Forkurseksamen etter tema

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da gir arealsetningen arealet og cosinussetningen siden BC. Vinkel \( C \) finner vi med cosinussetningen igjen.

1. Regn ut arealet Vi kaller siden BC for \( a\text{,} \) siden AC for \( \textcolor{blue}{b} \) og siden AB for \( \textcolor{red}{c}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin(\textcolor{green}{A}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \sin(\textcolor{green}{40^\circ}) \\ &= 12\sin(40^\circ) \\ &\approx 7{,}71 \end{aligned} \]

2. Regn ut lengden av siden Cosinussetningen forteller oss at: \[ a^2 = \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{red}{c}^2 - 2\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{c} \cdot \cos(\textcolor{green}{A}) \]Det er setningen i videoen Cosinussetningen.

Plugger vi inn de samme verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} a^2 &= \textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{red}{6}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos(\textcolor{green}{40^\circ}) \\ &= 52 - 48\cos(40^\circ) \\ &\approx 15{,}23 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så: \[ a = \sqrt{52 - 48\cos(40^\circ)} \approx 3{,}90 \]

3. Regn ut vinkelen Vi skriver cosinussetningen med siden motsatt vinkel \( C \) alene på venstre side, som i videoen Cosinussetningen: \[ \textcolor{red}{c}^2 = a^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2a\textcolor{blue}{b} \cdot \cos(C) \]

Løser vi for \( \cos(C)\text{,} \) og setter inn de uavrundede verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(C) &= \dfrac{a^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - \textcolor{red}{c}^2}{2a\textcolor{blue}{b}} \\ &\approx \dfrac{15{,}23 + \textcolor{blue}{16} - \textcolor{red}{36}}{2 \cdot 3{,}90 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &\approx -0{,}153 \end{aligned} \]

Vi går baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. Cosinus er negativ, så vinkelen er stump: \[ C = \cos^{-1}(-0{,}153) \approx 98{,}8^\circ \]

Med sinussetningen måtte vi ha valgt mellom to vinkler, her gir cosinussetningen bare én.

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem i trekanten \( ACD\text{.} \) Vi trekker derfor linja \( AC \) og deler firkanten i to trekanter.

1. Del firkanten i to trekanter Vi trekker linja \( AC\text{:} \)

2. Finn linja AC Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{AD}^2 + \textcolor{blue}{DC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AD} \cdot \textcolor{blue}{DC} \cdot \cos D \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{AD} = \textcolor{blue}{DC} = \textcolor{blue}{5}, \quad D = 120^\circ \]

Plugger vi dette inn, får vi, siden \( {\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{blue}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 75 \\ \textcolor{red}{AC} &= \textcolor{red}{5\sqrt{3}} \end{aligned} \]

3. Finn vinklene i trekant ABC Trekanten \( ACD \) er likebeint, så vinklene ved \( A \) og \( C \) er like: \[ \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \]

Trekker vi disse fra vinklene i figuren, får vi vinklene i trekanten \( ABC\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CAB &= 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ \\ \angle ACB &= 130^\circ - 30^\circ = 100^\circ \\ \angle ABC &= 180^\circ - 15^\circ - 100^\circ = 65^\circ \end{aligned} \]

4. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekanten \( ABC \) forteller oss at: \[ \begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin \angle ACB} &= \dfrac{\textcolor{red}{AC}}{\sin \angle ABC} \\ \dfrac{BC}{\sin \angle CAB} &= \dfrac{\textcolor{red}{AC}}{\sin \angle ABC} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Løser vi for \( AB \) og \( BC\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \dfrac{\textcolor{red}{5\sqrt{3}} \cdot \sin 100^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 9{,}4104 \\ BC &= \dfrac{\textcolor{red}{5\sqrt{3}} \cdot \sin 15^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 2{,}4732 \end{aligned} \]

5. Sammenlign de to veiene Per går \( AB\text{,} \) og Kari går \( {AD + DC + BC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Per} &\approx 9{,}4104\,\text{km} \\ \text{Kari} &\approx 5 + 5 + 2{,}4732 \\ &= 12{,}4732\,\text{km} \end{aligned} \]

Hvor mange prosent lenger Kari må gå, er forskjellen delt på det Per går: \[ \begin{aligned} &\dfrac{12{,}4732 - 9{,}4104}{9{,}4104} \cdot 100\,\% \\ &\approx 32{,}5\,\% \end{aligned} \]

Vi deler firkanten i to trekanter med diagonalen \( BD\text{.} \) I trekant \( ABD \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, og i trekant \( BCD \) finner vi siden \( CD \) med cosinussetningen.

1. Finn arealet av trekant ABD Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{C} \]der \( \textcolor{green}{C} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3{,}4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6{,}0}} \) og \( {\textcolor{green}{C} = \textcolor{green}{65^\circ}}\text{,} \) så: \[ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3{,}4} \cdot \textcolor{red}{6{,}0} \cdot \sin \textcolor{green}{65^\circ} \approx \underline{9{,}244} \]

2. Finn diagonalen BD Cosinussetningen forteller oss at: \[ c^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} \cos \textcolor{green}{C} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Plugger vi inn de samme tallene, med \( {c = BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{3{,}4}^2 + \textcolor{red}{6{,}0}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{3{,}4} \cdot \textcolor{red}{6{,}0} \cdot \cos \textcolor{green}{65^\circ} \\ &\approx 30{,}31717 \end{aligned} \]

Merk – Ikke rund av for tidlig: Vi regner videre med alle desimalene på kalkulatoren, og viser nok av dem til at du får de samme tallene. Vi runder av først i svaret.

3. Sett opp likningen for CD Vi bruker cosinussetningen i trekant \( BCD\text{,} \) med vinkelen \( 50^\circ \) i \( C\text{.} \) Der er \( BD \) siden rett overfor vinkelen. Vi kaller \( {CD = \textcolor{magenta}{y}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} BD^2 &= 7{,}1^2 + \textcolor{magenta}{y}^2 \\ &\quad - 2 \cdot 7{,}1 \cdot \textcolor{magenta}{y} \cdot \cos 50^\circ \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( BD^2 \) og samler alt på én side, får vi en andregradslikning: \[ \textcolor{magenta}{y}^2 - 9{,}12758\textcolor{magenta}{y} + 20{,}09283 = 0 \]

4. Løs likningen med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ \textcolor{magenta}{y} = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{-9{,}12758} \\ \textcolor{green}{r} &= \textcolor{green}{20{,}09283} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r} &= \textcolor{red}{9{,}12758}^2 \\ &\quad - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{20{,}09283} \\ &\approx 2{,}9414 \\ \textcolor{magenta}{y} &= \dfrac{\textcolor{red}{9{,}12758} \pm \sqrt{2{,}9414}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ \textcolor{magenta}{y} &\approx 5{,}4213 \ \text{ eller } \ \textcolor{magenta}{y} \approx 3{,}7063 \end{aligned} \]

5. Velg roten som passer med figuren Begge tallene er positive, og hver av dem gir en firkant. Regner vi ut vinklene i \( B \) og \( D\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} CD \approx 5{,}4213\text{:} \ & B \approx 130^\circ, \ D \approx 115^\circ \\ CD \approx 3{,}7063\text{:} \ & B \approx 112^\circ, \ D \approx 133^\circ \end{aligned} \]

Måler vi i figuren, er vinkelen i \( B \) omtrent \( 130^\circ \) og vinkelen i \( D \) omtrent \( 115^\circ\text{.} \) Figuren avgjør altså, og: \[ CD = \textcolor{magenta}{y} \approx 5{,}4213 \]

Merk – To firkanter: Den andre roten gir en annen firkant, med arealet \( {T \approx 19{,}32}\text{.} \) Det er ikke firkanten i figuren.

6. Finn arealet av trekant BCD Vi bruker arealsetningen igjen, med vinkelen \( 50^\circ \) mellom sidene \( 7{,}1 \) og \( CD\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_2 &= \dfrac{1}{2} \cdot 7{,}1 \cdot \textcolor{magenta}{5{,}4213} \cdot \sin 50^\circ \\ &\approx \underline{14{,}743} \end{aligned} \]

7. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T &= T_1 + T_2 \\ &\approx 9{,}244 + 14{,}743 = 23{,}987 \end{aligned} \]