Forkurseksamen etter tema

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Så ganger vi og legger sammen koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = B - A \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [-2 - 0,\ 2 - 2,\ 4 - 3] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, 0, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 0,\ -3 - 2,\ 0 - 3] \\ &= \textcolor{red}{[1, -5, -3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Vi ganger hver koordinat med \( 2 \) og legger sammen koordinatene, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &2\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} + \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= 2\textcolor{blue}{[-2, 0, 1]} + \textcolor{red}{[1, -5, -3]} \\ &= [-4, 0, 2] + [1, -5, -3] \\ &= [-3, -5, -1] \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vektorproduktet av to vektorer står vinkelrett på begge. Det regner vi ut.

1. Skriv opp vektorproduktet I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-2, 0, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, -5, -3]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{blue}{y_1}, \textcolor{blue}{z_1}] \times [\textcolor{red}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}, \textcolor{red}{z_2}] \\ &= [\textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{z_2} - \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{y_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{z_1}\textcolor{red}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{z_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{x_1}\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{blue}{y_1}\textcolor{red}{x_2}] \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1} &= \textcolor{blue}{-2} & \textcolor{blue}{y_1} &= \textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{z_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{x_2} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{y_2} &= \textcolor{red}{-5} & \textcolor{red}{z_2} &= \textcolor{red}{-3} \end{aligned} \]

2. Regn ut koordinatene Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-3}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-5}) &= 5 \\ \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) &= -5 \\ (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-5}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} &= 10 \end{aligned} \]

Det gir oss vektoren \( {[5, -5, 10]}\text{.} \) Vi kan dele den på \( 5 \) uten at retningen endrer seg: \[ [5, -5, 10] = 5 \cdot [1, -1, 2] \]

3. Sjekk med skalarproduktet Skalarproduktet er \( 0 \) for vinkelrette vektorer, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?. Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [1, -1, 2]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{n} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= -2 + 0 + 2 = 0 \\ \vec{n} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= 1 + 5 - 6 = 0 \end{aligned} \]

Alle andre vektorer parallelle med denne er også riktige, for eksempel \( {[5, -5, 10]}\text{.} \)

Vi bruker vektoren fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vektoren fra b) står vinkelrett på to vektorer i planet, så den er en normalvektor. Med en normalvektor og et punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Oppgaven i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ? gjør det samme.

Her er \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] \) normalvektoren fra b), og \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{-1} & \textcolor{blue}{c} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{x_0} &= \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{y_0} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{z_0} &= \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{{}- 1}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{2}(z - \textcolor{red}{3}) &= 0 \\ x - y + 2 + 2z - 6 &= 0 \\ x - y + 2z - 4 &= 0 \end{aligned} \]

3. Sjekk de andre punktene \( B \) og \( C \) skal også passe i likningen: \[ \begin{aligned} B&: \quad -2 - 2 + 2 \cdot 4 - 4 = 0 \\ C&: \quad 1 + 3 + 2 \cdot 0 - 4 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker planet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Linja står normalt på planet, så normalvektoren er retningen til linja. Vi parametriserer linja, setter den inn i planlikningen og løser for \( t\text{.} \)

1. Parametriser linja Fra c) har planet likningen \( {x - y + 2z - 4 = 0} \) og normalvektoren: \[ \textcolor{blue}{[1, -1, 2]} \]

Vi starter i \( \textcolor{red}{D} \) og går \( t \) ganger normalvektoren. Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{1} \cdot t = t \\ y &= \textcolor{red}{0} \textcolor{blue}{{}- 1} \cdot t = -t \\ z &= \textcolor{red}{-1} + \textcolor{blue}{2} \cdot t = -1 + 2t \end{aligned} \]

2. Sett inn i planlikningen Vi setter inn koordinatene til linja: \[ \begin{aligned} t - (-t) + 2(-1 + 2t) - 4 &= 0 \\ t + t - 2 + 4t - 4 &= 0 \\ 6t - 6 &= 0 \\ t &= 1 \end{aligned} \]

3. Finn punktet Vi setter \( {t = 1} \) inn i linja: \[ \begin{aligned} x &= 1 \\ y &= -1 \\ z &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Punktet passer i planet: \[ 1 - (-1) + 2 \cdot 1 - 4 = 0 \]

En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet. Lengden finner vi med Pytagoras, og \( \overrightarrow{AB} \) er like lang som \( \overrightarrow{BA}\text{.} \)

1. Finn vektoren Vektoren fra \( B \) til \( A \) er: \[ \overrightarrow{BA} = [\textcolor{blue}{x_A - x_B},\ \textcolor{red}{y_A - y_B},\ \textcolor{green}{z_A - z_B}] \]Slik setter vi opp en vektor i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [\textcolor{blue}{1 - (-1)},\ \textcolor{red}{1 - 4},\ \textcolor{green}{-3 - 2}] \\ &= [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-3},\ \textcolor{green}{-5}] \end{aligned} \]

2. Finn lengden \( \overrightarrow{AB} \) er den motsatte vektoren: \[ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = [\textcolor{blue}{-2},\ \textcolor{red}{3},\ \textcolor{green}{5}] \]

Lengden til en vektor finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[\textcolor{blue}{x},\ \textcolor{red}{y},\ \textcolor{green}{z}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2 + \textcolor{green}{z}^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-2})^2 + \textcolor{red}{3}^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{BA} = [2,\ -3,\ -5]} \) og \( {|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{38}} \) fra a).

\( \angle B \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC}\text{.} \) Vi finner den med formelen for vinkelen mellom to vektorer.

1. Finn den andre vektoren Vektoren fra \( B \) til \( C \) er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= [3 - (-1),\ 0 - 4,\ 2 - 2] \\ &= [4,\ -4,\ 0] \end{aligned} \]

Lengden er: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Bruk vinkelformelen Vinkelen mellom to vektorer gir oss: \[ \cos \angle B = \dfrac{\textcolor{red}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{\textcolor{blue}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} \]

Skalarproduktet regner vi ut koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{aligned} \]

Her gir det: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}} \\ &= 2 \cdot 4 + (-3) \cdot (-4) + (-5) \cdot 0 \\ &= \textcolor{red}{20} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle B &= \dfrac{\textcolor{red}{20}}{\textcolor{blue}{\sqrt{38} \cdot 4\sqrt{2}}} \\ &= \dfrac{5}{\sqrt{76}} = \dfrac{5}{2\sqrt{19}} \end{aligned} \]

Med \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren får vi: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{2\sqrt{19}}\right) \approx 55{,}0^\circ \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{BA} = [2,\ -3,\ -5]} \) fra a) og \( {\overrightarrow{BC} = [4,\ -4,\ 0]} \) fra b).

En normalvektor står vinkelrett på to vektorer i planet som ikke er parallelle, og da er begge skalarproduktene \( 0\text{.} \) Med normalvektoren og ett punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Vis at vektoren står normalt Vi kaller vektoren \( {\vec{n} = [5, 5, -1]}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{BA} \\ &= 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-5) \\ &= 10 - 15 + 5 = 0 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} \\ &= 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-4) + (-1) \cdot 0 \\ &= 20 - 20 + 0 = 0 \end{aligned} \]

\( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BC} \) ligger i planet og er ikke parallelle, siden: \[ [4,\ -4,\ 0] \neq t \cdot [2,\ -3,\ -5] \]\( {z\text{-koordinaten}} \) gir \( {t = 0}\text{,} \) men da blir \( {x\text{-koordinaten}} \) \( {0 \neq 4}\text{.} \) Dermed er \( \vec{n} \) en normalvektor til planet \( \alpha\text{.} \)

2. Finn likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a},\ \textcolor{red}{b},\ \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram ?.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \\ (x_0, y_0, z_0) &= A = (1, 1, -3) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{5}(x - 1) + \textcolor{red}{5}(y - 1) \textcolor{green}{- 1}(z + 3) &= 0 \\ 5x - 5 + 5y - 5 - z - 3 &= 0 \\ 5x + 5y - z - 13 &= 0 \end{aligned} \]

Et punkt på \( {x\text{-aksen}} \) har \( {y = 0} \) og \( {z = 0}\text{.} \) Vi setter avstanden fra \( B \) lik \( 6\text{,} \) finner de to punktene, og bruker vektorene fra \( B \) som retningsvektorer.

1. Finn skjæringspunktene Vi kaller punktet på \( {x\text{-aksen}} \) \( P(p, 0, 0)\text{.} \) Vektoren fra \( {B(-1, 4, 2)} \) er: \[ \overrightarrow{BP} = [p + 1,\ -4,\ -2] \]

Lengden skal være \( 6\text{,} \) som vi regner ut som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \sqrt{(p + 1)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} &= 6 \\ (p + 1)^2 + 16 + 4 &= 36 \\ (p + 1)^2 &= 16 \\ p + 1 &= \pm 4 \end{aligned} \]

Det gir to punkter: \[ \begin{aligned} p &= 3: & \textcolor{blue}{P_1} &= \textcolor{blue}{(3, 0, 0)} \\ p &= -5: & \textcolor{red}{P_2} &= \textcolor{red}{(-5, 0, 0)} \end{aligned} \]

2. Finn retningsvektorene Vi setter \( p \) inn i \( \overrightarrow{BP} \) og forkorter med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BP_1}} &= [4,\ -4,\ -2] \\ &= 2 \cdot \textcolor{blue}{[2,\ -2,\ -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BP_2}} &= [-4,\ -4,\ -2] \\ &= -2 \cdot \textcolor{red}{[2,\ 2,\ 1]} \end{aligned} \]

3. Skriv parameterframstillingene En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [a, b, c] \) har parameterframstillingen: \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \]

Plugger vi inn \( {B(-1, 4, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{[2,\ -2,\ -1]}}\text{,} \) får vi \( l\text{:} \) \[ l: \ \begin{cases} x = -1 \textcolor{blue}{+ 2t} \\ y = 4 \textcolor{blue}{- 2t} \\ z = 2 \textcolor{blue}{- t} \end{cases} \]

Plugger vi inn \( {B(-1, 4, 2)} \) og \( \textcolor{red}{[2,\ 2,\ 1]}\text{,} \) får vi \( m\text{:} \) \[ m: \ \begin{cases} x = -1 \textcolor{red}{+ 2t} \\ y = 4 \textcolor{red}{+ 2t} \\ z = 2 \textcolor{red}{+ t} \end{cases} \]

Hvilken av linjene som heter \( l \) og \( m \) kan byttes om, og andre parameterframstillinger av de samme linjene er også riktige.

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra koordinat for koordinat.

1. Finn de to vektorene Vektoren fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-1 - 2},\ \textcolor{red}{1 - 0},\ \textcolor{green}{3 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}]} \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{1 - 2},\ \textcolor{red}{4 - 0},\ \textcolor{green}{4 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}]} \end{aligned} \]

2. Regn ut differansen Vi ganger hver koordinat med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?, og trekker fra koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}] - 2[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}] \\ &= [\textcolor{blue}{-3 + 2},\ \textcolor{red}{1 - 8},\ \textcolor{green}{4 - 10}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-7},\ \textcolor{green}{-6}]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med normalvektoren og punktet \( A \) kan vi sette opp likningen til planet.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-3,\ 1,\ 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1,\ 4,\ 5] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}]} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}]} \) står normalt på begge, og er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [&\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4}, \\ &\textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{5}, \\ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1})] \\ = [&-11,\ 11,\ -11] \end{aligned} \]

Vi kan dele på \( {-11}\text{,} \) siden alle vektorer som er parallelle med denne også står normalt på planet. Da er normalvektoren: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{1}] \]

2. Sett opp likningen til planet Likningen til et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn \( \vec{n} \) og punktet \( {A(2, 0, -1)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - 2) \textcolor{red}{- 1}(y - 0) + \textcolor{green}{1}(z + 1) &= 0 \\ x - 2 - y + z + 1 &= 0 \\ x - y + z &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Grunnflaten er en trekant utspent av \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og toppunktet gir vektoren \( \overrightarrow{AP}\text{.} \) Da kan vi bruke volumformelen med vektorer.

1. Finn vektoren til toppunktet Vektoren fra \( {A(2, 0, -1)} \) til \( P(2, 6, 2) \) er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}} &= [2 - 2,\ 6 - 0,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]} \end{aligned} \]

2. Bruk volumformelen Grunnflaten er \( \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\text{,} \) og volumet er en tredjedel av grunnflaten ganger høyden. Det gir formelen: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|\textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \cdot \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|0 + 66 - 33\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Likningen til planet fra b) står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Normalvektoren til planet er retningsvektoren til linja. I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {z = 0}\text{,} \) så vi løser for parameteren der.

1. Sett opp linja Koeffisientene i \( {\beta\text{: } x - y + z = 1} \) er normalvektoren, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?: \[ \vec{n} = [1,\ -1,\ 1] \]

En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retning \( [p, q, r] \) kan skrives med en parameter \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= x_0 + pt \\ y &= y_0 + qt \\ z &= z_0 + rt \end{aligned} \]

Her er punktet \( P(2, 6, 2) \) og retningen \( \vec{n}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + t \\ y &= 6 - t \\ \textcolor{blue}{z} &= \textcolor{blue}{2 + t} \end{aligned} \]

2. Finn skjæringspunktet I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {\textcolor{blue}{z} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 + t} &= 0 \\ t &= -2 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + (-2) = 0 \\ y &= 6 - (-2) = 8 \\ z &= 2 + (-2) = 0 \end{aligned} \]

Tallene foran \( t \) forteller hvor mye flyet flytter seg per minutt. Farten er lengden av denne vektoren, og den regner vi om til km/h til slutt.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonen, som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat: \[ \vec{v} = [\textcolor{blue}{-8},\ \textcolor{red}{6},\ \textcolor{green}{0{,}2}] \]Tallene er målt i km per minutt.

2. Regn ut lengden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-8}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-8})^2 + \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{green}{0{,}2}^2} \\ &= \sqrt{100{,}04} \end{aligned} \]Det er farten i km per minutt.

3. Regn om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ 60 \cdot \sqrt{100{,}04} \approx 600 \]

Flyet er over punktet når \( {x = 0} \) og \( {y = 20}\text{.} \) Høyden er \( {z\text{-koordinaten}} \) i det samme øyeblikket.

1. Finn tidspunktet Parameterframstillingen gir flyets koordinater for hver \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{40 - 8t} &= 0 \\ t &= 5 \end{aligned} \]

Vi sjekker at \( \textcolor{red}{y} \) stemmer for samme \( t\text{:} \) \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{red}{6 \cdot 5 - 10} = 20 \]

2. Finn høyden Vi setter \( {t = 5} \) inn i uttrykket for \( \textcolor{green}{z}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z} = \textcolor{green}{2 + 0{,}2 \cdot 5} = 3 \]

Vi setter opp vektoren mellom flyene ved samme \( t\text{.} \) Avstanden er minst der kvadratet av lengden er minst, så vi deriverer det og setter lik \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren mellom flyene Vi trekker koordinatene til det andre flyet fra koordinatene til det første, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\Delta x} &= 40 - 8t - 6t = \textcolor{blue}{40 - 14t} \\ \textcolor{red}{\Delta y} &= 6t - 10 - 5t = \textcolor{red}{t - 10} \\ \textcolor{green}{\Delta z} &= 2 + 0{,}2t - (3 - 0{,}5t) \\ &= \textcolor{green}{0{,}7t - 1} \end{aligned} \]

2. Finn kvadratet av avstanden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at avstanden \( d \) er gitt ved: \[ d^2 = \textcolor{blue}{\Delta x}^2 + \textcolor{red}{\Delta y}^2 + \textcolor{green}{\Delta z}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Avstanden er positiv, så den er minst der \( {g(t) = d^2} \) er minst. Vi ganger ut med kvadratsetningene, som i videoen Kvadratsetningene: \[ \begin{aligned} g(t) &= (\textcolor{blue}{40 - 14t})^2 + (\textcolor{red}{t - 10})^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{0{,}7t - 1})^2 \\ &= \textcolor{blue}{1600 - 1120t + 196t^2} \\ &\quad + \textcolor{red}{t^2 - 20t + 100} \\ &\quad + \textcolor{green}{0{,}49t^2 - 1{,}4t + 1} \\ &= 197{,}49t^2 - 1141{,}4t + 1701 \end{aligned} \]

3. Finn minimum Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 394{,}98t - 1141{,}4 = 0 \\ t &= \dfrac{1141{,}4}{394{,}98} \approx 2{,}89 \end{aligned} \]

\( g \) er en andregradsfunksjon der tallet foran \( t^2 \) er positivt, så grafen er en smilende parabel og punktet er et bunnpunkt: \[ 197{,}49 > 0 \]Verdien ligger også i intervallet \( [0, 5]\text{.} \)

Vi finner først vektorene ved å ta sluttpunkt minus startpunkt, og regner så ut lengdene.

1. Finn vektorene En vektor fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [5 - 2,\ 2 - 4,\ 2 - (-3)] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 5 - (-3)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor, her med en tredje koordinat: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-2})^2 + \textcolor{blue}{5}^2} \\ &= \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + (\textcolor{red}{-4})^2 + \textcolor{red}{8}^2} \\ &= \sqrt{4 + 16 + 64} \\ &= \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{8} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 4 \\ y &= \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{8} = -34 \\ z &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -16 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [4, -34, -16] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{4^2 + (-34)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{16 + 1156 + 256} \\ &= \sqrt{1428} = \sqrt{4 \cdot 357} = 2\sqrt{357} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{357} = \sqrt{357} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Vi velger punktet \( A \) og vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?. Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= A = \textcolor{green}{(2, 4, -3)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[3, -2, 5]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, -4, 8]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} + \textcolor{blue}{3}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{4} \textcolor{blue}{{}- 2}s \textcolor{red}{{}- 4}t \\ z &= \textcolor{green}{-3} + \textcolor{blue}{5}s + \textcolor{red}{8}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med punktet \( C \) som startpunkt.

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Vinkelen i \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\angle BAC) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \textcolor{blue}{[3, -2, 5]}, & |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{38} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \textcolor{red}{[-2, -4, 8]}, & |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= 2\sqrt{21} \end{aligned} \]

2. Regn ut vinkelen Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-4}) + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{8} \\ &= -6 + 8 + 40 = 42 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(\angle BAC) &= \dfrac{42}{\sqrt{38} \cdot 2\sqrt{21}} \\ &= \dfrac{21}{\sqrt{798}} \approx 0{,}743 \end{aligned} \]

Vi går baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \angle BAC = \cos^{-1}\left(\dfrac{21}{\sqrt{798}}\right) \approx 42{,}0^\circ \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Volumet får vi fra skalarproduktet av vektorproduktet og den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[4, -34, -16]} \]

Den tredje vektoren er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 8 - (-3)] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 11]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[4, -34, -16]} \cdot \textcolor{red}{[1, -3, 11]} \\ &= \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{1} + (\textcolor{blue}{-34}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) + (\textcolor{blue}{-16}) \cdot \textcolor{red}{11} \\ &= 4 + 102 - 176 = -70 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |-70| = \dfrac{70}{6} = \dfrac{35}{3} \]

Vi bruker arealet fra b) og volumet fra e). Volumet står i oppgaven, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til e).

Vi kjenner volumet og grunnflaten, så høyden får vi fra volumformelen for en pyramide.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en pyramide er en tredjedel av grunnflaten ganget med høyden: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser \( {V = G \cdot h} \) for en kasse og sier at en pyramide har sin egen formel.

Her er: \[ V = \dfrac{35}{3}, \quad \textcolor{blue}{G} = \textcolor{blue}{\sqrt{357}} \]

2. Løs for høyden Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{35}{3} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{357}} \cdot \textcolor{red}{h} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{35}{\textcolor{blue}{\sqrt{357}}} \\ &= \dfrac{35\sqrt{357}}{357} = \dfrac{5\sqrt{357}}{51} \end{aligned} \]

Vi finner hver vektor ved å ta sluttpunkt minus startpunkt. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra, koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 0 - 1,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [-1 - 1,\ 3 - 1,\ 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} &= [0 - (-1),\ 0 - 3,\ 2 - 3] \\ &= \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Når vi ganger med et tall, ganger vi hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?. Når vi trekker fra, gjør vi det koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &2\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} - \textcolor{green}{\overrightarrow{CB}} \\ &= 2 \cdot \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-4, 4, 8] - \textcolor{green}{[1, -3, -1]} \\ &= [-5, 7, 9] \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Vinkel \( A \) er vinkelen mellom \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet.

1. Skriv opp skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos(\theta) = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}|} \]Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \\ &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{4} \\ &= 2 - 2 + 12 = 12 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + \textcolor{blue}{3}^2} = \sqrt{11} \\ |\textcolor{red}{\vec{v}}| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{24} \end{aligned} \]

3. Regn ut vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos(A) &= \dfrac{12}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{24}} \\ &= \dfrac{12}{\sqrt{264}} \approx 0{,}7385 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ A = \cos^{-1}\left(\dfrac{12}{\sqrt{264}}\right) \approx 42{,}4^\circ \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

Trekanten er utspent av to vektorer, så arealet er halve lengden av vektorproduktet deres.

1. Skriv opp vektorproduktet Arealet av trekanten er gitt ved: \[ T = \dfrac{1}{2} \left|\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}\right| \]

Koordinatene til vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Dette er det samme som å ta determinanten av en \( 3 \times 3 \)-matrise, som i videoene Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet og Determinanter 3x3 matrise.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} = -10 \\ y &= \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{4} = -2 \\ z &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) = -4 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-10, -2, -4] \]

3. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} &|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \\ &= \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{120} = 2\sqrt{30} \end{aligned} \]

Halvparten av dette er arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{30} = \sqrt{30} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene i planet, så det er en normalvektor. Med en normalvektor og et punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-10, -2, -4] \\ &= -2 \cdot [5, 1, 2] \end{aligned} \]

Vektoren \( [5, 1, 2] \) er parallell med denne, så den er også en normalvektor, og den er enklere å regne med.

2. Sett inn i likningen for planet Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er normalvektoren og punktet \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{[a, b, c]} &= \textcolor{blue}{[5, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} &= \textcolor{red}{(1, 1, -1)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{5}(x - \textcolor{red}{1}) + \textcolor{blue}{1}(y - \textcolor{red}{1}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(z - (\textcolor{red}{-1})) = 0 \\ &5x - 5 + y - 1 + 2z + 2 = 0 \\ &5x + y + 2z = 4 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Et plan som er parallelt med \( \alpha \) har de samme retningene. Vi bruker derfor \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) men starter i \( E\text{.} \)

1. Skriv opp formen En parameterframstilling for et plan har formen: \[ [x, y, z] = \textcolor{green}{P} + s \cdot \textcolor{blue}{\vec{u}} + t \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} \]Videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 setter opp en parameterframstilling for en linje på samme måte, med én parameter.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{P} &= E = \textcolor{green}{(2, 3, 4)} \\ \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, -1, 3]} \\ \textcolor{red}{\vec{v}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-2, 2, 4]} \end{aligned} \]

2. Sett inn koordinatene Plugger vi dette inn, koordinat for koordinat, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{green}{2} \textcolor{blue}{{}- 1}s \textcolor{red}{{}- 2}t \\ y &= \textcolor{green}{3} \textcolor{blue}{{}- 1}s + \textcolor{red}{2}t \\ z &= \textcolor{green}{4} + \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{4}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( {[-1, 1, 2]} \) i stedet for \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tre vektorer fra samme hjørne bestemmer pyramiden. Vi skriver \( D \) med en ukjent \( {y\text{-koordinat}} \) og setter volumet lik \( 20\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide utspent av tre vektorer er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}\right| \]

I c) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \]

Et punkt på \( {y\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {z = 0}\text{,} \) så \( {D = (0, y, 0)}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [0 - 1,\ y - 1,\ 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat, som i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{[-10, -2, -4]} \cdot \textcolor{red}{[-1, y - 1, 1]} \\ &= (\textcolor{blue}{-10}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{y - 1}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-4}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 10 - 2y + 2 - 4 \\ &= 8 - 2y \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi setter volumet lik \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{6} |8 - 2y| &= 20 \\ |8 - 2y| &= 120 \end{aligned} \]

Tallverdien er \( 120 \) når uttrykket er \( 120 \) eller \( {-120}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8 - 2y = 120 &\Rightarrow y = -56 \\ 8 - 2y = -120 &\Rightarrow y = 64 \end{aligned} \]

Vi leser fortegnene av topp- og bunnpunktet og vendepunktet. Den deriverte sier om grafen stiger eller synker, og den dobbeltderiverte hvilken vei den krummer.

1. Tegn fortegnslinja til den deriverte Fortegnet til \( g'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. I topp- og bunnpunktet er den \( 0\text{:} \) \[ g'(\textcolor{blue}{0}) = 0, \quad g'(\textcolor{blue}{3}) = 0 \]

Grafen stiger fram til \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) synker fra \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) og stiger så igjen. Det gir oss denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "g'(x)", "expr": "x*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( g'(x) \) er \( 0\text{.} \)

2. Tegn fortegnslinja til den dobbeltderiverte Fortegnet til \( g''(x) \) sier hvilken vei grafen krummer, og i vendepunktet er den \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ g''\left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right) = 0 \]

Rundt toppunktet i \( {x = 0} \) krummer grafen nedover, så \( g''(x) \) er negativ før \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Rundt bunnpunktet i \( {x = 3} \) krummer den oppover, så \( g''(x) \) er positiv etter: :::fortegnsskjema {"points": [1.5], "labels": ["\\dfrac{3}{2}"], "rows": [{"label": "g''(x)", "expr": "2*x - 3"}]} En strek viser hvor \( g''(x) \) er \( 0\text{.} \) Hvordan vi tenker fram disse linjene, ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025.

En tredjegradsfunksjon har fire ukjente koeffisienter. Topp- og bunnpunktet gir oss fire likninger, og vendepunktet kan vi bruke til å sjekke svaret.

1. Skriv opp funksjonen og den deriverte En tredjegradsfunksjon kan skrives slik: \[ g(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + \textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{d} \]

Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ g'(x) = 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} \]

2. Bruk toppunktet Toppunktet \( (0, 6) \) ligger på grafen, og der er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(0) = 6 &\Rightarrow \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{6} \\ g'(0) = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

3. Bruk bunnpunktet Det samme gjelder bunnpunktet \( {(3, -21)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(3) = -21 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 9\textcolor{red}{b} + 6 = -21 \\ g'(3) = 0 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 6\textcolor{red}{b} = 0 \end{aligned} \]

Det er et likningssett med to ukjente, som i videoen Likningssett. Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{red}{b} + 6 &= -21 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-9} \end{aligned} \]

Setter vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 27\textcolor{blue}{a} + 6 \cdot (\textcolor{red}{-9}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

4. Sjekk med vendepunktet Funksjonen er nå \( {g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er \( {g''(x) = 12x - 18}\text{.} \) Vendepunktet stemmer: \[ \begin{aligned} g''\left(\dfrac{3}{2}\right) &= 18 - 18 = 0 \\ g\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{27}{4} - \dfrac{81}{4} + 6 = -\dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Fortegnet til den deriverte sier hvor \( f \) vokser og synker. Vi deriverer, finner nullpunktene og tegner fortegnslinja.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi løser \( {f'(x) = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-1})} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \dfrac{-2 \pm 4}{-2} \end{aligned} \]

Det gir oss \( {x = -1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) og dermed: \[ f'(x) = -(x + 1)(x - 3) \]

3. Tegn fortegnslinja Fortegnet til \( f'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x + 1)*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er det et bunnpunkt. I \( {x = 3} \) går den fra pluss til minus, så der er det et toppunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{1}{3} + 1 - 3 = -\dfrac{5}{3} \\ f(3) &= -9 + 9 + 9 = 9 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra c).

Fortegnet til den dobbeltderiverte sier hvilken vei grafen krummer. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

1. Finn den dobbeltderiverte I c) fant vi: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Deriverer vi en gang til, får vi: \[ f''(x) = -2x + 2 \]

2. Tegn fortegnslinja Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} -2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Fortegnslinja blir: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-2*x + 2"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \)

\( f''(x) \) er positiv før \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der krummer grafen opp. Den er negativ etter, så der krummer grafen ned. Den skifter fortegn i \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der er det et vendepunkt.

3. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{1}) = -\dfrac{1}{3} + 1 + 3 = \dfrac{11}{3} \]

Vi kaller punktet på \( l \) nærmest \( P \) for \( F\text{.} \) Avstandskravet gjør at \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på planet, så den er normalvektoren vi trenger.

1. Finn normalvektoren ut fra kravet Avstanden fra \( P \) til \( l \) er \( |\overrightarrow{PF}|\text{.} \) Siden \( l \) er parallell med planet, er avstanden fra \( l \) til planet det samme som avstanden fra \( F \) til planet. Kravet er altså: \[ |\overrightarrow{PF}| = \text{avstanden fra } F \text{ til } \alpha \]

Avstanden fra \( F \) til planet er den korteste veien dit. \( P \) ligger i planet, så \( \overrightarrow{PF} \) er en vei fra planet til \( F\text{.} \) Den er bare den korteste hvis den står vinkelrett på planet: \[ \overrightarrow{PF} \perp \alpha \]

2. Finn punktet F Et vilkårlig punkt på \( l \) er: \[ F = (2 - 3t,\ -1 + 4t,\ 1 + 2t) \]

Vektoren fra \( P \) er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} = [&2 - 3t - 1, \\ &-1 + 4t - 4, \\ &1 + 2t - 4] \\ = [&\textcolor{red}{1 - 3t,\ -5 + 4t,\ -3 + 2t}] \end{aligned} \]

\( F \) er punktet nærmest \( P\text{,} \) så \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på retningsvektoren til \( l\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{[-3, 4, 2]}}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{-3}(\textcolor{red}{1 - 3t}) + \textcolor{blue}{4}(\textcolor{red}{-5 + 4t}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(\textcolor{red}{-3 + 2t}) = 0 \\ &-3 + 9t - 20 + 16t - 6 + 4t = 0 \\ &29t - 29 = 0 \\ &t = 1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &= (-1, 3, 3) \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} &= \textcolor{red}{[-2, -1, -1]} \end{aligned} \]

3. Sett inn i likningen for planet Vektoren \( [2, 1, 1] \) er parallell med \( \overrightarrow{PF}\text{,} \) så vi bruker den som normalvektor. Den står vinkelrett på \( l\text{,} \) slik at \( l \) er parallell med planet: \[ [2, 1, 1] \cdot \textcolor{blue}{[-3, 4, 2]} = -6 + 4 + 2 = 0 \]

Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{[a, b, c]} &= \textcolor{green}{[2, 1, 1]} \\ (x_0, y_0, z_0) &= P = (1, 4, 4) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 4) \\ &+ \textcolor{green}{1}(z - 4) = 0 \\ &2x - 2 + y - 4 + z - 4 = 0 \\ &2x + y + z = 10 \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet, koordinat for koordinat.

1. Regn ut vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [-3 - 0,\ 2 - (-1),\ -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[-3, 3, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 0,\ 2 - (-1),\ -3 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[1, 3, -5]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen, og lengden av vektorproduktet gir arealet.

1. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Du ser det regnet ut i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3, 3, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -5]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-5}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{3}, \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{1} - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-5}), \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1}] \\ &= [-6, -18, -12] \end{aligned} \]

2. Finn likningen for planet Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi deler på \( {-6} \) og velger den enkleste: \[ \textcolor{darkorange}{\vec{n}} = \textcolor{darkorange}{[1, 3, 2]} \]

Et plan med normalvektor \( [\textcolor{darkorange}{a}, \textcolor{darkorange}{b}, \textcolor{darkorange}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{green}{x_0}, \textcolor{green}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{a}(x - \textcolor{green}{x_0}) + \textcolor{darkorange}{b}(y - \textcolor{green}{y_0}) \\ &+ \textcolor{darkorange}{c}(z - \textcolor{green}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{darkorange}{a}, \textcolor{darkorange}{b}, \textcolor{darkorange}{c}] &= [\textcolor{darkorange}{1}, \textcolor{darkorange}{3}, \textcolor{darkorange}{2}] \\ (\textcolor{green}{x_0}, \textcolor{green}{y_0}, \textcolor{green}{z_0}) &= (\textcolor{green}{0}, \textcolor{green}{-1}, \textcolor{green}{2}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1}(x - \textcolor{green}{0}) + \textcolor{darkorange}{3}(y + \textcolor{green}{1}) + \textcolor{darkorange}{2}(z - \textcolor{green}{2}) &= 0 \\ x + 3y + 3 + 2z - 4 &= 0 \\ x + 3y + 2z - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Lengden til en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[v_1, v_2, v_3]\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + (-18)^2 + (-12)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{504} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} \\ &= 3\sqrt{14} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

Den korteste veien fra et punkt til et plan går vinkelrett på planet. Vi lager derfor en linje gjennom \( E \) med normalvektoren som retning, og finner hvor den treffer planet.

1. Sett opp linja gjennom punktet Av likningen \( {x + 3y + 2z - 1 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{darkorange}{\vec{n}} = \textcolor{darkorange}{[1, 3, 2]}}\text{.} \) Den står vinkelrett på planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Linja gjennom \( E(1, 1, 2) \) med denne retningen er: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{darkorange}{1} \cdot \textcolor{green}{t} \\ y &= 1 + \textcolor{darkorange}{3} \cdot \textcolor{green}{t} \\ z &= 2 + \textcolor{darkorange}{2} \cdot \textcolor{green}{t} \end{aligned} \]

2. Finn hvor linja treffer planet Vi setter koordinatene inn i likningen for planet og løser for \( \textcolor{green}{t}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(1 + \textcolor{green}{t}) + 3(1 + 3\textcolor{green}{t}) \\ &\quad + 2(2 + 2\textcolor{green}{t}) - 1 = 0 \\ &14\textcolor{green}{t} + 7 = 0 \\ &\textcolor{green}{t} = \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Regn ut koordinatene Plugger vi \( \textcolor{green}{t} \) inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{2} \\ y &= 1 + 3 \cdot \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = -\dfrac{1}{2} \\ z &= 2 + 2 \cdot \textcolor{green}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)} = 1 \end{aligned} \]

Vi finner de to vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner så koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [3 - (-2),\ 1 - 1,\ 1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [1 - 3,\ 3 - 1,\ -2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektoren Vi regner koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer, og et tall ganger hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \begin{aligned} \vec{a} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} - 2\textcolor{red}{[-2, 2, -3]} \\ &= [5 + 4,\ 0 - 4,\ -1 + 6] \\ &= [9, -4, 5] \end{aligned} \]

Vinkelen mellom to vektorer finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp vektorene Siden \( O \) er origo, har vektorene de samme koordinatene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} &= \textcolor{blue}{[-2, 1, 2]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarprodukt og lengder Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{v}} = |\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{v}}| \cdot \cos \theta \]Du ser regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Her er \( \theta \) vinkelen mellom vektorene. Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor, med en tredje koordinat: \[ |\textcolor{blue}{\vec{u}}| = \sqrt{\textcolor{blue}{u_1}^2 + \textcolor{blue}{u_2}^2 + \textcolor{blue}{u_3}^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{OB}} &= -6 + 1 + 2 = -3 \\ |\textcolor{blue}{\overrightarrow{OA}}| &= \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{OB}}| &= \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \theta &= \dfrac{-3}{3\sqrt{11}} = -\dfrac{1}{\sqrt{11}} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right) \\ \theta &\approx 107{,}5^\circ \end{aligned} \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi sette opp likningen for planet.

1. Finn to vektorer i planet Vi tar sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[5, 0, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - (-2),\ 3 - 1,\ -2 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[3, 2, -4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \) er: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2} \\ y &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3} \\ z &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1} \end{aligned} \]Det er det samme som å ta en determinant, som i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-4}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 2 \\ y &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{-4}) = 17 \\ z &= \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 10 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{green}{[2, 17, 10]} \]

3. Sett opp likningen Et plan med normalvektor \( \textcolor{green}{[a, b, c]} \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn punktet \( {A(-2, 1, 2)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x + 2) + \textcolor{green}{17}(y - 1) \\ &+ \textcolor{green}{10}(z - 2) = 0 \\ &2x + 4 + 17y - 17 + 10z - 20 = 0 \\ &2x + 17y + 10z - 33 = 0 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra c).

Tetraederet er utspent av tre vektorer fra \( A\text{,} \) så vi bruker volumformelen med vektorproduktet og skalarproduktet.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et tetraeder utspent av tre vektorer er gitt ved: \[ V = \dfrac{1}{6} \left|(\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{w}}\right| \]Volum som grunnflate ganger høyde ser du i videoen Volum og Overflate.

Her er, med vektorproduktet fra c): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [2, 17, 10] \\ \textcolor{green}{\overrightarrow{AO}} &= \textcolor{green}{[2, -1, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6} \left|2 \cdot \textcolor{green}{2} + 17(\textcolor{green}{-1}) + 10(\textcolor{green}{-2})\right| \\ &= \dfrac{1}{6} \left|4 - 17 - 20\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker normalvektoren til \( \alpha \) fra c).

Et plan er gitt av ett punkt og to retninger. Planet inneholder \( \overrightarrow{OB}\text{,} \) og siden det står normalt på \( \alpha\text{,} \) inneholder det også normalvektoren til \( \alpha\text{.} \)

1. Finn punktet og retningene \( \overrightarrow{OB} \) ligger i \( \beta\text{,} \) så origo ligger i planet, og én retning er: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} = \overrightarrow{OB} = \textcolor{blue}{[3, 1, 1]} \]

\( \beta \) står normalt på \( \alpha\text{,} \) så normalvektoren til \( \alpha \) er parallell med \( \beta\text{.} \) Normalvektoren kan vi lese av likningen fra c), og den er den andre retningen: \[ \textcolor{red}{\vec{v}} = \textcolor{red}{[2, 17, 10]} \]

Koordinatene er ikke proporsjonale, så vektorene er ikke parallelle, og de utspenner et plan: \[ \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{17}{1} \]

2. Skriv parameterframstillingen Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningene \( \textcolor{blue}{\vec{u}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{v}} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} x &= x_0 + s\textcolor{blue}{u_1} + t\textcolor{red}{v_1} \\ y &= y_0 + s\textcolor{blue}{u_2} + t\textcolor{red}{v_2} \\ z &= z_0 + s\textcolor{blue}{u_3} + t\textcolor{red}{v_3} \end{aligned} \]Hva et plan er, ser du i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn origo og de to retningene, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{3}s + \textcolor{red}{2}t \\ y &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{17}t \\ z &= \textcolor{blue}{1}s + \textcolor{red}{10}t \end{aligned} \]

Andre framstillinger av samme plan er også riktige, for eksempel med punktet \( B \) i stedet for origo.

Vi finner vektorene og lengdene først. Vinkelen får vi så fra skalarproduktet.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [6 - 3, 1 - 2, -1 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} &= [3 - 3, 4 - 2, 0 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn lengdene Lengden av en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene til koordinatene, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{blue}{-1})^2 + (\textcolor{blue}{-3})^2} \\ &= \sqrt{19} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}| &= \sqrt{\textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\vec{a}} \cdot \textcolor{red}{\vec{b}} = |\textcolor{blue}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Skalarproduktet regner vi koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) \\ &= 0 - 2 + 6 = 4 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \cos v\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos v &= \dfrac{4}{\sqrt{19} \cdot 2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{38}} \\ v &= \arccos \dfrac{2}{\sqrt{38}} \approx 71{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) fra a).

I et parallellogram er motstående sider like lange og parallelle. Vi setter derfor \( {\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}} \) og løser for \( C\text{.} \)

1. Sett opp vektorene I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \]

Vi kaller \( {C = (x, y, z)}\text{.} \) Sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?, gir: \[ \overrightarrow{DC} = [x - 3, y - 4, z - 0] \]

2. Løs for koordinatene \( ABCD \) er et parallellogram når \( {\overrightarrow{DC} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vi setter koordinatene like hver for seg: \[ \begin{aligned} x - 3 &= \textcolor{blue}{3} & &\Rightarrow & x &= 6 \\ y - 4 &= \textcolor{blue}{-1} & &\Rightarrow & y &= 3 \\ z &= \textcolor{blue}{-3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AD} \) fra a).

Arealet av et parallellogram utspent av to vektorer er lengden av kryssproduktet. Vi regner ut kryssproduktet og tar lengden.

1. Regn ut kryssproduktet Arealet av parallellogrammet utspent av \( \textcolor{blue}{\vec{a}} \) og \( \textcolor{red}{\vec{b}} \) er: \[ G = |\textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}}| \]

Regelen for kryssproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]Hvis du vil se kryssproduktet regnet som determinant, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} &= \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[3, -1, -3]} \\ \textcolor{red}{\vec{b}} &= \textcolor{red}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x:\ \ &(\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-2}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2} = 8 \\ y:\ \ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-2}) = 6 \\ z:\ \ &\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} = 6 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] \]

2. Finn lengden Lengden finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} G &= \sqrt{8^2 + 6^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} \\ &= 2\sqrt{34} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går \( t \) ganger retningsvektoren \( \overrightarrow{AC}\text{.} \)

1. Finn retningsvektoren Med \( A(3, 2, 2) \) og \( {C(6, 3, -3)} \) fra b) gir sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [6 - 3, 3 - 2, -3 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[3, 1, -5]} \end{aligned} \]

2. Sett opp parameterframstillingen Parametrisering betyr at vi skriver hver koordinat som en funksjon av \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi starter i \( \textcolor{red}{A} \) og går \( t \) ganger \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{3}t \\ y &= \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{1}t \\ z &= \textcolor{red}{2} \textcolor{blue}{{}- 5}t \end{aligned} \]

Vi regner ut midtpunktet til hvert av de to punktparene og ser at de er like.

1. Finn begge midtpunktene Midtpunktet mellom to punkter er gjennomsnittet av koordinatene: \[ M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}, \dfrac{z_1 + z_2}{2}\right) \]Vi legger sammen koordinatene hver for seg og deler på \( 2\text{,} \) slik vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

Med \( \textcolor{blue}{A(3, 2, 2)} \) og \( {\textcolor{blue}{C(6, 3, -3)}} \) får vi: \[ \begin{aligned} M &= \left(\dfrac{\textcolor{blue}{3 + 6}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{blue}{2 - 3}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{B(6, 1, -1)}} \) og \( \textcolor{red}{D(3, 4, 0)} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{\textcolor{red}{6 + 3}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{1 + 4}}{2}, \dfrac{\textcolor{red}{-1 + 0}}{2}\right) \\ &= \left(\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \end{aligned} \]

Punktene er like, så \( M \) er også midtpunktet mellom \( B \) og \( D\text{.} \)

Vi bruker kryssproduktet \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \) fra c).

Høyden er avstanden fra \( T \) til planet grunnflaten ligger i. Vi finner likningen til planet, og bruker avstandsformelen.

1. Finn likningen til planet Kryssproduktet står vinkelrett på begge vektorene i grunnflaten, så det er en normalvektor. I c) fant vi: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = [8, 6, 6] = 2 \cdot \textcolor{blue}{[4, 3, 3]} \]

Planet gjennom et punkt med en normalvektor har likningen, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her er normalvektoren den enkleste, og punktet er \( A\text{:} \) \[ [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] = \textcolor{blue}{[4, 3, 3]}, \quad A = (\textcolor{red}{3}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{2}) \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4}(x - \textcolor{red}{3}) + \textcolor{blue}{3}(y - \textcolor{red}{2}) + \textcolor{blue}{3}(z - \textcolor{red}{2}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{4}x + \textcolor{blue}{3}y + \textcolor{blue}{3}z - 24 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk avstandsformelen Avstanden fra et punkt \( (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) \) til planet \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{blue}{b}y + \textcolor{blue}{c}z + d = 0} \) er: \[ h = \dfrac{|\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{c}\textcolor{red}{z_0} + d|}{\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{blue}{c}^2}} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{4}, \ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{3}, \ \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{3}, \ d = -24 \\ T &= (\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{2}, \textcolor{red}{5}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} h &= \dfrac{|\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{5} - 24|}{\sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{3}^2}} \\ &= \dfrac{|16 + 6 + 15 - 24|}{\sqrt{34}} \\ &= \dfrac{13}{\sqrt{34}} \end{aligned} \]