}{-3 - 2}] \\ &= [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-5}] \end{aligned} \]

2. Finn lengden \( \overrightarrow{AB} \) er den motsatte vektoren: \[ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{3},\ \textcolor{green}{5}] \]

Lengden til en vektor finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[\textcolor{blue}{x},\ \textcolor{red}{y},\ \textcolor{green}{z}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2 + \textcolor{red}{3}^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{BA} = [2,\ -3,\ -5]} \) og \( {|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{38}} \) fra a).

\( \angle B \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{.} \) Vi finner den med formelen for vinkelen mellom to vektorer.

1. Finn den andre vektoren Vektoren fra \( B \) til \( C \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [3 - (-1),\ 0 - 4,\ 2 - 2] \\ &= [4,\ -4,\ 0] \end{aligned} \]

Lengden er: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Bruk vinkelformelen Vinkelen mellom to vektorer gir oss: \[ \cos \angle B = \dfrac{\textcolor{red}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{\textcolor{blue}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} \]

Skalarproduktet regner vi ut koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{aligned} \]

Her gir det: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}} \\ &= 2 \cdot 4 + (-3) \cdot (-4) + (-5) \cdot 0 \\ &= \textcolor{red}{20} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle B &= \dfrac{\textcolor{red}{20}}{\textcolor{blue}{\sqrt{38} \cdot 4\sqrt{2}}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{76}} = \dfrac{5}{2\sqrt{19}} \end{aligned} \]

Med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren får vi: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{2\sqrt{19}}\right) \approx 55{,}0^\circ \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{BA} = [2,\ -3,\ -5]} \) fra a) og \( {\overrightarrow{BC} = [4,\ -4,\ 0]} \) fra b).

En normalvektor står vinkelrett på to vektorer i planet som ikke er parallelle, og da er begge skalarproduktene \( 0\text{.} \) Med normalvektoren og ett punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Vis at vektoren står normalt Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [5, 5, -1]}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{BA} \\ &= 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-5) \\ &= 10 - 15 + 5 = 0 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} \\ &= 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) + (-1) \cdot 0 \\ &= 20 - 20 + 0 = 0 \end{aligned} \]

\( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC} \) ligger i planet og er ikke parallelle, siden: \[ [4,\ -4,\ 0] \neq t \cdot [2,\ -3,\ -5] \]\( {z\text{-koordinaten}} \) gir \( {t = 0}\text{,} \) men da blir \( {x\text{-koordinaten}} \) \( {0 \neq 4}\text{.} \) Dermed er \( \vec{n} \) en normalvektor til planet \( \alpha\text{.} \)

2. Finn likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{red}{b},\ \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \\ (x_0, y_0, z_0) &= A = (1, 1, -3) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}(x - 1) + \textcolor{red}{5}(y - 1) \textcolor{green}{- 1}(z + 3) &= 0 \\ 5x - 5 + 5y - 5 - z - 3 &= 0 \\ 5x + 5y - z - 13 &= 0 \end{aligned} \]

Et punkt på \( {x\text{-aksen}} \) har \( {y = 0} \) og \( {z = 0}\text{.} \) Vi setter avstanden fra \( B \) lik \( 6\text{,} \) finner de to punktene, og bruker vektorene fra \( B \) som retningsvektorer.

1. Finn skjæringspunktene Vi kaller punktet på \( {x\text{-aksen}} \) \( P(p, 0, 0)\text{.} \) Vektoren fra \( {B(-1, 4, 2)} \) er: \[ \overrightarrow{BP} = [p + 1,\ -4,\ -2] \]

Lengden skal være \( 6\text{,} \) som vi regner ut som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \sqrt{(p + 1)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} &= 6 \\ (p + 1)^2 + 16 + 4 &= 36 \\ (p + 1)^2 &= 16 \\ p + 1 &= \pm 4 \end{aligned} \]

Det gir to punkter: \[ \begin{aligned} p &= 3: & \textcolor{blue}{P_1} &= \textcolor{blue}{(3, 0, 0)} \\ p &= -5: & \textcolor{red}{P_2} &= \textcolor{red}{(-5, 0, 0)} \end{aligned} \]

2. Finn retningsvektorene Vi setter \( p \) inn i \( \overrightarrow{BP} \) og forkorter med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BP_1}} &= [4,\ -4,\ -2] \\ &= 2 \cdot \textcolor{blue}{[2,\ -2,\ -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BP_2}} &= [-4,\ -4,\ -2] \\ &= -2 \cdot \textcolor{red}{[2,\ 2,\ 1]} \end{aligned} \]

3. Skriv parameterframstillingene En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [a, b, c] \) har parameterframstillingen: \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \]

Plugger vi inn \( {B(-1, 4, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{[2,\ -2,\ -1]}}\text{,} \) får vi \( l\text{:} \) \[ l: \ \begin{cases} x = -1 \textcolor{blue}{+ 2t} \\ y = 4 \textcolor{blue}{- 2t} \\ z = 2 \textcolor{blue}{- t} \end{cases} \]

Plugger vi inn \( {B(-1, 4, 2)} \) og \( \textcolor{red}{[2,\ 2,\ 1]}\text{,} \) får vi \( m\text{:} \) \[ m: \ \begin{cases} x = -1 \textcolor{red}{+ 2t} \\ y = 4 \textcolor{red}{+ 2t} \\ z = 2 \textcolor{red}{+ t} \end{cases} \]

Hvilken av linjene som heter \( l \) og \( m \) kan byttes om, og andre parameterframstillinger av de samme linjene er også riktige.

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra koordinat for koordinat.

1. Finn de to vektorene Vektoren fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-1 - 2},\ \textcolor{red}{1 - 0},\ \textcolor{green}{3 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}]} \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{1 - 2},\ \textcolor{red}{4 - 0},\ \textcolor{green}{4 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}]} \end{aligned} \]

2. Regn ut differansen Vi ganger hver koordinat med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?, og trekker fra koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}] - 2[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}] \\ &= [\textcolor{blue}{-3 + 2},\ \textcolor{red}{1 - 8},\ \textcolor{green}{4 - 10}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-7},\ \textcolor{green}{-6}]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med normalvektoren og punktet \( A \) kan vi sette opp likningen til planet.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-3,\ 1,\ 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1,\ 4,\ 5] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}]} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}]} \) står normalt på begge, og er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [&\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4}, \\ &\textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{5}, \\ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1})] \\ = [&-11,\ 11,\ -11] \end{aligned} \]

Vi kan dele på \( {-11}\text{,} \) siden alle vektorer som er parallelle med denne også står normalt på planet. Da er normalvektoren: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{1}] \]

2. Sett opp likningen til planet Likningen til et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn \( \vec{n} \) og punktet \( {A(2, 0, -1)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - 2) \textcolor{red}{- 1}(y - 0) + \textcolor{green}{1}(z + 1) &= 0 \\ x - 2 - y + z + 1 &= 0 \\ x - y + z &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Grunnflaten er en trekant utspent av \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og toppunktet gir vektoren \( \overrightarrow{AP}\text{.} \) Da kan vi bruke volumformelen med vektorer.

1. Finn vektoren til toppunktet Vektoren fra \( {A(2, 0, -1)} \) til \( P(2, 6, 2) \) er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}} &= [2 - 2,\ 6 - 0,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]} \end{aligned} \]

2. Bruk volumformelen Grunnflaten er \( \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\text{,} \) og volumet er en tredjedel av grunnflaten ganger høyden. Det gir formelen: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|\textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \cdot \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|0 + 66 - 33\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Likningen til planet fra b) står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Normalvektoren til planet er retningsvektoren til linja. I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {z = 0}\text{,} \) så vi løser for parameteren der.

1. Sett opp linja Koeffisientene i \( {\beta\text{: } x - y + z = 1} \) er normalvektoren, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?: \[ \vec{n} = [1,\ -1,\ 1] \]

En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retning \( [p, q, r] \) kan skrives med en parameter \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= x_0 + pt \\ y &= y_0 + qt \\ z &= z_0 + rt \end{aligned} \]

Her er punktet \( P(2, 6, 2) \) og retningen \( \vec{n}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + t \\ y &= 6 - t \\ \textcolor{blue}{z} &= \textcolor{blue}{2 + t} \end{aligned} \]

2. Finn skjæringspunktet I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {\textcolor{blue}{z} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 + t} &= 0 \\ t &= -2 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + (-2) = 0 \\ y &= 6 - (-2) = 8 \\ z &= 2 + (-2) = 0 \end{aligned} \]

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet, og trekanten er halvparten av det. Arealet er også halvparten av grunnlinje ganger høyde, så vi kan løse for høyden.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1, 2 - 2, 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 0, 4]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 1, 4 - 2, -3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-2}), \\ &\qquad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0}] \\ &= [-8, 2, 2] \end{aligned} \]

3. Finn lengdene Lengden til en vektor er gitt ved: \[ \left|[a, b, c]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]Du finner den i videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| &= \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \\ \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{17} \end{aligned} \]

4. Løs for høyden Arealet av trekanten kan skrives på to måter: \[ \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot h \]

Løser vi for \( h\text{,} \) får vi: \[ h = \dfrac{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \dfrac{6\sqrt{34}}{17} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a), og \( A \) fra oppgaveteksten.

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-8, 2, 2] \\ &= -2 \cdot [4, -1, -1] \end{aligned} \]

Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi velger den enkleste: \[ \textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]} \]

2. Sett inn i planformelen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}(x - \textcolor{blue}{x_0}) + \textcolor{red}{b}(y - \textcolor{blue}{y_0}) \\ &+ \textcolor{red}{c}(z - \textcolor{blue}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] &= [\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{-1}, \textcolor{red}{-1}] \\ (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) &= (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{-1}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4}(x - \textcolor{blue}{1}) \textcolor{red}{{}- 1}(y - \textcolor{blue}{2}) \textcolor{red}{{}- 1}(z + \textcolor{blue}{1}) &= 0 \\ 4x - 4 - y + 2 - z - 1 &= 0 \\ 4x - y - z - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

En linje er parallell med et plan når retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren. Skalarproduktet må altså bli \( 0\text{.} \) Vi sjekker også at linja ikke ligger i selve planet.

1. Regn ut skalarproduktet Linja har retningsvektor \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} = \textcolor{blue}{[1, 1, 3]}}\text{,} \) og av likningen \( {4x - y - z - 3 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]}}\text{.} \)

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} \cdot \textcolor{red}{\vec{n}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) \\ &= 4 - 1 - 3 = 0 \end{aligned} \]

Linja står altså vinkelrett på normalvektoren, så den er parallell med planet eller ligger i det.

2. Sjekk at linja ligger utenfor planet Linja går gjennom origo. Setter vi inn \( (0, 0, 0) \) i likningen for planet, får vi: \[ 4 \cdot 0 - 0 - 0 - 3 = -3 \neq 0 \]

Origo ligger ikke i planet, så linja ligger ikke i planet, og den er parallell med det.

Vi bruker vektorproduktet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tre vektorer fra samme hjørne utspenner pyramiden, og volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|\left(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\right) \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}}\right| \]At en pyramide trenger en annen formel enn en boks, ser du i videoen Volum og Overflate.

I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [-8, 2, 2] \]

Den tredje vektoren går fra \( A \) til \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}} &= [-3 - 1, 0 - 2, 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{green}{[-4, -2, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|(-8)(\textcolor{green}{-4}) + 2(\textcolor{green}{-2}) + 2 \cdot \textcolor{green}{1}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|32 - 4 + 2\right| \\ &= \dfrac{30}{6} = 5 \end{aligned} \]

Vinkel \( A \) er vinkelen mellom vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1,\ 4 - 1,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 3, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [2 - 1,\ 2 - 1,\ 4 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, 1, 4]} \end{aligned} \]

2. Skriv opp skalarproduktregelen Skalarproduktregelen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \angle(\vec{u}, \vec{v}) \]Den brukes i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Skalarproduktet tar vi koordinat for koordinat: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 4 = 4 \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{10} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} \end{aligned} \]

3. Sett inn og finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ 4 = \sqrt{10} \cdot \sqrt{18} \cdot \cos \angle A \]

Løser vi for \( \cos \angle A\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle A &= \dfrac{4}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{18}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{180}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{5}}{15} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren og runder av til én desimal: \[ \angle A = \cos^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{15}\right) \approx 72{,}7^\circ \]

Arealet av trekanten er halve lengden av kryssproduktet av to av sidevektorene.

1. Skriv opp vektorene Fra punktene har vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[1, 3, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 1, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten vi ser i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{[u_1, u_2, u_3]}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{[v_1, v_2, v_3]}} \) forteller den oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{bmatrix} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \begin{bmatrix} \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 12 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

3. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\right| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{12^2 + (-4)^2 + (-2)^2} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 41} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{41} \\ &= \sqrt{41} \end{aligned} \]

Vi bruker kryssproduktet fra b): \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [12, -4, -2]}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Kryssproduktet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. For parameterframstillingen går vi ut fra \( A \) langs de to vektorene i planet.

1. Finn en normalvektor Vi kan dele kryssproduktet på \( 2 \) og få en enklere normalvektor: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[6, -2, -1]} \]

2. Finn likningen til planet Likningen til et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) er, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{blue}{b}(y - y_0) \\ &\quad + \textcolor{blue}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]

Plugger vi inn normalvektoren og punktet \( A(1, 1, 0)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{6}(x - 1) \textcolor{blue}{{}- 2}(y - 1) \textcolor{blue}{{}- 1}(z - 0) &= 0 \\ 6x - 6 - 2y + 2 - z &= 0 \\ 6x - 2y - z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp parameterframstillingen Et punkt i planet når vi ved å gå fra \( A \) et stykke \( \textcolor{green}{s} \) langs \( \overrightarrow{AB} \) og et stykke \( \textcolor{magenta}{t} \) langs \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} [x, y, z] &= [1, 1, 0] + \textcolor{green}{s}[1, 3, 0] \\ &\quad + \textcolor{magenta}{t}[1, 1, 4] \end{aligned} \]

Koordinat for koordinat gir det: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{green}{s} + \textcolor{magenta}{t} \\ y &= 1 + 3\textcolor{green}{s} + \textcolor{magenta}{t} \\ z &= 4\textcolor{magenta}{t} \end{aligned} \]Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( B \) som startpunkt.

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Et punkt på y-aksen har \( {x = 0} \) og \( {z = 0}\text{.} \)

1. Finn vektorene Vi kaller punktet \( D(0, \textcolor{darkorange}{d}, 0)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 1,\ \textcolor{darkorange}{d} - 1,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, d - 1, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [2 - 2,\ 2 - 4,\ 4 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null Skalarproduktet er \( 0 \) når det er \( 90^\circ \) mellom vektorene, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AD}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} = 0 \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} (-1) \cdot 0 + (\textcolor{darkorange}{d} - 1) \cdot (-2) + 0 \cdot 4 &= 0 \\ -2\textcolor{darkorange}{d} + 2 &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{d} &= 1 \end{aligned} \]

Vi regner ut høyresiden koordinat for koordinat og går så fra \( A \) langs \( \overrightarrow{AE}\text{.} \)

1. Skriv opp vektorene Fra punktene har vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[1, 3, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut høyresiden Vi ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) med \( 2 \) og trekker fra \( \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} \) koordinat for koordinat, som i videoene Hva er en Skalar? og Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AE} &= 2\textcolor{blue}{[1, 3, 0]} - \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \\ &= [2, 6, 0] - \textcolor{red}{[0, -2, 4]} \\ &= [2, 8, -4] \end{aligned} \]

3. Finn punktet E Vi kaller punktet \( E(x, y, z)\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet gir \( \overrightarrow{AE}\text{:} \) \[ [x - 1,\ y - 1,\ z - 0] = [2, 8, -4] \]

Da er: \[ \begin{aligned} x &= 3 \\ y &= 9 \\ z &= -4 \end{aligned} \]

Vi finner vektorene mellom punktene, og så regner vi ut lengdene deres.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 3,\ 4 - 0,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 3,\ 0 - 0,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden til en vektor forteller oss at: \[ \left| [x,\ y,\ z] \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Videoen Lengden til en Vektor viser dette med to koordinater, og den tredje kommer bare med under roten.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-3})^2 + \textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{0}^2} \\ &= \sqrt{25} = 5 \\ \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 + \textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2} \\ &= \sqrt{13} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Arealet får vi fra vektorproduktet av de to vektorene ut fra \( A\text{,} \) og vinkelen fra skalarproduktet deres.

1. Regn ut vektorproduktet I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\quad \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3},\ \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= [\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0},\ \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\quad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-3})] \\ &= \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \right| \]

Plugger vi inn vektorproduktet, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \right| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{64 + 36 + 144} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos \angle A = \dfrac{\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}{\left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| \cdot \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right|} \]Se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 hvis du er usikker.

Skalarproduktet får vi ved å gange koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= (\textcolor{blue}{-3})(\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= 9 \end{aligned} \]

Plugger vi inn lengdene fra a), \( 5 \) og \( \sqrt{13}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle A &= \dfrac{9}{5\sqrt{13}} \\ \angle A &= \cos^{-1}\left(\dfrac{9}{5\sqrt{13}}\right) \\ &\approx 60{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker arealet av trekanten fra b).

I et parallellogram er motstående sider like vektorer. Diagonalen \( AC \) deler det i to like trekanter.

1. Finn punktet D Motstående sider i \( ABCD \) er parallelle og like lange, så: \[ \overrightarrow{AD} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \]

Vektoren \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \) er sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 4,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ -4,\ 2]} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går langs denne vektoren, som når vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= (3 + \textcolor{blue}{0},\ 0 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 0 + \textcolor{blue}{2}) \\ &= (3,\ -4,\ 2) \end{aligned} \]

2. Finn arealet Diagonalen \( AC \) deler parallellogrammet i to like store trekanter. I b) fant vi at \( \Delta ABC \) har arealet \( {T = \sqrt{61}}\text{.} \) Arealet \( G \) av parallellogrammet er to ganger det: \[ G = 2 \cdot T = 2 \cdot \sqrt{61} = 2\sqrt{61} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b), som står vinkelrett på grunnflata, og arealet fra c).

Vi setter opp volumet med vektorproduktet og vektoren fra \( A \) til toppunktet, og setter det lik \( 10\text{.} \) Volumet er positivt, så vi får to mulige fortegn.

1. Skriv opp volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]Videoen Volum og Overflate viser at volumet til et prisme er grunnflate ganger høyde. Pyramiden har en tredjedel av det.

I b) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{n}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]}}\text{,} \) som står vinkelrett på grunnflata. Lengden er \( {\sqrt{244} = 2\sqrt{61}}\text{,} \) det samme som arealet i c): \[ G = \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right| \]

Høyden er avstanden fra \( T \) til grunnflata. Det er lengden av projeksjonen av \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \) på \( \textcolor{green}{\vec{n}}\text{:} \) \[ h = \dfrac{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right|}{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \]

Ganger vi dem sammen, stryker \( {\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \) seg: \[ V = \dfrac{1}{3} \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right| \]

2. Plugg inn punktet T Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{red}{[t - 3,\ t,\ t]} \\ \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{green}{8}(\textcolor{red}{t - 3}) + \textcolor{green}{6}\textcolor{red}{t} + \textcolor{green}{12}\textcolor{red}{t} \\ &= 26t - 24 \end{aligned} \]

3. Løs for t Volumet skal være \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \left| 26t - 24 \right| &= 10 \\ \left| 26t - 24 \right| &= 30 \end{aligned} \]

Uttrykket inni kan være \( 30\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= 30 \\ 26t &= 54 \\ t &= \dfrac{27}{13} \end{aligned} \]

Det kan også være \( {-30}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= -30 \\ 26t &= -6 \\ t &= -\dfrac{3}{13} \end{aligned} \]

De to verdiene gir hvert sitt toppunkt, ett på hver side av grunnflata.

Vi finner vektorene mellom punktene og regner ut lengdene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet av de to vektorene som går ut fra \( B\text{.} \)

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Vektorene ut fra \( B \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{BA}} &= [1 - 2,\ 3 - 1,\ 2 - 4] \\ &= \textcolor{red}{[-1, 2, -2]} \\ \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= [3 - 2,\ 2 - 1,\ 0 - 4] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 1, -4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{9} = 3 \\ BC &= \sqrt{\textcolor{blue}{1}^2 + \textcolor{blue}{1}^2 + (\textcolor{blue}{-4})^2} \\ &= \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\vec{a}} \cdot \textcolor{blue}{\vec{b}} = |\textcolor{red}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{blue}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Der er \( v \) vinkelen mellom vektorene. Her er \( {\textcolor{red}{\vec{a}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{BA}}} \) og \( {\textcolor{blue}{\vec{b}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}}}\text{.} \) Skalarproduktet regner vi ut koordinat for koordinat: \[ \textcolor{red}{\vec{a}} \cdot \textcolor{blue}{\vec{b}} = \textcolor{red}{a_1}\textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_2} + \textcolor{red}{a_3}\textcolor{blue}{b_3} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\overrightarrow{BA}} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \\ &= (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-4) \\ &= -1 + 2 + 8 = 9 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 9 &= \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{3\sqrt{2}} \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{9}{9\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

Den eksakte verdien \( {\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) gir oss: \[ \angle B = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \]

Vi finner en normalvektor til planet med vektorproduktet av to vektorer i planet. Så setter vi normalvektoren og ett punkt inn i likningen for et plan.

1. Finn to vektorer i planet Vi tar to vektorer ut fra \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1,\ 1 - 3,\ 4 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[1, -2, 2]} \\ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [3 - 1,\ 2 - 3,\ 0 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[2, -1, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn en normalvektor Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene. Formelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{red}{a_1}, \textcolor{red}{a_2}, \textcolor{red}{a_3}] \times [\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{blue}{b_2}, \textcolor{blue}{b_3}] \\ &= [\textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_3} - \textcolor{red}{a_3}\textcolor{blue}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{red}{a_3}\textcolor{blue}{b_1} - \textcolor{red}{a_1}\textcolor{blue}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{red}{a_1}\textcolor{blue}{b_2} - \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi hver koordinat for seg: \[ \begin{aligned} (\textcolor{red}{-2})(\textcolor{blue}{-2}) - \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) &= 6 \\ \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) &= 6 \\ \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) - (\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{blue}{2} &= 3 \end{aligned} \]

Vektorproduktet er altså \( {[6, 6, 3] = 3 \cdot [2, 2, 1]}\text{.} \) Vi bruker den enkleste vektoren med samme retning: \[ \vec{n} = [\textcolor{darkorange}{2}, \textcolor{darkorange}{2}, \textcolor{darkorange}{1}] \]

3. Sett opp likningen for planet Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{a}(x - \textcolor{green}{x_0}) + \textcolor{darkorange}{b}(y - \textcolor{green}{y_0}) \\ &+ \textcolor{darkorange}{c}(z - \textcolor{green}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her bruker vi punktet \( A\text{:} \) \[ \textcolor{green}{(x_0, y_0, z_0)} = \textcolor{green}{(1, 3, 2)} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2}(x - \textcolor{green}{1}) + \textcolor{darkorange}{2}(y - \textcolor{green}{3}) + \textcolor{darkorange}{1}(z - \textcolor{green}{2}) &= 0 \\ 2x + 2y + z - 10 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) gir \( {2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 = 10}\text{,} \) og \( C \) gir \( {2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 0 = 10}\text{.} \) Begge ligger i planet.

Vi finner først vektorene ved å ta sluttpunkt minus startpunkt, og regner så ut lengdene.

1. Finn vektorene En vektor fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [5 - 2,\ 2 - 4,\ 2 - (-3)] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 5 - (-3)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor, her med en tredje koordinat: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-2})^2 + \textcolor{blue}{5}^2} \\ &= \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + (\textcolor{red}{-4})^2 + \textcolor{red}{8}^2} \\ &= \sqrt{4 + 16 + 64} \\ &= \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{8} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 4 \\ y &= \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{8} = -34 \\ z &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -16 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [4, -34, -16] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{4^2 + (-34)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{16 + 1156 + 256} \\ &= \sqrt{1428} = \sqrt{4 \cdot 357} = 2\sqrt{357} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{357} = \sqrt{357} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Vi velger punktet \( A \) og vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?. Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= A = \textcolor{green}{(2, 4, -3)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} + \textcolor{blue}{3}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{4} \textcolor{blue}{{}- 2}s \textcolor{red}{{}- 4}t \\ z &= \textcolor{green}{-3} + \textcolor{blue}{5}s + \textcolor{red}{8}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med punktet \( C \) som startpunkt.

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Vinkelen i \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\angle BAC) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \textcolor{blue}{[3, -2, 5]}, & |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{38} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{red}{[-2, -4, 8]}, & |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

2. Regn ut vinkelen Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{8} \\ &= -6 + 8 + 40 = 42 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(\angle BAC) &= \dfrac{42}{\sqrt{38} \cdot 2\sqrt{21}} \\ &= \dfrac{21}{\sqrt{798}} \approx 0{,}743 \end{aligned} \]

Vi går baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(\dfrac{21}{\sqrt{798}}\right) \approx 42{,}0^\circ \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Volumet får vi fra skalarproduktet av vektorproduktet og den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[4, -34, -16]} \]

Den tredje vektoren er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 8 - (-3)] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 11]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[4, -34, -16]} \cdot \textcolor{red}{[1, -3, 11]} \\ &= \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{blue}{-34}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) + (\textcolor{blue}{-16}) \cdot \textcolor{red}{11} \\ &= 4 + 102 - 176 = -70 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |-70| = \dfrac{70}{6} = \dfrac{35}{3} \]

Vi bruker arealet fra b) og volumet fra e). Volumet står i oppgaven, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til e).

Vi kjenner volumet og grunnflaten, så høyden får vi fra volumformelen for en pyramide.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en pyramide er en tredjedel av grunnflaten ganget med høyden: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser \( {V = G \cdot h} \) for en kasse og sier at en pyramide har sin egen formel.

Her er: \[ V = \dfrac{35}{3}, \quad \textcolor{blue}{G} = \textcolor{blue}{\sqrt{357}} \]

2. Løs for høyden Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{35}{3} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{357}} \cdot \textcolor{red}{h} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{35}{\textcolor{blue}{\sqrt{357}}} \\ &= \dfrac{35\sqrt{357}}{357} = \dfrac{5\sqrt{357}}{51} \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke startpunktet fra sluttpunktet, koordinat for koordinat. Det siste uttrykket regner vi også koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene fra A Vektoren fra \( A \) til \( B \) er gitt ved, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{2 - 1},\ \textcolor{red}{1 - 2},\ \textcolor{green}{0 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{4 - 1},\ \textcolor{red}{3 - 2},\ \textcolor{green}{6 - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Vektoren \( \overrightarrow{CA} \) går motsatt vei av \( \overrightarrow{AC}\text{:} \) \[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \]

Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} 3\overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-3}] \\ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} &= \left[\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}}\right] \end{aligned} \]

Så trekker vi vektorene fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\left[\textcolor{blue}{3 + \dfrac{3}{2}},\ \textcolor{red}{-3 + \dfrac{1}{2}},\ \textcolor{green}{-3 + \dfrac{5}{2}}\right] \\ &= \left[\textcolor{blue}{\dfrac{9}{2}},\ \textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}},\ \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}}\right] \end{aligned} \]

Vinkel \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Vi bruker derfor skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot \cos C \]Hvis du er usikker på skalarproduktet, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-5}] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{2 - 4},\ \textcolor{red}{1 - 3},\ \textcolor{green}{0 - 6}] \\ &= [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{-6}] \end{aligned} \]

2. Regn ut produktet og lengdene Skalarproduktet ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \\ &= \textcolor{blue}{(-3)(-2)} + \textcolor{red}{(-1)(-2)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(-5)(-6)} \\ &= \textcolor{blue}{6} + \textcolor{red}{2} + \textcolor{green}{30} = 38 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{CA}| &= \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35} \\ |\overrightarrow{CB}| &= \sqrt{4 + 4 + 36} = 2\sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn og løser for \( \cos C\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos C &= \dfrac{38}{\sqrt{35} \cdot 2\sqrt{11}} \\ &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]

Vinkelen finner vi med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren: \[ C = \cos^{-1}\left(\dfrac{19}{\sqrt{385}}\right) \approx 14{,}5^\circ \]

Vi bruker sidene og \( \cos C \) fra b).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor arealsetningen, med \( \sin C \) regnet ut eksakt.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{\sin C} \]Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er, fra b): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= |\overrightarrow{CB}| = \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \\ \textcolor{red}{b} &= |\overrightarrow{CA}| = \textcolor{red}{\sqrt{35}} \\ \cos C &= \dfrac{19}{\sqrt{385}} \end{aligned} \]

2. Finn sinus til vinkelen Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \]

Siden \( C \) ligger mellom \( 0^\circ \) og \( 180^\circ\text{,} \) er \( \sin C \) positiv: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin C} &= \sqrt{1 - \dfrac{361}{385}} \\ &= \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Plugger vi dette inn, og bruker at \( {2\sqrt{11} \cdot \sqrt{35} = 2\sqrt{385}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{11}} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{35}} \cdot \textcolor{green}{\sqrt{\dfrac{24}{385}}} \\ &= \sqrt{385} \cdot \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{385}} \\ &= \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

For å skrive opp planet trenger vi et punkt og en normalvektor. Normalvektoren får vi som vektorproduktet av to vektorer i planet.

1. Finn en normalvektor Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \times \vec{v} = [\,&u_2v_3 - u_3v_2, \\ &u_3v_1 - u_1v_3, \\ &u_1v_2 - u_2v_1\,] \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \vec{u} &= \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{-1}] \\ \vec{v} &= \overrightarrow{AC} = [\textcolor{blue}{3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{-1} \cdot \textcolor{green}{5} - (\textcolor{green}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1}, \\ &\quad\ \ \textcolor{green}{-1} \cdot \textcolor{blue}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{5}, \\ &\quad\ \ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{red}{-1}) \cdot \textcolor{blue}{3}] \\ &= [-4,\ -8,\ 4] \end{aligned} \]

Vi kan dele en normalvektor på et tall, for den står fortsatt vinkelrett på planet. Deler vi på \( {-4}\text{,} \) får vi en enklere normalvektor: \[ \vec{n} = [1,\ 2,\ -1] \]

2. Sett opp planet Formelen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen for et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} {[a, b, c]} &= [1, 2, -1] \\ (x_0, y_0, z_0) &= (1, 2, 1) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 1(x - 1) + 2(y - 2) - (z - 1) &= 0 \\ x - 1 + 2y - 4 - z + 1 &= 0 \\ x + 2y - z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) gir \( {2 + 2 - 0 - 4 = 0} \) og \( C \) gir \( {4 + 6 - 6 - 4 = 0}\text{.} \)

Vi bruker \( {\overrightarrow{AB} = [1, -1, -1]} \) fra a).

Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) så vi setter det lik \( 0 \) og løser.

1. Skriv opp vektoren Vi kaller punktet \( D(0, 0, t)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AD} &= [\textcolor{blue}{0 - 1},\ \textcolor{red}{0 - 2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-2},\ \textcolor{green}{t - 1}] \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{(-1) \cdot 1} + \textcolor{red}{(-2)(-1)} \\ &\quad + \textcolor{green}{(t - 1)(-1)} = 0 \\ &-1 + 2 - t + 1 = 0 \\ &2 - t = 0 \\ &t = 2 \end{aligned} \]

Vi finner hver vektor ved å ta sluttpunkt minus startpunkt. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra, koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 0 - 1,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 1,\ 3 - 1,\ 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} &= [0 - (-1),\ 0 - 3,\ 2 - 3] \\ &= \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Når vi ganger med et tall, ganger vi hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?. Når vi trekker fra, gjør vi det koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &2\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} - \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} \\ &= 2 \cdot \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-4, 4, 8] - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-5, 7, 9] \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Vinkel \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} \\ &= 2 - 2 + 12 = 12 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + \textcolor{blue}{3}^2} = \sqrt{11} \\ |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(A) &= \dfrac{12}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{24}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{264}} \approx 0{,}7385 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A = \cos^{-1}\left(\dfrac{12}{\sqrt{264}}\right) \approx 42{,}4^\circ \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} = -10 \\ y &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} = -2 \\ z &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -4 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-10, -2, -4] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{30} = \sqrt{30} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene i planet, så det er en normalvektor. Med en normalvektor og et punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-10, -2, -4] \\ &= -2 \cdot [5, 1, 2] \end{aligned} \]

Vektoren \( [5, 1, 2] \) er parallell med denne, så den er også en normalvektor, og den er enklere å regne med.

2. Sett inn i likningen for planet Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[5, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(1, 1, -1)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{5}(x - \textcolor{red}{1}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(z - (\textcolor{red}{-1})) = 0 \\ &5x - 5 + y - 1 + 2z + 2 = 0 \\ &5x + y + 2z = 4 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan som er parallelt med \( \alpha \) har de samme retningene. Vi bruker derfor \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) men starter i \( E\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= E = \textcolor{green}{(2, 3, 4)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 1}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 1}s + \textcolor{red}{2}t \\ z &= \textcolor{green}{4} + \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{4}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( {[-1, 1, 2]} \) i stedet for \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Vi skriver \( D \) med en ukjent \( {y\text{-koordinat}} \) og setter volumet lik \( 20\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I c) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \]

Et punkt på \( {y\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {z = 0}\text{,} \) så \( {D = (0, y, 0)}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 1,\ y - 1,\ 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \cdot \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \\ &= (\textcolor{blue}{-10}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{y - 1}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 10 - 2y + 2 - 4 \\ &= 8 - 2y \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi setter volumet lik \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6} |8 - 2y| &= 20 \\ |8 - 2y| &= 120 \end{aligned} \]

Tallverdien er \( 120 \) når uttrykket er \( 120 \) eller \( {-120}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8 - 2y = 120 &\Rightarrow y = -56 \\ 8 - 2y = -120 &\Rightarrow y = 64 \end{aligned} \]