Forkurseksamen etter tema

Linja \( AB \) og linja mellom sentrene deler hverandre på midten og står vinkelrett. Da får vi en rettvinklet trekant, og vi kan bruke Pytagoras.

1. Finn den rettvinklede trekanten \( A \) og \( B \) ligger på begge sirklene, så begge er like langt fra \( S_1 \) og \( S_2\text{:} \) \[ AS_1 = AS_2 = BS_1 = BS_2 = 1 \]

\( AB \) står derfor vinkelrett på \( S_1S_2 \) midt mellom sentrene. Vi kaller punktet der de krysser for \( M\text{.} \) \( S_1 \) og \( S_2 \) er også like langt fra \( A \) og \( B\text{,} \) så \( S_1S_2 \) halverer \( AB\text{.} \) Sentrum i den ene sirkelen ligger på buen til den andre, så \( {S_1S_2 = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \]

2. Bruk Pytagoras Trekanten \( AMS_1 \) er rettvinklet i \( M\text{.} \) Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\text{hypotenus}}^2 = \textcolor{blue}{\text{katet}_1}^2 + \text{katet}_2^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oppgave 3B (Pytagoras).

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{\text{katet}_1} &= \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{katet}_2 &= AM \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1}^2 &= \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\right)^2 + AM^2 \\ AM^2 &= \dfrac{3}{4} \\ AM &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

3. Doble lengden \( M \) ligger midt på \( AB\text{,} \) så: \[ AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]

Vi bruker den rettvinklede trekanten fra a).

Vi ser på trekanten \( ABS_1\text{.} \) Den rettvinklede trekanten \( AMS_1 \) gir oss vinkelen i \( A\text{,} \) og resten følger av symmetri og vinkelsummen.

1. Finn vinkelen i A I a) fant vi at trekanten \( AMS_1 \) er rettvinklet i \( M\text{,} \) med: \[ \textcolor{blue}{S_1M} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{red}{AS_1} = \textcolor{red}{1} \]

Sinus er motstående katet delt på hypotenusen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \sin(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{mot}}}{\textcolor{red}{\text{hyp}}} \]

Sett fra \( A \) er \( \textcolor{blue}{S_1M} \) motstående katet, så vi får: \[ \begin{aligned} \sin(\angle A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{\textcolor{red}{1}} = \dfrac{1}{2} \\ \angle A &= 30^\circ \end{aligned} \]

2. Finn de to andre vinklene Trekanten \( ABS_1 \) er likebeint, siden \( {AS_1 = BS_1 = 1}\text{.} \) Vinklene ved grunnlinja er derfor like store: \[ \angle B = \angle A = 30^\circ \]

Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 3C (Enkel trigonometri): \[ \angle S_1 = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \]

Vi feller ned høyden fra \( C \) og får en rettvinklet trekant. Der finner vi vinkelen med sinus, og vinkel \( B \) er den som står igjen på den rette linja.

1. Tegn en skisse Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) lander normalen fra \( C \) utenfor \( AB\text{,} \) i punktet \( E\text{:} \)

2. Finn vinkelen i trekanten Trekanten \( BEC \) er rettvinklet, og sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{motstående}} &= \textcolor{red}{CE} = \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{green}{v} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

3. Finn vinkel B Vinkel \( B \) og \( \textcolor{green}{v} \) ligger på samme rette linje, så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle B = 180^\circ - \textcolor{green}{45^\circ} = 135^\circ \]

Vi bruker \( {\angle B = 135^\circ} \) fra a).

I trekanten \( BCD \) kjenner vi to sider. Vinkelen mellom dem finner vi fra vinkel \( B\text{,} \) og så bruker vi cosinussetningen.

1. Finn vinkel C \( AB \) og \( CD \) er parallelle, så vinkel \( B \) og vinkel \( C \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\angle C} = 180^\circ - 135^\circ = \textcolor{green}{45^\circ} \]

2. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{BC}^2 + \textcolor{red}{CD}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \textcolor{red}{CD} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \\ \textcolor{red}{CD} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{\angle C} &= \textcolor{green}{45^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= (\textcolor{blue}{2\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{6}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos \textcolor{green}{45^\circ} \\ &= 8 + 36 - 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 44 - 24 = 20 \\ BD &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]

Arealet gir oss siden \( AB\text{.} \) Så feller vi ned høyden fra \( D \) og får en rettvinklet trekant med vinkel \( A\text{.} \)

1. Finn siden AB Arealet av et trapes er gjennomsnittet av de parallelle sidene ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A_{\text{trapes}} = \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + CD}{2} \cdot h \]

Plugger vi inn \( {A_{\text{trapes}} = 15}\text{,} \) \( {CD = 6} \) og \( {h = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 15 &= \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + 6}{2} \cdot 2 \\ 15 &= \textcolor{magenta}{AB} + 6 \\ \textcolor{magenta}{AB} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn siden AF Vi feller ned normalen fra \( D \) til punktet \( F \) og normalen fra \( C \) til punktet \( E\text{.} \) Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) ligger \( E \) til høyre for \( B\text{:} \)

Pytagoras i trekanten \( BEC \) gir oss \( BE\text{:} \) \[ \begin{aligned} BE^2 + CE^2 &= BC^2 \\ BE &= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \sqrt{8 - 4} = 2 \end{aligned} \]

Avstanden \( FE \) er like lang som \( CD\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AF} &= \textcolor{magenta}{AB} + BE - FE \\ &= \textcolor{magenta}{9} + 2 - 6 = \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Tangens forteller oss at: \[ \tan \textcolor{green}{A} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri. Den samme videoen viser hvordan vi finner vinkelen baklengs.

Her er \( {\textcolor{red}{DF = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{AF = 5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{green}{A} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{5}} \\ \textcolor{green}{A} &= \arctan \dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ \end{aligned} \]