Produktregelen

\[ \underline{\underline{e^{2x}( cos(x) + 2sin(x) ) }} \]

Det første vi starter med er å identifisere u og v. Deretter kan vi derivere funksjonene hver for seg. Gjør vi dette får vi: \[ u\ =\ e^{2x}\qquad v\ =\ sin(x) \] \[ u\ '\ =\ 2e^{2x}\qquad v\ '\ =\ cos(x) \]

Sjekk ut det vi har lagt ut under "Derivasjonsregler" dersom du ikke skjønner åssen du deriverer. Hvis du ikke orker å lese så kan du alltid se på videoene vi har lagt ut! :)

Når vi deriverer \(f\) og finner \(f'(x)\) så trenger vi egentlig bare å følge produktregelen direkte slik som den er skrevet ned i formelen. Da får vi: \[ f'(x)\ =\ u\times{v}\ ' + u\ '\times{v}\ =\ {\color{#ff9900} e^{2x}\times{ cos(x) } + 2e^{2x}\times{ sin(x) } } \]

HUSK! ALLTID! ALLLLLTID! Start med å skrive opp hva \(u,\ v,\ u\ '\) og \(v\ '\) er!!! Ting blir mye enklere og DU slipper slurvefeil... Såå, la oss fortsette. Det neste vi kan gjøre er å faktorisere alt sånn at ting ser litt penere ut. Gjør vi dette får vi: \[ \underline{\underline{e^{2x}( cos(x) + 2sin(x) ) }} \]

For de av dere som datt ut på slutten her; Vi faktoriserer ut \(e^{2x}\).

\[ \underline{\underline{f'(x)\ =\ e^{2x}(\ \frac{sin(x)}{x} + cos(x)ln(x)\ +\ 2sin(x)ln(x)\ )}} \]

Nå ser vi at vi har et uttrykk (en funksjon) som er et produkt av 3 forskjellige funksjoner, eller med andre ord, 3 forskjellige ledd. Du tenker sikkert; Hva er disse leddene/funksjonene? Jo, vi har \(e^{2x},\ sin(x)\) og \(ln(x)\). Dette kan virke som et problem i og med at produktregelen bare gir oss 2 ledd/funksjoner; altså en funksjon \(u\) og en funksjon \(v\). Så hva gjør vi? Jo, vi dunker dobbel produktregel. Se under. \[ u\ =\ e^{2x}\qquad v\ =\ sin(x)ln(x) \] \[ u\ '\ =\ 2e^{x}\qquad v\ '\ =\ {\color{red} (\ sin(x)ln(x)\ )\ '} \]

Sjekk ut det vi har lagt ut under "Derivasjonsregler" dersom du ikke skjønner åssen du deriverer. Hvis du ikke orker å lese så kan du alltid se på videoene vi har lagt ut! :)

LES! som dere ser, så har vi valgt at \(v=sin(x)ln(x)\) og at \(u=e^{2x}\). Det er helt opp til deg hva du velger å gjøre. Du kunne også ha valgt at \(u=e^{2x}ln(x)\) og at \(v=ln(x)\)... osv. Du skjønner tegninga. DET VIKTIGSTE! Er at når du ganger \(u\) og \(v\) sammen så skal du få funksjonen du starta med. Men ihvertfall, som vi ser over, så må vi derivere \(v\) for å kunne finne den deriverte ved hjelp av produktregelen. Og siden \(v\) er et produkt av to funksjoner, må vi bruker produktregelen for å derivere denne. Såå.. Som dere kanskje husker, eller ser over så er produktregelen: \[ {\color{#ff9900} f'(x)\ =\ u\times{v\ '\ } +\ u\ '\times{v} } \] så dermed kan vi skrive at \[ {\color{#ff9900} v\ '\ =\ h\times{k\ '\ } +\ h\ '\times{k} } \]

DET ER SAMME FORMEL. VI BARE BYTTER UT \(u\) og \(v\) med \(h\) og \(k\) siden vi har brukt \(u\) og \(v\) tidligere og ting hadde bare blitt forvirrende. Bare følg med under om du ikke henger med.

\[ h\ =\ sin(x)\qquad k\ =\ ln(x) \] \[ h\ '\ =\ cos(x)\qquad k\ '\ =\ \frac{1}{x} \] Og med den infoen her kan vi derivere \(v\) ved å bruke formelen over. Vi får da: \[ v\ '\ =\ h\times{k\ '\ } +\ h\ '\times{k}\ =\ {\color{#ff9900} sin(x)\times{ \frac{1}{x} } + cos(x)ln(x) } \] Så dette betyr at: \[ u\ =\ e^{2x}\qquad v\ =\ sin(x)ln(x) \] \[ u\ '\ =\ 2e^{x}\qquad v\ '\ =\ \frac{sin(x)}{x} + cos(x)ln(x) \]

Det er de samme verdiene som vi fant ista. Vi bare skriver dem ned igjen så det blir enklere å følge med.

Nå som vi har funnet \(u,\ v,\ u\ '\) og \(v\ '\) kan vi dunke produktregelen og finne \(f'(x)\). Vi får: \[ f'(x)\ =\ u\times{v\ '\ } +\ u\ '\times{v} \] \[ f'(x)\ =\ e^{2x}\times{ (\ \frac{sin(x)}{x} + cos(x)ln(x)\ ) } +\ 2e^{2x}\times{sin(x)ln(x)} \] Vi faktoriserer ut \(e^{2x}\) og får: \[ \underline{\underline{f'(x)\ =\ e^{2x}(\ \frac{sin(x)}{x} + cos(x)ln(x)\ +\ 2sin(x)ln(x)\ )}} \]