Forkurseksamen etter tema

Brøkene har ulike nevnere. Vi setter dem derfor på felles brøkstrek, med fellesnevneren \( {x(2x - 3)}\text{.} \)

1. Finn fellesnevneren Vi utvider hver brøk med den nevneren den mangler, som i videoen Oppgave 3C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \dfrac{6 \cdot \textcolor{blue}{x}}{(2x - 3) \cdot \textcolor{blue}{x}} - \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}}{x \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}} \]

2. Trekk sammen Nå har brøkene samme nevner, så vi kan trekke sammen tellerne: \[ \begin{aligned} &\dfrac{6x - 3(2x - 3)}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{6x - 6x + 9}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{9}{x(2x - 3)} \end{aligned} \]

Alle leddene har \( x \) som faktor, så vi setter den utenfor. Siden \( {x = 4} \) er et nullpunkt, går divisjonen med \( {(x - 4)} \) opp, og det som står igjen, faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Sett x utenfor Vi setter \( x \) utenfor parentesen: \[ P(x) = x(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) \]

Nullpunktssetningen forteller oss at hvis \( r \) er et nullpunkt, er polynomet delelig med \( {(x - r)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &P(4) = 0 \\ &\Rightarrow \ (x - 4) \text{ er en faktor} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på nullpunktssetningen, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24} \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{-2x^3} + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-2x^3}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{-2x^2} \\ \textcolor{red}{-2x^2} \cdot (x - 4) &= -2x^3 + 8x^2 \\ -(-2x^3 + 8x^2) &= \textcolor{red}{2x^3 - 8x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( {-2x^3} \) strykes mot \( 2x^3\text{,} \) \( {9x^2 - 8x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2x \) og \( {-24}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 4) &= x^2 - 4x \\ -(x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 6x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {2x + 4x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-24}\text{.} \) Linja \( {6x - 24} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{6} \cdot (x - 4) &= 6x - 24 \\ -(6x - 24) &= \textcolor{blue}{-6x + 24} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}+ 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}- 24 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 24} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {-24 + 24 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24 \\ &= (x - 4)(-2x^2 + x + 6) \end{aligned} \]

3. Finn de to siste nullpunktene Vi setter \( {-2x^2 + x + 6 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-2})} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{-4} = \dfrac{-1 \pm 7}{-4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -\dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = 2 \]

4. Sett sammen faktorene Et andregradsuttrykk kan skrives slik: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}} \) og nullpunktene, får vi: \[ \begin{aligned} &-2x^2 + x + 6 \\ &= \textcolor{blue}{-2}\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 2) \\ &= -(2x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med \( x \) og \( {(x - 4)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(x) = -&x(x - 4) \\ &\cdot (x - 2)(2x + 3) \end{aligned} \]

Vi ganger ut parentesene hver for seg, og trekker så sammen ledd av samme type.

1. Gang ut parentesene Vi ganger de to første parentesene med hverandre, ledd for ledd, som i videoen Oppgave 1A - Løs likningen: \[ \begin{aligned} &(5x - 2)\left(\dfrac{1}{2}x + 2\right) \\ &= 5x \cdot \dfrac{1}{2}x + 5x \cdot 2 - 2 \cdot \dfrac{1}{2}x - 2 \cdot 2 \\ &= \dfrac{5}{2}x^2 + 10x - x - 4 \end{aligned} \]

I den siste parentesen ganger vi inn \( {-2}\text{:} \) \[ -2(x^2 + 4x) = -2x^2 - 8x \]

2. Trekk sammen Trekker vi sammen, samler vi \( {\textcolor{blue}{x^2\text{-leddene}}} \) og \( {\textcolor{red}{x\text{-leddene}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\dfrac{5}{2}x^2} \textcolor{red}{+ 10x - x} - 4 \textcolor{blue}{- 2x^2} \textcolor{red}{- 8x} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x^2} \textcolor{red}{+ x} - 4 \end{aligned} \]

Teller og nevner har samme grunntall, så vi bruker potensregelen for brøk. Så gjenstår det å gange ut kvadratet.

1. Trekk sammen potensene Potensregelen for brøk forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{g}^{\textcolor{red}{m}}}{\textcolor{blue}{g}^{\textcolor{green}{n}}} = \textcolor{blue}{g}^{\textcolor{red}{m} - \textcolor{green}{n}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Her er: \[ \textcolor{blue}{g} = \textcolor{blue}{x + 3}, \quad \textcolor{red}{m} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \]

Faktoren \( 2 \) i nevneren blir stående som \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{(\textcolor{blue}{x + 3})^{\textcolor{red}{5/2}}}{2(\textcolor{blue}{x + 3})^{\textcolor{green}{1/2}}} &= \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x + 3})^{\textcolor{red}{5/2} - \textcolor{green}{1/2}} \\ &= \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x + 3})^2 \end{aligned} \]

2. Gang ut kvadratet Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 = \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{3})^2 &= \dfrac{1}{2}(\textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2) \\ &= \dfrac{1}{2}(x^2 + 6x + 9) \\ &= \dfrac{1}{2}x^2 + 3x + \dfrac{9}{2} \end{aligned} \]

Sammenligner vi med \( {ax^2 + bx + c}\text{,} \) kan vi lese av: \[ a = \dfrac{1}{2}, \quad b = 3, \quad c = \dfrac{9}{2} \]

Brøkene har ulike nevnere. Vi finner derfor en felles nevner og trekker sammen til én brøk.

1. Finn felles nevner 0:15 Vi ganger hver brøk over og under med nevneren til den andre brøken: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{5}{x + 2} \\ &= \dfrac{4\textcolor{blue}{(x + 2)}}{(x - 1)\textcolor{blue}{(x + 2)}} \\ &\quad - \dfrac{5\textcolor{red}{(x - 1)}}{(x + 2)\textcolor{red}{(x - 1)}} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesene 1:11 Vi ganger ut tellerne og den felles nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{(x + 2)} &= 4x + 8 \\ 5\textcolor{red}{(x - 1)} &= 5x - 5 \\ (x - 1)(x + 2) &= x^2 + x - 2 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen til én brøk 2:00 Nå har brøkene samme nevner, så vi samler dem på én brøkstrek. Minus foran den andre brøken bytter fortegn på begge leddene i telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4x + 8 - (5x - 5)}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{4x + 8 - 5x + 5}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{13 - x}{x^2 + x - 2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( P(x) \) er et tredjegradspolynom. Vi viser faktoren med nullpunktsetningen, og faktoriserer med polynomdivisjon og abc-formelen.

1. Bruk nullpunktsetningen 0:11 Nullpunktsetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P(x) \) når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 \\ &= 1 + 3 - 1 - 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {(x - 1)} \) er en faktor i \( P(x)\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon 1:49 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 4x^2 & {}- x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + x^2 = 4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-x} \) og \( {-3}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{4x} \\ \textcolor{magenta}{4x} \cdot (x - 1) &= 4x^2 - 4x \\ -(4x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-4x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 3x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {-x + 4x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3}\text{.} \) Linja \( {3x - 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 1) &= 3x - 3 \\ -(3x - 3) &= \textcolor{blue}{-3x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 3 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 3} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-3 + 3 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen på resten 4:13 Vi faktoriserer \( {x^2 + 4x + 3} \) videre. abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

4. Skriv opp faktorene 6:25 Et andregradsuttrykk kan skrives slik, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1} \) og løsningene, får vi: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Slår vi dette sammen med faktoren \( {(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) \]

Vi bruker nullpunktssetningen: vi setter inn tallet som gjør faktoren lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P \) nøyaktig når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= \textcolor{blue}{1}^3 + 2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 - 7 \cdot \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &= 1 + 2 - 7 + 4 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor i \( P\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( {(x - 1)} \) er en faktor, står i oppgaveteksten i a).

Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon. Da står vi igjen med et andregradsuttrykk, som vi faktoriserer videre.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 + x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 4\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 1) &= 3x^2 - 3x \\ -(3x^2 - 3x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-7x + 3x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4\text{.} \) Linja \( {-4x + 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 1) &= -4x + 4 \\ -(-4x + 4) &= \textcolor{blue}{4x - 4} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 4 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 4} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {4 - 4 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 7x + 4 \\ &= (x - 1)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på faktoriseringen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 1} \) og \( {x = -4}\text{,} \) så: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

3. Sett faktorene sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(x - 1)(x + 4) \\ &= (x - 1)^2(x + 4) \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn to tall i \( P(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } P(x) \\ &\iff P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} (x - 1) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \\ (x - 2) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn de to verdiene Plugger vi dette inn i \( P(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 \\ &= 1 - 4 - 7 + 10 \\ &= 0 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{2}) &= 2^3 - 4 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 10 \\ &= 8 - 16 - 14 + 10 \\ &= -12 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor, og siden \( {P(2) \neq 0} \) er \( {(x - 2)} \) ikke en faktor.

Vi deler først. Svaret blir et andregradsuttrykk, og det faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 10\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x - 1) &= -3x^2 + 3x \\ -(-3x^2 + 3x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & -10x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-7x - 3x = -10x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 10\text{.} \) Linja \( {-10x + 10} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-10x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-10x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-10} \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot (x - 1) &= -10x + 10 \\ -(-10x + 10) &= \textcolor{blue}{10x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 10} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-10x}} & {}+ 10 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{10x}} & \textcolor{blue}{{}- 10} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-10x} \) strykes mot \( 10x\text{,} \) og \( {10 - 10 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \\ &= (x - 1)(x^2 - 3x - 10) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 3x - 10} \) ved å løse \( {x^2 - 3x - 10 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på hvordan nullpunktene gir faktorene, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Vi regner ut det som står under roten først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= (\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10}) \\ &= 9 + 40 = 49 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm 7}{2} \]

Det gir oss nullpunktene \( {x = 5} \) og \( {x = -2}\text{,} \) og dermed: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Vi bruker faktoriseringen fra b).

Venstresiden er \( P(x)\text{,} \) som vi har på faktorisert form. Da kan vi finne fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Skriv ulikheten med faktorene I b) fant vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Ulikheten er derfor: \[ (\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1})(\textcolor{green}{x - 5}) \geq 0 \]

Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

2. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1, 5], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 5}", "expr": "x - 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 2)(x - 1)(x - 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi skal ha der \( P(x) \) er positiv, og også der den er \( 0\text{,} \) siden ulikheten har \( {\geq}\text{.} \) Det gir oss: \[ -2 \leq x \leq 1 \quad \text{eller} \quad x \geq 5 \]

Vi vet hvor den deriverte er \( 0\text{,} \) så vi setter opp den deriverte først og integrerer den.

1. Sett opp den deriverte I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En andregradsfunksjon med nullpunktene \( {-2} \) og \( 1 \) er: \[ f'(x) = \textcolor{green}{k}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \]

Vi velger \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{6}}\text{,} \) slik at alle koeffisientene i \( f(x) \) blir hele tall: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{green}{6}(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1}) \\ &= 6(x^2 + x - 2) \\ &= 6x^2 + 6x - 12 \end{aligned} \]

2. Integrer den deriverte Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Regelen forteller oss at: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \quad n \neq -1 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int (6x^2 + 6x - 12)\, dx \\ &= 6 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 6 \cdot \dfrac{x^2}{2} - 12x + C \\ &= 2x^3 + 3x^2 - 12x + C \end{aligned} \]

Vi velger \( {C = 0}\text{.} \)

3. Sjekk at punktene er ekstremalpunkter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "6(x + 2)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -2} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 1} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

Andre svar er også riktige: alle valg av \( {k \neq 0} \) og \( C \) gir en slik funksjon, for eksempel \( {f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5}\text{.} \)

Vi tar linja \( {y = x - 2} \) og legger til en brøk som går mot \( 0 \) når \( x \) blir stor, og som har nevneren \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \)

1. Sett opp funksjonen Brøken \( {\dfrac{1}{x + 2}} \) er den enkleste som har de to egenskapene, så vi velger: \[ h(x) = \textcolor{blue}{x - 2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \]

2. Sjekk skråasymptoten Avstanden mellom grafen og linja er brøken, og den går mot \( 0 \) når \( x \) går mot pluss eller minus uendelig: \[ h(x) - (\textcolor{blue}{x - 2}) = \textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 2}} \to 0 \]

Altså er \( {y = x - 2} \) en skråasymptote.

3. Sjekk den vertikale asymptoten En vertikal asymptote får vi der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Telleren i brøken er \( 1\text{,} \) så \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {h(x) = x - 2 + \dfrac{5}{x + 2}}\text{.} \)

Først finner vi ut hvilken graf som er \( f \) og hvilken som er \( f'\text{.} \) Så leser vi av hvor grafene ligger over og under \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn grafen til hver funksjon Der \( f \) har et topp- eller bunnpunkt, er \( {\textcolor{red}{f'(x)} = 0}\text{.} \) Den stiplede grafen har toppunkt i \( {x = 1} \) og bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og det er akkurat der den heltrukne grafen er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{stiplet graf} &= f(x) \\ \text{heltrukken graf} &= \textcolor{red}{f'(x)} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinjen til f Vi setter opp en linje for hver funksjon, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den stiplede grafen er \( 0 \) i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 0}\text{,} \) og ellers over. I \( {x = 3} \) bare berører den aksen: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "f(x)", "expr": "x*(x - 3)^2"}]}

En strek viser hvor funksjonen er \( 0\text{.} \)

3. Tegn fortegnslinjen til den deriverte Den heltrukne grafen er \( 0 \) i \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) mellom dem og over ellers: :::fortegnsskjema {"points": [1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "3*(x - 1)*(x - 3)"}]}

4. Tegn fortegnslinjen til den dobbeltderiverte \( f''(x) \) er den deriverte av \( \textcolor{red}{f'(x)}\text{,} \) så den sier om den heltrukne grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den grafen har bunnpunkt i \( {x = 2}\text{:} \) den synker før og stiger etter. Det gir: :::fortegnsskjema {"points": [2], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "6*x - 12"}]}

Vi bruker at den stiplede grafen er \( f\text{,} \) fra a).

Vi kan lese av nullpunktene til \( f \) på grafen. Vi skriver derfor funksjonen på faktorisert form, og bruker et punkt til å finne tallet foran.

1. Skriv opp faktorisert form En tredjegradsfunksjon kan skrives med nullpunktene sine, som i videoen Nullpunktssetningen: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_1})(x - \textcolor{red}{x_2})(x - \textcolor{red}{x_3}) \]

Her er: \[ \textcolor{red}{x_1} = \textcolor{red}{0}, \quad \textcolor{red}{x_2} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{red}{x_3} = \textcolor{red}{3} \]

Nullpunktet \( {x = 3} \) telles to ganger, siden grafen bare berører \( {x\text{-aksen}} \) der. Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x \cdot (x - 3)^2 \]

2. Finn tallet foran Toppunktet \( (1, 4) \) ligger på grafen, så \( {f(1) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot 1 \cdot (1 - 3)^2 &= 4 \\ 4\textcolor{blue}{a} &= 4 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

3. Gang ut Ganger vi ut, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= x(x - 3)^2 \\ &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x \end{aligned} \]

Kontroll: Da er \( {f'(x) = 3x^2 - 12x + 9}\text{,} \) og \( {f'(2) = -3}\text{,} \) som bunnpunktet til den heltrukne grafen.

Vi leser fortegnene av topp- og bunnpunktet og vendepunktet. Den deriverte sier om grafen stiger eller synker, og den dobbeltderiverte hvilken vei den krummer.

1. Tegn fortegnslinja til den deriverte Fortegnet til \( g'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. I topp- og bunnpunktet er den \( 0\text{:} \) \[ g'(\textcolor{blue}{0}) = 0, \quad g'(\textcolor{blue}{3}) = 0 \]

Grafen stiger fram til \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) synker fra \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) og stiger så igjen. Det gir oss denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "g'(x)", "expr": "x*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( g'(x) \) er \( 0\text{.} \)

2. Tegn fortegnslinja til den dobbeltderiverte Fortegnet til \( g''(x) \) sier hvilken vei grafen krummer, og i vendepunktet er den \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ g''\left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right) = 0 \]

Rundt toppunktet i \( {x = 0} \) krummer grafen nedover, så \( g''(x) \) er negativ før \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Rundt bunnpunktet i \( {x = 3} \) krummer den oppover, så \( g''(x) \) er positiv etter: :::fortegnsskjema {"points": [1.5], "labels": ["\\dfrac{3}{2}"], "rows": [{"label": "g''(x)", "expr": "2*x - 3"}]} En strek viser hvor \( g''(x) \) er \( 0\text{.} \) Hvordan vi tenker fram disse linjene, ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025.

En tredjegradsfunksjon har fire ukjente koeffisienter. Topp- og bunnpunktet gir oss fire likninger, og vendepunktet kan vi bruke til å sjekke svaret.

1. Skriv opp funksjonen og den deriverte En tredjegradsfunksjon kan skrives slik: \[ g(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + \textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{d} \]

Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ g'(x) = 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} \]

2. Bruk toppunktet Toppunktet \( (0, 6) \) ligger på grafen, og der er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(0) = 6 &\Rightarrow \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{6} \\ g'(0) = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

3. Bruk bunnpunktet Det samme gjelder bunnpunktet \( {(3, -21)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(3) = -21 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 9\textcolor{red}{b} + 6 = -21 \\ g'(3) = 0 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 6\textcolor{red}{b} = 0 \end{aligned} \]

Det er et likningssett med to ukjente, som i videoen Likningssett. Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{red}{b} + 6 &= -21 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-9} \end{aligned} \]

Setter vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 27\textcolor{blue}{a} + 6 \cdot (\textcolor{red}{-9}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

4. Sjekk med vendepunktet Funksjonen er nå \( {g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er \( {g''(x) = 12x - 18}\text{.} \) Vendepunktet stemmer: \[ \begin{aligned} g''\left(\dfrac{3}{2}\right) &= 18 - 18 = 0 \\ g\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{27}{4} - \dfrac{81}{4} + 6 = -\dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Fortegnet til den deriverte sier hvor \( f \) vokser og synker. Vi deriverer, finner nullpunktene og tegner fortegnslinja.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi løser \( {f'(x) = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-1})} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \dfrac{-2 \pm 4}{-2} \end{aligned} \]

Det gir oss \( {x = -1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) og dermed: \[ f'(x) = -(x + 1)(x - 3) \]

3. Tegn fortegnslinja Fortegnet til \( f'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x + 1)*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er det et bunnpunkt. I \( {x = 3} \) går den fra pluss til minus, så der er det et toppunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{1}{3} + 1 - 3 = -\dfrac{5}{3} \\ f(3) &= -9 + 9 + 9 = 9 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra c).

Fortegnet til den dobbeltderiverte sier hvilken vei grafen krummer. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

1. Finn den dobbeltderiverte I c) fant vi: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Deriverer vi en gang til, får vi: \[ f''(x) = -2x + 2 \]

2. Tegn fortegnslinja Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} -2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Fortegnslinja blir: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-2*x + 2"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \)

\( f''(x) \) er positiv før \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der krummer grafen opp. Den er negativ etter, så der krummer grafen ned. Den skifter fortegn i \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der er det et vendepunkt.

3. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{1}) = -\dfrac{1}{3} + 1 + 3 = \dfrac{11}{3} \]

Vi kaller punktet på \( l \) nærmest \( P \) for \( F\text{.} \) Avstandskravet gjør at \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på planet, så den er normalvektoren vi trenger.

1. Finn normalvektoren ut fra kravet Avstanden fra \( P \) til \( l \) er \( |\overrightarrow{PF}|\text{.} \) Siden \( l \) er parallell med planet, er avstanden fra \( l \) til planet det samme som avstanden fra \( F \) til planet. Kravet er altså: \[ |\overrightarrow{PF}| = \text{avstanden fra } F \text{ til } \alpha \]

Avstanden fra \( F \) til planet er den korteste veien dit. \( P \) ligger i planet, så \( \overrightarrow{PF} \) er en vei fra planet til \( F\text{.} \) Den er bare den korteste hvis den står vinkelrett på planet: \[ \overrightarrow{PF} \perp \alpha \]

2. Finn punktet F Et vilkårlig punkt på \( l \) er: \[ F = (2 - 3t,\ -1 + 4t,\ 1 + 2t) \]

Vektoren fra \( P \) er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} = [&2 - 3t - 1, \\ &-1 + 4t - 4, \\ &1 + 2t - 4] \\ = [&\textcolor{red}{1 - 3t,\ -5 + 4t,\ -3 + 2t}] \end{aligned} \]

\( F \) er punktet nærmest \( P\text{,} \) så \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på retningsvektoren til \( l\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{[-3, 4, 2]}}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{-3}(\textcolor{red}{1 - 3t}) + \textcolor{blue}{4}(\textcolor{red}{-5 + 4t}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(\textcolor{red}{-3 + 2t}) = 0 \\ &-3 + 9t - 20 + 16t - 6 + 4t = 0 \\ &29t - 29 = 0 \\ &t = 1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &= (-1, 3, 3) \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} &= \textcolor{red}{[-2, -1, -1]} \end{aligned} \]

3. Sett inn i likningen for planet Vektoren \( [2, 1, 1] \) er parallell med \( \overrightarrow{PF}\text{,} \) så vi bruker den som normalvektor. Den står vinkelrett på \( l\text{,} \) slik at \( l \) er parallell med planet: \[ [2, 1, 1] \cdot \textcolor{blue}{[-3, 4, 2]} = -6 + 4 + 2 = 0 \]

Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{[a, b, c]} &= \textcolor{green}{[2, 1, 1]} \\ (x_0, y_0, z_0) &= P = (1, 4, 4) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 4) \\ &+ \textcolor{green}{1}(z - 4) = 0 \\ &2x - 2 + y - 4 + z - 4 = 0 \\ &2x + y + z = 10 \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler ledd for ledd til det som står igjen har lavere grad enn nevneren.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {3x^3 - 4x^2 - 14x + 11} \) på \( {x^2 - 3x + 2} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{3x^3} - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^3}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{red}{3x} \\ &\textcolor{red}{3x} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 3x^3 - 9x^2 + 6x \\ &-(3x^3 - 9x^2 + 6x) \\ &= \textcolor{red}{-3x^3 + 9x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & 5x^2 & {}- 20x & {}+ 11 \end{array} \end{array} \]\( 3x^3 \) strykes mot \( {-3x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + 9x^2 = 5x^2}\text{,} \) \( {-14x - 6x = -20x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 11\text{.} \) Linja \( {5x^2 - 20x + 11} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{magenta}{5} \\ &\textcolor{magenta}{5} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 5x^2 - 15x + 10 \\ &-(5x^2 - 15x + 10) \\ &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 15x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 20x & {}+ 11 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \textcolor{magenta}{{}- 10} \\ \hline & & -5x & {}+ 1 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-20x + 15x = -5x}\text{,} \) og \( {11 - 10 = 1}\text{.} \) Linja \( {-5x + 1} \) har grad 1, som er lavere enn nevnerens grad 2. Da stopper vi, og \( {-5x + 1} \) er restleddet.

2. Skriv opp svaret Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret: \[ \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{-5x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]

Nullpunktsetningen gir oss en rask sjekk: vi setter inn det tallet som gjør \( {x + 3} \) lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktsetningen Nullpunktsetningen forteller oss at for et polynom \( P(x) \) gjelder: \[ x - \textcolor{blue}{r} \text{ er en faktor} \quad \Leftrightarrow \quad P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 - 13x - 12 \\ x + 3 &= x - (\textcolor{blue}{-3}) \end{aligned} \]

Plugger vi \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{-3}} \) inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{-3}) &= (\textcolor{blue}{-3})^3 - 13 \cdot (\textcolor{blue}{-3}) - 12 \\ &= -27 + 39 - 12 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {x + 3} \) er en faktor.

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: at \( {x + 3} \) er en faktor, står i oppgaveteksten til b).

Vi flytter alt over på én side og faktoriserer med faktoren fra b). Så finner vi fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Flytt alt over på én side Vi trekker \( 12 \) fra på begge sider og får: \[ x^3 - 13x - 12 > 0 \]

2. Del med polynomdivisjon I b) så vi at \( {x + 3} \) er en faktor. Vi deler \( {x^3 - 13x - 12} \) på \( {x + 3} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Leddet med \( x^2 \) mangler, så vi skriver \( 0x^2 \) på plassen, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 3) &= x^3 + 3x^2 \\ -(x^3 + 3x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - 3x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 13x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {0x^2 - 3x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-13x} \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x + 3) &= -3x^2 - 9x \\ -(-3x^2 - 9x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 + 9x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & -4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-13x + 9x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {-4x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x + 3) &= -4x - 12 \\ -(-4x - 12) &= \textcolor{blue}{4x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Vi bruker den til å faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 4} \) og \( {x = -1}\text{.} \) Dermed får vi tre faktorer, med hver sin farge fra nå av: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)}\textcolor{magenta}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x - 4)} \end{aligned} \]

4. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, -1, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)", "expr": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt mellom \( {-3} \) og \( {-1} \) og til høyre for \( 4\text{:} \) \[ -3 < x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 4 \]

Vi setter inn \( {x = 5} \) og ser at venstresiden blir \( 0\text{.} \) Da er \( {(x - 5)} \) en faktor, og polynomdivisjon gir resten.

1. Sett inn løsningen Vi setter \( {x = 5} \) inn i venstresiden: \[ \begin{aligned} &5^3 - 2 \cdot 5^2 - 19 \cdot 5 + 20 \\ &= 125 - 50 - 95 + 20 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Venstresiden blir \( 0\text{,} \) så \( 5 \) er en løsning. Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &P(a) = 0 \\ &\iff P(x) = (x - a) \cdot Q(x) \end{aligned} \]Videoen Nullpunktssetningen sier den fra den andre siden, og den gjelder begge veier.

Her er \( {a = 5}\text{,} \) så polynomet er delelig med \( {(x - 5)}\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon Vi deler polynomet på \( {(x - 5)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \\ -(x^3 - 5x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + 5x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-2x^2 + 5x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-19x} \) og \( 20\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 5) &= 3x^2 - 15x \\ -(3x^2 - 15x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 15x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 20 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-19x + 15x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 20\text{.} \) Linja \( {-4x + 20} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 5) &= -4x + 20 \\ -(-4x + 20) &= \textcolor{blue}{4x - 20} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 2x^2 - 19x + 20) : (\textcolor{green}{x} - 5) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 2x^2 & {}- 19x & {}+ 20 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 5x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 19x & {}+ 20 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 20 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 20} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {20 - 20 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = -4 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 1} \) og \( {x_2 = -4}\text{,} \) får vi: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ \begin{aligned} &x^3 - 2x^2 - 19x + 20 \\ &= (x - 5)(x - 1)(x + 4) \end{aligned} \]

Vi ser at \( (\ln x)^3 \) og \( \ln x^3 \) er to ulike ting. Vi skriver om \( \ln x^3 \) med logaritmeregelen, og da er \( \ln x \) den eneste ukjente.

1. Skriv om logaritmen Logaritmeregelen for en potens forteller oss at: \[ \ln(a^b) = b \cdot \ln a \]Du ser den brukt i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er \( {a = x} \) og \( {b = 3}\text{,} \) for \( {x > 0}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\ln x)^3 - 3\ln x &= \ln x \\ (\ln x)^3 - 4\ln x &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs for logaritmen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\ln x}} \) og faktoriserer ut \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u}^3 - 4\textcolor{green}{u} &= 0 \\ \textcolor{green}{u}(\textcolor{green}{u}^2 - 4) &= 0 \end{aligned} \]

Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = \textcolor{green}{u}} \) og \( {b = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u}(\textcolor{green}{u} - 2)(\textcolor{green}{u} + 2) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{u} = 0 \text{ eller } \textcolor{green}{u} = 2 \text{ eller } \textcolor{green}{u} = -2 \]

3. Finn x Fra definisjonen av \( \ln \) vet vi at: \[ \textcolor{green}{\ln x} = \textcolor{green}{u} \quad \Leftrightarrow \quad x = e^{\textcolor{green}{u}} \]Du ser definisjonen i videoen Naturlige Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{green}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{green}{\ln x} = -2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-2} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi ser både \( \sin(2x) \) og \( \sin x\text{.} \) Med formelen for sinus til dobbel vinkel kan vi faktorisere ut \( \sin x \) og løse to enklere likninger.

1. Faktoriser likningen Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2x) = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi dette inn og setter \( \textcolor{red}{\sin x} \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{red}{\sin x} \cos x - \textcolor{red}{\sin x} &= 0 \\ \textcolor{red}{\sin x}\,(\textcolor{blue}{2\cos x - 1}) &= 0 \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) så vi løser hver faktor for seg.

2. Løs den første faktoren \[ \textcolor{red}{\sin x} = 0 \]

Sinus er \( 0 \) der enhetssirkelen krysser \( {x\text{-aksen.}} \) I intervallet \( {[-\pi, \pi]} \) gir det: \[ x = -\pi \text{ eller } x = 0 \text{ eller } x = \pi \]

3. Løs den andre faktoren \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\cos x - 1} &= 0 \\ \cos x &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Enhetssirkelen gir to vinkler med samme cosinus, en på hver side av \( {x\text{-aksen,}} \) slik videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025 viser for sinus. Siden \( {\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ x = -\dfrac{\pi}{3} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]