Forkurseksamen etter tema

For å bruke arealformelen for et trapes trenger vi høyden. Den finner vi i den rettvinklede trekanten ved \( B\text{.} \)

1. Finn høyden Vi feller ned høyden \( \textcolor{blue}{h} \) fra \( C \) til \( AB \) og kaller fotpunktet \( E\text{.} \)

I den rettvinklede trekanten \( BCE \) er \( BC \) hypotenusen og \( \textcolor{blue}{h} \) motstående katet til \( \angle B\text{.} \) Definisjonen av sinus forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{h} = BC \cdot \sin B \]Det samme eksempelet, med \( 60^\circ \) og hypotenus \( 5\text{,} \) er i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \textcolor{blue}{h} = 5 \cdot \sin 60^\circ = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}} \]

2. Regn ut arealet Arealet av et trapes med parallelle sider \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) er: \[ A = \dfrac{\textcolor{red}{a} + \textcolor{green}{b}}{2} \cdot \textcolor{blue}{h} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{8}, \qquad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{CD} = \textcolor{green}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{\textcolor{red}{8} + \textcolor{green}{4}}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}} \\ &= 6 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \end{aligned} \]

I trekanten \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} AC^2 = {} &\textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos \textcolor{green}{B} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på setningen, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{8}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{60^\circ} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{8}^2 + \textcolor{blue}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= 64 + 25 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= 49 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så: \[ AC = \sqrt{49} = 7 \]

I \( B \) ligger \( x \) og \( 2x \) langs en rett linje, så de er \( 180^\circ \) til sammen. Deretter bruker vi vinkelsummen i trekanten.

1. Finn x Vinklene langs en rett linje er \( 180^\circ \) til sammen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} + 2\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

2. Finn y Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} + 2\textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{60^\circ} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{red}{y} &= 120^\circ \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{red}{40^\circ} \end{aligned} \]

3. Sett opp vinklene Vinkelen i \( C \) er \( 2\textcolor{red}{y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle A &= \textcolor{red}{y} = 40^\circ \\ \angle B &= \textcolor{blue}{x} = 60^\circ \\ \angle C &= 2\textcolor{red}{y} = 80^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vinklene fra a): \( {\angle A = 40^\circ}\text{,} \) \( {\angle B = 60^\circ} \) og \( {\angle C = 80^\circ}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kjenner én side og alle vinklene, så vi finner \( AC \) med sinussetningen. Da kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så arealet finner vi med arealsetningen.

1. Finn siden AC Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{\sin \textcolor{red}{C}} \]Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Side \( AC \) står rett overfor \( B\text{,} \) og side \( AB \) står rett overfor \( C\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{AC} & \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \\ \textcolor{red}{c} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{C} &= \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} \\ AC &= \dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \\ AC &\approx 1{,}76 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.

2. Finn arealet Arealsetningen forteller oss at, med nye farger: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Her er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{,} \) som i videoen Arealsetningen.

Vinkelen mellom \( AB \) og \( AC \) er vinkelen i \( A\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{40^\circ} \]

Plugger vi dette inn, med den uavrundede \( AC\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &\approx 1{,}13 \end{aligned} \]

Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( AC \) er hypotenusen og \( AB \) er hosliggende katet til vinkelen i \( A\text{.} \) Vi bruker derfor cosinus.

1. Bruk cosinus I en rettvinklet trekant forteller definisjonen av cosinus oss at: \[ \cos \theta = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \begin{aligned} \theta &= 30^\circ \\ \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen i firkanten gir \( \angle CDA\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) bruker vi sinussetningen.

1. Finn vinkelen i D Diagonalen deler firkanten i to trekanter, så vinkelsummen er \( {2 \cdot 180^\circ = 360^\circ}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CDA &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD I trekant \( ABC \) er den siste vinkelen: \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Da blir vinklene ved diagonalen i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CAD &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \angle ACD &= 140^\circ - 60^\circ = 80^\circ \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side \( s \) delt på sinus til vinkelen \( v \) den står mot, er det samme for alle sidene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{s_1}}{\sin \textcolor{red}{v_1}} = \dfrac{\textcolor{blue}{s_2}}{\sin \textcolor{blue}{v_2}} \]Hvis du er usikker på sinussetningen, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot vinkelen i \( C\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen i \( D\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_1} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{v_1} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{v_2} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{AD}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} = 4 \\ \textcolor{red}{AD} &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle CAD = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger dem sammen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]der \( \textcolor{green}{\theta} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

2. Finn arealet av trekant ABC Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{30^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ T_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \]

3. Finn arealet av trekant ACD Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{40^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

4. Legg sammen Slår vi dette sammen, og runder av først til slutt, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 2{,}598 + 4{,}386 \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

Vi kjenner arealet og vinkelen mellom \( AB \) og \( BC\text{,} \) så arealsetningen gir oss de to sidene. Den siste siden finner vi med cosinussetningen.

1. Finn AB og BC med arealsetningen Vi kaller \( {AB = x}\text{,} \) så er \( {BC = 2x}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} A &= 8 & \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{150^\circ} \end{aligned} \]

Vi trenger også sinus til vinkelen: \[ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x} \cdot \dfrac{1}{2} \\ 8 &= \dfrac{x^2}{2} \\ x^2 &= 16 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så \( {x = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ AB = 4, \quad BC = 2 \cdot 4 = 8 \]

2. Finn AC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden overfor vinkel \( B \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]Du finner den i videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Cosinus til vinkelen er: \[ \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{4}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 + 64 + 32\sqrt{3} \\ &= 80 + 32\sqrt{3} \end{aligned} \]

Tar vi kvadratroten og setter \( 16 \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} AC &= \sqrt{80 + 32\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{16 \cdot (5 + 2\sqrt{3})} \\ &= 4\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \\ &\approx 11{,}6 \end{aligned} \]

Vi bruker sidene \( {AB = 4} \) og \( {BC = 8} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser på trekanten \( BMC\text{,} \) der vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Cosinussetningen gir siden \( MC\text{,} \) og da gir sinussetningen vinkelen.

I a) fant vi \( {AB = 4}\text{,} \) så \( {BM = 2}\text{.} \) Cosinussetningen, som i videoen Cosinussetningen, forteller oss at i trekanten \( BMC \) er: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{BM}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{BM} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{BM} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos(150^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 68 + 16\sqrt{3} \end{aligned} \]

Så lengden er: \[ \textcolor{magenta}{MC} = \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \]

2. Finn vinkelen med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\sin(\textcolor{blue}{M})}{\textcolor{blue}{BC}} = \dfrac{\sin(\textcolor{green}{B})}{\textcolor{magenta}{MC}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{8} \\ \textcolor{green}{B} &= \textcolor{green}{150^\circ} \\ \textcolor{magenta}{MC} &= \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\sin(150^\circ) = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin(\textcolor{blue}{M}) &= \dfrac{\textcolor{blue}{8} \cdot \sin(\textcolor{green}{150^\circ})}{\textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \approx 0{,}409 \end{aligned} \]

3. Velg riktig vinkel Sinus gir to mulige vinkler, men vinkel \( B \) er \( 150^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene i trekanten har til sammen bare \( 30^\circ\text{.} \) Vinkelen må derfor være spiss: \[ \begin{aligned} \angle BMC &= \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}\right) \\ &\approx 24{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi finner \( \sin x \) med enhetsformelen. Så bruker vi formlene for dobbel vinkel, og til slutt at tangens er sinus delt på cosinus.

1. Finn sinus til x Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \textcolor{blue}{\cos^2 x} = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Her er \( {\textcolor{blue}{\cos x} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin^2 x + \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}\right)^2 &= 1 \\ \sin^2 x &= 1 - \dfrac{4}{25} \\ \sin^2 x &= \dfrac{21}{25} \end{aligned} \]

Siden \( x \) ligger mellom \( 0 \) og \( \dfrac{\pi}{2}\text{,} \) er \( \sin x \) positiv: \[ \underline{\textcolor{red}{\sin x} = \textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}} \]

2. Finn sinus til 2x Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2 \cdot \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} \]

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \sin 2x = 2 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{21}}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \underline{\dfrac{4\sqrt{21}}{25}} \]

3. Finn cosinus til 2x For tangens trenger vi også \( \cos 2x\text{.} \) Formelen for cosinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos 2x = 2\textcolor{blue}{\cos^2 x} - 1 \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= 2 \cdot \left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}}\right)^2 - 1 \\ &= \dfrac{8}{25} - \dfrac{25}{25} \\ &= -\dfrac{17}{25} \end{aligned} \]

4. Finn tangens til 2x Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \begin{aligned} \tan 2x &= \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= \dfrac{\dfrac{4\sqrt{21}}{25}}{-\dfrac{17}{25}} \\ &= -\dfrac{4\sqrt{21}}{17} \end{aligned} \]

Vi begynner med å sette inn. Mot \( 2 \) går det rett fram. Mot \( 1 \) får vi \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så der faktoriserer vi telleren og forkorter.

1. Regn ut den første grensen Nevneren er ikke \( 0 \) i \( {x = 2}\text{,} \) så vi setter rett inn: \[ \lim_{x \to 2} r(x) = \dfrac{2^2 - 3 \cdot 2 + 2}{2 - 1} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

2. Sett inn i den andre grensen Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) blir både telleren og nevneren \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \dfrac{0}{0} \]Da gjør vi som i videoen Grenseverdier: vi faktoriserer telleren.

3. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi: \[ x^2 - 3x + 2 = \textcolor{blue}{1} \cdot (x - 2)(x - 1) \]

4. Forkort og sett inn Grensen handler om \( x \) nær \( 1\text{,} \) ikke i \( 1\text{,} \) så vi kan stryke \( {\textcolor{darkorange}{x - 1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} r(x) &= \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 1)}}{\textcolor{darkorange}{x - 1}} \\ &= \lim_{x \to 1} (x - 2) \\ &= 1 - 2 \\ &= -1 \end{aligned} \]

Vi ser at \( 3 \) er en felles faktor i \( f(x)\text{.} \) Da gir enhetsformelen at funksjonen er konstant, og integralet blir enkelt.

1. Forenkle funksjonen Vi setter \( \textcolor{blue}{3} \) utenfor: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3}\left(\sin^2 x + \cos^2 x\right) \]

Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \cdot 1 = \textcolor{blue}{3} \]

2. Regn ut integralet Regelen for integralet av en konstant forteller oss at: \[ \int k\, dx = kx + C \]Det er regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler med \( {n = 0}\text{.} \)

Plugger vi inn \( {k = \textcolor{blue}{3}} \) og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{13}} \textcolor{blue}{3}\, dx &= \Big[\textcolor{blue}{3}x\Big]_0^{\textcolor{red}{13}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{13} - \textcolor{blue}{3} \cdot 0 \\ &= 39 \end{aligned} \]

Dette er nettopp \( {\textcolor{red}{13} \cdot \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) integralet er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{red}{13} \) og høyde \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Robotens omvei gir derfor rett svar.

Vi ganger inn \( 3 \) og integrerer ledd for ledd.

1. Gang inn i parentesen \[ 3(x^2 + 4x + 4) = \textcolor{blue}{3x^2} + \textcolor{red}{12x} + \textcolor{green}{12} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a x^n\, dx = \dfrac{a}{n + 1} x^{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{3x^2} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{x^3}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{12x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{6x^2}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{12} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{green}{12x}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 3(x^2 + 4x + 4)\, dx \\ &= \textcolor{blue}{x^3} + \textcolor{red}{6x^2} + \textcolor{green}{12x} + C \end{aligned} \]

Nevneren er et fullstendig kvadrat. Når vi skriver den slik, kan vi bruke substitusjon.

1. Faktoriser nevneren Første kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ x^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 = (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})^2 \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{(x + 2)^2}\, dx \]

2. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 1 \\ dx &= d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2}\, d\textcolor{green}{u} \]

3. Integrer En brøk med \( \textcolor{green}{u}^2 \) i nevneren skriver vi som en negativ potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2} = 3\textcolor{green}{u}^{-2} \]

Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a u^n\, du = \dfrac{a}{n + 1} u^{n + 1} + C \]

Her er \( {a = 3} \) og \( {n = -2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int 3\textcolor{green}{u}^{-2}\, d\textcolor{green}{u} &= \dfrac{3}{-1} \textcolor{green}{u}^{-1} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{x + 2}} + C \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er halvparten av den deriverte til nevneren. Da bruker vi substitusjon med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 + 4x}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x + 4 = 2(x + 2) \\ (x + 2)\, dx &= \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

2. Integrer Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u}\, du = \ln|u| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn substitusjonen, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x}\, dx &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{x^2 + 4x}| + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Nevneren \( {x(x + 4)} \) er \( 0 \) bare i \( {x = 0} \) og \( {x = -4}\text{,} \) og ingen av dem ligger mellom grensene. Da kan vi sette inn: \[ \begin{aligned} &\left[\dfrac{1}{2} \ln|x^2 + 4x|\right]_{-3}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|1 - 4| - \dfrac{1}{2} \ln|9 - 12| \\ &= \dfrac{1}{2} \ln 3 - \dfrac{1}{2} \ln 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

I trekant \( ABD \) kjenner vi to vinkler og siden \( AB\text{.} \) Da kan vi bruke sinussetningen.

1. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekant \( ABD \) forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} = \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} \]Hver side står over sinus til vinkelen rett overfor seg. Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{120^\circ}, & \sin \textcolor{blue}{120^\circ} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{30^\circ}, & \sin \textcolor{red}{30^\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{7} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{blue}{BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} &= \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\dfrac{1}{2}} = 14 \\ \textcolor{blue}{BD} &= 14 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Omkretsen er summen av de fire sidene. Vi mangler \( AD \) og \( CD\text{,} \) og begge får vi fordi trekantene er spesielle.

1. Finn siden AD Vinkelsummen i trekant \( ABD \) gir vinkelen ved \( B\text{:} \) \[ \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]

Vinklene ved \( B \) og \( D \) er like, så trekanten er likebeint. Det betyr at sidene overfor dem er like lange, som i videoen Oppgave 3A (Trigonometri + Pytagoras): \[ \textcolor{blue}{AD} = AB = \textcolor{blue}{7} \]

2. Finn siden CD I trekant \( BCD \) er to av sidene like lange. \( BD \) har vi fra a), og \( BC \) fra figuren: \[ BD = BC = 7\sqrt{3} \]

Vinkelen mellom dem er \( 60^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene er også like store: \[ \begin{aligned} \angle BCD = \angle BDC &= \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet: \[ \textcolor{red}{CD} = BC = \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \]

3. Legg sammen sidene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O &= AB + BC + \textcolor{red}{CD} + \textcolor{blue}{AD} \\ &= 7 + 7\sqrt{3} + \textcolor{red}{7\sqrt{3}} + \textcolor{blue}{7} \\ &= 14 + 14\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i to trekanter. I hver av dem kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]der \( \textcolor{green}{v} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{.} \) Se videoen Arealsetningen hvis du er usikker.

2. Regn ut trekantene I trekant \( ABD \) er vinkelen ved \( A \) mellom \( {AB = 7} \) og \( {AD = 7}\text{,} \) der \( {AD = AB} \) fordi vinklene ved \( B \) og \( D \) begge er \( 30^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{7} \cdot \sin \textcolor{green}{120^\circ} \\ &= \dfrac{49}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{49\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

I trekant \( BCD \) er vinkelen ved \( B \) mellom \( {BC = 7\sqrt{3}} \) og \( {BD = 7\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= \dfrac{147}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABD} + T_{BCD} &= \dfrac{49\sqrt{3}}{4} + \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{196\sqrt{3}}{4} \\ &= 49\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi kjenner arealet av \( \Delta SBC \) og vinkelen mellom to sider som begge er radier. Da setter vi opp arealsetningen og løser for radien.

1. Sett opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.

Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SB \) og \( SC \) går fra sentrum ut til sirkelen, så begge er lik radien \( r\text{.} \) Arealet er \( {A = 3\sqrt{2}}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{45^\circ} \]

2. Løs for radien Vi bruker den eksakte verdien \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ 3\sqrt{2} &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} r^2 \\ r^2 &= 12 \end{aligned} \]

En radius er positiv, og vi forenkler roten med \( {12 = 4 \cdot 3}\text{:} \) \[ r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Vi bruker radien fra a).

Linja \( SC \) deler \( \Delta ABC \) i to trekanter. Vi kjenner arealet av den ene, og finner arealet av den andre med arealsetningen.

1. Finn vinkelen ved S \( AB \) er en rett linje, så vinklene ved \( S \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ASC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]

2. Finn arealet av den andre trekanten Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.

Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SA \) og \( SC \) er også radier. I a) fant vi \( {r^2 = 12}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{135^\circ} \]

Vi bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{:} \) \[ \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ASC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi de to trekantene sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ABC} &= A_{SBC} + A_{ASC} \\ &= 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{aligned} \]

Vi skisserer trapeset. Da ser vi at diagonalen \( BD \) gir en rettvinklet trekant, der vi finner den øverste siden og høyden med sinus og cosinus.

1. Skisser trapeset Siden \( {\angle ABC = 90^\circ} \) og \( AD \) er parallell med \( BC\text{,} \) er også vinkelen i \( A \) rett. Parallelle sider gir at \( {\angle ADB = \angle DBC = \beta}\text{:} \)

2. Finn høyden og den øverste siden Trekant \( ABD \) er rettvinklet. Sinus og cosinus forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\text{hypotenus}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\text{hypotenus}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på sinus og cosinus, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er hypotenusen \( {BD = 2}\text{:} \) \[ \sin \beta = \dfrac{\textcolor{red}{h}}{2}, \quad \cos \beta = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{2} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h} \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{2\sin \beta}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2\cos \beta} \]

3. Regn ut arealet Formelen for arealet av et trapes forteller oss at: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + b) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på formelen for arealet av et trapes, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er \( {b = BC = 4}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A(\beta) &= \dfrac{(\textcolor{blue}{2\cos \beta} + 4) \cdot \textcolor{red}{2\sin \beta}}{2} \\ &= (2\cos \beta + 4)\sin \beta \\ &= 4\sin \beta + 2\sin \beta \cos \beta \end{aligned} \]

Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2\beta) = 2\sin \beta \cos \beta \]

Det gir oss: \[ A(\beta) = 4\sin(\beta) + \sin(2\beta) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(\beta) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(\beta) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Med formelen for dobbel vinkel blir dette en andregradslikning i \( \cos \beta\text{.} \)

1. Deriver arealet Vi deriverer med \( \beta \) i radianer og gjør om til grader til slutt. \( 4\sin \beta \) derivert blir \( \underline{4\cos \beta}\text{.} \)

For \( \sin(2\beta) \) bruker vi kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2\beta}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi \( \underline{2\cos(2\beta)}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ A'(\beta) = 4\cos \beta + 2\cos(2\beta) \]

2. Sett den deriverte lik null Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos(2\beta) = 2\cos^2 \beta - 1 \]

Setter vi inn og setter \( {A'(\beta) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4\cos \beta + 2(2\cos^2 \beta - 1) &= 0 \\ 2\cos^2 \beta + 2\cos \beta - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Vi setter \( {t = \cos \beta}\text{.} \) Da får likningen formen \( {\textcolor{blue}{a}t^2 + \textcolor{red}{b}t + \textcolor{green}{c} = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{2}t^2 + \textcolor{red}{2}t \textcolor{green}{- 1} = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

For \( \beta \in \langle 0^\circ, 90^\circ \rangle \) ligger \( \cos \beta \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så bare plusstegnet gir en løsning: \[ \begin{aligned} \cos \beta &= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ \beta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \approx 68{,}5^\circ \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er størst areal Vi setter inn en vinkel på hver side: \[ \begin{aligned} A'(60^\circ) &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 1 > 0 \\ A'(80^\circ) &\approx -1{,}18 < 0 \end{aligned} \]

\( A'(\beta) \) går fra pluss til minus, så arealet stiger og så synker. Dermed gir denne vinkelen størst areal.