Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Den deriverte av \( \sin t \) er \( \cos t\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{t} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin t} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos t} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= \textcolor{red}{t} \cdot \textcolor{blue}{\cos t} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin t} \\ &= t\cos t + \sin t \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det en brøk, så vi bruker kjerneregelen med brøken som kjerne. Den deriverte av kjernen finner vi med kvotientregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen For \( \ln \) av en kjerne \( \textcolor{green}{w} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{w})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{w}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 3 \) blir stående som en faktor, slik videoen Kvotientregelen oppgave viser.

Kjernen er: \[ \textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} \]

2. Deriver kjernen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Den samme oppgaven med \( \ln \) av en brøk er i videoen Kvotientregelen oppgave.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w'} &= \dfrac{\textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen Plugger vi \( \textcolor{green}{w} \) og \( \textcolor{green}{w'} \) inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 3 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{x}{x^2 + 1} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Vi forkorter \( x \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{3(x^2 - 1)}{x(x^2 + 1)} \]

For å skrive opp tangenten trenger vi \( f(1) \) og \( f'(1)\text{.} \) Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x + 1}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 1})^2} \\ &= \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(1) &= \dfrac{e^1}{1 + 1} = \dfrac{e}{2} \\ f'(1) &= \dfrac{1 \cdot e^1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

3. Skriv opp tangenten Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = a} \) er: \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{e}{4}(x - 1) + \dfrac{e}{2} \\ &= \dfrac{e}{4}x - \dfrac{e}{4} + \dfrac{2e}{4} \\ &= \dfrac{e}{4}x + \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

Fra figuren leser vi at parabelen har nullpunktene \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Stigningen i \( {x = 0} \) gir oss konstanten, og så finner vi toppunktet med den deriverte.

1. Sett opp parabelen En parabel med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives slik: \[ h(x) = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 3}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} h(x) &= \textcolor{blue}{a} \cdot x(x - 3) \\ &= \textcolor{blue}{a}x^2 - 3\textcolor{blue}{a}x \end{aligned} \]

2. Bruk stigningen i null Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ h'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x - 3\textcolor{blue}{a} \]

Vi vet at \( {h'(0) = \dfrac{1}{10}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} h'(0) = -3\textcolor{blue}{a} &= \dfrac{1}{10} \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{30}} \end{aligned} \]

Parabelen og den deriverte er derfor: \[ \begin{aligned} h(x) &= -\dfrac{1}{30}x^2 + \dfrac{1}{10}x \\ h'(x) &= -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} \end{aligned} \]

3. Finn det høyeste punktet Vi setter \( {h'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} &= 0 \\ x &= \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) vender parabelen ned, så dette er toppunktet. Vi setter inn: \[ \begin{aligned} h\left(\dfrac{3}{2}\right) &= -\dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= -\dfrac{3}{40} + \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} \end{aligned} \]

4. Regn ut høydeforskjellen Det laveste punktet finner vi i endepunktene, der: \[ h(0) = h(3) = 0 \]

Høydeforskjellen er derfor: \[ \begin{aligned} \dfrac{3}{40} - 0 &= \dfrac{3}{40}\,\text{km} \\ &= 0{,}075\,\text{km} = 75\,\text{m} \end{aligned} \]

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

Momentan vekstfart er den deriverte. Vi deriverer begge funksjonene, setter dem like og løser med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver begge funksjonene \( e^x \) derivert er seg selv: \[ f'(x) = e^x \]

\( g \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}}\text{.} \) Kjerneregelen for \( e^u \) forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{u}})' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ g'(x) = e^{\textcolor{green}{4x}} \cdot \textcolor{green}{4} = 4e^{4x} \]

2. Sett de deriverte like Vi deler begge sider på \( e^x\text{,} \) som aldri er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^x &= 4e^{4x} \\ 1 &= 4e^{3x} \\ e^{3x} &= \dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Løs med logaritmer Vi tar \( \ln \) på begge sider og flytter ned \( 3x\text{,} \) slik videoen Naturlige Logaritmer viser: \[ \begin{aligned} \ln e^{3x} &= \ln \dfrac{1}{4} \\ 3x &= \ln \dfrac{1}{4} \\ x &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \ln \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Dette er formen \( {x = \textcolor{blue}{a} \ln \textcolor{red}{b}}\text{,} \) så vi kan lese av: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \]

Siden \( {\ln \dfrac{1}{4} = -\ln 4}\text{,} \) kan samme \( x \) også skrives \( {x = -\dfrac{1}{3} \ln 4}\text{.} \) Da er \( {a = -\dfrac{1}{3}} \) og \( {b = 4}\text{,} \) som også er riktig.

En tangent trenger et punkt og et stigningstall. Vi finner \( {g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og \( {g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og setter dem inn i tangentformelen.

1. Finn punktet \[ g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \pi = \dfrac{\pi}{2} \cdot 0 = 0 \]

2. Deriver funksjonen Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( \sin 2x \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{k})' = \cos \textcolor{green}{k} \cdot \textcolor{green}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ (\sin 2x)' = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2\cos 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin 2x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2\cos 2x} \\ &= \sin 2x + 2x\cos 2x \end{aligned} \]

3. Finn stigningstallet \[ \begin{aligned} g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin \pi + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \pi \\ &= 0 + \pi \cdot (-1) \\ &= -\pi \end{aligned} \]

4. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = g'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + g(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}} \\ g\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= 0 \\ g'\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= -\pi \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= -\pi\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) + 0 \\ &= -\pi x + \dfrac{\pi^2}{2} \end{aligned} \]

Vi setter opp arealet som en funksjon av \( x \) og finner toppunktet ved å sette den deriverte lik \( 0\text{.} \) Samme tankegang står i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

1. Sett opp arealet Sidene må være positive, så \( {0 < x < 4}\text{.} \) Rektangelet har areal lengde ganger høyde: \[ \textcolor{blue}{A_r} = \textcolor{blue}{x(4 - x)} = \textcolor{blue}{4x - x^2} \]

Halvsirkelen har radius \( \dfrac{x}{2}\text{,} \) og arealet er halve \( \pi r^2\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A_s} = \dfrac{1}{2} \pi \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \textcolor{blue}{4x - x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

2. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd: \[ A'(x) = 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og samler leddene med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} &= 0 \\ x\left(2 - \dfrac{\pi}{4}\right) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{2 - \dfrac{\pi}{4}} \\ x &= \dfrac{16}{8 - \pi} \end{aligned} \]

Dette er innenfor kravet til \( x\text{,} \) siden \( {8 - \pi > 4}\text{:} \) \[ 0 < \dfrac{16}{8 - \pi} < 4 \]

3. Sjekk at det er et toppunkt Den andrederiverte er negativ for alle \( x\text{,} \) siden \( {\pi < 8}\text{:} \) \[ A''(x) = -2 + \dfrac{\pi}{4} < 0 \]Grafen krummer altså nedover, så punktet er et toppunkt, og arealet er størst der.

Vi deriverer \( f \) to ganger med potensregelen, og setter inn \( {x = -2} \) i hvert uttrykk.

1. Finn funksjonsverdien Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{-2}) &= (\textcolor{blue}{-2})^3 - 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -8 + 4 \\ &= -4 \end{aligned} \]

2. Deriver én gang Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^3 \) derivert blir \( \underline{3x^2}\text{.} \)

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{blue}{-2}) &= 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2})^2 - 2 \\ &= 12 - 2 \\ &= 10 \end{aligned} \]

3. Deriver en gang til \( 3x^2 \) derivert blir \( \underline{6x}\text{,} \) og \( {-2} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant: \[ f''(x) = 6x \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ f''(\textcolor{blue}{-2}) = 6 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) = -12 \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Faktoren \( \cos 2x \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Faktoren \( \cos 2x \) har kjernen \( \textcolor{green}{2x}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{w})' = -\sin \textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]

Her er \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ (\cos \textcolor{green}{2x})' = -\sin \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = -2\sin 2x \]

Delene i produktregelen er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-2\sin 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\cos 2x} + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-2\sin 2x}) \\ &= e^x(\cos 2x - 2\sin 2x) \end{aligned} \]

Vi skriver om begge leddene før vi deriverer: brøken som en potens, og logaritmen med logaritmereglene. Så deriverer vi ledd for ledd.

1. Skriv om logaritmen Inni logaritmen skriver vi roten som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} \]

Logaritmeregelen for potenser, som i videoen Regneregler med Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(a^n) = n \cdot \ln a \]

Det gir oss: \[ \ln(x^{5/2}) = \dfrac{5}{2}\ln x \]

Funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{,} \) og vi kan skrive den som: \[ h(x) = \textcolor{blue}{2x^{-1}} - \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{2x^{-1}}} \) derivert blir, med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \textcolor{blue}{-2x^{-2} = -\dfrac{2}{x^2}} \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \) derivert blir, siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{blue}{-\dfrac{2}{x^2}} \textcolor{red}{- \dfrac{5}{2x}} \\ &= -\dfrac{4}{2x^2} - \dfrac{5x}{2x^2} \\ &= -\dfrac{5x + 4}{2x^2} \end{aligned} \]

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det.

1. Sett telleren lik null Slik finner vi nullpunktet til en brøk i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2x^2 - 4} &= 0 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Sjekk nevneren Vi setter inn \( {x = \pm\sqrt{2}} \) i nevneren: \[ \textcolor{blue}{(\pm\sqrt{2})^2 - 4} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \]Begge verdiene er derfor nullpunkter.

En vertikal asymptote er der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det. Den horisontale finner vi ved å la \( x \) gå mot pluss og minus uendelig.

1. Finn de vertikale asymptotene Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

Vi setter inn i telleren: \[ 2 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4 \neq 0 \]Da har vi vertikale asymptoter i \( {x = -2} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

2. Finn den horisontale asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Både teller og nevner vokser da uten grense. Det er typen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi deler begge på \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x^2 - 4}{x^2 - 4} &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}}{1 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}} \\ &= \dfrac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \end{aligned} \]Da har vi en horisontal asymptote i \( {y = 2}\text{.} \)

\( g \) er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {g'(x) = 0} \) og bruker et fortegnsskjema for å se om punktet er et topp- eller bunnpunkt.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 - 4} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4x}(\textcolor{blue}{x^2 - 4}) - (\textcolor{red}{2x^2 - 4})\textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 - 4})^2} \\ &= \dfrac{4x^3 - 16x - 4x^3 + 8x}{(x^2 - 4)^2} \\ &= \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {g'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Brøken er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{-8x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]Nevneren er \( {(0 - 4)^2 = 16 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = 0} \) gjelder.

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til \( {\textcolor{magenta}{-8x}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}}\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 0, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-8x}", "expr": "-8x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}", "expr": "(x^2 - 4)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "-8x/(x^2 - 4)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes.

I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \pm 2} \) finnes ikke \( g\text{,} \) så der er det ingen topp- eller bunnpunkter.

Vi setter inn \( {x = 0} \) i \( g(x) \) for å finne \( {y\text{-verdien:}} \) \[ g(0) = \dfrac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 - 4} = \dfrac{-4}{-4} = 1 \]

I c) fant vi \( {g'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2}}\text{.} \)

Vi deriverer \( g'(x) \) med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. Et vendepunkt krever at \( g''(x) \) skifter fortegn der \( g \) finnes.

1. Deriver nevneren Nevneren har kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{x^2 - 4}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{w}^2)' = 2\textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x^2 - 4})^2\right)' &= 2(\textcolor{green}{x^2 - 4}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= 4x(x^2 - 4) \end{aligned} \]

2. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-8x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i telleren \( {\textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}}\text{,} \) og setter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}} \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-8}\textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} - (\textcolor{red}{-8x})\textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \\ &= -8(x^2 - 4)^2 + 32x^2(x^2 - 4) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}\left(-8(x^2 - 4) + 32x^2\right) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32) \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{blue}{v}^2 = (x^2 - 4)^4}\text{.} \) Vi forkorter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g''(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32)}{(x^2 - 4)^4} \\ &= \dfrac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3} \end{aligned} \]

3. Se etter vendepunkt Et vendepunkt krever at \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 24x^2 + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\dfrac{4}{3} \]Et kvadrat kan ikke være negativt, så likningen har ingen løsning. Telleren \( {24x^2 + 32} \) er alltid positiv, så fortegnet kommer fra nevneren \( {(x^2 - 4)^3}\text{,} \) som skifter fortegn bare i \( {x = \pm 2}\text{.} \) Der finnes ikke \( g\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a), asymptotene fra b), toppunktet og fortegnsskjemaet fra c), og at det ikke er noen vendepunkter fra d).

Vi tegner asymptotene først og merker punktene. Så finner vi om grafen ligger over eller under \( {y = 2}\text{,} \) og tegner en del av grafen for hvert intervall.

1. Samle det vi har funnet Dette skal inn i koordinatsystemet: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \ & x = \pm 2, \ y = 2 \\ \text{Nullpunkter:} \ & (-\sqrt{2}, 0), \ (\sqrt{2}, 0) \\ \text{Toppunkt:} \ & (0, 1) \end{aligned} \]

2. Finn hvor grafen ligger Vi trekker fra den horisontale asymptoten: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} - 2 &= \dfrac{2x^2 - 4 - 2(x^2 - 4)}{x^2 - 4} \\ &= \dfrac{4}{x^2 - 4} \end{aligned} \]

Brøken er positiv når \( {|x| > 2} \) og negativ når \( {|x| < 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |x| > 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} > 2 \\ |x| < 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} < 2 \end{aligned} \]

Fortegnet til \( g'(x) \) fra c), som vi leser av som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering, sier hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} x < -2: \quad & \text{stiger mot } +\infty \\ -2 < x < 0: \quad & \text{stiger til } (0, 1) \\ 0 < x < 2: \quad & \text{synker mot } -\infty \\ x > 2: \quad & \text{synker mot } y = 2 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi trekker asymptotene stiplet, merker punktene og tegner de tre delene gjennom dem:

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Finn delene i regelen 0:14 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen 1:28 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{6x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{3x^2 - 4}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{6x^2 - 3x^2 + 4}{x^2} \\ &= \dfrac{3x^2 + 4}{x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en sum, så vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet har en kjerne, så der bruker vi kjerneregelen.

1. Del opp i to ledd 0:05 Vi kaller leddene \( \textcolor{blue}{a(x)} \) og \( \textcolor{red}{b(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a(x)} &= \textcolor{blue}{2\sin(\pi x)} \\ \textcolor{red}{b(x)} &= \textcolor{red}{2x^3} \end{aligned} \]

Da er: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{a'(x)} + \textcolor{red}{b'(x)} \]

2. Bruk kjerneregelen på første ledd 0:43 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{u(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'(x)} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Kjernen er \( \pi x\text{,} \) og sinus derivert er cosinus, så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x} & \textcolor{green}{u'(x)} &= \textcolor{green}{\pi} \\ f(u) &= 2\sin u & f'(u) &= 2\cos u \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a'(x)} &= 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det andre leddet 2:55 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {n = 3}\text{,} \) og konstanten \( 2 \) blir stående: \[ \textcolor{red}{b'(x)} = 2 \cdot 3x^2 = \underline{\textcolor{red}{6x^2}} \]

4. Slå sammen leddene 3:16 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)} + \textcolor{red}{6x^2} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) hvor den stiger, og hvor stigningen øker.

1. Les av fortegnet til funksjonen 0:15 Grafen ligger over \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 1}\text{,} \) krysser den i \( {x = 1} \) og ligger under til høyre: \[ \textcolor{darkorange}{h(1)} = 0 \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{h(x)}", "expr": "1 - x"}]}

2. Les av fortegnet til den deriverte 1:08 Den deriverte er \( 0 \) der grafen har et toppunkt, og det ser vi i \( {x = 0{,}5}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{h'(0{,}5)} = 0 \]

Til venstre for toppunktet stiger grafen, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er positiv. Til høyre synker den, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er negativ: :::fortegnsskjema {"points": [0.5], "labels": ["0{,}5"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{h'(x)}", "expr": "0.5 - x"}]}

3. Les av fortegnet til den dobbeltderiverte 2:25 Den dobbeltderiverte følger veksten til \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{.} \) Grafen blir brattere og brattere fram mot \( {x = 0}\text{,} \) er brattest der, og blir så slakere. Da har \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) et toppunkt i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{h''(0)} = 0 \]

Til venstre for \( {x = 0} \) vokser \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{,} \) og til høyre avtar den: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{green}{h''(x)}", "expr": "-x"}]}

En strek viser hvor funksjonen på linja er \( 0\text{.} \) Punktene er lest av figuren.

Vi ser hvilke \( x \) vi kan sette inn i de to faktorene. For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Både \( {x - 2} \) og \( e^x \) kan regnes ut for alle tall, så: \[ D_f = \mathbb{R} \]

2. Finn nullpunktene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025. Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 2} &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Finn delene i regelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

\( e^x \) derivert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= e^x(1 + x - 2) \\ &= e^x(x - 1) \end{aligned} \]

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte. Fortegnet viser både hvor grafen stiger og synker, og hva slags punkt vi har.

1. Sett den deriverte lik null I b) viste vi uttrykket for den deriverte. For å finne topp- og bunnpunkter setter vi det lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^x}(\textcolor{magenta}{x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinje for den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "exp(x)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "exp(x)*(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {x = 1} \) gir et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så det er ingen toppunkter.

3. Finn y-koordinaten og monotoni Vi setter \( {x = 1} \) inn i funksjonen: \[ f(1) = (1 - 2)e^1 = -e \]

Grafen synker og stiger altså slik: \[ \begin{aligned} f \text{ synker for } &x \in \langle \leftarrow,\ 1] \\ f \text{ stiger for } &x \in [1,\ \rightarrow\rangle \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktet fra a) og bunnpunktet og fortegnet til den deriverte fra c).

Vi setter inn de punktene vi kjenner, regner ut noen få verdier til, og lar den deriverte fortelle hvor grafen stiger og synker.

1. Finn punktene vi trenger I a) fant vi nullpunktet \( {x = 2} \) og i c) bunnpunktet \( {(1, -e)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= 0 \\ \textcolor{blue}{f(1)} &= -e \approx -2{,}72 \end{aligned} \]

Disse to punktene markerer vi på grafen.

Vi regner ut noen flere verdier, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-3) &= -5e^{-3} \approx -0{,}25 \\ f(-1) &= -3e^{-1} \approx -1{,}10 \\ f(0) &= -2 \\ f\left(2{,}5\right) &= 0{,}5e^{2{,}5} \approx 6{,}09 \end{aligned} \]

Faktoren \( e^x \) er svært liten når \( x \) er et stort negativt tall, og \( {x - 2} \) er negativ der. Da ligger grafen rett under \( {x\text{-aksen}} \) langt til venstre.

2. Tegn grafen Vi tegner en kurve gjennom punktene, som synker fram til \( {x = 1} \) og stiger etter det:

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi finner punktet på grafen og stigningstallet der, og setter dem inn i formelen for tangenten.

1. Finn delene i formelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

I b) viste vi at: \[ f'(x) = e^x(x - 1) \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{green}{f(-1)} &= (-1 - 2)e^{-1} = \textcolor{green}{-\dfrac{3}{e}} \\ \textcolor{red}{f'(-1)} &= e^{-1}(-1 - 1) = \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}}(x - (\textcolor{blue}{-1})) \textcolor{green}{- \dfrac{3}{e}} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{2}{e} - \dfrac{3}{e} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{5}{e} \end{aligned} \]

For å finne tangenten trenger vi punktet og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \) Stigningstallet får vi ved å derivere \( f \) med kjerneregelen.

1. Finn punktet Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) får vi: \[ f(1) = \ln(3 - 1) = \ln 2 \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3 - x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3 - x}} \cdot (\textcolor{green}{-1}) = -\dfrac{1}{3 - x} \]

Stigningstallet i punktet er derfor: \[ f'(1) = -\dfrac{1}{3 - 1} = -\dfrac{1}{2} \]

3. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) er: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{darkorange}{f(a)} \]Formelen brukes i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{f'(a)} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{darkorange}{f(a)} = \textcolor{darkorange}{\ln 2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \cdot (x - \textcolor{blue}{1}) + \textcolor{darkorange}{\ln 2} \\ y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser på hva som skjer med \( f(x) \) der funksjonen slutter å eksistere, og når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonen finnes bare når \( {3 - x > 0}\text{,} \) altså for \( {x < 3}\text{.} \)

1. Se på den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Lar vi \( x \) gå mot \( 3 \) fra venstre, går \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) mot \( 0 \) fra positiv side, og da går \( \ln \) mot minus uendelig: \[ \lim_{x \to 3^-} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = -\infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. La x gå mot minus uendelig Funksjonen finnes bare til venstre for \( 3\text{,} \) så vi lar \( x \) gå mot minus uendelig. Da vokser \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) uten grense, og \( \ln \) gjør det samme, bare saktere: \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = \infty \]Funksjonen nærmer seg altså ingen konstant verdi, så den har ingen horisontal asymptote.

For en skrå asymptote måtte \( \dfrac{f(x)}{x} \) ha gått mot et tall ulikt \( 0\text{.} \) Siden \( \ln \) vokser saktere enn \( x\text{,} \) får vi: \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\ln(\textcolor{green}{3 - x})}{x} = 0 \]Så funksjonen har heller ingen skrå asymptote.

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]