Forkurseksamen etter tema

Vi løser opp parentesene hver for seg, og så trekker vi sammen ledd med samme potens av \( x\text{.} \)

1. Løs opp den første parentesen Den første parentesen er et kvadrat, så vi bruker andre kvadratsetning. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{2})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 \\ &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

2. Løs opp den andre parentesen Her ganger vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} &(x + 2)(3 - 2x) \\ &= 3x - 2x^2 + 6 - 4x \\ &= -2x^2 - x + 6 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen Minustegnet foran den andre parentesen snur fortegnet på alle leddene i den: \[ \begin{aligned} &(x^2 - 4x + 4) - (-2x^2 - x + 6) \\ &= x^2 - 4x + 4 + 2x^2 + x - 6 \\ &= 3x^2 - 3x - 2 \end{aligned} \]

Vi skriver de tre leddene på samme brøkstrek, og da må de ha samme nevner.

1. Finn fellesnevneren Nevnerne er \( {x - 3}\text{,} \) \( x \) og \( 1\text{.} \) Fellesnevneren finner vi ved å gange dem sammen, som med tall i videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter: \[ \textcolor{blue}{x(x - 3)} \]

2. Utvid hver brøk Vi ganger oppe og nede med det som mangler i hver nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{x - 3} &= \dfrac{x \cdot x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{x^2}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ \dfrac{2}{x} &= \dfrac{2(x - 3)}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{2x - 6}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ 1 &= \dfrac{\textcolor{blue}{x(x - 3)}}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{x^2 - 3x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \end{aligned} \]

3. Trekk sammen tellerne Minustegnet foran den siste brøken snur fortegnet på hele telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 + (2x - 6) - (x^2 - 3x)}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ &= \dfrac{x^2 + 2x - 6 - x^2 + 3x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ &= \dfrac{5x - 6}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \end{aligned} \]

Telleren og nevneren har ingen felles faktor, så vi kan ikke forkorte mer.

Vi ser at uttrykket under roten er et fullstendig kvadrat. Da blir roten en absoluttverdi, og den må vi dele i to tilfeller.

1. Skriv om uttrykket under roten Andre kvadratsetning baklengs gir, som i videoen Kvadratsetningene: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

2. Finn definisjonsområdet Kvadratet er aldri negativt, så roten er definert for alle \( x\text{:} \) \[ (x - 3)^2 \geq 0 \]

Det eneste vi må passe på, er at nevneren ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \]

3. Skriv funksjonen enklere Kvadratroten av et kvadrat er absoluttverdien, siden roten aldri er negativ: \[ \sqrt{(x - 3)^2} = \textcolor{blue}{|x - 3|} \]

Funksjonen er altså: \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{|x - 3|}}{x - 3} \]

For \( {x > 3} \) er \( {x - 3} \) positiv, så \( {\textcolor{blue}{|x - 3|} = \textcolor{blue}{x - 3}}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{x - 3}}{x - 3} = 1 \]

For \( {x < 3} \) er \( {x - 3} \) negativ, så \( {\textcolor{blue}{|x - 3|} = \textcolor{blue}{-(x - 3)}}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{-(x - 3)}}{x - 3} = -1 \]

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

Vi ser at uttrykket består av potenser av \( a \) og \( b\text{.} \) Vi løser derfor opp parentesene og samler hver bokstav for seg.

1. Løs opp parentesene Regnereglene for potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Her er \( p \) og \( q \) grunntall, og \( n \) og \( m \) eksponenter. Se videoen Flere regneregler med Potenser hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{a^2})^2 &= \textcolor{blue}{a^4} \\ \left(\textcolor{red}{b^{-\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a}\right)^3 &= \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \end{aligned} \]

2. Samle hver bokstav for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ p^n \cdot p^m = p^{n + m} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{a^{-3}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{b^2} \\ &= \textcolor{blue}{a^{4 - 3 + 3}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2} + 2}} \\ &= \textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Eksponenten \( \dfrac{1}{2} \) er det samme som kvadratrot, som i videoen Potenser og røtter: \[ \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} = \sqrt{\textcolor{red}{b}} \]

Vi ser at nevneren til høyre er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det, så vi finner fellesnevneren.

1. Faktoriser nevneren Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 5x + 6} \) med abc-formelen. Den forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-5}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-5})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{5 \pm 1}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Med nullpunktene kan vi skrive uttrykket som faktorer, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

2. Skriv alt på felles brøkstrek Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{,} \) så vi utvider den første brøken med \( {\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 3)}} - \dfrac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{2x - 6 - (x - 4)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} \end{aligned} \]

Faktoren \( {(x - 2)} \) står både i telleren og nevneren, så vi forkorter den for \( {x \neq 2}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \dfrac{\cancel{x - 2}}{\cancel{(x - 2)}(x - 3)} = \dfrac{1}{x - 3} \]

Vi ser fire logaritmer av potenser av \( x\text{.} \) Vi skriver dem derfor om til tall ganget med \( \lg x \) og trekker sammen.

1. Flytt ned eksponentene Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg p^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{red}{n} \cdot \lg p \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker. Her må \( {x > 0}\text{.} \)

Først skriver vi brøken og roten som potenser. En negativ eksponent betyr én delt på potensen, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^3} &= x^{\textcolor{red}{-3}} \\ \sqrt{x} &= x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lg x + \lg x^{\textcolor{red}{-2}} - \lg x^{\textcolor{red}{-3}} - \lg x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \\ &= \lg x + (\textcolor{red}{-2}) \lg x \\ &\quad - (\textcolor{red}{-3}) \lg x - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \lg x \end{aligned} \]

2. Trekk sammen Alle leddene er tall ganget med \( \lg x\text{,} \) så vi legger sammen tallene: \[ \begin{aligned} &\left(1 - 2 + 3 - \dfrac{1}{2}\right) \lg x \\ &= \dfrac{3}{2} \lg x \end{aligned} \]

Vi ser at likningen har brøker. Vi løser opp parentesen og ganger med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Løs opp parentesen Vi ganger \( {-\dfrac{1}{3}} \) inn i parentesen: \[ \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}x - 3 - \dfrac{1}{5} \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren til \( 3 \) og \( 5 \) er \( \textcolor{darkorange}{15}\text{.} \) Hvis du er usikker på fellesnevner, kan du se videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter. Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{2}{3}x + \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= -\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{3}x - \textcolor{darkorange}{15} \cdot 3 - \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ 10x + 12 = -5x - 45 - 3 \]

3. Løs for x Vi samler \( x \) på venstre side og tallene på høyre: \[ \begin{aligned} 10x + 5x &= -45 - 3 - 12 \\ 15x &= -60 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Den første likningen gir \( h \) med en gang. Vi setter den inn i den andre og får en andregradslikning i \( t\text{.} \)

1. Finn h Vi løser den første likningen for \( h\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{h} = \textcolor{darkorange}{-40} \]

2. Sett inn i den andre likningen Vi setter dette inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \textcolor{darkorange}{-40} = 10t - 5t^2 \]

Vi flytter alt over på én side og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 10t - 40 &= 0 \\ t^2 - 2t - 8 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ t = 4 \quad \text{eller} \quad t = -2 \]

Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Isoler roten Vi flytter \( x \) over på høyre side: \[ 2\sqrt{x + 2} = -3 - x \]

2. Kvadrer begge sider Roten er det samme som å opphøye i en halv, som i videoen Potenser og røtter, så den forsvinner når vi kvadrerer. Siden \( {(-3 - x)^2 = (x + 3)^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (2\sqrt{x + 2})^2 &= (x + 3)^2 \\ 4(x + 2) &= (x + 3)^2 \end{aligned} \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 4x + 8 &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 4x + 8 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Her er høyresiden første kvadratsetning baklengs, med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1})^2 &= 0 \\ x &= -1 \end{aligned} \]

4. Sett prøve Vi setter \( {x = -1} \) inn i venstresiden av den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} V &= -1 + 2\sqrt{-1 + 2} \\ &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Høyresiden er: \[ H = -3 \]

Siden \( {1 \neq -3}\text{,} \) stemmer ikke \( {x = -1}\text{.} \) Det var den eneste mulige løsningen, så likningen har ingen løsning.

Vi bruker definisjonen av logaritmen til å få bort \( \lg\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av lg Definisjonen av logaritmen forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b} \quad \Leftrightarrow \quad 10^{\textcolor{red}{b}} = \textcolor{blue}{a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2x + 7}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 10^{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{blue}{2x + 7} \]

2. Løs for x \[ \begin{aligned} 1000 &= 2x + 7 \\ 2x &= 993 \\ x &= \dfrac{993}{2} \end{aligned} \]

Her er \( {2x + 7 = 1000}\text{,} \) som er positivt, så logaritmen finnes.

Vi isolerer potensen med \( e \) og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Isoler potensen Vi deler på \( 7\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{-x-3}} = \dfrac{5}{7} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{-x-3}}\right) = \ln\dfrac{5}{7} \]

Logaritmereglene forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x-3}}\text{,} \) så vi får: \[ \textcolor{green}{-x-3} = \ln\dfrac{5}{7} \]

3. Løs for x Vi legger til \( 3 \) på begge sider og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ x = -3 - \ln\dfrac{5}{7} \]

Siden \( {-\ln\dfrac{5}{7} = \ln\dfrac{7}{5}}\text{,} \) kan vi også skrive: \[ x = \ln\dfrac{7}{5} - 3 \]

Vi isolerer sinus og finner de to vinklene som gir denne sinusverdien. Så løser vi for \( x \) og tester hvilke \( x \) som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} 2\sin \textcolor{green}{v} + \sqrt{3} &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi vet at \( \dfrac{\pi}{3} \) er \( 60^\circ\text{,} \) som står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Sinus er negativ, så vi bytter fortegn på vinkelen: \[ \begin{aligned} \sin\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Den ene vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_1} = -\dfrac{\pi}{3} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \sin v = \sin(\pi - v) \]

Den andre vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_2} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} \]

Sinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \\ \textcolor{green}{v} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi setter inn for \( \textcolor{green}{v}\text{,} \) legger til \( \dfrac{\pi}{6} \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{4}{\pi}\text{.} \) Den første gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{2}{3} + 8k \end{aligned} \]

Den andre gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 6 + 8k \end{aligned} \]

4. Test hvilke x som er med Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -1 &: \quad x = -\dfrac{26}{3} \quad \text{utenfor} \\ k = 0 &: \quad x = -\dfrac{2}{3} \\ k = 1 &: \quad x = \dfrac{22}{3} \\ k = 2 &: \quad x = \dfrac{46}{3} \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -2 &: \quad x = -10 \quad \text{utenfor} \\ k = -1 &: \quad x = -2 \\ k = 0 &: \quad x = 6 \\ k = 1 &: \quad x = 14 \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Uttrykket består av røtter og potenser. Vi skriver derfor røttene som potenser, og samler så potensene med samme grunntall.

1. Skriv opp reglene En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]Regelen står i videoen Potenser og røtter.

Potensreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} (a^n)^m &= a^{n \cdot m} \\ (a \cdot b)^n &= a^n \cdot b^n \\ a^n \cdot a^m &= a^{n + m} \\ \dfrac{a^n}{a^m} &= a^{n - m} \\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoene Flere regneregler med Potenser og Regneregler med Potenser.

2. Skriv om telleren Vi skriver røttene som potenser, ganger sammen eksponentene og legger sammen potensene av \( a\text{.} \) Potensene av \( 5 \) er blå, og potensene av \( a \) er røde: \[ \begin{aligned} &\sqrt{5}\left(\sqrt[5]{a^2}\right)^2 a^{\tfrac{1}{5}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{\left(a^{\tfrac{2}{5}}\right)^2} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \end{aligned} \]

3. Skriv om nevneren Eksponenten \( 3 \) går på begge faktorene i parentesen: \[ \begin{aligned} &a^{-1}\left(\sqrt{5}\,a^{\tfrac{1}{3}}\right)^3 \\ &= \textcolor{red}{a^{-1}} \cdot \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{1}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{0}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \end{aligned} \]

4. Sett sammen brøken Vi trekker eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren, og skriver den negative eksponenten som en brøk: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}}} &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \textcolor{blue}{5^{-1}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5}} \end{aligned} \]

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken. Så faktoriserer vi og stryker det som er likt.

1. Gjør om til ganging Regelen for brøk delt på brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \]Du ser dette i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).

Plugger vi inn brøkene våre, får vi: \[ \dfrac{5t^2 - 45}{t - 3} \cdot \dfrac{3t^2 + 6t}{t + 2} \]

2. Faktoriser I \( {5t^2 - 45} \) setter vi \( 5 \) utenfor. Da står vi igjen med et uttrykk der konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{t}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 45 &= 5(\textcolor{blue}{t}^2 - \textcolor{red}{3}^2) \\ &= 5(\textcolor{blue}{t} + \textcolor{red}{3})(\textcolor{blue}{t} - \textcolor{red}{3}) \end{aligned} \]

I \( {3t^2 + 6t} \) setter vi \( 3t \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 3t^2 + 6t = 3t(t + 2) \]

3. Stryk like faktorer Plugger vi dette inn, kan vi stryke \( {\textcolor{darkorange}{t - 3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{t + 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(t + 3)\cancel{\textcolor{darkorange}{(t - 3)}}}{\cancel{\textcolor{darkorange}{t - 3}}} \cdot \dfrac{3t\cancel{\textcolor{magenta}{(t + 2)}}}{\cancel{\textcolor{magenta}{t + 2}}} \\ &= 5(t + 3) \cdot 3t \\ &= 15t(t + 3) \\ &= 15t^2 + 45t \end{aligned} \]

Uttrykket i oppgaven er bare definert når vi ikke deler på \( 0\text{:} \) \[ t \neq 3, \quad t \neq 0, \quad t \neq -2 \]

Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så vi finner først hvilke \( x \) som er lov. Så slår vi sammen logaritmene til én.

1. Finn hvilke verdier som er lov Vi kan ikke ta \( \ln \) av null eller et negativt tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Begge uttrykkene må derfor være positive: \[ \begin{aligned} x &> 0 \\ x^2 - x = x(x - 1) &> 0 \end{aligned} \]

Når \( x \) er positiv, er den andre ulikheten oppfylt bare når \( {x - 1} \) også er positiv: \[ x > 1 \]

2. Slå sammen logaritmene Regneregelen for logaritmer forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regnereglene gjelder for \( \ln \) også, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x^2 - x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og stryker \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x(x - 1)}} &= 1 \\ \ln \dfrac{1}{x - 1} &= 1 \end{aligned} \]

3. Løs for x Definisjonen av \( \ln \) forteller oss at: \[ \ln c = 1 \quad \Leftrightarrow \quad c = e^1 \]Definisjonen står i videoen Hva er en Logaritme?

Her er \( {c = \dfrac{1}{x - 1}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 1} &= e \\ x - 1 &= \dfrac{1}{e} \\ x &= 1 + \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Denne verdien er lov, siden: \[ 1 + \dfrac{1}{e} > 1 \]

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

Vi ser at uttrykket består av røtter. Vi skriver derfor røttene som potenser og samler like grunntall.

1. Skriv røttene som potenser Reglene for røtter og potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sqrt[n]{p} &= p^{\tfrac{1}{n}} \\ (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Hvis du er usikker, kan du se videoene Potenser og røtter og Flere regneregler med Potenser.

Plugger vi dette inn, får vi hver rot for seg, der \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) har hver sin farge: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b}^4)^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \\ \sqrt[3]{(\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^6} &= (\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c})^{\tfrac{6}{3}} = \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2 \\ \sqrt[4]{\textcolor{blue}{a}^{10}} &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{10}{4}} = \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \end{aligned} \]

2. Samle like grunntall Når vi ganger potenser, legger vi sammen eksponentene. Når vi deler, trekker vi dem fra: \[ \begin{aligned} p^n \cdot p^m &= p^{n + m} \\ \dfrac{p^n}{p^m} &= p^{n - m} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2}}\textcolor{red}{b}^2 \cdot \textcolor{blue}{a}^2\textcolor{green}{c}^2}{\textcolor{blue}{a}^{\tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^2} \\ &= \textcolor{blue}{a}^{\tfrac{1}{2} + 2 - \tfrac{5}{2}} \cdot \textcolor{red}{b}^{2 - 2} \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{blue}{a}^0 \cdot \textcolor{red}{b}^0 \cdot \textcolor{green}{c}^2 \\ &= \textcolor{green}{c}^2 \end{aligned} \]

Den siste overgangen bruker at et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ p^0 = 1 \]

Vi ser at det ene leddet har et tall foran \( \ln\text{.} \) Vi flytter det inn som eksponent med logaritmeregelen.

1. Bruk logaritmeregelen Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{n} \cdot \ln \textcolor{red}{u} = \ln\left( \textcolor{red}{u}^{\textcolor{blue}{n}} \right) \]Se videoen Naturlige Logaritmer hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{n} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2a} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{2} \ln(\textcolor{red}{2a}) = \ln\left( (\textcolor{red}{2a})^{\textcolor{blue}{2}} \right) = \ln(4a^2) \]

2. Trekk sammen Begge leddene er det samme, så de går opp i hverandre: \[ \ln(4a^2) - \ln(4a^2) = 0 \]

Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og \( \cos(3x) \) med kjerneregelen. Hvert ledd har sin farge.

1. Deriver det første leddet Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( 3x^4 \) derivert blir: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 4x^3 = \underline{12x^3}} \]

2. Deriver det andre leddet \( \cos(3x) \) har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{u})' = -\sin \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{3x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{(\cos(3x))'} &\textcolor{red}{{}= -\sin(3x) \cdot 3} \\ &\textcolor{red}{{}= \underline{-3\sin(3x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det siste leddet Derivasjonsregelen for \( \ln x \) forteller oss at: \[ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \]Se videoen Derivasjonsregler/​Formler hvis du er usikker.

\( {-5\ln x} \) derivert blir: \[ \textcolor{darkorange}{-5 \cdot \dfrac{1}{x} = \underline{-\dfrac{5}{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{12x^3} \textcolor{red}{{}- 3\sin(3x)} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{5}{x}} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Med kjerneregelen er \( {(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^{2x}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2e^{2x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{2e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{e^{2x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^{2x}}\text{,} \) får vi: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^{2x}} \left( 2\ln x + \dfrac{1}{x} \right) \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Se videoen Kvotientregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x^2 + 3}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 3})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x} (x^2 - 2x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \]

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd, og hvert ledd har sin farge.

1. Integrer ledd for ledd \( x^4\text{:} \) Regelen forteller oss at: \[ \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir: \[ \textcolor{blue}{\int x^4 \, dx = \underline{\dfrac{x^5}{5}}} \]

\( \sin(3x)\text{:} \) Regelen fra samme video, Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \sin(nx) \, dx = -\dfrac{\cos(nx)}{n} + C \]Med \( {n = 3} \) får vi: \[ \textcolor{red}{\int \sin(3x) \, dx = \underline{-\dfrac{\cos(3x)}{3}}} \]

\( e^{2x}\text{:} \) Regelen fra Basic integrasjonsregler/​formler forteller oss at: \[ \int e^{nx} \, dx = \dfrac{e^{nx}}{n} + C \]Med \( {n = 2} \) får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\int e^{2x} \, dx = \underline{\dfrac{e^{2x}}{2}}} \]

Slår vi dette sammen, og tar med én konstant \( C\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{x^5}{5}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{\cos(3x)}{3}} \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{e^{2x}}{2}} + C \]

Vi ser at \( x^6 \) nesten er den deriverte av eksponenten \( x^7\text{.} \) Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjon Substitusjon med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{g(x)}} \) forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{g(x)}) \cdot g'(x) \, dx = \int f(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^7} \\ du &= 7x^6 \, dx \\ x^6 \, dx &= \dfrac{1}{7} \, du \end{aligned} \]

2. Integrer og bytt tilbake Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int x^6 e^{x^7} \, dx &= \int e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{7} \, du \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= \dfrac{1}{7} e^{\textcolor{green}{x^7}} + C \end{aligned} \]

Vi får roten alene og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi setter prøve til slutt.

1. Få roten alene Vi trekker fra \( 1 \) på begge sider og kvadrerer: \[ \begin{aligned} \sqrt{2x + 1} &= x - 1 \\ 2x + 1 &= (x - 1)^2 \end{aligned} \]

2. Gang ut høyre side Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1}^2 \\ &= x^2 - 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs likningen Vi samler alt på én side og setter \( \textcolor{darkorange}{x} \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \begin{aligned} 2x + 1 &= x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 - 4x \\ 0 &= \textcolor{darkorange}{x}(x - 4) \end{aligned} \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 4 \]

4. Sett prøve Vi setter begge inn i den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} x = 0&: \quad \sqrt{1} + 1 = 2 \neq 0 \\ x = 4&: \quad \sqrt{9} + 1 = 4 \end{aligned} \]

Bare \( {x = 4} \) stemmer.

Vi finner først alle vinklene \( 3x \) med riktig sinusverdi. Så deler vi på \( 3 \) og tester hvilke \( x \) som ligger i intervallet.

1. Finn vinklene Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir samme sinusverdi, og vi kan legge til hele omganger. Når \( {\sin \textcolor{green}{u} = \sin v}\text{,} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= v + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - v + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]Se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025 hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {v = \dfrac{\pi}{4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x} &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \\ \textcolor{green}{3x} &= \pi - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi = \dfrac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi \end{aligned} \]

2. Del på tre Vi deler alle leddene på \( \textcolor{green}{3}\text{,} \) og gir de to gruppene hver sin farge: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \\ x &= \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}} \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi setter inn \( {k = 0, 1, 2}\text{.} \) Med \( {\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{12}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{9\pi}{12}}, \ \textcolor{blue}{\dfrac{17\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{3\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{11\pi}{12}}, \ \textcolor{red}{\dfrac{19\pi}{12}} \end{aligned} \]

Med \( {k = 3} \) blir begge større enn \( {2\pi = \dfrac{24\pi}{12}}\text{:} \) \[ \dfrac{25\pi}{12} > 2\pi, \qquad \dfrac{27\pi}{12} > 2\pi \]

Med \( {k = -1} \) blir begge negative. Vi har altså seks løsninger.

Vi forkorter de to som kan forkortes: \[ \dfrac{9\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{4}, \qquad \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} \]

Vi flytter alt over på én side og skriver det som én brøk. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema.

1. Skriv som én brøk Vi flytter alt over på venstre side, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: \[ \dfrac{x + 3}{x - 2} - \dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq 3}\text{.} \)

Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &\leq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut telleren for seg: \[ \begin{aligned} &(x + 3)(x - 3) - (x + 1)(x - 2) \\ &= x^2 - 9 - (x^2 - x - 2) \\ &= x - 7 \end{aligned} \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{\textcolor{magenta}{x - 7}}{(\textcolor{darkorange}{x - 2})(\textcolor{green}{x - 3})} \leq 0 \]

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

:::fortegnsskjema {"points": [2, 3, 7], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x - 7}", "expr": "x - 7"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 3}", "expr": "x - 3", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 7}{(x - 2)(x - 3)}", "expr": "(x - 7)/((x - 2)(x - 3))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ til venstre for \( 2 \) og mellom \( 3 \) og \( 7\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = 7}\text{,} \) så det punktet er med. Den er ikke definert i \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x < 2 \quad \text{eller} \quad 3 < x \leq 7 \]

Vi finner kvotienten \( k\text{.} \) Rekken konvergerer når \( {|k| < 1}\text{,} \) og da bruker vi sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k} = \dfrac{25x}{5} &= \textcolor{red}{5x} \\ \dfrac{125x^2}{25x} &= 5x \end{aligned} \]

Det første leddet er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5} \]

2. Finn når rekken konvergerer En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{5x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\textcolor{red}{5x}| &< 1 \\ -\dfrac{1}{5} < x &< \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Finn summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Plugger vi dette inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{1 - \textcolor{red}{5x}} \]