Forkurseksamen etter tema

Vi ser at hver dag er \( 0{,}01 \) km kortere enn dagen før. Det er en aritmetisk rekke, så vi bruker sumformelen.

1. Finn det n-te leddet I en aritmetisk rekke legger vi til det samme tallet \( \textcolor{red}{d} \) hver gang. Formelen for ledd nummer \( n \) forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a_n} = a_1 + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{-0{,}01} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 - 0{,}01(n - 1)} \]

2. Bruk sumformelen Sumformelen forteller oss at: \[ s_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{a_n}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} s_n &= \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 - 0{,}01(n - 1)}) \cdot n}{2} \\ &= \dfrac{2a_1 n - 0{,}01(n - 1)n}{2} \\ &= a_1 n - 0{,}005(n^2 - n) \end{aligned} \]

3. Skriv om til formen i oppgaven Siden \( {0{,}005 = \dfrac{1}{200}}\text{,} \) får vi: \[ s_n = a_1 n - \dfrac{n^2 - n}{200} \]

Formelen for \( s_n \) står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Etter \( 365 \) dager skal summen være \( 1748 \) km. Vi setter dette inn i formelen fra a) og løser for \( a_1\text{.} \)

1. Sett inn i formelen Formelen fra a) er: \[ s_n = a_1 n - \dfrac{n^2 - n}{200} \]Sumformelen bak den står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{365}, \quad \textcolor{red}{s_n} = \textcolor{red}{1748} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{1748} = a_1 \cdot \textcolor{blue}{365} - \dfrac{\textcolor{blue}{365}^2 - \textcolor{blue}{365}}{200} \]

2. Løs for den første dagen Brøken regner vi ut først: \[ \dfrac{365^2 - 365}{200} = \dfrac{132\,860}{200} = 664{,}3 \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} 1748 &= 365a_1 - 664{,}3 \\ 365a_1 &= 2412{,}3 \\ a_1 &\approx 6{,}61 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.

Vi legger til differansen for å finne leddene. Til summen trenger vi ledd nummer \( 72 \) først.

1. Finn de fem første leddene Vi starter på \( 5 \) og legger til \( 8 \) hver gang: \[ 5, \; 13, \; 21, \; 29, \; 37 \]

2. Finn ledd nummer 72 Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er: \[ \textcolor{red}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{green}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{8}, \quad n = 72 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a_{72}} = \textcolor{blue}{5} + 71 \cdot \textcolor{green}{8} = \textcolor{red}{573} \]

3. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Formelen står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} S_{72} &= \dfrac{72(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{573})}{2} \\ &= 36 \cdot 578 \\ &= 20\,808 \end{aligned} \]

Vi skriver summen som et uttrykk i \( n \) og setter det lik \( 5\,000\text{.} \) Så runder vi opp til neste hele tall.

1. Skriv summen med n Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{5 + (n - 1) \cdot 8 = 8n - 3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_n &= \dfrac{n(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{8n - 3})}{2} \\ &= \dfrac{n(8n + 2)}{2} \\ &= 4n^2 + n \end{aligned} \]

2. Finn hvor summen blir 5000 Vi setter summen lik \( 5\,000 \) og samler alt på én side: \[ 4n^2 + n - 5\,000 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ n = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er brukt til leddene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-5\,000} \]

Plugger vi dette inn og ser på den positive løsningen, får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} n &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} + \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5\,000})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-1 + \sqrt{80\,001}}{8} \\ &\approx 35{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn antall ledd og siste ledd Antall ledd er et helt tall, og summen vokser for hvert ledd, så vi må opp til \( {n = 36}\text{.} \) Vi sjekker de to nærmeste verdiene: \[ \begin{aligned} S_{35} &= 4 \cdot 35^2 + 35 = 4\,935 \\ S_{36} &= 4 \cdot 36^2 + 36 = 5\,220 \end{aligned} \]

Det siste leddet er da: \[ a_{36} = 8 \cdot 36 - 3 = 285 \]

Summen av de tre første leddene minus summen av de to første leddene er akkurat det tredje leddet.

1. Skriv leddet som en differanse \( s_n \) er summen av de \( n \) første leddene, som i videoen Sum tegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= a_1 + a_2 + a_3 \\ \textcolor{blue}{s_2} &= a_1 + a_2 \end{aligned} \]

Trekker vi den ene fra den andre, står bare det tredje leddet igjen: \[ a_3 = \textcolor{red}{s_3} - \textcolor{blue}{s_2} \]

2. Regn ut summene Vi setter inn i \( {s_n = 3n^2 + 4n}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = \textcolor{red}{39} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = \textcolor{blue}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ a_3 = \textcolor{red}{39} - \textcolor{blue}{20} = 19 \]

Vi kjenner summen av de 10 første og av de 20 første leddene. Sumformelen gir da to likninger med de to ukjente \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp formlene Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Det siste leddet finner vi med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet, som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 + (n - 1)d} \]

Her er summen av de 20 første leddene de to summene lagt sammen: \[ \begin{aligned} S_{10} &= 400 \\ S_{20} &= 400 + 1000 = 1400 \end{aligned} \]

2. Sett opp to likninger Plugger vi dette inn med \( {n = 10} \) og \( {n = 20}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 9d}) \cdot 10}{2} &= 400 \\ 10a_1 + 45d &= 400 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 19d}) \cdot 20}{2} &= 1400 \\ 20a_1 + 190d &= 1400 \end{aligned} \]

3. Løs likningssettet Vi ganger den første likningen med \( 2 \) og trekker den fra den andre, som med addisjonsmetoden i videoen Likningssett: \[ \begin{aligned} 20a_1 + 190d &= 1400 \\ 20a_1 + 90d &= 800 \\ 100d &= 600 \\ d &= 6 \end{aligned} \]

Setter vi \( {d = 6} \) inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 10a_1 + 45 \cdot 6 &= 400 \\ 10a_1 &= 130 \\ a_1 &= 13 \end{aligned} \]

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( n \)-te leddet. Trekker vi dem fra hverandre, forsvinner \( a_1\text{.} \)

1. Finn differansen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den øverste fra den nederste, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Vi setter \( \textcolor{red}{d} \) inn i den øverste likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - \dfrac{7}{3} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ s_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n}) \cdot n}{2} \]Det er formelen i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad n = 40 \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \dfrac{1}{3} + 39 \cdot \dfrac{1}{3} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s_{40} &= \dfrac{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right) \cdot 40}{2} \\ &= \dfrac{41}{3} \cdot 20 = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten er mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{a_2}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

Det neste leddet stemmer, og \( {x \neq 0} \) siden vi deler på \( x^2\text{:} \) \[ (x^2 - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \]

2. Sett opp konvergenskravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \quad \iff \quad -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten som to ledd og setter den inn: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} &= \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \\ -1 &< \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} < 1 \end{aligned} \]

3. Løs de to ulikhetene Høyre side holder alltid, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \quad \iff \quad \dfrac{1}{x^2} > 0 \]

Venstre side gir oss kravet. Vi ganger med \( x^2\text{,} \) som er positiv, så tegnet snur ikke: \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{1}{x^2} \\ \dfrac{1}{x^2} &< 2 \\ 1 &< 2x^2 \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Roten av \( \dfrac{1}{2} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så det gir oss: \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter opp summen av den uendelige rekka, setter den lik \( 4 \) og sjekker at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er, med kvotienten fra b): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \]

2. Finn summen Vi regner først ut nevneren: \[ 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} = \dfrac{x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \]

3. Sett summen lik fire Det gir oss likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

Her kan \( x^2 \) ikke være \( {-2}\text{,} \) siden et kvadrat aldri er negativt. Begge svarene ligger i konvergensintervallet fra b), siden \( {\sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{.} \)

Fra ledd nummer \( 8 \) til ledd nummer \( 27 \) legger vi til \( d \) nitten ganger. Det gir \( d\text{,} \) og deretter \( a_1 \) og summen.

1. Finn differansen Formelen for ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1)\textcolor{blue}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Vi skriver opp de to leddene vi kjenner: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7\textcolor{blue}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} + 26\textcolor{blue}{d} &= 9 \end{aligned} \]

Trekker vi den første likningen fra den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{blue}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{blue}{d} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

2. Finn det første leddet Setter vi dette inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a_1} + 7 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{red}{a_1} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en aritmetisk rekke forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{red}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {n = 40}\text{,} \) og det siste leddet er: \[ \textcolor{green}{a_{40}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser den doble ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet før, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}}, \quad x \neq 0 \]

2. Sett opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Vi skriver kvotienten om: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{x^2} \]

3. Løs de to ulikhetene \( {\textcolor{blue}{k} < 1} \) er alltid oppfylt, siden \( \dfrac{1}{x^2} \) er positiv: \[ 1 - \dfrac{1}{x^2} < 1 \]

\( {\textcolor{blue}{k} > -1} \) gir oss, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - \dfrac{1}{x^2} &> -1 \\ 2 &> \dfrac{1}{x^2} \\ x^2 &> \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss, med \( {\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ x < -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{eller} \quad x > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Vi bruker kvotienten og konvergensintervallet fra b).

Vi setter inn i sumformelen for en konvergent geometrisk rekke, forenkler og setter summen lik \( 4\text{.} \) Så sjekker vi at svaret ligger i konvergensintervallet.

1. Skriv opp sumformelen Summen av en konvergent geometrisk rekke forteller oss at: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{x^2}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{red}{x^2}}{1 - \left(\textcolor{blue}{1 - \dfrac{1}{x^2}}\right)} \\ &= \dfrac{x^2}{\dfrac{1}{x^2}} = x^4 \end{aligned} \]

2. Sett summen lik 4 Vi løser likningen: \[ \begin{aligned} x^4 &= 4 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

\( {x^2 = -2} \) har ingen løsning, så den er ikke med.

3. Sjekk konvergensintervallet I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {|x| > \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og det holder her: \[ \sqrt{2} > \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Begge løsningene er altså med.

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet. Da får vi to likninger med \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp to likninger Formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn d og a1 Vi trekker den første likningen fra den andre, så \( \textcolor{blue}{a_1} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

Vi setter dette inn i den første likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Finn summen Sumformelen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} n &= 40 \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2} = 1 - \dfrac{2}{x^2} \]

Rekken er bare definert for \( {x \neq 0}\text{,} \) siden \( x^2 \) står i nevneren.

2. Sett opp kravet Konvergenskravet forteller oss at: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]Du ser det i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) får vi: \[ -1 < \textcolor{blue}{1 - \dfrac{2}{x^2}} < 1 \]

3. Løs de to ulikhetene Den høyre ulikheten holder alltid, siden \( {\dfrac{2}{x^2} > 0} \) for \( {x \neq 0}\text{:} \) \[ 1 - \dfrac{2}{x^2} < 1 \]

Den venstre gir, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{2}{x^2} \\ \dfrac{2}{x^2} &< 2 \\ 2 &< 2x^2 \\ 1 &< x^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 1 \]

Forskjellen mellom leddene er alltid \( 2\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekka har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er gitt ved: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{2}, \quad a_n = 129 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 129 &= \textcolor{blue}{5} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{2} \\ 124 &= 2(n - 1) \\ 62 &= n - 1 \\ n &= 63 \end{aligned} \]

2. Bruk sumformelen Summen av en aritmetisk rekke, som i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel, er gitt ved: \[ S_n = \dfrac{(\textcolor{blue}{a_1} + a_n) \cdot n}{2} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{63} &= \dfrac{(\textcolor{blue}{5} + 129) \cdot 63}{2} \\ &= 67 \cdot 63 = 4221 \end{aligned} \]

Etter det første fallet går ballen hver høyde to ganger, opp og ned. Høydene er en uendelig geometrisk rekke, så vi bruker summen av den.

1. Sett opp distansen Høyden blir ganget med \( \textcolor{red}{0{,}8} \) for hvert sprett. Høydene etter sprettene er: \[ \textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + 1{,}024 + \cdots \]

Ballen faller \( 2 \) meter først, og går så hver av disse høydene to ganger: \[ s = 2 + 2\left(\textcolor{blue}{1{,}6} + 1{,}28 + \cdots\right) \]

2. Summer den uendelige rekka En geometrisk rekke konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test. Da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}6}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{1{,}6}}{1 - \textcolor{red}{0{,}8}} = \dfrac{1{,}6}{0{,}2} = 8 \]

3. Regn ut totalen \[ s = 2 + 2 \cdot 8 = 18 \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten har absoluttverdi mindre enn \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{1}{x + 1} \]Her må \( {x \neq -1}\text{,} \) ellers finnes ikke brøken.

2. Bruk konvergenskravet Rekka konvergerer når \( {|\textcolor{red}{k}| < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ \left|\textcolor{red}{\dfrac{1}{x + 1}}\right| < 1 \]

Ganger vi med \( {|x + 1|}\text{,} \) som er positiv, får vi: \[ 1 < |x + 1| \]

3. Løs ulikheten Absoluttverdien er større enn \( 1 \) når \( {x + 1} \) er større enn \( 1 \) eller mindre enn \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 1 > 1 \ &\Rightarrow \ x > 0 \\ x + 1 < -1 \ &\Rightarrow \ x < -2 \end{aligned} \]