Forkurseksamen etter tema

Grafen skjærer \( x \)-aksen der telleren er \( 0\text{,} \) og \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med x-aksen En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -4 \quad \text{eller} \quad x = 1 \]Nevneren er ikke \( 0 \) i noen av dem, så begge er nullpunkter.

2. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 + 3 \cdot 0 - 4}{0 + 2} = \dfrac{-4}{2} = -2 \]

Vi ser etter en vertikal asymptote der nevneren er \( 0\text{.} \) Siden telleren har én grad høyere enn nevneren, finner vi en skrå asymptote med polynomdivisjon.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi finner hvor nevneren er \( 0\text{:} \) \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Vi ser hva telleren er der: \[ (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 4 = -6 \neq 0 \]Telleren er ikke \( 0\text{,} \) så \( f(x) \) går mot pluss eller minus uendelig når \( x \) nærmer seg \( {-2}\text{.} \) Linja \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på nevneren med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 2) &= x^2 + 2x \\ -(x^2 + 2x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {3x - 2x = x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{1} \\ \textcolor{magenta}{1} \cdot (x + 2) &= x + 2 \\ -(x + 2) &= \textcolor{magenta}{-x - 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x}} & \textcolor{magenta}{{}- 2} \\ \hline & & -6 \end{array} \end{array} \]\( x \) strykes mot \( {-x}\text{,} \) og \( {-4 - 2 = -6}\text{.} \) Tallet \( {-6} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( {-6} \) er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret: \[ \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} + \dfrac{-6}{x + 2} = x + 1 - \dfrac{6}{x + 2} \]

3. Finn den skrå asymptoten Funksjonen er altså: \[ f(x) = \textcolor{blue}{x + 1} - \dfrac{6}{x + 2} \]

Når \( x \) blir veldig stor eller veldig liten, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{6}{x + 2} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{blue}{x + 1}}\text{,} \) som er en skrå asymptote. Siden \( f(x) \) ikke går mot et fast tall, er det ingen horisontal asymptote.

Vi bruker skjæringspunktene fra a) og asymptotene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tegner asymptotene først, setter inn skjæringspunktene og regner ut noen få verdier til. Så tegner vi grafen gjennom punktene, tett inntil asymptotene.

1. Sett opp det vi vet I a) fant vi skjæringspunktene: \[ (-4, 0), \quad (1, 0), \quad (0, -2) \]

I b) fant vi asymptotene: \[ \textcolor{red}{x = -2}, \quad \textcolor{blue}{y = x + 1} \]

2. Regn ut noen verdier Vi setter inn noen \( x \)-verdier på hver side av \( {x = -2}\text{,} \) slik vi setter inn verdier for å tegne en graf i videoen Grenseverdier: \[ \begin{aligned} f(-6) &= \dfrac{14}{-4} = -\dfrac{7}{2} \\ f(-3) &= \dfrac{-4}{-1} = 4 \\ f(-1) &= \dfrac{-6}{1} = -6 \\ f(2) &= \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\ f(4) &= \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi tegner \( {\textcolor{red}{x = -2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y = x + 1}} \) stiplet. Fra b) vet vi hvor langt grafen er fra den skrå linja: \[ f(x) - (\textcolor{blue}{x + 1}) = -\dfrac{6}{x + 2} \]

Brøken er positiv til venstre for \( {\textcolor{red}{x = -2}}\text{,} \) så der ligger grafen over linja og går mot pluss uendelig inntil asymptoten.

Til høyre ligger den under linja og kommer fra minus uendelig.

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det.

1. Sett telleren lik null Slik finner vi nullpunktet til en brøk i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2x^2 - 4} &= 0 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Sjekk nevneren Vi setter inn \( {x = \pm\sqrt{2}} \) i nevneren: \[ \textcolor{blue}{(\pm\sqrt{2})^2 - 4} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \]Begge verdiene er derfor nullpunkter.

En vertikal asymptote er der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det. Den horisontale finner vi ved å la \( x \) gå mot pluss og minus uendelig.

1. Finn de vertikale asymptotene Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

Vi setter inn i telleren: \[ 2 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4 \neq 0 \]Da har vi vertikale asymptoter i \( {x = -2} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

2. Finn den horisontale asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Både teller og nevner vokser da uten grense. Det er typen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi deler begge på \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x^2 - 4}{x^2 - 4} &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}}{1 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}} \\ &= \dfrac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \end{aligned} \]Da har vi en horisontal asymptote i \( {y = 2}\text{.} \)

\( g \) er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {g'(x) = 0} \) og bruker et fortegnsskjema for å se om punktet er et topp- eller bunnpunkt.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 - 4} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4x}(\textcolor{blue}{x^2 - 4}) - (\textcolor{red}{2x^2 - 4})\textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 - 4})^2} \\ &= \dfrac{4x^3 - 16x - 4x^3 + 8x}{(x^2 - 4)^2} \\ &= \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {g'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Brøken er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{-8x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]Nevneren er \( {(0 - 4)^2 = 16 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = 0} \) gjelder.

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til \( {\textcolor{magenta}{-8x}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}}\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 0, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-8x}", "expr": "-8x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}", "expr": "(x^2 - 4)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "-8x/(x^2 - 4)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes.

I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \pm 2} \) finnes ikke \( g\text{,} \) så der er det ingen topp- eller bunnpunkter.

Vi setter inn \( {x = 0} \) i \( g(x) \) for å finne \( {y\text{-verdien:}} \) \[ g(0) = \dfrac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 - 4} = \dfrac{-4}{-4} = 1 \]

I c) fant vi \( {g'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2}}\text{.} \)

Vi deriverer \( g'(x) \) med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. Et vendepunkt krever at \( g''(x) \) skifter fortegn der \( g \) finnes.

1. Deriver nevneren Nevneren har kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{x^2 - 4}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{w}^2)' = 2\textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x^2 - 4})^2\right)' &= 2(\textcolor{green}{x^2 - 4}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= 4x(x^2 - 4) \end{aligned} \]

2. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-8x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i telleren \( {\textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}}\text{,} \) og setter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}} \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-8}\textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} - (\textcolor{red}{-8x})\textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \\ &= -8(x^2 - 4)^2 + 32x^2(x^2 - 4) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}\left(-8(x^2 - 4) + 32x^2\right) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32) \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{blue}{v}^2 = (x^2 - 4)^4}\text{.} \) Vi forkorter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g''(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32)}{(x^2 - 4)^4} \\ &= \dfrac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3} \end{aligned} \]

3. Se etter vendepunkt Et vendepunkt krever at \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 24x^2 + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\dfrac{4}{3} \]Et kvadrat kan ikke være negativt, så likningen har ingen løsning. Telleren \( {24x^2 + 32} \) er alltid positiv, så fortegnet kommer fra nevneren \( {(x^2 - 4)^3}\text{,} \) som skifter fortegn bare i \( {x = \pm 2}\text{.} \) Der finnes ikke \( g\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a), asymptotene fra b), toppunktet og fortegnsskjemaet fra c), og at det ikke er noen vendepunkter fra d).

Vi tegner asymptotene først og merker punktene. Så finner vi om grafen ligger over eller under \( {y = 2}\text{,} \) og tegner en del av grafen for hvert intervall.

1. Samle det vi har funnet Dette skal inn i koordinatsystemet: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \ & x = \pm 2, \ y = 2 \\ \text{Nullpunkter:} \ & (-\sqrt{2}, 0), \ (\sqrt{2}, 0) \\ \text{Toppunkt:} \ & (0, 1) \end{aligned} \]

2. Finn hvor grafen ligger Vi trekker fra den horisontale asymptoten: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} - 2 &= \dfrac{2x^2 - 4 - 2(x^2 - 4)}{x^2 - 4} \\ &= \dfrac{4}{x^2 - 4} \end{aligned} \]

Brøken er positiv når \( {|x| > 2} \) og negativ når \( {|x| < 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |x| > 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} > 2 \\ |x| < 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} < 2 \end{aligned} \]

Fortegnet til \( g'(x) \) fra c), som vi leser av som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering, sier hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} x < -2: \quad & \text{stiger mot } +\infty \\ -2 < x < 0: \quad & \text{stiger til } (0, 1) \\ 0 < x < 2: \quad & \text{synker mot } -\infty \\ x > 2: \quad & \text{synker mot } y = 2 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi trekker asymptotene stiplet, merker punktene og tegner de tre delene gjennom dem:

For å finne tangenten trenger vi punktet og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \) Stigningstallet får vi ved å derivere \( f \) med kjerneregelen.

1. Finn punktet Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) får vi: \[ f(1) = \ln(3 - 1) = \ln 2 \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3 - x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3 - x}} \cdot (\textcolor{green}{-1}) = -\dfrac{1}{3 - x} \]

Stigningstallet i punktet er derfor: \[ f'(1) = -\dfrac{1}{3 - 1} = -\dfrac{1}{2} \]

3. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) er: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{darkorange}{f(a)} \]Formelen brukes i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{f'(a)} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{darkorange}{f(a)} = \textcolor{darkorange}{\ln 2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \cdot (x - \textcolor{blue}{1}) + \textcolor{darkorange}{\ln 2} \\ y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser på hva som skjer med \( f(x) \) der funksjonen slutter å eksistere, og når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonen finnes bare når \( {3 - x > 0}\text{,} \) altså for \( {x < 3}\text{.} \)

1. Se på den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Lar vi \( x \) gå mot \( 3 \) fra venstre, går \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) mot \( 0 \) fra positiv side, og da går \( \ln \) mot minus uendelig: \[ \lim_{x \to 3^-} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = -\infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. La x gå mot minus uendelig Funksjonen finnes bare til venstre for \( 3\text{,} \) så vi lar \( x \) gå mot minus uendelig. Da vokser \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) uten grense, og \( \ln \) gjør det samme, bare saktere: \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = \infty \]Funksjonen nærmer seg altså ingen konstant verdi, så den har ingen horisontal asymptote.

For en skrå asymptote måtte \( \dfrac{f(x)}{x} \) ha gått mot et tall ulikt \( 0\text{.} \) Siden \( \ln \) vokser saktere enn \( x\text{,} \) får vi: \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\ln(\textcolor{green}{3 - x})}{x} = 0 \]Så funksjonen har heller ingen skrå asymptote.

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]

Nullpunktene finner vi der telleren er \( 0\text{.} \) Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er \( 0\text{,} \) og den horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Finn nullpunktet 0:07 For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= 0 \\ x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

2. Finn den vertikale asymptoten 1:54 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Dele på null. Nevneren er \( 0 \) når: \[ \begin{aligned} x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \end{aligned} \]

Telleren er ikke \( 0 \) der, så vi får en vertikal asymptote: \[ x - 2 = -3 - 2 = -5 \neq 0 \]

3. Finn den horisontale asymptoten 3:08 Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi får formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{.} \)

Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T(x)}}{\textcolor{blue}{N(x)}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T'(x)}}{\textcolor{blue}{N'(x)}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{T'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{N} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{N'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{x - 2}}{\textcolor{blue}{x + 3}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{1}} = 1 \]

Det samme skjer når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonsverdien går altså mot \( 1\text{,} \) så asymptoten er linja \( {y = 1}\text{.} \)

Alternativ metode: Del på x 4:37 Vi kan også dele både telleren og nevneren på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}} \\ &= \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \end{aligned} \]Denne metoden lønner seg når du ikke har lært L'Hôpitals regel.

Vi finner først hvilke \( {x\text{-verdier}} \) som gir stigningstall \( 5\text{,} \) ved å sette \( {f'(x) = 5}\text{.} \) Så setter vi opp en tangent for hver av dem.

1. Deriver med kvotientregelen 0:32 Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x + 3}) - (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 3})^2} \\ &= \dfrac{x + 3 - x + 2}{(x + 3)^2} = \dfrac{5}{(x + 3)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik 5 3:00 Vi setter \( {f'(x) = 5}\text{,} \) ganger begge sider med nevneren og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{5}{(x + 3)^2} &= 5 \\ 1 &= (x + 3)^2 \\ 1 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 6x + 8 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 4:35 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{8}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-6 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -2 \quad \vee \quad x_2 = -4 \]

4. Finn den første tangenten 6:36 En tangent er en rett linje, som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{darkorange}{a}x + \textcolor{magenta}{b} \]Stigningstallet er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{5}}\text{,} \) så vi må finne \( \textcolor{magenta}{b}\text{.} \)

Vi starter med \( {x = -2} \) og regner ut \( {y\text{-verdien}} \) i punktet: \[ f(-2) = \dfrac{-2 - 2}{-2 + 3} = \dfrac{-4}{1} = -4 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} -4 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-2) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 6 \end{aligned} \]

5. Finn den andre tangenten 8:33 Vi gjør det samme med \( {x = -4}\text{:} \) \[ f(-4) = \dfrac{-4 - 2}{-4 + 3} = \dfrac{-6}{-1} = 6 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 6 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-4) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 26 \end{aligned} \]

Vi finner først hvor grafen og linja skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter uttrykkene like, ganger med \( {x + 3} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= x - 2 \\ x - 2 &= (x - 2)(x + 3) \\ 0 &= (x - 2)(x + 3) - (x - 2) \\ 0 &= (x - 2)(x + 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = -2 \quad \vee \quad x = 2 \]

2. Finn ut hvem som ligger øverst Mellom \( {x = -2} \) og \( {x = 2} \) skjærer de ikke hverandre, og begge er sammenhengende der. Da holder det å teste én verdi: \[ \textcolor{red}{f(0) = -\dfrac{2}{3}}, \qquad \textcolor{blue}{y = 0 - 2 = -2} \]Siden \( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}} > \textcolor{blue}{-2}} \) ligger grafen til \( \textcolor{red}{f} \) over \( \textcolor{blue}{\text{linja}} \) i hele området.

3. Sett opp integralet Vi skriver om brøken, siden \( {x - 2 = (x + 3) - 5}\text{:} \) \[ \dfrac{x - 2}{x + 3} = \dfrac{(x + 3) - 5}{x + 3} = 1 - \dfrac{5}{x + 3} \]

Arealet er den øverste minus den nederste, integrert mellom skjæringspunktene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ \begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2} \left( \textcolor{red}{1 - \dfrac{5}{x + 3}} - (\textcolor{blue}{x - 2}) \right) dx \\ &= \int_{-2}^{2} \left( 3 - x - \dfrac{5}{x + 3} \right) dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, og den siste brøken gir \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( {x + 3 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverditegn: \[ A = \left[ 3x - \dfrac{1}{2}x^2 - 5\ln(x + 3) \right]_{-2}^{2} \]

Vi setter inn grensene hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{øvre: } &6 - 2 - 5\ln 5 = 4 - 5\ln 5 \\ \text{nedre: } &-6 - 2 - 5\ln 1 = -8 \end{aligned} \]

Trekker vi den nedre fra den øvre, får vi: \[ A = 4 - 5\ln 5 - (-8) = 12 - 5\ln 5 \]

Vi vet hvor den deriverte er \( 0\text{,} \) så vi setter opp den deriverte først og integrerer den.

1. Sett opp den deriverte I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En andregradsfunksjon med nullpunktene \( {-2} \) og \( 1 \) er: \[ f'(x) = \textcolor{green}{k}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) slik at alle koeffisientene i \( f(x) \) blir hele tall: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{green}{6}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \\ &= 6(x^2 + x - 2) \\ &= 6x^2 + 6x - 12 \end{aligned} \]

2. Integrer den deriverte Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Regelen forteller oss at: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad n \neq -1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int (6x^2 + 6x - 12)\, dx \\ &= 6 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 6 \cdot \dfrac{x^2}{2} - 12x + C \\ &= 2x^3 + 3x^2 - 12x + C \end{aligned} \]

Vi velger \( {C = 0}\text{.} \)

3. Sjekk at punktene er ekstremalpunkter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "6(x + 2)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -2} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

Andre svar er også riktige: alle valg av \( {k \neq 0} \) og \( C \) gir en slik funksjon, for eksempel \( {f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5}\text{.} \)

Vi tar linja \( {y = x - 2} \) og legger til en brøk som går mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, og som har nevneren \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Sett opp funksjonen Brøken \( {\dfrac{1}{x + 2}} \) er den enkleste som har de to egenskapene, så vi velger: \[ h(x) = \textcolor{blue}{x - 2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \]

2. Sjekk skråasymptoten Avstanden mellom grafen og linja er brøken, og den går mot \( 0 \) når \( x \) går mot pluss eller minus uendelig: \[ h(x) - (\textcolor{blue}{x - 2}) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \to 0 \]

Altså er \( {y = x - 2} \) en skråasymptote.

3. Sjekk den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Telleren i brøken er \( 1\text{,} \) så \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {h(x) = x - 2 + \dfrac{5}{x + 2}}\text{.} \)

Vi skal bruke derivasjon, så vi deriverer høyre side. Blir det \( f(x)\text{,} \) stemmer integralet.

1. Skriv om det første leddet Her står kvadratet inni logaritmen, \( {\ln\left((x + 3)^2\right)}\text{.} \) Siden \( {x + 3 > 0}\text{,} \) forteller logaritmeregelen for potenser oss at: \[ \ln(x + 3)^2 = 2\ln(x + 3) \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Deriver ledd for ledd Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 3}} \) i det første leddet og \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}} \) i det andre, med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}} \) i begge.

\( {2\ln(\textcolor{green}{x + 3})} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}}} \]

\( {-\ln(\textcolor{green}{x + 2})} \) derivert blir: \[ \underline{-\dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}}} \]

\( C \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

3. Sett på felles brøkstrek Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}} - \dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}} \\ &= \dfrac{2(x + 2) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} \\ &= \dfrac{x + 1}{x^2 + 5x + 6} = f(x) \end{aligned} \]

Den deriverte av høyre side er \( f(x)\text{,} \) så integralet stemmer.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: integralet står i oppgaveteksten til a).

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 2 \) er både teller og nevner positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor det bestemte integralet fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \)

1. Sett opp integralet Fra a) vet vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx = \ &\ln(x + 3)^2 \\ &- \ln(x + 2) + C \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} f(x)\,dx \\ &= \Big[\ln(x + 3)^2 - \ln(x + 2)\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (\textcolor{red}{\ln 25 - \ln 4}) - (\textcolor{blue}{\ln 9 - \ln 2}) \end{aligned} \]

2. Slå sammen logaritmene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln a + \ln b &= \ln(ab) \\ \ln a - \ln b &= \ln \dfrac{a}{b} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmereglene, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Bruker vi dem, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln 25} + \textcolor{blue}{\ln 2} \textcolor{red}{- \ln 4} \textcolor{blue}{- \ln 9} \\ &= \ln \dfrac{\textcolor{red}{25} \cdot \textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{9}} \\ &= \ln \dfrac{25}{18} \end{aligned} \]

Vi ser etter vertikale asymptoter der nevneren er \( 0\text{,} \) og horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer nevneren: \[ \textcolor{blue}{x^2 + 5x + 6} = \textcolor{blue}{(x + 2)(x + 3)} \]

Den er \( 0 \) for \( {x = -2} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Begge ligger utenfor definisjonsmengden \( [0, \to\rangle\text{,} \) så \( f \) har ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i \( \textcolor{red}{\text{telleren}} \) og \( \textcolor{blue}{\text{nevneren}} \) hver for seg. Begge vokser over alle grenser, så vi deler teller og nevner på den høyeste potensen, \( x^2\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\textcolor{blue}{1 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^2}}} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{0 + 0}}{\textcolor{blue}{1 + 0 + 0}} = 0 \end{aligned} \]

Grafen nærmer seg derfor linjen \( {y = 0}\text{.} \)

En tangent er en rett linje, så vi trenger et punkt og et stigningstall. Stigningstallet får vi fra den deriverte.

1. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 4} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(4) &= 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 \\ &= 16 - 16 + 2 = 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 2x - 4 \\ f'(4) &= 2 \cdot 4 - 4 = 4 \end{aligned} \]

2. Sett inn i tangentformelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y - f(\textcolor{blue}{a}) = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad f(\textcolor{blue}{4}) = 2, \quad \textcolor{red}{f'(4)} = \textcolor{red}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - 2 &= \textcolor{red}{4} \cdot (x - \textcolor{blue}{4}) \\ y - 2 &= 4x - 16 \\ y &= 4x - 14 \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn ett tall i \( f(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } f(x) \\ &\iff f(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Sett inn tallet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{5}) &= 5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {f(5) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 5)} \) en faktor.

Vi bruker fra b) at \( {(x - 5)} \) er en faktor i telleren.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = 5}\text{,} \) men der er også telleren \( 0\text{.} \) Vi deler derfor først, og ser hva som står igjen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Se etter vertikal asymptote En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er det bare \( {x = 5}\text{.} \)

Vi forkorter brøken for \( {x \neq 5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{\cancel{(x - 5)}}(x^2 + 3x - 4)}{\textcolor{darkorange}{\cancel{x - 5}}} \\ &= x^2 + 3x - 4 \end{aligned} \]

Når \( x \) går mot \( 5\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 5} f(x) &= 5^2 + 3 \cdot 5 - 4 \\ &= 36 \end{aligned} \]

Funksjonen går mot et tall og vokser ikke over alle grenser. Så \( {x = 5} \) er bare et hull i grafen, ikke en vertikal asymptote.

3. Se etter horisontal asymptote En horisontal asymptote får vi hvis \( f(x) \) går mot et tall når \( x \) blir veldig stor, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Her er leddet \( x^2 \) størst: \[ \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 + 3x - 4) = \infty \]

Grafen er en parabel med et hull, så den har heller ingen skrå asymptote.

Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Differansen blir enkel, og den integrerer vi med substitusjon.

1. Sett opp integralet Vi regner ut differansen: \[ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= (x + 1)e^{x^2} - e^{x^2} \\ &= x e^{x^2} \end{aligned} \]

På \( [0, 1] \) er \( {x \geq 0} \) og \( {e^{x^2} > 0}\text{,} \) så \( {f(x) \geq g(x)}\text{.} \) Grafen til \( f \) ligger altså øverst.

Arealet mellom grafene er derfor: \[ \begin{aligned} A &= \int_0^1 (f(x) - g(x))\,dx \\ &= \int_0^1 x e^{x^2}\,dx \end{aligned} \]Arealet som et bestemt integral ser du i videoen Hva er integrasjon.

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 0 \\ x = 1 &\Rightarrow \textcolor{green}{u} = 1 \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Integralet av \( e^u \) er \( e^u\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^1 \\ &= \dfrac{1}{2} (e^1 - e^0) = \dfrac{e - 1}{2} \end{aligned} \]

En asymptote er en linje som grafen kommer stadig nærmere. Her viser de stiplede linjene oss hvor de er, så vi leser av likningene.

1. Finn de loddrette asymptotene Grafen går mot pluss eller minus uendelig på begge sider av de loddrette linjene, som asymptotene i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Linjene står i: \[ x = -1 \quad \text{og} \quad x = 3 \]

2. Finn den skrå asymptoten Grafen nærmer seg den skrå linja når \( x \) går mot pluss og minus uendelig. En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]

Vi leser av to punkter på linja, \( {(-6, 0)} \) og \( (0, 3)\text{.} \) Den skjærer \( {y\text{-aksen}} \) i \( 3\text{,} \) og stigningstallet blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{a} &= \dfrac{3 - 0}{0 - (-6)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}x + \textcolor{blue}{3} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen stiger og synker, og hvilken vei den krummer.

1. Les av fortegnet til den deriverte \( f'(x) \) er positiv der grafen stiger, negativ der den synker og \( 0 \) i topp- og bunnpunktene, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren ligger disse punktene nær: \[ f'(x) = 0 \text{ for } \textcolor{darkorange}{x \approx 1{,}7} \text{ og } \textcolor{darkorange}{x \approx 4{,}4} \]

Grafen stiger til venstre for \( {x = -1}\text{,} \) og fra \( {x = -1} \) til toppunktet. Den synker fra toppunktet mot \( {x = 3}\text{.} \) Til høyre for \( {x = 3} \) synker den fra uendelig ned til bunnpunktet, og etter det stiger den igjen. I \( {x = -1} \) og \( {x = 3} \) er \( f \) ikke definert. Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1.7, 3, 4.4], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "(x - 1.7)*(x - 4.4)/((x + 1)^2*(x - 3)^2)"}]}

En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{,} \) og × hvor den ikke er definert.

2. Les av fortegnet til den andrederiverte \( f''(x) \) er positiv der grafen krummer oppover, som en skål, og negativ der den krummer nedover, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren har vi: \[ \begin{aligned} x < -1 &: \ \text{krummer oppover} \\ -1 < x < 3 &: \ \text{krummer nedover} \\ x > 3 &: \ \text{krummer oppover} \end{aligned} \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "1/((x + 1)*(x - 3))"}]}

Vi bruker fortegnslinjene fra b).

Fortegnslinjene forteller oss hvor grafen snur og hvor den skifter krumning. Koordinatene leser vi av i figuren.

1. Finn toppunktet I \( {x = 1{,}7} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus. Grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{red}{f(1{,}7)} \approx \textcolor{red}{2{,}9} \]

2. Finn bunnpunktet I \( {x = 4{,}4} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss. Grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{blue}{f(4{,}4)} \approx \textcolor{blue}{5{,}8} \]

3. Se etter vendepunkter I et vendepunkt skifter \( f''(x) \) fortegn, som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Fortegnet til \( f''(x) \) skifter bare i asymptotene, der \( f \) ikke er definert: \[ f(-1) \text{ og } f(3) \text{ finnes ikke} \]

Grafen har derfor ingen vendepunkter i figuren.

Vi setter \( {x = 0} \) for \( {y\text{-aksen}} \) og \( {f(x) = 0} \) for \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn skjæringspunktene Med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{0}) = \dfrac{\textcolor{blue}{0}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{0} - 1} = 0 \]

Med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 &= 0 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

Nevneren er \( {-1} \) for \( {\textcolor{blue}{x = 0}}\text{,} \) så brøken finnes der. Begge gir samme punkt, origo.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon for å finne en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{2} \]

Telleren er \( {\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 0} \) der, så \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 + 0x} \) på \( {(2x - 1)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \\ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \cdot (2x - 1) &= x^2 - \dfrac{1}{2}x \\ -(x^2 - \dfrac{1}{2}x) &= \textcolor{red}{-x^2 + \dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \dfrac{1}{2}x & \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) og \( {0x + \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{2}x}\text{.} \) Linja \( \dfrac{1}{2}x \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{2}x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \\ \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} \cdot (2x - 1) &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \\ -(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}) &= \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{2}x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{\dfrac{1}{2}x}} & \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-\dfrac{1}{2}x}} & \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} \\ \hline & & \dfrac{1}{4} \end{array} \end{array} \]\( \dfrac{1}{2}x \) strykes mot \( {-\dfrac{1}{2}x}\text{,} \) og \( {0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}}\text{.} \) Tallet \( \dfrac{1}{4} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( \dfrac{1}{4} \) er restleddet.

3. Les av den skrå asymptoten Restleddet delt på nevneren legges til svaret: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{magenta}{{}+ \dfrac{1}{4}} + \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \]

Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, blir nevneren i den siste brøken stor i tallverdi, og brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \dfrac{\dfrac{1}{4}}{2x - 1} \to 0 \]

Da nærmer grafen seg linja \( {y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}}\text{,} \) og det er den skrå asymptoten. Siden \( |f(x)| \) vokser uten grense, har grafen ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{2x - 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{2x}(\textcolor{blue}{2x - 1}) - \textcolor{red}{x^2} \cdot \textcolor{blue}{2}}{(\textcolor{blue}{2x - 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \\ &= \dfrac{2x(x - 1)}{(2x - 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn ekstremalpunktene For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 1)} &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0, 0.5, 1], "labels": ["0", "\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "(2x - 1)^2", "expr": "(2x - 1)^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "2x(x - 1)/(2x - 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor \( f'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-verdiene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \dfrac{0^2}{2 \cdot 0 - 1} = 0 \\ f(1) &= \dfrac{1^2}{2 \cdot 1 - 1} = 1 \end{aligned} \]

Vi bruker polynomdivisjonen fra b), som gir oss \( f(x) \) skrevet som ledd vi kan integrere.

Arealet under grafen er et bestemt integral. Vi integrerer ledd for ledd.

1. Sett opp integralet For \( x \) mellom \( 1 \) og \( 2 \) er både telleren og nevneren positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor integralet, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 f(x) \, dx \]

I b) fant vi: \[ f(x) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2x - 1}} \]

2. Integrer ledd for ledd Reglene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Den gjelder også konstanten, siden \( {\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}x^0}\text{.} \)

Brøken følger regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, med en faktor \( \dfrac{1}{2} \) fordi kjernen \( {2x - 1} \) har derivert \( 2\text{:} \) \[ \int \dfrac{1}{2x - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Her er \( {2x - 1 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdien. Leddene gir: \[ A = \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}x^2} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}x} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)}\right]_1^2 \]

3. Sett inn grensene Vi setter inn øvre og nedre grense, med \( {\ln 1 = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\textcolor{red}{1} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{2}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{8}\ln 3}\right) \\ &\quad - \left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{magenta}{\dfrac{1}{4}} + \textcolor{green}{0}\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3 \end{aligned} \]

Grafene skjærer hverandre der \( {f(x) = g(x)}\text{.} \) Vi ganger opp nevneren og får en andregradslikning.

1. Sett funksjonene like Vi setter \( {f(x) = g(x)} \) og ganger med nevneren, som ikke er \( 0 \) for \( {x \neq \dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{2x - 1} &= x \\ x^2 &= x(2x - 1) \\ x^2 &= 2x^2 - x \\ 0 &= x^2 - x \end{aligned} \]

2. Faktoriser og finn punktene Vi setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor som felles faktor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{x}(x - 1) &= 0 \\ x = 0 \ \text{ eller } \ x &= 1 \end{aligned} \]

\( {y\text{-verdien}} \) finner vi i \( {g(x) = x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(0) &= 0 \\ g(1) &= 1 \end{aligned} \]