Forkurs matematikk konteeksamen 2022 – løsningsforslag

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn to tall i \( P(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } P(x) \\ &\iff P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} (x - 1) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \\ (x - 2) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn de to verdiene Plugger vi dette inn i \( P(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 \\ &= 1 - 4 - 7 + 10 \\ &= 0 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{2}) &= 2^3 - 4 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 10 \\ &= 8 - 16 - 14 + 10 \\ &= -12 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor, og siden \( {P(2) \neq 0} \) er \( {(x - 2)} \) ikke en faktor.

Vi deler først. Svaret blir et andregradsuttrykk, og det faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 10\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x - 1) &= -3x^2 + 3x \\ -(-3x^2 + 3x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & -10x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-7x - 3x = -10x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 10\text{.} \) Linja \( {-10x + 10} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-10x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-10x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-10} \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot (x - 1) &= -10x + 10 \\ -(-10x + 10) &= \textcolor{blue}{10x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 10} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-10x}} & {}+ 10 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{10x}} & \textcolor{blue}{{}- 10} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-10x} \) strykes mot \( 10x\text{,} \) og \( {10 - 10 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \\ &= (x - 1)(x^2 - 3x - 10) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 3x - 10} \) ved å løse \( {x^2 - 3x - 10 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på hvordan nullpunktene gir faktorene, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Vi regner ut det som står under roten først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= (\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10}) \\ &= 9 + 40 = 49 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm 7}{2} \]

Det gir oss nullpunktene \( {x = 5} \) og \( {x = -2}\text{,} \) og dermed: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Vi bruker faktoriseringen fra b).

Venstresiden er \( P(x)\text{,} \) som vi har på faktorisert form. Da kan vi finne fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Skriv ulikheten med faktorene I b) fant vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Ulikheten er derfor: \[ (\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1})(\textcolor{green}{x - 5}) \geq 0 \]

Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

2. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1, 5], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 5}", "expr": "x - 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 2)(x - 1)(x - 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi skal ha der \( P(x) \) er positiv, og også der den er \( 0\text{,} \) siden ulikheten har \( {\geq}\text{.} \) Det gir oss: \[ -2 \leq x \leq 1 \quad \text{eller} \quad x \geq 5 \]

Overflaten avhenger av høyden, som vi ikke kjenner. Vi bruker volumet til å uttrykke høyden med \( x\text{,} \) og setter det inn i overflaten.

1. Finn høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = G \cdot \textcolor{green}{h} \]

Her er: \[ V = 300, \quad G = 3x \cdot x = 3x^2 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3x^2 \cdot \textcolor{green}{h} &= 300 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse er de seks sideflatene lagt sammen, som i videoen Volum og Overflate: \[ O = 2(\textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{green}{h} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h}) \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{l} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} O(x) &= 2\Big(\textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \\ &\qquad + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}}\Big) \\ &= 2\left(3x^2 + \dfrac{300}{x} + \dfrac{100}{x}\right) \\ &= \dfrac{800}{x} + 6x^2 \end{aligned} \]

3. Deriver ledd for ledd Vi skriver brøken som en potens, \( {\dfrac{800}{x} = 800x^{-1}}\text{,} \) og bruker potensregelen. Den forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {800x^{-1}} \) derivert blir: \[ \underline{800 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\dfrac{800}{x^2}} \]

\( 6x^2 \) derivert blir: \[ \underline{6 \cdot 2 \cdot x = 12x} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = 12x - \dfrac{800}{x^2} \]

Vi bruker uttrykkene for \( O(x) \) og \( O'(x) \) fra a).

Den minste overflaten finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) og vi sjekker fortegnet for å se at det er et bunnpunkt.

1. Sett den deriverte lik null I a) fant vi: \[ O'(x) = 12x - \dfrac{800}{x^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( x^2 \) på begge sider og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 12x - \dfrac{800}{x^2} &= 0 \\ 12x^3 &= 800 \\ x^3 &= \dfrac{200}{3} \\ x &= \sqrt[3]{\dfrac{200}{3}} \end{aligned} \]

Vi kaller denne verdien \( \textcolor{blue}{x_0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x_0} = \textcolor{blue}{\sqrt[3]{\dfrac{200}{3}}} \approx \textcolor{blue}{4{,}0548} \]

2. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(x) = \dfrac{12x^3 - 800}{x^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} x < \textcolor{blue}{x_0} &: \quad 12x^3 < 800 \Rightarrow O'(x) < 0 \\ x > \textcolor{blue}{x_0} &: \quad 12x^3 > 800 \Rightarrow O'(x) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og har dermed sin minste verdi i dette punktet.

3. Regn ut målene Vi regner med den uavrundede verdien av \( \textcolor{blue}{x_0}\text{,} \) og med høyden \( {h = \dfrac{100}{x^2}} \) fra a): \[ \begin{aligned} \text{Lengden} &= 3\textcolor{blue}{x_0} \approx 12{,}16 \\ \text{Bredden} &= \textcolor{blue}{x_0} \approx 4{,}05 \\ \text{Høyden} &= \dfrac{100}{\textcolor{blue}{x_0}^2} \approx 6{,}08 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{x_0} \) inn i \( O(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{x_0}) &= \dfrac{800}{\textcolor{blue}{x_0}} + 6\textcolor{blue}{x_0}^2 \\ &\approx 197{,}30 + 98{,}65 \\ &\approx 295{,}95 \end{aligned} \]

Vi finner først vektorene ved å ta sluttpunkt minus startpunkt, og regner så ut lengdene.

1. Finn vektorene En vektor fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [5 - 2,\ 2 - 4,\ 2 - (-3)] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 5 - (-3)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor, her med en tredje koordinat: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-2})^2 + \textcolor{blue}{5}^2} \\ &= \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + (\textcolor{red}{-4})^2 + \textcolor{red}{8}^2} \\ &= \sqrt{4 + 16 + 64} \\ &= \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{8} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 4 \\ y &= \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{8} = -34 \\ z &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -16 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [4, -34, -16] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{4^2 + (-34)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{16 + 1156 + 256} \\ &= \sqrt{1428} = \sqrt{4 \cdot 357} = 2\sqrt{357} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{357} = \sqrt{357} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Vi velger punktet \( A \) og vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?. Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= A = \textcolor{green}{(2, 4, -3)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} + \textcolor{blue}{3}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{4} \textcolor{blue}{{}- 2}s \textcolor{red}{{}- 4}t \\ z &= \textcolor{green}{-3} + \textcolor{blue}{5}s + \textcolor{red}{8}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med punktet \( C \) som startpunkt.

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Vinkelen i \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\angle BAC) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \textcolor{blue}{[3, -2, 5]}, & |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{38} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{red}{[-2, -4, 8]}, & |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

2. Regn ut vinkelen Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{8} \\ &= -6 + 8 + 40 = 42 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(\angle BAC) &= \dfrac{42}{\sqrt{38} \cdot 2\sqrt{21}} \\ &= \dfrac{21}{\sqrt{798}} \approx 0{,}743 \end{aligned} \]

Vi går baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(\dfrac{21}{\sqrt{798}}\right) \approx 42{,}0^\circ \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Volumet får vi fra skalarproduktet av vektorproduktet og den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[4, -34, -16]} \]

Den tredje vektoren er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 8 - (-3)] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 11]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[4, -34, -16]} \cdot \textcolor{red}{[1, -3, 11]} \\ &= \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{blue}{-34}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) + (\textcolor{blue}{-16}) \cdot \textcolor{red}{11} \\ &= 4 + 102 - 176 = -70 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |-70| = \dfrac{70}{6} = \dfrac{35}{3} \]

Vi bruker arealet fra b) og volumet fra e). Volumet står i oppgaven, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til e).

Vi kjenner volumet og grunnflaten, så høyden får vi fra volumformelen for en pyramide.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en pyramide er en tredjedel av grunnflaten ganget med høyden: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser \( {V = G \cdot h} \) for en kasse og sier at en pyramide har sin egen formel.

Her er: \[ V = \dfrac{35}{3}, \quad \textcolor{blue}{G} = \textcolor{blue}{\sqrt{357}} \]

2. Løs for høyden Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{35}{3} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{357}} \cdot \textcolor{red}{h} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{35}{\textcolor{blue}{\sqrt{357}}} \\ &= \dfrac{35\sqrt{357}}{357} = \dfrac{5\sqrt{357}}{51} \end{aligned} \]

Vi vet hvor den deriverte er \( 0\text{,} \) så vi setter opp den deriverte først og integrerer den.

1. Sett opp den deriverte I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En andregradsfunksjon med nullpunktene \( {-2} \) og \( 1 \) er: \[ f'(x) = \textcolor{green}{k}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) slik at alle koeffisientene i \( f(x) \) blir hele tall: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{green}{6}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \\ &= 6(x^2 + x - 2) \\ &= 6x^2 + 6x - 12 \end{aligned} \]

2. Integrer den deriverte Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Regelen forteller oss at: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad n \neq -1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int (6x^2 + 6x - 12)\, dx \\ &= 6 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 6 \cdot \dfrac{x^2}{2} - 12x + C \\ &= 2x^3 + 3x^2 - 12x + C \end{aligned} \]

Vi velger \( {C = 0}\text{.} \)

3. Sjekk at punktene er ekstremalpunkter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "6(x + 2)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -2} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

Andre svar er også riktige: alle valg av \( {k \neq 0} \) og \( C \) gir en slik funksjon, for eksempel \( {f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5}\text{.} \)

Vi tar linja \( {y = x - 2} \) og legger til en brøk som går mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, og som har nevneren \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Sett opp funksjonen Brøken \( {\dfrac{1}{x + 2}} \) er den enkleste som har de to egenskapene, så vi velger: \[ h(x) = \textcolor{blue}{x - 2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \]

2. Sjekk skråasymptoten Avstanden mellom grafen og linja er brøken, og den går mot \( 0 \) når \( x \) går mot pluss eller minus uendelig: \[ h(x) - (\textcolor{blue}{x - 2}) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \to 0 \]

Altså er \( {y = x - 2} \) en skråasymptote.

3. Sjekk den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Telleren i brøken er \( 1\text{,} \) så \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {h(x) = x - 2 + \dfrac{5}{x + 2}}\text{.} \)

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( n \)-te leddet. Trekker vi dem fra hverandre, forsvinner \( a_1\text{.} \)

1. Finn differansen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den øverste fra den nederste, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Vi setter \( \textcolor{red}{d} \) inn i den øverste likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{7}{3} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ s_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad n = 40 \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \dfrac{1}{3} + 39 \cdot \dfrac{1}{3} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s_{40} &= \dfrac{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right) \cdot 40}{2} \\ &= \dfrac{41}{3} \cdot 20 = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten er mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

Det neste leddet stemmer, og \( {x \neq 0} \) siden vi deler på \( x^2\text{:} \) \[ (x^2 - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \]

2. Sett opp konvergenskravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \quad \iff \quad -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten som to ledd og setter den inn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} &= \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \\ -1 &< \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} < 1 \end{aligned} \]

3. Løs de to ulikhetene Høyre side holder alltid, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \quad \iff \quad \dfrac{1}{x^2} > 0 \]

Venstre side gir oss kravet. Vi ganger med \( x^2\text{,} \) som er positiv, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{1}{x^2} \\ \dfrac{1}{x^2} &< 2 \\ 1 &< 2x^2 \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Roten av \( \dfrac{1}{2} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så det gir oss: \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter opp summen av den uendelige rekka, setter den lik \( 4 \) og sjekker at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er, med kvotienten fra b): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

2. Finn summen Vi regner først ut nevneren: \[ 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \]

3. Sett summen lik fire Det gir oss likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

Her kan \( x^2 \) ikke være \( {-2}\text{,} \) siden et kvadrat aldri er negativt. Begge svarene ligger i konvergensintervallet fra b), siden \( {\sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \)

De to merkede punktene er et toppunkt og bunnpunktet rett etter. Av dem kan vi lese alle tre størrelsene.

1. Les av fra toppunktet og bunnpunktet Fra et toppunkt til neste bunnpunkt går det en halv periode, så perioden er det dobbelte av avstanden i \( x\text{:} \) \[ P = 2 \cdot \left(\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Amplituden er halve høydeforskjellen mellom \( {\textcolor{blue}{y_{\text{topp}}} = \textcolor{blue}{1}} \) og \( {\textcolor{red}{y_{\text{bunn}}} = \textcolor{red}{-5}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{blue}{y_{\text{topp}}} - \textcolor{red}{y_{\text{bunn}}}}{2} = \dfrac{\textcolor{blue}{1} - (\textcolor{red}{-5})}{2} = 3 \]

Likevektslinja ligger midt mellom toppen og bunnen: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{\textcolor{blue}{y_{\text{topp}}} + \textcolor{red}{y_{\text{bunn}}}}{2} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{1} + (\textcolor{red}{-5})}{2} = -2 \end{aligned} \]

Vi bruker perioden, amplituden og likevektslinja fra a).

Tre av konstantene følger av a). Den siste, \( c\text{,} \) finner vi fra toppunktet.

1. Finn a, k og d I \( {f(x) = \textcolor{blue}{a} \sin(\textcolor{red}{k}x + \textcolor{green}{c}) + \textcolor{darkorange}{d}} \) er \( \textcolor{blue}{a} \) amplituden og \( \textcolor{darkorange}{d} \) likevektslinja: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{-2} \]

Perioden er gitt ved \( {P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{k}}}\text{,} \) så med \( {P = 4} \) får vi: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{2\pi}{4} = \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}} \]

2. Finn c fra toppunktet I toppunktet er sinus størst, altså \( 1\text{.} \) Det skjer når vinkelen er \( 90^\circ\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri, og \( 90^\circ \) tilsvarer \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) får vi derfor: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}} \cdot \dfrac{1}{2} + \textcolor{green}{c} &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{green}{c} &= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen og sjekk Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \sin\left(\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}}x + \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}}\right) \textcolor{darkorange}{{}- 2} \]

Kontroll: Bunnpunktet stemmer: i \( {x = \dfrac{5}{2}} \) får vi \( {3\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) - 2 = -5}\text{.} \)

Andre uttrykk beskriver samme graf, for eksempel med \( {c = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi}\text{.} \)

I 1) velger vi fra to grupper hver for seg, så vi ganger. I 2) velger vi to fra samme gruppe, og rekkefølgen betyr ikke noe.

1. Tell jente og gutt Hver av de \( \textcolor{blue}{16} \) jentene kan settes sammen med hver av de \( \textcolor{red}{10} \) guttene, så vi ganger: \[ \textcolor{blue}{16} \cdot \textcolor{red}{10} = 160 \]

2. Tell to gutter Vi velger \( \textcolor{green}{k} \) av \( \textcolor{red}{n} \) uten å bry oss om rekkefølgen. Antall måter er gitt ved binomialkoeffisienten: \[ \binom{\textcolor{red}{n}}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{\textcolor{red}{n}!}{\textcolor{green}{k}! \cdot (\textcolor{red}{n} - \textcolor{green}{k})!} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{10}, \quad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \binom{\textcolor{red}{10}}{\textcolor{green}{2}} = \dfrac{\textcolor{red}{10}!}{\textcolor{green}{2}! \cdot 8!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} = 45 \]

Alle par er like sannsynlige, så vi teller parene der Soline er med og deler på alle parene.

1. Skriv opp sannsynligheten Når alle utfall er like sannsynlige, er sannsynligheten gitt ved: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{gunstige}}}{\textcolor{red}{\text{mulige}}} \]Det er formelen i videoen Diskret og kontinuerlig.

2. Tell parene Mulige utfall er alle par av de \( 26 \) elevene: \[ \textcolor{red}{\binom{26}{2}} = \dfrac{26 \cdot 25}{2} = \textcolor{red}{325} \]

Gunstige utfall er parene med Soline, og hun kan stå sammen med hver av de \( 25 \) andre: \[ \textcolor{blue}{\text{gunstige}} = \textcolor{blue}{25} \]

3. Regn ut sannsynligheten Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{\textcolor{blue}{25}}{\textcolor{red}{325}} = \dfrac{1}{13} \]

Vi deriverer, finner nullpunktet til den deriverte og bruker fortegnet til å se hvor funksjonen stiger og synker.

1. Deriver ledd for ledd \( (\ln x)^2 \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(g(\textcolor{green}{u})\right)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er, med \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= \textcolor{green}{u}^2 & g'(\textcolor{green}{u}) &= 2\textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\ln x} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left((\ln x)^2\right)' = 2\textcolor{green}{\ln x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} = \underline{\dfrac{2\ln x}{x}} \]

\( 6\ln x \) derivert blir \( \underline{\dfrac{6}{x}}\text{,} \) og \( 1 \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2\ln x + 6}}{\textcolor{magenta}{x}} \]

2. Finn nullpunktet til den deriverte Nevneren er aldri \( 0 \) for \( {x > 0}\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2\ln x + 6} &= 0 \\ \ln x &= -3 \\ x &= e^{-3} \end{aligned} \]Det siste steget er definisjonen av \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

3. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.049787068367863944], "labels": ["e^{-3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2\\ln x + 6}", "expr": "2ln(x) + 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2ln(x) + 6)/x"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = e^{-3}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

4. Regn ut bunnpunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-3}) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-3}) &= (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 1 \\ &= 9 - 18 + 1 = -8 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra a).

Krumningen er gitt av fortegnet til \( f''(x)\text{,} \) så vi deriverer én gang til og lager et fortegnsskjema.

1. Finn den andrederiverte I a) fant vi: \[ f'(x) = \dfrac{2\ln x + 6}{x} \]

Det er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2\ln x + 6} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{2\ln x + 6}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{2 - 2\ln x - 6}{x^2} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4}}{\textcolor{magenta}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktet til den andrederiverte Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4} &= 0 \\ \ln x &= -2 \\ x &= e^{-2} \end{aligned} \]

3. Lag et fortegnsskjema Nevneren \( \textcolor{magenta}{x^2} \) er alltid positiv for \( {x > 0}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.1353352832366127], "labels": ["e^{-2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-2\\ln x - 4}", "expr": "-2ln(x) - 4"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x^2}", "expr": "x^2"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(-2ln(x) - 4)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

For \( {x < e^{-2}} \) er \( {f''(x) > 0}\text{,} \) så grafen krummer oppover. For \( {x > e^{-2}} \) er \( {f''(x) < 0}\text{,} \) så grafen krummer nedover. Krumningen skifter i \( {x = e^{-2}}\text{,} \) så der er et vendepunkt.

4. Regn ut vendepunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-2}) = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-2}) &= (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 1 \\ &= 4 - 12 + 1 = -7 \end{aligned} \]