Forkurseksamen etter tema

Vi ser at vi har brøker med \( x \) i nevneren. Vi ganger derfor med fellesnevneren, slik at brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq -1} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)}}\text{.} \) Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x + 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &- \dfrac{1}{x - 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Forkorter vi, får vi: \[ \begin{aligned} &x(x - 1) - (x + 1) \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Til høyre bruker vi konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene: \[ (p + q)(p - q) = p^2 - q^2 \]

Da får vi, når vi ganger ut: \[ \begin{aligned} x^2 - x - x - 1 &= 2(x^2 - 1) \\ x^2 - 2x - 1 &= 2x^2 - 2 \end{aligned} \]

Flytter vi alt over på høyre side, får vi: \[ 0 = x^2 + 2x - 1 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2} \end{aligned} \]

Ingen av løsningene er \( {-1} \) eller \( 1\text{,} \) så begge gjelder.

Begge leddene har faktoren \( \cos x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og da må en av de to faktorene være \( 0\text{.} \)

1. Faktoriser Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{\cos x}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\cos x}(\sin x - \cos x) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{\cos x} = 0 \quad \text{eller} \quad \sin x - \cos x = 0 \]

2. Løs den første likningen Cosinus er \( 0 \) i toppen og bunnen av enhetssirkelen: \[ \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{3\pi}{2} \]

3. Løs den andre likningen Her kan ikke \( \cos x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= 1 \\ \tan x &= 1 \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen, så: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4} \]

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi ser at likningen har brøker. Vi løser opp parentesen og ganger med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Løs opp parentesen Vi ganger \( {-\dfrac{1}{3}} \) inn i parentesen: \[ \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}x - 3 - \dfrac{1}{5} \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren til \( 3 \) og \( 5 \) er \( \textcolor{darkorange}{15}\text{.} \) Hvis du er usikker på fellesnevner, kan du se videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter. Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{2}{3}x + \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= -\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{3}x - \textcolor{darkorange}{15} \cdot 3 - \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ 10x + 12 = -5x - 45 - 3 \]

3. Løs for x Vi samler \( x \) på venstre side og tallene på høyre: \[ \begin{aligned} 10x + 5x &= -45 - 3 - 12 \\ 15x &= -60 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Den første likningen gir \( h \) med en gang. Vi setter den inn i den andre og får en andregradslikning i \( t\text{.} \)

1. Finn h Vi løser den første likningen for \( h\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{h} = \textcolor{darkorange}{-40} \]

2. Sett inn i den andre likningen Vi setter dette inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \textcolor{darkorange}{-40} = 10t - 5t^2 \]

Vi flytter alt over på én side og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 10t - 40 &= 0 \\ t^2 - 2t - 8 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ t = 4 \quad \text{eller} \quad t = -2 \]

Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Isoler roten Vi flytter \( x \) over på høyre side: \[ 2\sqrt{x + 2} = -3 - x \]

2. Kvadrer begge sider Roten er det samme som å opphøye i en halv, som i videoen Potenser og røtter, så den forsvinner når vi kvadrerer. Siden \( {(-3 - x)^2 = (x + 3)^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (2\sqrt{x + 2})^2 &= (x + 3)^2 \\ 4(x + 2) &= (x + 3)^2 \end{aligned} \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 4x + 8 &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 4x + 8 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Her er høyresiden første kvadratsetning baklengs, med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1})^2 &= 0 \\ x &= -1 \end{aligned} \]

4. Sett prøve Vi setter \( {x = -1} \) inn i venstresiden av den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} V &= -1 + 2\sqrt{-1 + 2} \\ &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Høyresiden er: \[ H = -3 \]

Siden \( {1 \neq -3}\text{,} \) stemmer ikke \( {x = -1}\text{.} \) Det var den eneste mulige løsningen, så likningen har ingen løsning.

Vi bruker definisjonen av logaritmen til å få bort \( \lg\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av lg Definisjonen av logaritmen forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b} \quad \Leftrightarrow \quad 10^{\textcolor{red}{b}} = \textcolor{blue}{a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2x + 7}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 10^{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{blue}{2x + 7} \]

2. Løs for x \[ \begin{aligned} 1000 &= 2x + 7 \\ 2x &= 993 \\ x &= \dfrac{993}{2} \end{aligned} \]

Her er \( {2x + 7 = 1000}\text{,} \) som er positivt, så logaritmen finnes.

Vi isolerer potensen med \( e \) og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Isoler potensen Vi deler på \( 7\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{-x-3}} = \dfrac{5}{7} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{-x-3}}\right) = \ln\dfrac{5}{7} \]

Logaritmereglene forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x-3}}\text{,} \) så vi får: \[ \textcolor{green}{-x-3} = \ln\dfrac{5}{7} \]

3. Løs for x Vi legger til \( 3 \) på begge sider og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ x = -3 - \ln\dfrac{5}{7} \]

Siden \( {-\ln\dfrac{5}{7} = \ln\dfrac{7}{5}}\text{,} \) kan vi også skrive: \[ x = \ln\dfrac{7}{5} - 3 \]

Vi isolerer sinus og finner de to vinklene som gir denne sinusverdien. Så løser vi for \( x \) og tester hvilke \( x \) som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} 2\sin \textcolor{green}{v} + \sqrt{3} &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi vet at \( \dfrac{\pi}{3} \) er \( 60^\circ\text{,} \) som står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Sinus er negativ, så vi bytter fortegn på vinkelen: \[ \begin{aligned} \sin\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Den ene vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_1} = -\dfrac{\pi}{3} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \sin v = \sin(\pi - v) \]

Den andre vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_2} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} \]

Sinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \\ \textcolor{green}{v} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi setter inn for \( \textcolor{green}{v}\text{,} \) legger til \( \dfrac{\pi}{6} \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{4}{\pi}\text{.} \) Den første gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{2}{3} + 8k \end{aligned} \]

Den andre gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 6 + 8k \end{aligned} \]

4. Test hvilke x som er med Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -1 &: \quad x = -\dfrac{26}{3} \quad \text{utenfor} \\ k = 0 &: \quad x = -\dfrac{2}{3} \\ k = 1 &: \quad x = \dfrac{22}{3} \\ k = 2 &: \quad x = \dfrac{46}{3} \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -2 &: \quad x = -10 \quad \text{utenfor} \\ k = -1 &: \quad x = -2 \\ k = 0 &: \quad x = 6 \\ k = 1 &: \quad x = 14 \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi får roten alene og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi setter prøve til slutt.

1. Få roten alene Vi trekker fra \( 1 \) på begge sider og kvadrerer: \[ \begin{aligned} \sqrt{2x + 1} &= x - 1 \\ 2x + 1 &= (x - 1)^2 \end{aligned} \]

2. Gang ut høyre side Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1}^2 \\ &= x^2 - 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs likningen Vi samler alt på én side og setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} 2x + 1 &= x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 - 4x \\ 0 &= \textcolor{darkorange}{x}(x - 4) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 4 \]

4. Sett prøve Vi setter begge inn i den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} x = 0&: \quad \sqrt{1} + 1 = 2 \neq 0 \\ x = 4&: \quad \sqrt{9} + 1 = 4 \end{aligned} \]

Bare \( {x = 4} \) stemmer.

Vi finner først alle vinklene \( 3x \) med riktig sinusverdi. Så deler vi på \( 3 \) og tester hvilke \( x \) som ligger i intervallet.

1. Finn vinklene Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir samme sinusverdi, og vi kan legge til hele omganger. Når \( {\sin \textcolor{green}{u} = \sin v}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= v + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - v + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]Se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025 hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {v = \dfrac{\pi}{4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x} &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{3x} &= \pi - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]

2. Del på tre Vi deler alle leddene på \( \textcolor{green}{3}\text{,} \) og gir de to gruppene hver sin farge: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \\ x &= \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi setter inn \( {k = 0, 1, 2}\text{.} \) Med \( {\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{12}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{9\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{17\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{3\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{11\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{19\pi}{12}} \end{aligned} \]

Med \( {k = 3} \) blir begge større enn \( {2\pi = \dfrac{24\pi}{12}}\text{:} \) \[ \dfrac{25\pi}{12} > 2\pi, \qquad \dfrac{27\pi}{12} > 2\pi \]

Med \( {k = -1} \) blir begge negative. Vi har altså seks løsninger.

Vi forkorter de to som kan forkortes: \[ \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{4}, \qquad \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} \]

Vi flytter alt over på én side og skriver det som én brøk. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema.

1. Skriv som én brøk Vi flytter alt over på venstre side, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \dfrac{x + 3}{x - 2} - \dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 3}\text{.} \)

Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &\leq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut telleren for seg: \[ \begin{aligned} &(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2) \\ &= x^2 - 9 - (x^2 - x - 2) \\ &= x - 7 \end{aligned} \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{\textcolor{magenta}{x - 7}}{(\textcolor{darkorange}{x - 2})(\textcolor{green}{x - 3})} \leq 0 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

:::fortegnsskjema {"points": [2, 3, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 3}", "expr": "x - 3", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 7}{(x - 2)(x - 3)}", "expr": "(x - 7)/((x - 2)(x - 3))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ til venstre for \( 2 \) og mellom \( 3 \) og \( 7\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = 7}\text{,} \) så det punktet er med. Den er ikke definert i \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x < 2 \quad \text{eller} \quad 3 < x \leq 7 \]

Vi finner kvotienten \( k\text{.} \) Rekken konvergerer når \( {|k| < 1}\text{,} \) og da bruker vi sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = \dfrac{25x}{5} &= \textcolor{red}{5x} \\ \dfrac{125x^2}{25x} &= 5x \end{aligned} \]

Det første leddet er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Finn når rekken konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{red}{5x}| &< 1 \\ -\dfrac{1}{5} < x &< \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Finn summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{1 - \textcolor{red}{5x}} \]