Forkurs matematikk ordinær eksamen 2023 – løsningsforslag

Vi ser at vi får et andregradsuttrykk når vi ganger ut parentesene. Da bruker vi abc-formelen.

1. Gang ut parentesene 0:39 Vi ganger hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} (x - 2)(x + 3) &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 1:04 Vi setter dette inn i likningen og flytter alle leddene over på venstre side: \[ \begin{aligned} x^2 + x - 6 &= 6 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 2:12 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \\ x_2 &= \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \end{aligned} \]

Vi isolerer tangens og bruker tangens invers. Siden tangens gjentar seg, må vi til slutt sjekke hvilke løsninger som ligger i intervallet.

1. Isoler tangens 0:18 Vi deler begge sider på \( 5\text{:} \) \[ \tan x = -\dfrac{3}{5} \]

2. Bruk tangens invers 0:36 Tangens gjentar seg for hver halve runde på enhetssirkelen. Med et helt tall \( k \) er derfor løsningene av en slik likning: \[ \begin{aligned} \tan x &= \textcolor{blue}{a} \\ x &= \arctan \textcolor{blue}{a} + \pi k \end{aligned} \]Knappen for tangens invers på kalkulatoren finner du i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \arctan\left(\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}}\right) + \pi k \\ &= -\arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) + \pi k \\ &\approx -0{,}54 + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k 2:56 Svarene skal ligge mellom \( {-\pi \approx -3{,}14} \) og \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Vi tester verdier av \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = -1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 - 3{,}14 = -3{,}68 \\ k = 0\text{:}\ x &\approx -0{,}54 \\ k = 1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 3{,}14 = 2{,}60 \\ k = 2\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 6{,}28 = 5{,}74 \end{aligned} \]

Bare \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) gir verdier i intervallet, så likningen har to løsninger.

Vi ser at \( {e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\text{.} \) Fjerner vi brøken, får vi en andregradslikning i \( e^x\text{.} \)

1. Fjern brøken 0:18 Vi skriver om \( {e^{-x}} \) og flytter \( 2 \) over på høyre side: \[ \begin{aligned} 2 + \dfrac{3}{e^x} &= e^x \\ \dfrac{3}{e^x} &= e^x - 2 \end{aligned} \]

Så ganger vi begge sider med \( e^x\text{,} \) og flytter \( 3 \) over: \[ \begin{aligned} 3 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x \\ 0 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x - 3 \end{aligned} \]

2. Skift variabel 2:36 Skifter vi ut \( e^x \) med \( u\text{,} \) får vi en vanlig andregradslikning: \[ u^2 - 2u - 3 = 0 \]

3. Bruk abc-formelen 3:06 abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u_1 = 3 \quad \vee \quad u_2 = -1 \]

4. Gå tilbake til x 5:00 Vi satte \( {u = e^x}\text{,} \) så vi må løse: \[ e^x = 3 \quad \vee \quad e^x = -1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {e^x = -1} \) har ingen løsning: \[ e^x > 0 \quad \text{for alle } x \]

På \( {e^x = 3} \) tar vi \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{magenta}{b}}\right) = \textcolor{magenta}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^{\textcolor{magenta}{x}}\right) &= \ln 3 \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot \ln e &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer uttrykket. Så leser vi av et fortegnsskjema hvor det er større enn eller lik \( 0\text{.} \)

1. Finn nullpunktene 0:19 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-9}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\textcolor{red}{9} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \dfrac{9 \pm 11}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = 10 \quad \vee \quad x_2 = -1 \]

2. Faktoriser uttrykket 2:04 Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 10} \) og \( {x_2 = -1}\text{,} \) blir ulikheten: \[ (\textcolor{darkorange}{x - 10})(\textcolor{magenta}{x + 1}) \geq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema 2:33 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 10], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 10}", "expr": "x - 10"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "(x - 10)(x + 1)", "expr": "(x - 10)(x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 6:07 Produktet skal være positivt eller \( 0\text{.} \) Det er det fra og med \( {x = 10} \) og oppover, og fra og med \( {x = -1} \) og nedover: \[ x \leq -1 \quad \vee \quad x \geq 10 \]

Vi setter \( {u = \cos t} \) og løser ulikheten for \( u \) med et fortegnsskjema. Så går vi tilbake til \( t \) med enhetssirkelen.

1. Skift variabel 0:50 Vi setter \( {u = \cos t}\text{,} \) og siden \( {\cos^2 t = (\cos t)^2} \) får vi: \[ 2u^2 + u < 0 \]

2. Finn nullpunktene 1:30 Vi faktoriserer ut \( u\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u}(\textcolor{magenta}{2u + 1}) < 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \vee \quad \textcolor{magenta}{2u + 1} = 0 \]

Løser vi den andre for \( u\text{,} \) får vi: \[ u = 0 \quad \vee \quad u = -\dfrac{1}{2} \]

3. Tegn fortegnsskjema 3:02 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{u}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2u + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "u(2u + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom de to strekene: \[ -\dfrac{1}{2} < u < 0 \]

4. Gå tilbake til cosinus 5:55 Vi satte \( {u = \cos t}\text{,} \) så vi må finne vinklene der: \[ -\dfrac{1}{2} < \cos t < 0 \]

På enhetssirkelen er \( \cos t \) førstekoordinaten til punktet på sirkelen. Vi trenger altså punktene i det skraverte feltet:

5. Finn det første intervallet 9:11 Feltet treffer sirkelen i én bue øverst og én nederst. Den øverste buen starter der \( {\cos t = 0}\text{:} \) \[ t = \dfrac{\pi}{2} \]

Den slutter der \( {\cos t = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) som vi finner med cosinus invers: \[ t = \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{\pi}{2} < t < \dfrac{2\pi}{3} \]

6. Finn det andre intervallet 10:47 Den nederste buen er speilbildet av den øverste om førsteaksen. Vinkelen med samme cosinusverdi finner vi ved å trekke fra en hel runde: \[ t = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Buen slutter der \( {\cos t = 0} \) igjen, etter tre kvarte runder: \[ t = \dfrac{3\pi}{2} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{4\pi}{3} < t < \dfrac{3\pi}{2} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

Nullpunktene finner vi der telleren er \( 0\text{.} \) Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er \( 0\text{,} \) og den horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Finn nullpunktet 0:07 For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= 0 \\ x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

2. Finn den vertikale asymptoten 1:54 Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Dele på null. Nevneren er \( 0 \) når: \[ \begin{aligned} x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \end{aligned} \]

Telleren er ikke \( 0 \) der, så vi får en vertikal asymptote: \[ x - 2 = -3 - 2 = -5 \neq 0 \]

3. Finn den horisontale asymptoten 3:08 Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi får formen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{.} \)

Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T(x)}}{\textcolor{blue}{N(x)}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{T'(x)}}{\textcolor{blue}{N'(x)}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen L'Hopitals regel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{T'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{N} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{N'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{x - 2}}{\textcolor{blue}{x + 3}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{1}} = 1 \]

Det samme skjer når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonsverdien går altså mot \( 1\text{,} \) så asymptoten er linja \( {y = 1}\text{.} \)

Alternativ metode: Del på x 4:37 Vi kan også dele både telleren og nevneren på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}} \\ &= \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \end{aligned} \]Denne metoden lønner seg når du ikke har lært L'Hôpitals regel.

Vi finner først hvilke \( {x\text{-verdier}} \) som gir stigningstall \( 5\text{,} \) ved å sette \( {f'(x) = 5}\text{.} \) Så setter vi opp en tangent for hver av dem.

1. Deriver med kvotientregelen 0:32 Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x + 3}) - (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 3})^2} \\ &= \dfrac{x + 3 - x + 2}{(x + 3)^2} = \dfrac{5}{(x + 3)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik 5 3:00 Vi setter \( {f'(x) = 5}\text{,} \) ganger begge sider med nevneren og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{5}{(x + 3)^2} &= 5 \\ 1 &= (x + 3)^2 \\ 1 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 6x + 8 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 4:35 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{8}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-6 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -2 \quad \vee \quad x_2 = -4 \]

4. Finn den første tangenten 6:36 En tangent er en rett linje, som i videoen Tangentlinje: \[ y = \textcolor{darkorange}{a}x + \textcolor{magenta}{b} \]Stigningstallet er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{5}}\text{,} \) så vi må finne \( \textcolor{magenta}{b}\text{.} \)

Vi starter med \( {x = -2} \) og regner ut \( {y\text{-verdien}} \) i punktet: \[ f(-2) = \dfrac{-2 - 2}{-2 + 3} = \dfrac{-4}{1} = -4 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} -4 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-2) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 6 \end{aligned} \]

5. Finn den andre tangenten 8:33 Vi gjør det samme med \( {x = -4}\text{:} \) \[ f(-4) = \dfrac{-4 - 2}{-4 + 3} = \dfrac{-6}{-1} = 6 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 6 &= \textcolor{darkorange}{5} \cdot (-4) + \textcolor{magenta}{b} \\ \textcolor{magenta}{b} &= 26 \end{aligned} \]

Vi finner først hvor grafen og linja skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter uttrykkene like, ganger med \( {x + 3} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \dfrac{x - 2}{x + 3} &= x - 2 \\ x - 2 &= (x - 2)(x + 3) \\ 0 &= (x - 2)(x + 3) - (x - 2) \\ 0 &= (x - 2)(x + 2) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = -2 \quad \vee \quad x = 2 \]

2. Finn ut hvem som ligger øverst Mellom \( {x = -2} \) og \( {x = 2} \) skjærer de ikke hverandre, og begge er sammenhengende der. Da holder det å teste én verdi: \[ \textcolor{red}{f(0) = -\dfrac{2}{3}}, \qquad \textcolor{blue}{y = 0 - 2 = -2} \]Siden \( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}} > \textcolor{blue}{-2}} \) ligger grafen til \( \textcolor{red}{f} \) over \( \textcolor{blue}{\text{linja}} \) i hele området.

3. Sett opp integralet Vi skriver om brøken, siden \( {x - 2 = (x + 3) - 5}\text{:} \) \[ \dfrac{x - 2}{x + 3} = \dfrac{(x + 3) - 5}{x + 3} = 1 - \dfrac{5}{x + 3} \]

Arealet er den øverste minus den nederste, integrert mellom skjæringspunktene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ \begin{aligned} A &= \int_{-2}^{2} \left( \textcolor{red}{1 - \dfrac{5}{x + 3}} - (\textcolor{blue}{x - 2}) \right) dx \\ &= \int_{-2}^{2} \left( 3 - x - \dfrac{5}{x + 3} \right) dx \end{aligned} \]

4. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, og den siste brøken gir \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Her er \( {x + 3 > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverditegn: \[ A = \left[ 3x - \dfrac{1}{2}x^2 - 5\ln(x + 3) \right]_{-2}^{2} \]

Vi setter inn grensene hver for seg: \[ \begin{aligned} \text{øvre: } &6 - 2 - 5\ln 5 = 4 - 5\ln 5 \\ \text{nedre: } &-6 - 2 - 5\ln 1 = -8 \end{aligned} \]

Trekker vi den nedre fra den øvre, får vi: \[ A = 4 - 5\ln 5 - (-8) = 12 - 5\ln 5 \]

Tallene foran \( t \) forteller hvor mye flyet flytter seg per minutt. Farten er lengden av denne vektoren, og den regner vi om til km/h til slutt.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonen, som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat: \[ \vec{v} = [\textcolor{blue}{-8},\ \textcolor{red}{6},\ \textcolor{green}{0{,}2}] \]Tallene er målt i km per minutt.

2. Regn ut lengden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-8}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-8})^2 + \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{green}{0{,}2}^2} \\ &= \sqrt{100{,}04} \end{aligned} \]Det er farten i km per minutt.

3. Regn om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ 60 \cdot \sqrt{100{,}04} \approx 600 \]

Flyet er over punktet når \( {x = 0} \) og \( {y = 20}\text{.} \) Høyden er \( {z\text{-koordinaten}} \) i det samme øyeblikket.

1. Finn tidspunktet Parameterframstillingen gir flyets koordinater for hver \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{40 - 8t} &= 0 \\ t &= 5 \end{aligned} \]

Vi sjekker at \( \textcolor{red}{y} \) stemmer for samme \( t\text{:} \) \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{red}{6 \cdot 5 - 10} = 20 \]

2. Finn høyden Vi setter \( {t = 5} \) inn i uttrykket for \( \textcolor{green}{z}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z} = \textcolor{green}{2 + 0{,}2 \cdot 5} = 3 \]

Vi setter opp vektoren mellom flyene ved samme \( t\text{.} \) Avstanden er minst der kvadratet av lengden er minst, så vi deriverer det og setter lik \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren mellom flyene Vi trekker koordinatene til det andre flyet fra koordinatene til det første, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\Delta x} &= 40 - 8t - 6t = \textcolor{blue}{40 - 14t} \\ \textcolor{red}{\Delta y} &= 6t - 10 - 5t = \textcolor{red}{t - 10} \\ \textcolor{green}{\Delta z} &= 2 + 0{,}2t - (3 - 0{,}5t) \\ &= \textcolor{green}{0{,}7t - 1} \end{aligned} \]

2. Finn kvadratet av avstanden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at avstanden \( d \) er gitt ved: \[ d^2 = \textcolor{blue}{\Delta x}^2 + \textcolor{red}{\Delta y}^2 + \textcolor{green}{\Delta z}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Avstanden er positiv, så den er minst der \( {g(t) = d^2} \) er minst. Vi ganger ut med kvadratsetningene, som i videoen Kvadratsetningene: \[ \begin{aligned} g(t) &= (\textcolor{blue}{40 - 14t})^2 + (\textcolor{red}{t - 10})^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{0{,}7t - 1})^2 \\ &= \textcolor{blue}{1600 - 1120t + 196t^2} \\ &\quad + \textcolor{red}{t^2 - 20t + 100} \\ &\quad + \textcolor{green}{0{,}49t^2 - 1{,}4t + 1} \\ &= 197{,}49t^2 - 1141{,}4t + 1701 \end{aligned} \]

3. Finn minimum Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 394{,}98t - 1141{,}4 = 0 \\ t &= \dfrac{1141{,}4}{394{,}98} \approx 2{,}89 \end{aligned} \]

\( g \) er en andregradsfunksjon der tallet foran \( t^2 \) er positivt, så grafen er en smilende parabel og punktet er et bunnpunkt: \[ 197{,}49 > 0 \]Verdien ligger også i intervallet \( [0, 5]\text{.} \)

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Siden \( {e^{2x} = e^x \cdot e^x} \) kan vi faktorisere ut \( e^x\text{.} \)

1. Faktoriser funksjonsuttrykket Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ e^{2x} - 2e^x = \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 2}) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Vi står igjen med: \[ \textcolor{blue}{e^x - 2} = 0 \]

2. Løs likningen med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{x}} &= 2 \\ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) &= \ln 2 \\ \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 2 \\ x &= \ln 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer, setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte på hver side av punktet.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet trenger kjerneregelen, som forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{g}}\right)' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{2x}, \quad \textcolor{green}{g'} = \textcolor{green}{2} \]

\( e^{2x} \) derivert blir da \( \underline{2e^{2x}}\text{,} \) og \( {-2e^x} \) derivert blir \( {\underline{-2e^x}}\text{.} \) Slår vi dette sammen og faktoriserer, får vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{e^x - 1}) \]

2. Sett den deriverte lik null \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) i punktet: \[ f(0) = e^0 - 2e^0 = 1 - 2 = -1 \]

3. Avgjør hva slags punkt det er Vi tegner fortegnslinja til \( f'(x)\text{,} \) som vi gjør i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{e^x - 1}", "expr": "e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {(0, -1)} \) er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet den deriverte er \( 0\text{,} \) så funksjonen har ingen toppunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Et vendepunkt er der den andrederiverte bytter fortegn. Vi deriverer derfor en gang til og setter \( {f''(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x \]

Vi deriverer ledd for ledd, med kjerneregelen på det første leddet, og faktoriserer ut \( 2e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(x) &= 4e^{2x} - 2e^x \\ &= \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{2e^x - 1}) \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Vendepunktene ligger der \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{2e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) med \( {e^x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {e^{2x} = \left(e^x\right)^2 = \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ f(-\ln 2) = \dfrac{1}{4} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Vi tegner fortegnslinja til \( f''(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f''(x)", "expr": "2e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) går fra minus til pluss i \( {x = -\ln 2}\text{,} \) så grafen vender der.

Vi bruker punktene fra a), b) og c).

Vi samler punktene vi har funnet, og regner ut funksjonsverdiene i endene av intervallet. Så tegner vi grafen gjennom dem.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{Nullpunkt: } &\textcolor{blue}{(\ln 2,\ 0)} \\ \text{Bunnpunkt: } &\textcolor{red}{(0,\ -1)} \\ \text{Vendepunkt: } &\textcolor{green}{\left(-\ln 2,\ -\dfrac{3}{4}\right)} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene i endene Med kalkulator får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-2) &= e^{-4} - 2e^{-2} \approx -0{,}25 \\ f(1) &= e^2 - 2e \approx 1{,}95 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Fra b) vet vi at grafen synker fram til \( {x = 0} \) og så stiger. Fra c) vet vi at den vender i \( {x = -\ln 2}\text{.} \) Da kan vi tegne den. Sammenhengen mellom en graf og fortegnslinjene ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025:

Vi kjenner arealet av \( \Delta SBC \) og vinkelen mellom to sider som begge er radier. Da setter vi opp arealsetningen og løser for radien.

1. Sett opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.

Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SB \) og \( SC \) går fra sentrum ut til sirkelen, så begge er lik radien \( r\text{.} \) Arealet er \( {A = 3\sqrt{2}}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{45^\circ} \]

2. Løs for radien Vi bruker den eksakte verdien \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ 3\sqrt{2} &= \dfrac{\sqrt{2}}{4} r^2 \\ r^2 &= 12 \end{aligned} \]

En radius er positiv, og vi forenkler roten med \( {12 = 4 \cdot 3}\text{:} \) \[ r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

Vi bruker radien fra a).

Linja \( SC \) deler \( \Delta ABC \) i to trekanter. Vi kjenner arealet av den ene, og finner arealet av den andre med arealsetningen.

1. Finn vinkelen ved S \( AB \) er en rett linje, så vinklene ved \( S \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ASC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]

2. Finn arealet av den andre trekanten Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Arealsetningen.

Der er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{.} \) \( SA \) og \( SC \) er også radier. I a) fant vi \( {r^2 = 12}\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{r}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{135^\circ} \]

Vi bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{:} \) \[ \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ASC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi de to trekantene sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A_{ABC} &= A_{SBC} + A_{ASC} \\ &= 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \end{aligned} \]

Vi finner vektorene mellom punktene og regner ut lengdene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet av de to vektorene som går ut fra \( B\text{.} \)

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Vektorene ut fra \( B \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{BA}} &= [1 - 2,\ 3 - 1,\ 2 - 4] \\ &= \textcolor{red}{[-1, 2, -2]} \\ \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= [3 - 2,\ 2 - 1,\ 0 - 4] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 1, -4]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 + \textcolor{red}{2}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} \\ &= \sqrt{9} = 3 \\ BC &= \sqrt{\textcolor{blue}{1}^2 + \textcolor{blue}{1}^2 + (\textcolor{blue}{-4})^2} \\ &= \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\vec{a}} \cdot \textcolor{blue}{\vec{b}} = |\textcolor{red}{\vec{a}}| \cdot |\textcolor{blue}{\vec{b}}| \cdot \cos v \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Der er \( v \) vinkelen mellom vektorene. Her er \( {\textcolor{red}{\vec{a}} = \textcolor{red}{\overrightarrow{BA}}} \) og \( {\textcolor{blue}{\vec{b}} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}}}\text{.} \) Skalarproduktet regner vi ut koordinat for koordinat: \[ \textcolor{red}{\vec{a}} \cdot \textcolor{blue}{\vec{b}} = \textcolor{red}{a_1}\textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_2} + \textcolor{red}{a_3}\textcolor{blue}{b_3} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\overrightarrow{BA}} \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \\ &= (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-4) \\ &= -1 + 2 + 8 = 9 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 9 &= \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{3\sqrt{2}} \cdot \cos B \\ \cos B &= \dfrac{9}{9\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

Den eksakte verdien \( {\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) gir oss: \[ \angle B = \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \]

Vi finner en normalvektor til planet med vektorproduktet av to vektorer i planet. Så setter vi normalvektoren og ett punkt inn i likningen for et plan.

1. Finn to vektorer i planet Vi tar to vektorer ut fra \( A\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1,\ 1 - 3,\ 4 - 2] \\ &= \textcolor{red}{[1, -2, 2]} \\ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AC}} &= [3 - 1,\ 2 - 3,\ 0 - 2] \\ &= \textcolor{blue}{[2, -1, -2]} \end{aligned} \]

2. Finn en normalvektor Vektorproduktet står vinkelrett på begge vektorene. Formelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{red}{a_1}, \textcolor{red}{a_2}, \textcolor{red}{a_3}] \times [\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{blue}{b_2}, \textcolor{blue}{b_3}] \\ &= [\textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_3} - \textcolor{red}{a_3}\textcolor{blue}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{red}{a_3}\textcolor{blue}{b_1} - \textcolor{red}{a_1}\textcolor{blue}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{red}{a_1}\textcolor{blue}{b_2} - \textcolor{red}{a_2}\textcolor{blue}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi hver koordinat for seg: \[ \begin{aligned} (\textcolor{red}{-2})(\textcolor{blue}{-2}) - \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) &= 6 \\ \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} - \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-2}) &= 6 \\ \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{-1}) - (\textcolor{red}{-2}) \cdot \textcolor{blue}{2} &= 3 \end{aligned} \]

Vektorproduktet er altså \( {[6, 6, 3] = 3 \cdot [2, 2, 1]}\text{.} \) Vi bruker den enkleste vektoren med samme retning: \[ \vec{n} = [\textcolor{darkorange}{2}, \textcolor{darkorange}{2}, \textcolor{darkorange}{1}] \]

3. Sett opp likningen for planet Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{a}(x - \textcolor{green}{x_0}) + \textcolor{darkorange}{b}(y - \textcolor{green}{y_0}) \\ &+ \textcolor{darkorange}{c}(z - \textcolor{green}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

Her bruker vi punktet \( A\text{:} \) \[ \textcolor{green}{(x_0, y_0, z_0)} = \textcolor{green}{(1, 3, 2)} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{2}(x - \textcolor{green}{1}) + \textcolor{darkorange}{2}(y - \textcolor{green}{3}) + \textcolor{darkorange}{1}(z - \textcolor{green}{2}) &= 0 \\ 2x + 2y + z - 10 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) gir \( {2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 = 10}\text{,} \) og \( C \) gir \( {2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 0 = 10}\text{.} \) Begge ligger i planet.

Summen av de tre første leddene minus summen av de to første leddene er akkurat det tredje leddet.

1. Skriv leddet som en differanse \( s_n \) er summen av de \( n \) første leddene, som i videoen Sum tegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= a_1 + a_2 + a_3 \\ \textcolor{blue}{s_2} &= a_1 + a_2 \end{aligned} \]

Trekker vi den ene fra den andre, står bare det tredje leddet igjen: \[ a_3 = \textcolor{red}{s_3} - \textcolor{blue}{s_2} \]

2. Regn ut summene Vi setter inn i \( {s_n = 3n^2 + 4n}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = \textcolor{red}{39} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = \textcolor{blue}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ a_3 = \textcolor{red}{39} - \textcolor{blue}{20} = 19 \]

Vi kjenner summen av de 10 første og av de 20 første leddene. Sumformelen gir da to likninger med de to ukjente \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp formlene Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Det siste leddet finner vi med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet, som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 + (n - 1)d} \]

Her er summen av de 20 første leddene de to summene lagt sammen: \[ \begin{aligned} S_{10} &= 400 \\ S_{20} &= 400 + 1000 = 1400 \end{aligned} \]

2. Sett opp to likninger Plugger vi dette inn med \( {n = 10} \) og \( {n = 20}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 9d}) \cdot 10}{2} &= 400 \\ 10a_1 + 45d &= 400 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 19d}) \cdot 20}{2} &= 1400 \\ 20a_1 + 190d &= 1400 \end{aligned} \]

3. Løs likningssettet Vi ganger den første likningen med \( 2 \) og trekker den fra den andre, som med addisjonsmetoden i videoen Likningssett: \[ \begin{aligned} 20a_1 + 190d &= 1400 \\ 20a_1 + 90d &= 800 \\ 100d &= 600 \\ d &= 6 \end{aligned} \]

Setter vi \( {d = 6} \) inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 10a_1 + 45 \cdot 6 &= 400 \\ 10a_1 &= 130 \\ a_1 &= 13 \end{aligned} \]