Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Den deriverte av \( \sin t \) er \( \cos t\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{t} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin t} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos t} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= \textcolor{red}{t} \cdot \textcolor{blue}{\cos t} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin t} \\ &= t\cos t + \sin t \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det en brøk, så vi bruker kjerneregelen med brøken som kjerne. Den deriverte av kjernen finner vi med kvotientregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen For \( \ln \) av en kjerne \( \textcolor{green}{w} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{w})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{w}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 3 \) blir stående som en faktor, slik videoen Kvotientregelen oppgave viser.

Kjernen er: \[ \textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} \]

2. Deriver kjernen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Den samme oppgaven med \( \ln \) av en brøk er i videoen Kvotientregelen oppgave.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w'} &= \dfrac{\textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen Plugger vi \( \textcolor{green}{w} \) og \( \textcolor{green}{w'} \) inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 3 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{x}{x^2 + 1} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Vi forkorter \( x \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{3(x^2 - 1)}{x(x^2 + 1)} \]

For å skrive opp tangenten trenger vi \( f(1) \) og \( f'(1)\text{.} \) Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x + 1}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 1})^2} \\ &= \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(1) &= \dfrac{e^1}{1 + 1} = \dfrac{e}{2} \\ f'(1) &= \dfrac{1 \cdot e^1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

3. Skriv opp tangenten Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = a} \) er: \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{e}{4}(x - 1) + \dfrac{e}{2} \\ &= \dfrac{e}{4}x - \dfrac{e}{4} + \dfrac{2e}{4} \\ &= \dfrac{e}{4}x + \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

Fra figuren leser vi at parabelen har nullpunktene \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Stigningen i \( {x = 0} \) gir oss konstanten, og så finner vi toppunktet med den deriverte.

1. Sett opp parabelen En parabel med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives slik: \[ h(x) = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 3}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} h(x) &= \textcolor{blue}{a} \cdot x(x - 3) \\ &= \textcolor{blue}{a}x^2 - 3\textcolor{blue}{a}x \end{aligned} \]

2. Bruk stigningen i null Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ h'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x - 3\textcolor{blue}{a} \]

Vi vet at \( {h'(0) = \dfrac{1}{10}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} h'(0) = -3\textcolor{blue}{a} &= \dfrac{1}{10} \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{30}} \end{aligned} \]

Parabelen og den deriverte er derfor: \[ \begin{aligned} h(x) &= -\dfrac{1}{30}x^2 + \dfrac{1}{10}x \\ h'(x) &= -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} \end{aligned} \]

3. Finn det høyeste punktet Vi setter \( {h'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} &= 0 \\ x &= \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) vender parabelen ned, så dette er toppunktet. Vi setter inn: \[ \begin{aligned} h\left(\dfrac{3}{2}\right) &= -\dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= -\dfrac{3}{40} + \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} \end{aligned} \]

4. Regn ut høydeforskjellen Det laveste punktet finner vi i endepunktene, der: \[ h(0) = h(3) = 0 \]

Høydeforskjellen er derfor: \[ \begin{aligned} \dfrac{3}{40} - 0 &= \dfrac{3}{40}\,\text{km} \\ &= 0{,}075\,\text{km} = 75\,\text{m} \end{aligned} \]

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

Momentan vekstfart er den deriverte. Vi deriverer begge funksjonene, setter dem like og løser med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver begge funksjonene \( e^x \) derivert er seg selv: \[ f'(x) = e^x \]

\( g \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}}\text{.} \) Kjerneregelen for \( e^u \) forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{u}})' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ g'(x) = e^{\textcolor{green}{4x}} \cdot \textcolor{green}{4} = 4e^{4x} \]

2. Sett de deriverte like Vi deler begge sider på \( e^x\text{,} \) som aldri er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^x &= 4e^{4x} \\ 1 &= 4e^{3x} \\ e^{3x} &= \dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Løs med logaritmer Vi tar \( \ln \) på begge sider og flytter ned \( 3x\text{,} \) slik videoen Naturlige Logaritmer viser: \[ \begin{aligned} \ln e^{3x} &= \ln \dfrac{1}{4} \\ 3x &= \ln \dfrac{1}{4} \\ x &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \ln \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Dette er formen \( {x = \textcolor{blue}{a} \ln \textcolor{red}{b}}\text{,} \) så vi kan lese av: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \]

Siden \( {\ln \dfrac{1}{4} = -\ln 4}\text{,} \) kan samme \( x \) også skrives \( {x = -\dfrac{1}{3} \ln 4}\text{.} \) Da er \( {a = -\dfrac{1}{3}} \) og \( {b = 4}\text{,} \) som også er riktig.

En tangent trenger et punkt og et stigningstall. Vi finner \( {g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og \( {g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og setter dem inn i tangentformelen.

1. Finn punktet \[ g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \pi = \dfrac{\pi}{2} \cdot 0 = 0 \]

2. Deriver funksjonen Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( \sin 2x \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{k})' = \cos \textcolor{green}{k} \cdot \textcolor{green}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ (\sin 2x)' = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2\cos 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin 2x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2\cos 2x} \\ &= \sin 2x + 2x\cos 2x \end{aligned} \]

3. Finn stigningstallet \[ \begin{aligned} g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin \pi + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \pi \\ &= 0 + \pi \cdot (-1) \\ &= -\pi \end{aligned} \]

4. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = g'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + g(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}} \\ g\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= 0 \\ g'\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= -\pi \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= -\pi\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) + 0 \\ &= -\pi x + \dfrac{\pi^2}{2} \end{aligned} \]

Vi setter opp arealet som en funksjon av \( x \) og finner toppunktet ved å sette den deriverte lik \( 0\text{.} \) Samme tankegang står i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

1. Sett opp arealet Sidene må være positive, så \( {0 < x < 4}\text{.} \) Rektangelet har areal lengde ganger høyde: \[ \textcolor{blue}{A_r} = \textcolor{blue}{x(4 - x)} = \textcolor{blue}{4x - x^2} \]

Halvsirkelen har radius \( \dfrac{x}{2}\text{,} \) og arealet er halve \( \pi r^2\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A_s} = \dfrac{1}{2} \pi \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \textcolor{blue}{4x - x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

2. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd: \[ A'(x) = 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og samler leddene med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} &= 0 \\ x\left(2 - \dfrac{\pi}{4}\right) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{2 - \dfrac{\pi}{4}} \\ x &= \dfrac{16}{8 - \pi} \end{aligned} \]

Dette er innenfor kravet til \( x\text{,} \) siden \( {8 - \pi > 4}\text{:} \) \[ 0 < \dfrac{16}{8 - \pi} < 4 \]

3. Sjekk at det er et toppunkt Den andrederiverte er negativ for alle \( x\text{,} \) siden \( {\pi < 8}\text{:} \) \[ A''(x) = -2 + \dfrac{\pi}{4} < 0 \]Grafen krummer altså nedover, så punktet er et toppunkt, og arealet er størst der.

Vi deriverer \( f \) to ganger med potensregelen, og setter inn \( {x = -2} \) i hvert uttrykk.

1. Finn funksjonsverdien Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{-2}) &= (\textcolor{blue}{-2})^3 - 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -8 + 4 \\ &= -4 \end{aligned} \]

2. Deriver én gang Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^3 \) derivert blir \( \underline{3x^2}\text{.} \)

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{blue}{-2}) &= 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2})^2 - 2 \\ &= 12 - 2 \\ &= 10 \end{aligned} \]

3. Deriver en gang til \( 3x^2 \) derivert blir \( \underline{6x}\text{,} \) og \( {-2} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant: \[ f''(x) = 6x \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ f''(\textcolor{blue}{-2}) = 6 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) = -12 \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Faktoren \( \cos 2x \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Faktoren \( \cos 2x \) har kjernen \( \textcolor{green}{2x}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{w})' = -\sin \textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]

Her er \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ (\cos \textcolor{green}{2x})' = -\sin \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = -2\sin 2x \]

Delene i produktregelen er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-2\sin 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\cos 2x} + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-2\sin 2x}) \\ &= e^x(\cos 2x - 2\sin 2x) \end{aligned} \]

Vi skriver om begge leddene før vi deriverer: brøken som en potens, og logaritmen med logaritmereglene. Så deriverer vi ledd for ledd.

1. Skriv om logaritmen Inni logaritmen skriver vi roten som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} \]

Logaritmeregelen for potenser, som i videoen Regneregler med Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(a^n) = n \cdot \ln a \]

Det gir oss: \[ \ln(x^{5/2}) = \dfrac{5}{2}\ln x \]

Funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{,} \) og vi kan skrive den som: \[ h(x) = \textcolor{blue}{2x^{-1}} - \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{2x^{-1}}} \) derivert blir, med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \textcolor{blue}{-2x^{-2} = -\dfrac{2}{x^2}} \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \) derivert blir, siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{blue}{-\dfrac{2}{x^2}} \textcolor{red}{- \dfrac{5}{2x}} \\ &= -\dfrac{4}{2x^2} - \dfrac{5x}{2x^2} \\ &= -\dfrac{5x + 4}{2x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Finn delene i regelen 0:14 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen 1:28 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{6x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{3x^2 - 4}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{6x^2 - 3x^2 + 4}{x^2} \\ &= \dfrac{3x^2 + 4}{x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en sum, så vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet har en kjerne, så der bruker vi kjerneregelen.

1. Del opp i to ledd 0:05 Vi kaller leddene \( \textcolor{blue}{a(x)} \) og \( \textcolor{red}{b(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a(x)} &= \textcolor{blue}{2\sin(\pi x)} \\ \textcolor{red}{b(x)} &= \textcolor{red}{2x^3} \end{aligned} \]

Da er: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{a'(x)} + \textcolor{red}{b'(x)} \]

2. Bruk kjerneregelen på første ledd 0:43 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{u(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'(x)} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Kjernen er \( \pi x\text{,} \) og sinus derivert er cosinus, så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x} & \textcolor{green}{u'(x)} &= \textcolor{green}{\pi} \\ f(u) &= 2\sin u & f'(u) &= 2\cos u \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a'(x)} &= 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det andre leddet 2:55 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {n = 3}\text{,} \) og konstanten \( 2 \) blir stående: \[ \textcolor{red}{b'(x)} = 2 \cdot 3x^2 = \underline{\textcolor{red}{6x^2}} \]

4. Slå sammen leddene 3:16 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)} + \textcolor{red}{6x^2} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) hvor den stiger, og hvor stigningen øker.

1. Les av fortegnet til funksjonen 0:15 Grafen ligger over \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 1}\text{,} \) krysser den i \( {x = 1} \) og ligger under til høyre: \[ \textcolor{darkorange}{h(1)} = 0 \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{h(x)}", "expr": "1 - x"}]}

2. Les av fortegnet til den deriverte 1:08 Den deriverte er \( 0 \) der grafen har et toppunkt, og det ser vi i \( {x = 0{,}5}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{h'(0{,}5)} = 0 \]

Til venstre for toppunktet stiger grafen, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er positiv. Til høyre synker den, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er negativ: :::fortegnsskjema {"points": [0.5], "labels": ["0{,}5"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{h'(x)}", "expr": "0.5 - x"}]}

3. Les av fortegnet til den dobbeltderiverte 2:25 Den dobbeltderiverte følger veksten til \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{.} \) Grafen blir brattere og brattere fram mot \( {x = 0}\text{,} \) er brattest der, og blir så slakere. Da har \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) et toppunkt i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{h''(0)} = 0 \]

Til venstre for \( {x = 0} \) vokser \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{,} \) og til høyre avtar den: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{green}{h''(x)}", "expr": "-x"}]}

En strek viser hvor funksjonen på linja er \( 0\text{.} \) Punktene er lest av figuren.

For å finne tangenten trenger vi punktet og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \) Stigningstallet får vi ved å derivere \( f \) med kjerneregelen.

1. Finn punktet Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) får vi: \[ f(1) = \ln(3 - 1) = \ln 2 \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3 - x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3 - x}} \cdot (\textcolor{green}{-1}) = -\dfrac{1}{3 - x} \]

Stigningstallet i punktet er derfor: \[ f'(1) = -\dfrac{1}{3 - 1} = -\dfrac{1}{2} \]

3. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) er: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{darkorange}{f(a)} \]Formelen brukes i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{f'(a)} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{darkorange}{f(a)} = \textcolor{darkorange}{\ln 2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \cdot (x - \textcolor{blue}{1}) + \textcolor{darkorange}{\ln 2} \\ y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser på hva som skjer med \( f(x) \) der funksjonen slutter å eksistere, og når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonen finnes bare når \( {3 - x > 0}\text{,} \) altså for \( {x < 3}\text{.} \)

1. Se på den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Lar vi \( x \) gå mot \( 3 \) fra venstre, går \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) mot \( 0 \) fra positiv side, og da går \( \ln \) mot minus uendelig: \[ \lim_{x \to 3^-} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = -\infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. La x gå mot minus uendelig Funksjonen finnes bare til venstre for \( 3\text{,} \) så vi lar \( x \) gå mot minus uendelig. Da vokser \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) uten grense, og \( \ln \) gjør det samme, bare saktere: \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = \infty \]Funksjonen nærmer seg altså ingen konstant verdi, så den har ingen horisontal asymptote.

For en skrå asymptote måtte \( \dfrac{f(x)}{x} \) ha gått mot et tall ulikt \( 0\text{.} \) Siden \( \ln \) vokser saktere enn \( x\text{,} \) får vi: \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\ln(\textcolor{green}{3 - x})}{x} = 0 \]Så funksjonen har heller ingen skrå asymptote.

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( \sin x \) derivert er \( \cos x\text{,} \) som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2 \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2 \cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2 \cos x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{2 \sin x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{2x^2 \cos x - 4x \sin x}{x^4} \end{aligned} \]

Begge leddene i telleren har faktoren \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) som vi stryker mot en \( \textcolor{darkorange}{x} \) i nevneren: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(2x \cos x - 4 \sin x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} \\ &= \dfrac{2x \cos x - 4 \sin x}{x^3} \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det et uttrykk, så vi bruker kjerneregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og Kjerneregelen forklarer hvorfor.

Kjernen deriverer vi med potensregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{2x^2 - 2x^4} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{4x - 8x^3} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Faktoren \( \dfrac{1}{2} \) blir stående. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{2x^2 - 2x^4}} \cdot (\textcolor{green}{4x - 8x^3}) \\ &= \dfrac{2x - 4x^3}{2x^2 - 2x^4} \end{aligned} \]

Faktoriserer vi telleren og nevneren, kan vi stryke \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}(1 - 2x^2)}{\textcolor{darkorange}{2x} \cdot x(1 - x^2)} \\ &= \dfrac{1 - 2x^2}{x(1 - x^2)} \end{aligned} \]

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i \( {x = e}\text{,} \) og det siste finner vi med produktregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = h'(\textcolor{magenta}{a})(x - \textcolor{magenta}{a}) + h(\textcolor{magenta}{a}) \]Den står i videoen Tangentlinje. Her er \( {\textcolor{magenta}{a} = \textcolor{magenta}{e}}\text{.} \)

2. Finn funksjonsverdien Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{:} \) \[ h(\textcolor{magenta}{e}) = e \cdot \ln e = e \cdot 1 = \underline{e} \]

3. Finn stigningstallet Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \\ &= 1 + \ln x \end{aligned} \]

I punktet \( {x = \textcolor{magenta}{e}} \) er stigningstallet: \[ h'(\textcolor{magenta}{e}) = 1 + \ln e = 1 + 1 = \underline{2} \]

4. Sett inn i tangentformelen Plugger vi inn \( {h(\textcolor{magenta}{e}) = e} \) og \( {h'(\textcolor{magenta}{e}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= 2(x - \textcolor{magenta}{e}) + e \\ &= 2x - 2e + e \\ &= 2x - e \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Siden \( {e^{2x} = e^x \cdot e^x} \) kan vi faktorisere ut \( e^x\text{.} \)

1. Faktoriser funksjonsuttrykket Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ e^{2x} - 2e^x = \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 2}) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Vi står igjen med: \[ \textcolor{blue}{e^x - 2} = 0 \]

2. Løs likningen med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{x}} &= 2 \\ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) &= \ln 2 \\ \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 2 \\ x &= \ln 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer, setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte på hver side av punktet.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet trenger kjerneregelen, som forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{g}}\right)' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{2x}, \quad \textcolor{green}{g'} = \textcolor{green}{2} \]

\( e^{2x} \) derivert blir da \( \underline{2e^{2x}}\text{,} \) og \( {-2e^x} \) derivert blir \( {\underline{-2e^x}}\text{.} \) Slår vi dette sammen og faktoriserer, får vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{e^x - 1}) \]

2. Sett den deriverte lik null \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) i punktet: \[ f(0) = e^0 - 2e^0 = 1 - 2 = -1 \]

3. Avgjør hva slags punkt det er Vi tegner fortegnslinja til \( f'(x)\text{,} \) som vi gjør i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{e^x - 1}", "expr": "e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {(0, -1)} \) er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet den deriverte er \( 0\text{,} \) så funksjonen har ingen toppunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Et vendepunkt er der den andrederiverte bytter fortegn. Vi deriverer derfor en gang til og setter \( {f''(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x \]

Vi deriverer ledd for ledd, med kjerneregelen på det første leddet, og faktoriserer ut \( 2e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(x) &= 4e^{2x} - 2e^x \\ &= \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{2e^x - 1}) \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Vendepunktene ligger der \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{2e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) med \( {e^x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {e^{2x} = \left(e^x\right)^2 = \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ f(-\ln 2) = \dfrac{1}{4} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Vi tegner fortegnslinja til \( f''(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f''(x)", "expr": "2e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) går fra minus til pluss i \( {x = -\ln 2}\text{,} \) så grafen vender der.

Vi bruker punktene fra a), b) og c).

Vi samler punktene vi har funnet, og regner ut funksjonsverdiene i endene av intervallet. Så tegner vi grafen gjennom dem.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{Nullpunkt: } &\textcolor{blue}{(\ln 2,\ 0)} \\ \text{Bunnpunkt: } &\textcolor{red}{(0,\ -1)} \\ \text{Vendepunkt: } &\textcolor{green}{\left(-\ln 2,\ -\dfrac{3}{4}\right)} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene i endene Med kalkulator får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-2) &= e^{-4} - 2e^{-2} \approx -0{,}25 \\ f(1) &= e^2 - 2e \approx 1{,}95 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Fra b) vet vi at grafen synker fram til \( {x = 0} \) og så stiger. Fra c) vet vi at den vender i \( {x = -\ln 2}\text{.} \) Da kan vi tegne den. Sammenhengen mellom en graf og fortegnslinjene ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025:

Vi deriverer, finner nullpunktet til den deriverte og bruker fortegnet til å se hvor funksjonen stiger og synker.

1. Deriver ledd for ledd \( (\ln x)^2 \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(g(\textcolor{green}{u})\right)' = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er, med \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= \textcolor{green}{u}^2 & g'(\textcolor{green}{u}) &= 2\textcolor{green}{u} \\ \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\ln x} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left((\ln x)^2\right)' = 2\textcolor{green}{\ln x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{x}} = \underline{\dfrac{2\ln x}{x}} \]

\( 6\ln x \) derivert blir \( \underline{\dfrac{6}{x}}\text{,} \) og \( 1 \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2\ln x + 6}}{\textcolor{magenta}{x}} \]

2. Finn nullpunktet til den deriverte Nevneren er aldri \( 0 \) for \( {x > 0}\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2\ln x + 6} &= 0 \\ \ln x &= -3 \\ x &= e^{-3} \end{aligned} \]Det siste steget er definisjonen av \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

3. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.049787068367863944], "labels": ["e^{-3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2\\ln x + 6}", "expr": "2ln(x) + 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2ln(x) + 6)/x"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = e^{-3}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

4. Regn ut bunnpunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-3}) = -3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-3}) &= (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 1 \\ &= 9 - 18 + 1 = -8 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra a).

Krumningen er gitt av fortegnet til \( f''(x)\text{,} \) så vi deriverer én gang til og lager et fortegnsskjema.

1. Finn den andrederiverte I a) fant vi: \[ f'(x) = \dfrac{2\ln x + 6}{x} \]

Det er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2\ln x + 6} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{2\ln x + 6}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{2 - 2\ln x - 6}{x^2} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4}}{\textcolor{magenta}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Finn nullpunktet til den andrederiverte Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{-2\ln x - 4} &= 0 \\ \ln x &= -2 \\ x &= e^{-2} \end{aligned} \]

3. Lag et fortegnsskjema Nevneren \( \textcolor{magenta}{x^2} \) er alltid positiv for \( {x > 0}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [0.1353352832366127], "labels": ["e^{-2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-2\\ln x - 4}", "expr": "-2ln(x) - 4"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x^2}", "expr": "x^2"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(-2ln(x) - 4)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

For \( {x < e^{-2}} \) er \( {f''(x) > 0}\text{,} \) så grafen krummer oppover. For \( {x > e^{-2}} \) er \( {f''(x) < 0}\text{,} \) så grafen krummer nedover. Krumningen skifter i \( {x = e^{-2}}\text{,} \) så der er et vendepunkt.

4. Regn ut vendepunktet Vi setter inn \( {\ln(e^{-2}) = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(e^{-2}) &= (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 1 \\ &= 4 - 12 + 1 = -7 \end{aligned} \]