Her er noen kjappe derivasjonsregler, slik som de pleier å være gitt i de fleste bøkene deres. Gå lenger NED for en litt mer ordentlig definisjon med eksempler!
Disse derivasjonsreglene er de mest generelle som så og si blir brukt hele tiden. Hvis det er første gang du ser disse reglene kan det være litt "hokus pokus", men saken er, du må nesten bare kunne disse. Etter å ha gått igjennom nok oppgaver kommer disse til å sitte. I eksemplene under kommer vi til å ta deg igjennom dette, steg for steg. MEN, etterhvert så trenger du ikke å følge alle disse stegene. De er ment som en steppingstone slik at du etterhvert husker dem med null assistanse. Good Luck! :)
\( a\times{x^b} \)
I dette tilfellet er både \(a\) og \(b\) konstanter. NB! Ikke en funksjoner. Se eksempel.
Hvis: \[ f(x)\ =\ a\times{x^b} \] så kommer \[ f'(x)\ =\ a\times{b}\times{x^{b-1}} \]
Eksempel
Deriver følgende funksjon: \[ f(x)\ =\ 21\times{x^{40}} \]
Vi starter med å identifisere \(a\) og \(b\). Begge disse er konstanter. Vi ser at \(a=21\) ( konstanten som er ganget med \(x\) ) og \(b = 40\) (konstanten som \(x\) er opphøyd i). Vi finner \(f'(x)\) ved å følge den overnevnte formelen direkte. Dette gir oss: \[ f'(x)\ =\ a\times{b}\times{x^{b-1}}\ =\ 21\times{40}\times{x^{40-1}}\ =\ {\color{#ff9900} 840\times{x^{39}}} \]
NB! Det at \(a\) og \(b\) er konstanter betyr bare at de er helt vanlige tall som 2, 3, 5, -10, \( \frac{2}{3} \), 0.4324 osv... En funksjon vil si at det er et uttrykk med en variabel (noenganger fler) i seg som f.eks \(3{x^3}\), \(\ 2{x^{-7}} + 5\) osv...
\( a\times{ e^{u(x)} } \)
I dette tilfellet er \(a\) en konstant mens \( u(x) \) er en funksjon av \(x\). Se eksempelet om det ikke ga mening!
Hvis: \[ f(x)\ =\ a\times{ e^{u(x)} } \] så kommer \[ f'(x)\ =\ a\times{u'(x)}\times{ e^{u(x)} } \]
Eksempel
Deriver følgende funksjon: \[ f(x)\ =\ 3{ e^{5x} } \]
Vi starter med å identifisere konstanten \(a\) og funksjonen \(u(x)\). Vi ser at \(a=3\) (konstanten som er ganget med \(e^{u(x)}\) og \(u(x) = 5x \) (funksjonen som vi tar og opphøyer \(e\) med). Vi finner \(f'(x)\) ved å følge den overnevnte formelen. Dette gir oss: \[ f'(x)\ =\ a\times{u'(x)}\times{ e^{u(x)} }\ =\ 3\times{5}\times{ e^{5x} } =\ {\color{#ff9900} 15\times{ e^{5x} } } \]
Vi tar å setter inn for \(a=3\) og \(u(x)=5x\) og ganger ting sammen. Vi finner \(u'(x)\) ved å bruke den første regelen. Her tenker vi oss at \(u(x) = 5\times{x^1}\). Her vil (ifølge den første regelen) \(a=5\) og \(b=1\). Så \(u'(x) = 5\times{1}\times{x^{1-1}}\ =\ 5\times{x^0}\ =\ 5\). Se den første derivasjonsregelen.
Vi starter med å identifisere konstanten \(a\) og funksjonen \(u(x)\). Vi ser at \(a=5\) (konstanten som er ganget med \(ln(\ u(x)\ )\) ) og \(u(x) = x^2\) (funksjonen som vi tar \(ln\) til, eller finner den naturlige logaritmen til. Kall det hva du vil G). Men ihvertfall, vi finner \(f'(x)\) ved å følge den overnevnte formelen. Dette gir oss: \[ f'(x)\ =\ a\times{\frac{1}{u(x)}}\times{u'(x)}\ =\ 5\times{\frac{1}{x^2}}\times{2x} =\ {\color{#ff9900} \frac{10}{x} } \]
Vi tar å setter inn for \(a=5\) og \(u(x)=x^2\), ganger sammen leddene og STRYKER en \(x\) i tellern mot en i nevnern ( siden det er \(x^2\) i nevnern ). Lurer du på hvordan du deriverer \(u(x)=x^2\ \)? Se på den første formelen. \( u'(x)=1\times{2}\times{ x^{2-1} }=2x \)
Vi starter med å identifisere konstanten \(a\) og funksjonen \(u(x)\). Vi ser at \(a=7\) ( konstanten som er ganget med \(sin(u(x))\) ) og \(u(x) = x^3\) (funksjonen som vi tar \(sin\) til). Vi finner \(f'(x)\) ved å følge den overnevnte formelen. Dette gir oss: \[ f'(x)\ =\ a\times{u'(x)}\times{cos(\ u(x)\ )} =\ 7\times{3x^2}\times{cos(\ x^3\ )} =\ {\color{#ff9900} 21x^2{cos(\ x^3\ )} } \]
Vi tar å setter inn for \(a=7\) og \(u(x)=x^3\) og ganger ting sammen. Vi finner \(u'(x)\) ved å bruke den første regelen. Vi tenker oss at \(u(x) = 1\times{x^3}\). Her vil (ifølge den første regelen) \(a=1\) og \(b=3\). Så \(u'(x) = 1\times{3}\times{x^{3-1}}\ =\ {3x^2} \). Se den første derivasjonsregelen.
Vi starter med å identifisere konstanten \(a\) og funksjonen \(u(x)\). Vi ser at \(a=9\) ( konstanten som er ganget med \(cos(u(x))\) ) og \(u(x) = 2x\) (funksjonen som vi tar \(cos\) til). Vi finner \(f'(x)\) ved å følge den overnevnte formelen. Dette gir oss: \[ f'(x)\ =\ -a\times{u'(x)}\times{sin(\ u(x)\ )} =\ -9\times{2}\times{sin(\ 2x\ )} =\ {\color{#ff9900} -18{sin(\ 2x\ )} } \]
Vi tar å setter inn for \(a=9\) og \(u(x)=2x\) og ganger ting sammen. Vi finner \(u'(x)\) ved å bruke den første regelen. Vi tenker oss at \(u(x) = 2x^1\). Her vil (ifølge den første regelen) \(a=2\) og \(b=1\). Så \(u'(x) = 2\times{1}\times{x^{1-1}}\ =\ 2\times{x^0}\ =\ 2 \). Se den første derivasjonsregelen.