Vi bruker rekke tester ( også referert til som "konvergenstester" ) til å bestemme om det blir divergens eller konvergens når vi tar å finner summen til en rekke. Under ser dere en liste over de mest kjente testene, åssen de er definert og hvordan man bruker dem. Det er et eksempel/ oppgave med komplett løsningforslag under hver definisjon. Sjekk de ut & STAY EDUCATED. Lykke til! :)
P-Rekke Test
\[ \sum_{n=c}^{\infty} \frac{1}{n^p} \]
(P er tallet n er opphøyd i, mens c bare er et tall som f.eks 1, 3 eller 5 osv...)
Konvergerer for \( {p}>{1} \)
Divergerer for \( {p}\leq{1} \)
Eksempel P-Rekke Test
Finn ut om summen nedenfor konvergerer eller divergerer.
\[ \sum_{n=6}^{\infty} \frac{1}{n^5} \]
KONVERGERER
Vi vet at \(p = 5\) siden n er opphøyd i 5. Dermed kan vi si at denne summen konvergerer ved hjelp av P-rekke testen.
Integral Test
\[ \sum_{n=c}^{\infty} a_n \]
(\(a_n\) er formelen/funksjonen, mens c bare er et tall som f.eks 1, 3 eller 5 osv...)
Divergerer for \( \int\limits_c^{\infty}a_n \) divergerer
Eksempel Integral - Test
Finn ut om summen nedenfor konvergerer eller divergerer.
\[ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n-53} \]
DIVERGERER
Vi ser at \(a_n\) i dette tilfellet kommer til å være lik: \(\frac{1}{n-53}\). Det vil si at vi kun trenger å integrere \(\frac{1}{n-53}\) og finne ut om integralet kommer til å gå mot uendelig eller ikke. (Vi integrerer med hensyn på n siden det allerede står n her, men dere kunne bytta n ut med x eller t … også integrert. Det blir samme greie!)
Siden integralet går mot uendelig kan vi si at \( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n-53} \) kommer til å divergere.
Alternerende Rekke Test
\[ \sum_{n=c}^{\infty} (-1)^{n+1} \times a_n \]
\[ 1. \lim_{n\to\infty} a_n\ =\ 0 \]
\[ 2. \: a_{n+1} < a_n \]
Konvergerer dersom BEGGE kravene ovenfor er oppfylt. NB! DENNE TESTEN KAN IKKE BRUKES TIL Å VISE AT DET BLIR DIVERGENS!!
Vi bruker alternerende rekke test når vi får en sum som har \( (-1) \) opphøyd i noe. Legg merke til at det kunne stått \( (-1)^n, \ (-1)^{n+5},\ (-1)^{n+21} \) osv... Prinsippet er fortsatt det samme. For \( a_{n+1} \) tar vi alle leddene i \( a_{n} \) son har \( n \) i seg og bytter dem ut med \( (n+1) \)
(Vær også obs. på at noen lærere velger å se bort ifra den 2.testen på noen eksamener. Dersom du har prøve og ikke klarer å vise for det andre kriteriet stemmer så kan du prøve å bare vise at det første kriteriet stemmer. Egentlig skal man vise at begge kriteriene stemmer for å konkludere med om det blir konvergens, men hvis shit hits the wall og du ikke har noe å tape; why not?)
Eksempel Alternerende Rekke Test
Finn ut om summen nedenfor konvergerer eller divergerer.
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ (-1)^{n+15} }{n} \]
KONVERGERER
Først så ser du at du har \( (-1) \) opphøyd i noe som betyr at du mest sannsynlig skal bruke alternerende rekke-testen. Deretter må du finne \( a_n \). I dette tilfellet kommer til å være lik \( \frac{1}{n} \). Dette er fordi du faktoriserer ut \( (-1)^{n+15} \) og står igjen med \(a_n\).
Vi må nå sjekke for kriterie 1 og 2 for å kunne fastslå om denne summen konvergerer.
\( 1. \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\ =\ 0\ \) ; Første kriteriet er oppfylt.
\( 2. \: \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}\ \) ; Andre kriteriet er oppfylt.
Siden begge kriteriene er oppfylt kan vi si at denne summen kommer til å konvergere.
Forholds Test
\[ \sum_{n=c}^{\infty} a_n \]
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\ =\ K \]
Konvergerer for \( {K}\ <\ {1} \)
Divergerer for \( {K}\ >\ {1} \)
\( {K}\ =\ {1} \) betyr at denne testen ikke kan brukes!
(Når du tar grensen til \( \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\ =\ K \) skal du ende opp med at \(K\) skal er en konstant. NB! Det betyr at du skal ende opp med at \(K\) er et tall som f.eks \(3, 4, 17, 0.5, 0.2, \infty\)… osv. Hvis du ikke gjør det betyr det at noe er feil eller at du ikke kan bruke denne testen!)
Denne testen brukes som regel når du får en sum som har en eller annen fakultet i seg (betegnes med f.eks. \((n+1)!\) eller \((n!)\) eller \((n+3)!\) ... osv.
Eksempel Forholds Test
Finn ut om summen nedenfor konvergerer eller divergerer.
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n} \]
DIVERGERER
For å løse denne oppgaven kan forholdstesten bli brukt. Vi finner først at \(\ a_n\ =\ \frac{(n+1)!}{n} \). Deretter må vi finne \( a_{n+1} \) som bare betyr at vi bytter ut alle \(n\) leddene i \( a_{n} \) med \( (n+1) \). Dette gir oss:
Siden \( K\ >\ 1\ \) kan vi si at \(\quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n}\quad \) DIVERGERER.
Geometrisk Rekke Test
\[ \sum_{n=c}^{\infty} a\times{k^{n+1}} \]
I dette tilfellet kommer a til å være en vilkårlig konstant. Samtidig så kunne \(k\) vært opphøyd i \(n +\) hva som helst. F.eks. \( k^{n+2},\ k^{n+5},\ k^{n+21}...\ \) osv.
Summen kommer til å:
Konvergerer dersom \( |k|\ <\ {1} \)
Divergerer dersom \( {|k|}\ \geq{1} \)
\(|k|\) står for absoluttverdien til \(k\)
Eksempel Geometrisk Rekke Test
Finn ut om summen nedenfor konvergerer eller divergerer.
\[ \sum_{n=3}^{\infty} 21\times23^{-n} \]
KONVERGERER
Det første vi legger merke til er at \(a=21\), men ut ifra formelen over så vil denne verdien være irrelevant for oss. Vi må finne \(k\). Derfor kan vi skrive om dette uttrykket siden vi har \(23\) opphøyd i \(({-n})\). (Legg merke til at det står minus foran \(n\)'en vår. En annen ting er at vi ønsker å skrive om summen på samme form som i formelen over). Fra formelen over ser vi at vi ønsker å ha en positiv \(n\). Derfor så kan vi skrive om summen på følgende måte: