Forkurs matematikk konteeksamen 2020 – løsningsforslag

Vi ser at likningen har brøker. Vi løser opp parentesen og ganger med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Løs opp parentesen Vi ganger \( {-\dfrac{1}{3}} \) inn i parentesen: \[ \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}x - 3 - \dfrac{1}{5} \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren til \( 3 \) og \( 5 \) er \( \textcolor{darkorange}{15}\text{.} \) Hvis du er usikker på fellesnevner, kan du se videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter. Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{2}{3}x + \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= -\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{3}x - \textcolor{darkorange}{15} \cdot 3 - \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ 10x + 12 = -5x - 45 - 3 \]

3. Løs for x Vi samler \( x \) på venstre side og tallene på høyre: \[ \begin{aligned} 10x + 5x &= -45 - 3 - 12 \\ 15x &= -60 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Den første likningen gir \( h \) med en gang. Vi setter den inn i den andre og får en andregradslikning i \( t\text{.} \)

1. Finn h Vi løser den første likningen for \( h\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{h} = \textcolor{darkorange}{-40} \]

2. Sett inn i den andre likningen Vi setter dette inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \textcolor{darkorange}{-40} = 10t - 5t^2 \]

Vi flytter alt over på én side og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 10t - 40 &= 0 \\ t^2 - 2t - 8 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ t = 4 \quad \text{eller} \quad t = -2 \]

Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Isoler roten Vi flytter \( x \) over på høyre side: \[ 2\sqrt{x + 2} = -3 - x \]

2. Kvadrer begge sider Roten er det samme som å opphøye i en halv, som i videoen Potenser og røtter, så den forsvinner når vi kvadrerer. Siden \( {(-3 - x)^2 = (x + 3)^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (2\sqrt{x + 2})^2 &= (x + 3)^2 \\ 4(x + 2) &= (x + 3)^2 \end{aligned} \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 4x + 8 &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 4x + 8 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Her er høyresiden første kvadratsetning baklengs, med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1})^2 &= 0 \\ x &= -1 \end{aligned} \]

4. Sett prøve Vi setter \( {x = -1} \) inn i venstresiden av den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} V &= -1 + 2\sqrt{-1 + 2} \\ &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Høyresiden er: \[ H = -3 \]

Siden \( {1 \neq -3}\text{,} \) stemmer ikke \( {x = -1}\text{.} \) Det var den eneste mulige løsningen, så likningen har ingen løsning.

Vi bruker definisjonen av logaritmen til å få bort \( \lg\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av lg Definisjonen av logaritmen forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b} \quad \Leftrightarrow \quad 10^{\textcolor{red}{b}} = \textcolor{blue}{a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2x + 7}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 10^{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{blue}{2x + 7} \]

2. Løs for x \[ \begin{aligned} 1000 &= 2x + 7 \\ 2x &= 993 \\ x &= \dfrac{993}{2} \end{aligned} \]

Her er \( {2x + 7 = 1000}\text{,} \) som er positivt, så logaritmen finnes.

Vi isolerer potensen med \( e \) og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Isoler potensen Vi deler på \( 7\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{-x-3}} = \dfrac{5}{7} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{-x-3}}\right) = \ln\dfrac{5}{7} \]

Logaritmereglene forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x-3}}\text{,} \) så vi får: \[ \textcolor{green}{-x-3} = \ln\dfrac{5}{7} \]

3. Løs for x Vi legger til \( 3 \) på begge sider og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ x = -3 - \ln\dfrac{5}{7} \]

Siden \( {-\ln\dfrac{5}{7} = \ln\dfrac{7}{5}}\text{,} \) kan vi også skrive: \[ x = \ln\dfrac{7}{5} - 3 \]

Vi isolerer sinus og finner de to vinklene som gir denne sinusverdien. Så løser vi for \( x \) og tester hvilke \( x \) som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} 2\sin \textcolor{green}{v} + \sqrt{3} &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi vet at \( \dfrac{\pi}{3} \) er \( 60^\circ\text{,} \) som står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Sinus er negativ, så vi bytter fortegn på vinkelen: \[ \begin{aligned} \sin\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Den ene vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_1} = -\dfrac{\pi}{3} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \sin v = \sin(\pi - v) \]

Den andre vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_2} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} \]

Sinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \\ \textcolor{green}{v} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi setter inn for \( \textcolor{green}{v}\text{,} \) legger til \( \dfrac{\pi}{6} \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{4}{\pi}\text{.} \) Den første gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{2}{3} + 8k \end{aligned} \]

Den andre gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 6 + 8k \end{aligned} \]

4. Test hvilke x som er med Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -1 &: \quad x = -\dfrac{26}{3} \quad \text{utenfor} \\ k = 0 &: \quad x = -\dfrac{2}{3} \\ k = 1 &: \quad x = \dfrac{22}{3} \\ k = 2 &: \quad x = \dfrac{46}{3} \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -2 &: \quad x = -10 \quad \text{utenfor} \\ k = -1 &: \quad x = -2 \\ k = 0 &: \quad x = 6 \\ k = 1 &: \quad x = 14 \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi finner vektorene med sluttpunkt minus startpunkt, og regner videre koordinat for koordinat.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 1,\ 3 - 1,\ 1 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ 2 - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut uttrykket Et tall ganges med hver koordinat, som i videoen Hva er en Skalar?, og vektorer trekkes fra hverandre koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &3\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}} \\ &= 3\textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} - \dfrac{1}{2}\textcolor{red}{[0, -3, 1]} \\ &= [-3, 6, 3] - \left[0, -\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right] \\ &= \left[-3,\ \dfrac{15}{2},\ \dfrac{5}{2}\right] \end{aligned} \]

Vinkelen i \( B \) er vinkelen mellom de to vektorene som går ut fra \( B\text{.} \) Den finner vi med skalarproduktet.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}}}{|\textcolor{blue}{\vec{u}}| \cdot |\textcolor{red}{\vec{w}}|} \]Her er \( v \) vinkelen mellom vektorene. Det er regelen i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, skrevet med cosinus alene.

Begge vektorene må starte i \( B\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{BA} = \textcolor{blue}{[1, -2, -1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{BC} = \textcolor{red}{[0, -3, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut delene Skalarproduktet er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} \cdot \textcolor{red}{\vec{w}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-3}) \\ &\quad + (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{1} \\ &= 0 + 6 - 1 = 5 \end{aligned} \]

Lengdene finner vi som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\vec{u}}| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \\ |\textcolor{red}{\vec{w}}| &= \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \cos \angle B = \dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{60}} \]

Vi tar \( {\cos^{-1}} \) på kalkulatoren og runder av til én desimal: \[ \angle B = \cos^{-1}\left(\dfrac{5}{\sqrt{60}}\right) \approx 49{,}8^\circ \]

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med den og ett punkt kan vi skrive opp likningen.

1. Finn en normalvektor Vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [n_1, n_2, n_3]} \) står vinkelrett på begge vektorene. Koordinatene er: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ n_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ n_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]Videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet regner kryssproduktet som en determinant, i et eksempel om curl.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{AB} = \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{AC} = \textcolor{red}{[-1, -1, 2]} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} n_1 &= \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 5 \\ n_2 &= \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{2} = 1 \\ n_3 &= (\textcolor{blue}{-1}) \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 3 \end{aligned} \]

Normalvektoren er derfor: \[ \textcolor{green}{\vec{n}} = \textcolor{green}{[5, 1, 3]} \]

2. Skriv opp likningen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{green}{a}, \textcolor{green}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Vi bruker punktet \( A(1, 1, 0)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{5}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 1) + \textcolor{green}{3}(z - 0) &= 0 \\ 5x - 5 + y - 1 + 3z &= 0 \\ 5x + y + 3z &= 6 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B \) og \( C \) skal også passe: \( {0 + 3 + 3 = 6} \) og \( {0 + 0 + 6 = 6}\text{.} \)

Et punkt på \( {z\text{-aksen}} \) har \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{.} \) Vi krever at skalarproduktet er \( 0 \) og løser for \( z\text{.} \)

1. Skriv opp vektorene Vi skriver \( D(0, 0, z)\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= [0 - 0,\ 0 - 3,\ z - 1] \\ &= \textcolor{red}{[0, -3, z - 1]} \end{aligned} \]

2. Sett skalarproduktet lik null To vektorer står vinkelrett når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{BD}} &= 0 \\ (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{z - 1}) &= 0 \\ -6 + z - 1 &= 0 \\ z &= 7 \end{aligned} \]

Tre vektorer fra origo utspenner pyramiden. Volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp formelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6} \left| (\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}}) \cdot \textcolor{green}{\vec{t}} \right| \]Videoen Determinanter 3x3 matrise viser volumet tre vektorer utspenner. Pyramiden er en sjettedel av det.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{u}} &= \overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{[1, 1, 0]} \\ \textcolor{red}{\vec{w}} &= \overrightarrow{OB} = \textcolor{red}{[0, 3, 1]} \\ \textcolor{green}{\vec{t}} &= \overrightarrow{OC} = \textcolor{green}{[0, 0, 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til vektorproduktet \( {\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [p_1, p_2, p_3]} \) er: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_2} \\ p_2 &= \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{w_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_3} \\ p_3 &= \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{w_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{w_1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p_1 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{3} = 1 \\ p_2 &= \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} = -1 \\ p_3 &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{0} = 3 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{w}} = [1, -1, 3] \]

3. Regn ut volumet Vi ganger med den tredje vektoren: \[ \begin{aligned} [1, -1, 3] \cdot \textcolor{green}{[0, 0, 2]} &= 0 + 0 + 6 = 6 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ V = \dfrac{1}{6} \cdot |6| = 1 \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \tan x \) derivert er \( \dfrac{1}{\cos^2 x}\text{,} \) som videoen Koblede hastigheter 1 viser ved å skrive \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\tan x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\tan x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\cos^2 x}} \\ &= \tan x + \dfrac{x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

Vi har en funksjon inni en annen: eksponenten er kjernen. Vi bruker derfor kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoene Kjerneregelen og Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{t^3 + 2t} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3t^2 + 2} \end{aligned} \]

Konstanten \( 5 \) blir stående som en faktor. Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(t) &= 5e^{\textcolor{green}{t^3 + 2t}} \cdot (\textcolor{green}{3t^2 + 2}) \\ &= (15t^2 + 10)e^{t^3 + 2t} \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

\( \ln x \) derivert er \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og \( \sqrt{x} \) derivert er \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{x}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ h'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{x}} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}{(\textcolor{blue}{\sqrt{x}})^2} \]

2. Trekk sammen I telleren er \( {\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{,} \) og nevneren er \( x\text{.} \) Vi samler telleren på én brøkstrek: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}} - \dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \dfrac{\dfrac{2 - \ln x}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må: \[ \textcolor{green}{\sin(\pi x)} = 0 \]

2. Løs for x Sinus er \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi\text{,} \) \( 2\pi \) og så videre, som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \pi x &= k\pi \\ x &= k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{:} \) \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3 \]

Begge er et produkt av \( e^x \) og et trigonometrisk uttrykk, så vi bruker produktregelen to ganger. Konstanten \( \dfrac{1}{10} \) blir stående foran.

1. Finn den deriverte Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( \sin(\pi x) \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Oppgave 2B - Forkurs Eksamen Vår 2025. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{10}\big(\textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\sin \pi x} \\ &\qquad + \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x}\big) \\ &= \dfrac{1}{10}e^x(\sin \pi x + \pi \cos \pi x) \end{aligned} \]

2. Finn den andrederiverte Vi bruker produktregelen en gang til, nå på det vi nettopp fant. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &f''(x) = \dfrac{1}{10}\Big( \\ &\textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) \\ &+ \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{\pi \cos \pi x - \pi^2 \sin \pi x})\Big) \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x \) og samler leddene med \( \sin \pi x \) og \( \cos \pi x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) = \dfrac{1}{10}e^x\big(&(1 - \pi^2)\sin(\pi x) \\ &+ 2\pi\cos(\pi x)\big) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null Når den deriverte er \( 0\text{,} \) kan vi ha et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}(\textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\sin \pi x + \pi \cos \pi x} &= 0 \\ \dfrac{\sin \pi x}{\cos \pi x} &= -\pi \\ \tan \pi x &= -\pi \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}(-\pi) + \pi k \\ x &= k - \dfrac{\tan^{-1}(\pi)}{\pi} \\ x &\approx k - 0{,}402 \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 1}\text{,} \) \( {k = 2} \) og \( {k = 3}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}598,\ \ x \approx 1{,}598,\ \ x \approx 2{,}598 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot \pi > 0 \\ f'(1) &= -\dfrac{e\pi}{10} < 0 \\ f'(2) &= \dfrac{e^2\pi}{10} > 0 \\ f'(3) &= -\dfrac{e^3\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{,} \) tegnet som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0.598, 1.598, 2.598], "labels": ["0{,}598", "1{,}598", "2{,}598"], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x - 0.598)(x - 1.598)(x - 2.598)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den deriverte går fra pluss til minus i \( {x \approx 0{,}598} \) og \( {x \approx 2{,}598}\text{,} \) så der har vi toppunkter. Den går fra minus til pluss i \( {x \approx 1{,}598}\text{,} \) så der har vi et bunnpunkt. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx -0{,}471 \\ f(2{,}598) &\approx 1{,}281 \end{aligned} \]

Grafen stiger fra \( {x = 0} \) og synker inn mot \( {x = 3}\text{,} \) så endepunktene er også lokale bunnpunkter. Nullpunktene fra a) gir: \[ f(0) = 0, \quad f(3) = 0 \]

Det gir oss monotoniegenskapene: \[ \begin{aligned} \text{Stigende: } & 0 \le x \le 0{,}598 \\ & 1{,}598 \le x \le 2{,}598 \\ \text{Synkende: } & 0{,}598 \le x \le 1{,}598 \\ & 2{,}598 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( f''(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f''(x) = 0}\text{,} \) finner fortegnet rundt nullpunktene og leser av hvor grafen krummer oppover og nedover.

1. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x}\big(&\textcolor{green}{(1 - \pi^2)\sin \pi x} \\ &\textcolor{green}{{}+ 2\pi\cos \pi x}\big) = 0 \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så parentesen må være \( 0\text{.} \) Vi flytter leddet med \( \sin \pi x \) over på høyre side, der fortegnet snur. Her kan ikke \( \cos \pi x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin \pi x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos \pi x \) og på \( {\pi^2 - 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\pi\cos \pi x &= (\pi^2 - 1)\sin \pi x \\ \tan \pi x &= \dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1} \end{aligned} \]

2. Løs for x Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen. Med kalkulatoren i radianer får vi, for et helt tall \( k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \pi x &= \tan^{-1}\left(\dfrac{2\pi}{\pi^2 - 1}\right) + \pi k \\ x &\approx 0{,}196 + k \end{aligned} \]

Vi beholder de som ligger i \( [0, 3]\text{,} \) altså \( {k = 0}\text{,} \) \( {k = 1} \) og \( {k = 2}\text{:} \) \[ x \approx 0{,}196,\ \ x \approx 1{,}196,\ \ x \approx 2{,}196 \]

3. Finn fortegnet til den andrederiverte \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{1}{10}e^x} \) er alltid positiv, så fortegnet bestemmes av parentesen. Vi tester hele tall, der \( {\sin \pi x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(0) &= \dfrac{1}{10} \cdot 2\pi > 0 \\ f''(1) &= -\dfrac{e \cdot 2\pi}{10} < 0 \\ f''(2) &= \dfrac{e^2 \cdot 2\pi}{10} > 0 \\ f''(3) &= -\dfrac{e^3 \cdot 2\pi}{10} < 0 \end{aligned} \]

Det ligger ett nullpunkt mellom hvert av disse tallene, så det gir oss fortegnslinja i \( [0, 3]\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.196, 1.196, 2.196], "labels": ["0{,}196", "1{,}196", "2{,}196"], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-(x - 0.196)(x - 1.196)(x - 2.196)"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \) Vi ser bare på \( [0, 3]\text{.} \)

4. Les av punktene Den andrederiverte skifter fortegn i alle tre, så alle er vendepunkter. Vi setter de uavrundede verdiene inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0{,}196) &\approx 0{,}070 \\ f(1{,}196) &\approx -0{,}191 \\ f(2{,}196) &\approx 0{,}520 \end{aligned} \]

Der \( {f''(x) > 0} \) krummer grafen oppover, og der \( {f''(x) < 0} \) krummer den nedover: \[ \begin{aligned} \text{Oppover: } & 0 \le x \le 0{,}196 \\ & 1{,}196 \le x \le 2{,}196 \\ \text{Nedover: } & 0{,}196 \le x \le 1{,}196 \\ & 2{,}196 \le x \le 3 \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), c) og d).

Vi merker av nullpunktene, ekstremalpunktene og vendepunktene, og trekker en kurve gjennom dem med riktig krumning.

1. Merk av punktene I a) fant vi nullpunktene, i c) topp- og bunnpunktene og i d) vendepunktene: \[ \begin{aligned} \text{Null: } & x = 0,\ 1,\ 2,\ 3 \\ \text{Topp: } & (0{,}598;\ 0{,}173) \\ & (2{,}598;\ 1{,}281) \\ \text{Bunn: } & (1{,}598;\ -0{,}471) \\ \text{Vende: } & (0{,}196;\ 0{,}070) \\ & (1{,}196;\ -0{,}191) \\ & (2{,}196;\ 0{,}520) \end{aligned} \]

2. Tegn kurven Topp- og bunnpunktene ligger der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Grafen svinger mellom positive og negative verdier, og utslagene blir større med \( x\text{,} \) siden faktoren \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) vokser. Den krummer som vi fant i d):

Vi bruker verdiene fra c).

Grafen er sammenhengende på \( [0, 3]\text{,} \) så verdimengden går fra den minste til den største verdien funksjonen har.

1. Sammenlign verdiene Den største og den minste verdien må ligge i et ekstremalpunkt. I c) fant vi: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0{,}598) &\approx 0{,}173 \\ f(1{,}598) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}471} \\ f(2{,}598) &\approx \textcolor{red}{1{,}281} \\ f(3) &= 0 \end{aligned} \]

Den minste verdien er \( {\textcolor{blue}{-0{,}471}} \) og den største er \( \textcolor{red}{1{,}281}\text{,} \) og grafen er sammenhengende, så den tar alle verdiene imellom: \[ V_f \approx [\textcolor{blue}{-0{,}471},\ \textcolor{red}{1{,}281}] \]

Vil du repetere hva sammenhengende betyr, kan du se videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\sin x} \\ du &= \cos x\,dx \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = \dfrac{\pi}{2} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \\ x = \dfrac{2\pi}{3} &\Rightarrow u = \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som du finner i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{2\pi}{3}} \dfrac{\cos x}{\sin x}\,dx &= \int_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= \Big[\ln|\textcolor{green}{u}|\Big]_1^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \ln 1 \\ &= \ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler først med polynomdivisjon. Så integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {4x^2 + 4x + 2} \) på \( {2x - 1} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^2} + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (2x - 1) &= 4x^2 - 2x \\ -(4x^2 - 2x) &= \textcolor{red}{-4x^2 + 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & 6x & {}+ 2 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {4x + 2x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2\text{.} \) Linja \( {6x + 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{2x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{2x}} &= \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{magenta}{3} \cdot (2x - 1) &= 6x - 3 \\ -(6x - 3) &= \textcolor{magenta}{-6x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^2 + 4x + 2) : (\textcolor{green}{2x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}+ 4x & {}+ 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}+ 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-6x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3} \\ \hline & & 5 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {2 + 3 = 5}\text{.} \) Tallet 5 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 5 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x^2 + 4x + 2}{2x - 1} = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3} + \dfrac{5}{2x - 1} \]

2. Integrer ledd for ledd De to første leddene integrerer vi som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int (\textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 3})\,dx = x^2 + 3x \]

Det siste leddet løser vi med substitusjon, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{2x - 1} \\ du &= 2\,dx \\ dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Siden \( \dfrac{1}{u} \) integrert blir \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{5}{\textcolor{blue}{2x - 1}}\,dx &= \dfrac{5}{2} \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,du \\ &= \dfrac{5}{2}\ln|\textcolor{blue}{2x - 1}| + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ x^2 + 3x + \dfrac{5}{2}\ln|2x - 1| + C \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene lik hverandre: \[ \begin{aligned} 2x^2 - 2x + 3 &= -x^2 + 4x + 3 \\ 3x^2 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( 3x\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \begin{aligned} 3x(x - 2) &= 0 \\ x = \textcolor{blue}{0} \quad &\text{eller} \quad x = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn hvilken graf som er øverst Vi tester \( {x = 1} \) mellom skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} f(1) &= 2 - 2 + 3 = 3 \\ g(1) &= -1 + 4 + 3 = 6 \end{aligned} \]

Så \( g \) ligger øverst.

3. Regn ut integralet Arealet under en graf er et integral, som i videoen Hva er integrasjon. Mellom to grafer tar vi den øverste minus den nederste. Grensene \( \textcolor{blue}{0} \) og \( \textcolor{red}{2} \) er skjæringspunktene: \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \left(g(x) - f(x)\right)dx \\ &= \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} (-3x^2 + 6x)\,dx \\ &= \Big[-x^3 + 3x^2\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (-8 + 12) - 0 = 4 \end{aligned} \]

Vi skriver begge leddene med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet. Da får vi to likninger med \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp to likninger Formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{red}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Plugger vi inn \( {n = 8} \) og \( {n = 27}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} + 7\textcolor{red}{d} &= \dfrac{8}{3} \\ \textcolor{blue}{a_1} + 26\textcolor{red}{d} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn d og a1 Vi trekker den første likningen fra den andre, så \( \textcolor{blue}{a_1} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 19\textcolor{red}{d} &= 9 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{19}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

Vi setter dette inn i den første likningen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \dfrac{8}{3} - 7 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} \]

3. Finn summen Sumformelen forteller oss at: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{green}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} n &= 40 \\ \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \\ \textcolor{green}{a_{40}} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + 39 \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} = \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{40} &= \dfrac{40\left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} + \textcolor{green}{\dfrac{40}{3}}\right)}{2} \\ &= 20 \cdot \dfrac{41}{3} = \dfrac{820}{3} \end{aligned} \]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{x^2 - 2}{x^2} = 1 - \dfrac{2}{x^2} \]

Rekken er bare definert for \( {x \neq 0}\text{,} \) siden \( x^2 \) står i nevneren.

2. Sett opp kravet Konvergenskravet forteller oss at: \[ -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]Du ser det i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{k}\text{,} \) får vi: \[ -1 < \textcolor{blue}{1 - \dfrac{2}{x^2}} < 1 \]

3. Løs de to ulikhetene Den høyre ulikheten holder alltid, siden \( {\dfrac{2}{x^2} > 0} \) for \( {x \neq 0}\text{:} \) \[ 1 - \dfrac{2}{x^2} < 1 \]

Den venstre gir, når vi ganger med \( {x^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -1 &< 1 - \dfrac{2}{x^2} \\ \dfrac{2}{x^2} &< 2 \\ 2 &< 2x^2 \\ 1 &< x^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 1 \]