Forkurseksamen etter tema

Tallene foran \( t \) forteller hvor mye flyet flytter seg per minutt. Farten er lengden av denne vektoren, og den regner vi om til km/h til slutt.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonen, som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat: \[ \vec{v} = [\textcolor{blue}{-8},\ \textcolor{red}{6},\ \textcolor{green}{0{,}2}] \]Tallene er målt i km per minutt.

2. Regn ut lengden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-8}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-8})^2 + \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{green}{0{,}2}^2} \\ &= \sqrt{100{,}04} \end{aligned} \]Det er farten i km per minutt.

3. Regn om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ 60 \cdot \sqrt{100{,}04} \approx 600 \]

Flyet er over punktet når \( {x = 0} \) og \( {y = 20}\text{.} \) Høyden er \( {z\text{-koordinaten}} \) i det samme øyeblikket.

1. Finn tidspunktet Parameterframstillingen gir flyets koordinater for hver \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{40 - 8t} &= 0 \\ t &= 5 \end{aligned} \]

Vi sjekker at \( \textcolor{red}{y} \) stemmer for samme \( t\text{:} \) \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{red}{6 \cdot 5 - 10} = 20 \]

2. Finn høyden Vi setter \( {t = 5} \) inn i uttrykket for \( \textcolor{green}{z}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z} = \textcolor{green}{2 + 0{,}2 \cdot 5} = 3 \]

Vi setter opp vektoren mellom flyene ved samme \( t\text{.} \) Avstanden er minst der kvadratet av lengden er minst, så vi deriverer det og setter lik \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren mellom flyene Vi trekker koordinatene til det andre flyet fra koordinatene til det første, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\Delta x} &= 40 - 8t - 6t = \textcolor{blue}{40 - 14t} \\ \textcolor{red}{\Delta y} &= 6t - 10 - 5t = \textcolor{red}{t - 10} \\ \textcolor{green}{\Delta z} &= 2 + 0{,}2t - (3 - 0{,}5t) \\ &= \textcolor{green}{0{,}7t - 1} \end{aligned} \]

2. Finn kvadratet av avstanden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at avstanden \( d \) er gitt ved: \[ d^2 = \textcolor{blue}{\Delta x}^2 + \textcolor{red}{\Delta y}^2 + \textcolor{green}{\Delta z}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Avstanden er positiv, så den er minst der \( {g(t) = d^2} \) er minst. Vi ganger ut med kvadratsetningene, som i videoen Kvadratsetningene: \[ \begin{aligned} g(t) &= (\textcolor{blue}{40 - 14t})^2 + (\textcolor{red}{t - 10})^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{0{,}7t - 1})^2 \\ &= \textcolor{blue}{1600 - 1120t + 196t^2} \\ &\quad + \textcolor{red}{t^2 - 20t + 100} \\ &\quad + \textcolor{green}{0{,}49t^2 - 1{,}4t + 1} \\ &= 197{,}49t^2 - 1141{,}4t + 1701 \end{aligned} \]

3. Finn minimum Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 394{,}98t - 1141{,}4 = 0 \\ t &= \dfrac{1141{,}4}{394{,}98} \approx 2{,}89 \end{aligned} \]

\( g \) er en andregradsfunksjon der tallet foran \( t^2 \) er positivt, så grafen er en smilende parabel og punktet er et bunnpunkt: \[ 197{,}49 > 0 \]Verdien ligger også i intervallet \( [0, 5]\text{.} \)