Forkurseksamen etter tema

Kvotienten er et ledd delt på leddet foran. Så bruker vi formelen for summen av en konvergent geometrisk rekke.

1. Finn kvotienten Kvotienten i en geometrisk rekke er: \[ k = \dfrac{\textcolor{red}{a_{n + 1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \]Hvis du er usikker på kvotienten, kan du se videoen Geometriske rekker intro.

Vi deler andre ledd på første, og tredje på andre: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 + x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}} \\ &= (1 + x) \cdot \dfrac{1 - x}{1 + x} = 1 - x \\ k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 - x^2}}{\textcolor{blue}{1 + x}} \\ &= \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{1 + x} = 1 - x \end{aligned} \]Vi får den samme kvotienten, så rekka er geometrisk.

2. Finn summen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ s = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Den kommer fram i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}, \qquad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}}{1 - (\textcolor{green}{1 - x})} = \dfrac{\dfrac{1 + x}{1 - x}}{x} \\ &= \dfrac{1 + x}{x(1 - x)} = \dfrac{1 + x}{x - x^2} \end{aligned} \]

I a) fant vi kvotienten \( {k = 1 - x}\text{.} \)

En geometrisk rekke konvergerer når \( {|k| < 1}\text{.} \) I tillegg må alle leddene være definert.

1. Bruk konvergenskravet Kravet forteller oss at: \[ |\textcolor{green}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på kravet, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x}} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{green}{1 - x} &< 1 \\ -2 < -x &< 0 \\ 0 < x &< 2 \end{aligned} \]

2. Sjekk at leddene er definert Første ledd har nevneren \( {1 - x}\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x \neq 1 \]

Merk – Spesialtilfelle: For \( {x = -1} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så den spesielle rekka konvergerer også, selv om den ikke har noen kvotient.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( s(x) \) står i oppgaveteksten i a). Vi bruker også konvergensområdet fra b).

Vi setter uttrykket for summen lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{,} \) løser likningen og sjekker hvilke løsninger som ligger der rekka konvergerer.

1. Sett opp likningen Vi setter summen fra a) lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{1 + x}{x - x^2} = -\dfrac{10}{3} \]

Vi kryssmultipliserer og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} 3(1 + x) &= -10(x - x^2) \\ 3 + 3x &= -10x + 10x^2 \\ 0 &= \textcolor{blue}{10}x^2 \textcolor{red}{{}- 13}x \textcolor{green}{{}- 3} \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{10}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-13}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{13 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-13})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{10} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{10}} \\ &= \dfrac{13 \pm \sqrt{289}}{20} = \dfrac{13 \pm 17}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = \dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = -\dfrac{1}{5} \]

3. Sjekk konvergensområdet Fra b) konvergerer rekka for \( {0 < x < 1} \) og \( {1 < x < 2}\text{.} \) Vi sjekker begge løsningene: \[ \begin{aligned} x_1 = \dfrac{3}{2}\text{:} \ \ &1 < \dfrac{3}{2} < 2, \text{ gyldig} \\ x_2 = -\dfrac{1}{5}\text{:} \ \ &k = \dfrac{6}{5} > 1, \text{ ikke gyldig} \end{aligned} \]

Vi får \( \cos x \) alene, og så går vi baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, slik videoen Introduksjon til Trigonometri viser med \( \arccos\text{.} \)

1. Få cosinus alene Vi flytter \( \sqrt{3} \) over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\cos x &= \sqrt{3} \\ \cos x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn vinkelen Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]Alle løsningene er: \[ x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \]

Av disse er det bare \( \dfrac{\pi}{6} \) som ligger i intervallet \( [0, \pi]\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{6} \]

Vi faktoriserer telleren og nevneren. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

1. Faktoriser telleren og nevneren Telleren er en differanse mellom to kvadrater, så konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Med \( {a = x} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \]

I nevneren setter vi \( x \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ x^2 - x = x(x - 1) \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 1)} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 0} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \)

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene.

:::fortegnsskjema {"points": [-3, 0, 1, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x}", "expr": "(x + 3)(x - 3)/(x(x - 1))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ fra \( {-3} \) til \( 0 \) og fra \( 1 \) til \( 3\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = -3} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er med. Den er ikke definert i \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x \in [-3, 0\rangle \cup \langle 1, 3] \]

Vi flytter \( 2 \)-tallet inn i logaritmen. Da står det \( \lg \) av noe på begge sider, og vi kan sette det som står inni, likt. Til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Skriv venstre side som én logaritme Den tredje logaritmeregelen forteller oss at, for \( {\textcolor{red}{a} > 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b} \cdot \lg \textcolor{red}{a} = \lg \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{b}} \]Den står i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lg (\textcolor{red}{3x + 1})^{\textcolor{blue}{2}} = \lg x^2 \]

2. Løs likningen uten logaritmer Siden \( \lg \) gir samme verdi bare for samme tall, må det som står inni, være likt: \[ (3x + 1)^2 = x^2 \]

To kvadrater er like når tallene er like eller motsatte: \[ 3x + 1 = x \quad \text{eller} \quad 3x + 1 = -x \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -1 & 4x &= -1 \\ x &= -\dfrac{1}{2} & x &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Vi setter inn begge i \( {3x + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 &= -\dfrac{1}{2} < 0 \\ 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) + 1 &= \dfrac{1}{4} > 0 \end{aligned} \]

\( {x = -\dfrac{1}{2}} \) faller derfor bort. For \( {x = -\dfrac{1}{4}} \) er også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så den er løsningen.

Vi ser at vi har brøker med \( x \) i nevneren. Vi ganger derfor med fellesnevneren, slik at brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq -1} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)}}\text{.} \) Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x + 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &- \dfrac{1}{x - 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Forkorter vi, får vi: \[ \begin{aligned} &x(x - 1) - (x + 1) \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Til høyre bruker vi konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene: \[ (p + q)(p - q) = p^2 - q^2 \]

Da får vi, når vi ganger ut: \[ \begin{aligned} x^2 - x - x - 1 &= 2(x^2 - 1) \\ x^2 - 2x - 1 &= 2x^2 - 2 \end{aligned} \]

Flytter vi alt over på høyre side, får vi: \[ 0 = x^2 + 2x - 1 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2} \end{aligned} \]

Ingen av løsningene er \( {-1} \) eller \( 1\text{,} \) så begge gjelder.

Begge leddene har faktoren \( \cos x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og da må en av de to faktorene være \( 0\text{.} \)

1. Faktoriser Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{\cos x}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\cos x}(\sin x - \cos x) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{\cos x} = 0 \quad \text{eller} \quad \sin x - \cos x = 0 \]

2. Løs den første likningen Cosinus er \( 0 \) i toppen og bunnen av enhetssirkelen: \[ \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{3\pi}{2} \]

3. Løs den andre likningen Her kan ikke \( \cos x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= 1 \\ \tan x &= 1 \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen, så: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4} \]

Vi legger til differansen for å finne leddene. Til summen trenger vi ledd nummer \( 72 \) først.

1. Finn de fem første leddene Vi starter på \( 5 \) og legger til \( 8 \) hver gang: \[ 5, \; 13, \; 21, \; 29, \; 37 \]

2. Finn ledd nummer 72 Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er: \[ \textcolor{red}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{green}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{8}, \quad n = 72 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a_{72}} = \textcolor{blue}{5} + 71 \cdot \textcolor{green}{8} = \textcolor{red}{573} \]

3. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Formelen står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} S_{72} &= \dfrac{72(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{573})}{2} \\ &= 36 \cdot 578 \\ &= 20\,808 \end{aligned} \]

Vi skriver summen som et uttrykk i \( n \) og setter det lik \( 5\,000\text{.} \) Så runder vi opp til neste hele tall.

1. Skriv summen med n Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{5 + (n - 1) \cdot 8 = 8n - 3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_n &= \dfrac{n(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{8n - 3})}{2} \\ &= \dfrac{n(8n + 2)}{2} \\ &= 4n^2 + n \end{aligned} \]

2. Finn hvor summen blir 5000 Vi setter summen lik \( 5\,000 \) og samler alt på én side: \[ 4n^2 + n - 5\,000 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ n = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er brukt til leddene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-5\,000} \]

Plugger vi dette inn og ser på den positive løsningen, får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} n &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} + \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5\,000})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-1 + \sqrt{80\,001}}{8} \\ &\approx 35{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn antall ledd og siste ledd Antall ledd er et helt tall, og summen vokser for hvert ledd, så vi må opp til \( {n = 36}\text{.} \) Vi sjekker de to nærmeste verdiene: \[ \begin{aligned} S_{35} &= 4 \cdot 35^2 + 35 = 4\,935 \\ S_{36} &= 4 \cdot 36^2 + 36 = 5\,220 \end{aligned} \]

Det siste leddet er da: \[ a_{36} = 8 \cdot 36 - 3 = 285 \]

Vi ser at linje 14 og 15 har \( \texttt{sqrt(d)} \) der abc-formelen har rottegnet. Da må \( \textcolor{blue}{d} \) være det som står under roten.

1. Sammenlign med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b^2 - 4ac}}}{2a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Linje 14 i koden er: \[ \texttt{x\_1 = (-b + sqrt(}\textcolor{blue}{\texttt{d}}\texttt{))/(2*a)} \]

Altså er: \[ \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{b^2 - 4ac} \]

2. Skriv det som kode I Python skriver vi potens med to stjerner og ganger med én stjerne:

Vi bruker fra a) at \( {d = b^2 - 4ac} \) er det som står under roten i abc-formelen.

Fortegnet til \( \textcolor{blue}{d} \) forteller hvor mange løsninger likningen har. Teksten skal si det.

1. Les hva hver gren betyr Tallet under roten avgjør antall løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} < 0&: \quad \text{ingen reelle løsninger} \\ \textcolor{blue}{d} = 0&: \quad \text{én løsning} \\ \textcolor{blue}{d} > 0&: \quad \text{to løsninger} \end{aligned} \]

Linje 9 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} < 0}\text{.} \) Der er roten ikke et reelt tall, og linje 10 skal si at det ikke finnes noen løsning.

Linje 11 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} = 0}\text{.} \) Da blir abc-formelen: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\dfrac{b}{2a} \]

Dette er tallet linje 12 skriver ut etter teksten, så teksten skal føre fram til det.

2. Skriv teksten En passende tekst, som følger linje 16, er:

Andre tekster som sier det samme, er også riktige.

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

Alt står allerede på én side. Vi faktoriserer venstresiden og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Faktoriser venstresiden abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -3}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi faktorene \( {\textcolor{magenta}{x + 3}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ x^2 + x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 3})(\textcolor{darkorange}{x - 2}) \]

2. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "(x + 3)(x - 2)", "expr": "(x + 3)(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi vil ha produktet negativt eller \( 0\text{.} \) Det er det mellom strekene, og i strekene også: \[ -3 \leq x \leq 2 \]

Vi ser at \( 5^x \) går igjen. Setter vi \( {u = 5^x}\text{,} \) får vi en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{5^x}}\text{:} \) \[ \dfrac{18 - \textcolor{darkorange}{u}}{\textcolor{darkorange}{u}} = \textcolor{darkorange}{u} + 2 \]

\( 5^x \) er alltid positiv, så vi kan gange begge sider med \( \textcolor{darkorange}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 18 - u &= u^2 + 2u \\ 0 &= u^2 + 3u - 18 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-18} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-18})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 9}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 3} \) og \( {u = -6}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( 5^x \) er alltid positiv, så \( {5^x = -6} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med: \[ 5^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for en potens, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}}) &= \ln 3 \\ \textcolor{red}{x} \ln \textcolor{blue}{5} &= \ln 3 \\ x &= \dfrac{\ln 3}{\ln 5} \end{aligned} \]

Vi får \( \sin(2\pi x) \) alene og finner vinklene som passer. Intervallet for \( x \) forteller hvilke vinkler vi skal se på.

1. Få sinus alene Vi flytter \( 2 \) over: \[ \dfrac{\sqrt{3}}{\sin(2\pi x)} = 2 \]

Vi ganger med \( \sin(2\pi x)\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{,} \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{3} &= 2 \sin(2\pi x) \\ \sin(2\pi x) &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går vinkelen fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{:} \) \[ 0 \leq \textcolor{blue}{2\pi x} \leq 2\pi \]

Vi kjenner eksaktverdien: \[ \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Det forteller oss at: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\pi x} &= \dfrac{\pi}{3} \\ \text{eller} \quad \textcolor{blue}{2\pi x} &= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ x = \dfrac{1}{6} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{1}{3} \]Begge ligger i \( [0, 1]\text{,} \) og nevneren er ikke \( 0 \) for noen av dem.

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi ser at vi får et andregradsuttrykk når vi ganger ut parentesene. Da bruker vi abc-formelen.

1. Gang ut parentesene 0:39 Vi ganger hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} (x - 2)(x + 3) &= x^2 + 3x - 2x - 6 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 1:04 Vi setter dette inn i likningen og flytter alle leddene over på venstre side: \[ \begin{aligned} x^2 + x - 6 &= 6 \\ x^2 + x - 12 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen 2:12 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1 + 7}{2} = 3 \\ x_2 &= \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \end{aligned} \]

Vi isolerer tangens og bruker tangens invers. Siden tangens gjentar seg, må vi til slutt sjekke hvilke løsninger som ligger i intervallet.

1. Isoler tangens 0:18 Vi deler begge sider på \( 5\text{:} \) \[ \tan x = -\dfrac{3}{5} \]

2. Bruk tangens invers 0:36 Tangens gjentar seg for hver halve runde på enhetssirkelen. Med et helt tall \( k \) er derfor løsningene av en slik likning: \[ \begin{aligned} \tan x &= \textcolor{blue}{a} \\ x &= \arctan \textcolor{blue}{a} + \pi k \end{aligned} \]Knappen for tangens invers på kalkulatoren finner du i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \arctan\left(\textcolor{blue}{-\dfrac{3}{5}}\right) + \pi k \\ &= -\arctan\left(\dfrac{3}{5}\right) + \pi k \\ &\approx -0{,}54 + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k 2:56 Svarene skal ligge mellom \( {-\pi \approx -3{,}14} \) og \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Vi tester verdier av \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = -1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 - 3{,}14 = -3{,}68 \\ k = 0\text{:}\ x &\approx -0{,}54 \\ k = 1\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 3{,}14 = 2{,}60 \\ k = 2\text{:}\ x &\approx -0{,}54 + 6{,}28 = 5{,}74 \end{aligned} \]

Bare \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) gir verdier i intervallet, så likningen har to løsninger.

Vi ser at \( {e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\text{.} \) Fjerner vi brøken, får vi en andregradslikning i \( e^x\text{.} \)

1. Fjern brøken 0:18 Vi skriver om \( {e^{-x}} \) og flytter \( 2 \) over på høyre side: \[ \begin{aligned} 2 + \dfrac{3}{e^x} &= e^x \\ \dfrac{3}{e^x} &= e^x - 2 \end{aligned} \]

Så ganger vi begge sider med \( e^x\text{,} \) og flytter \( 3 \) over: \[ \begin{aligned} 3 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x \\ 0 &= \left(e^x\right)^2 - 2e^x - 3 \end{aligned} \]

2. Skift variabel 2:36 Skifter vi ut \( e^x \) med \( u\text{,} \) får vi en vanlig andregradslikning: \[ u^2 - 2u - 3 = 0 \]

3. Bruk abc-formelen 3:06 abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u_1 = 3 \quad \vee \quad u_2 = -1 \]

4. Gå tilbake til x 5:00 Vi satte \( {u = e^x}\text{,} \) så vi må løse: \[ e^x = 3 \quad \vee \quad e^x = -1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {e^x = -1} \) har ingen løsning: \[ e^x > 0 \quad \text{for alle } x \]

På \( {e^x = 3} \) tar vi \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{magenta}{b}}\right) = \textcolor{magenta}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^{\textcolor{magenta}{x}}\right) &= \ln 3 \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot \ln e &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]