Forkurs matematikk ordinær eksamen 2017 – løsningsforslag

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4}(\textcolor{blue}{x^2 + 1}) - \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 + 1})^2} \\ &= \dfrac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til a).

Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er null. Med en fortegnslinje ser vi hva slags punkter det er.

1. Sett den deriverte lik null I a) viste vi at: \[ f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2} \]

Vi setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Nevneren er aldri \( 0\text{,} \) så telleren må være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -4x^2 + 4 &= 0 \\ x^2 &= 1 \\ x &= -1 \quad \text{eller} \quad x = 1 \end{aligned} \]

2. Lag en fortegnslinje Vi faktoriserer telleren som \( {\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}} \) ganger \( {\textcolor{magenta}{x - 1}}\text{.} \) Nevneren er alltid positiv, så fortegnet til \( f'(x) \) finner vi ved å gange fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-4(x + 1)}", "expr": "-4*(x + 1)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "(-4*x^2 + 4)/(x^2 + 1)^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{4 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = -2 \\ f(1) &= \dfrac{4 \cdot 1}{1^2 + 1} = 2 \end{aligned} \]

Vi bruker topp- og bunnpunktet fra b).

En vertikal asymptote krever at nevneren blir null, og en horisontal får vi ved å la \( x \) vokse. Skissen tegner vi fra asymptoten og noen punkter.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan bare være der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Men nevneren blir aldri \( 0\text{:} \) \[ x^2 + 1 \ge 1 \]

Funksjonen har derfor ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Begge vokser uten grense, så vi deler på \( \textcolor{blue}{x^2}\text{,} \) med samme metode som i videoen: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4x}{\textcolor{blue}{x^2}}}{\tfrac{x^2 + 1}{\textcolor{blue}{x^2}}} \\ &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{\tfrac{4}{x}}{1 + \tfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0}{1} = 0 \end{aligned} \]

Dermed er \( {y = 0} \) en horisontal asymptote.

3. Skisser grafen I b) fant vi toppunktet \( (1, 2) \) og bunnpunktet \( {(-1, -2)}\text{.} \) Noen flere verdier: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(5) &= \dfrac{10}{13} \\ f(-5) &= -\dfrac{10}{13} \end{aligned} \]

Det gir denne skissen, der grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) på begge sider:

Vi bruker \( f'(x) \) fra a).

Vi bruker tangentformelen. Den trenger funksjonsverdien og stigningstallet i punktet.

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen, som i videoen Tangentlinje, forteller oss at: \[ y = \textcolor{blue}{f'(a)}(x - \textcolor{green}{a}) + \textcolor{red}{f(a)} \]

Her er \( {\textcolor{green}{a} = 0{,}40 = \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}}\text{.} \) Funksjonsverdien er: \[ \textcolor{red}{f\left(\dfrac{2}{5}\right)} = \dfrac{\tfrac{8}{5}}{\tfrac{4}{25} + 1} = \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{25}{29} = \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \]

I a) viste vi at \( {f'(x) = \dfrac{-4x^2 + 4}{(x^2 + 1)^2}}\text{.} \) Det gir stigningstallet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f'\left(\dfrac{2}{5}\right)} &= \dfrac{-\tfrac{16}{25} + 4}{\left(\tfrac{29}{25}\right)^2} \\ &= \dfrac{84}{25} \cdot \dfrac{625}{841} = \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i tangentformelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{\dfrac{2100}{841}}\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{2}{5}}\right) + \textcolor{red}{\dfrac{40}{29}} \\ &= \dfrac{2100}{841}x - \dfrac{840}{841} + \dfrac{1160}{841} \\ &= \dfrac{2100}{841}x + \dfrac{320}{841} \end{aligned} \]

Vi finner hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste minus den nederste mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter funksjonene like: \[ \dfrac{4x}{x^2 + 1} = \dfrac{4}{5}x \]

\( {x = 0} \) er én løsning. For \( {x \neq 0} \) deler vi på \( 4x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^2 + 1} &= \dfrac{1}{5} \\ x^2 + 1 &= 5 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

I første kvadrant er \( {x > 0}\text{,} \) så vi bruker ikke \( {x = -2}\text{.} \) Mellom skjæringspunktene ligger \( f \) øverst: \[ f(1) = 2 > \dfrac{4}{5} = g(1) \]

2. Sett opp integralet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_0^2 \left(\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}} - \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x}\right) dx \]

3. Integrer ledd for ledd \( {\textcolor{red}{\dfrac{4x}{x^2 + 1}}}\text{:} \) Vi bruker substitusjon med \( {u = x^2 + 1} \) og \( {du = 2x\,dx}\text{:} \) \[ \int \dfrac{2}{u}\,du = 2\ln u = \underline{\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{4}{5}x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \left[\textcolor{red}{2\ln(x^2 + 1)} - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}x^2}\right]_0^2 \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} - (2\ln 1 - 0) \\ &= 2\ln 5 - \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet, og trekanten er halvparten av det.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 6, -2 - 0, 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-6, -2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 6, 0 - 0, 3 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[-6, 0, 3]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet regner vektorproduktet med en determinant. Skrevet ut koordinat for koordinat er det gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [(\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-6}) - (\textcolor{blue}{-6}) \cdot \textcolor{red}{3}, \\ &\qquad (\textcolor{blue}{-6}) \cdot \textcolor{red}{0} - (\textcolor{blue}{-2}) \cdot (\textcolor{red}{-6})] \\ &= [-6, 18, -12] \end{aligned} \]

3. Finn arealet Lengden til en vektor, som i videoen Lengden til en Vektor, er gitt ved: \[ \left|[a, b, c]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 18^2 + (-12)^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{504} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a).

Vektorproduktet står vinkelrett på trekanten, så det kan være retningsvektor for linjen. Så går vi fra punktet \( C \) i den retningen.

1. Finn retningsvektoren I a) fant vi at \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-6, 18, -12]}\text{.} \) Den står vinkelrett på begge vektorene, og dermed på trekanten. Vi kan dele den på \( {-6} \) uten å endre retningen: \[ \textcolor{blue}{\vec{r}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 2]} \]

2. Skriv opp parameterframstillingen En linje gjennom et punkt \( \textcolor{red}{(x_0, y_0, z_0)} \) med retningsvektor \( \textcolor{blue}{[a, b, c]} \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{x_0} + \textcolor{blue}{a}t \\ y &= \textcolor{red}{y_0} + \textcolor{blue}{b}t \\ z &= \textcolor{red}{z_0} + \textcolor{blue}{c}t \end{aligned} \]

Hva en parameter gjør, ser du i videoen Parametrisering. Her er punktet \( \textcolor{red}{C(0, 0, 3)}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{1} \cdot t = t \\ y &= \textcolor{red}{0} + (\textcolor{blue}{-3}) \cdot t = -3t \\ z &= \textcolor{red}{3} + \textcolor{blue}{2}t \end{aligned} \]

Andre parameterframstillinger er også riktige, for eksempel med \( {[-6, 18, -12]} \) som retningsvektor.

Vi bruker parameterframstillingen fra b).

I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {z = 0}\text{.} \) Vi finner \( t \) fra det og setter inn i de andre koordinatene.

1. Sett z lik null I b) fant vi linjen, skrevet med parameteren \( t \) som i videoen Parametrisering: \[ x = t, \quad y = -3t, \quad z = 3 + 2t \]

Vi setter \( {z = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 + 2\textcolor{red}{t} &= 0 \\ \textcolor{red}{t} &= \textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn x og y Vi setter \( \textcolor{red}{t} \) inn i de to andre koordinatene: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}} \\ y &= -3 \cdot \left(\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}\right) = \dfrac{9}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker vektoren fra a) som normalvektor.

Vektorproduktet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Med et punkt i planet kan vi skrive opp likningen.

1. Skriv opp likningen for planet Likningen for et plan, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram, forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]

I a) fant vi at vektorproduktet er \( {[-6, 18, -12]}\text{.} \) Vi deler det på \( {-6} \) og får normalvektoren \( {\textcolor{blue}{[1, -3, 2]}}\text{.} \) Punktet er \( \textcolor{red}{C(0, 0, 3)}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{2}(z - \textcolor{red}{3}) &= 0 \\ x - 3y + 2z - 6 &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( A \) gir \( {6 - 6 = 0}\text{,} \) og \( B \) gir \( {6 - 6 = 0}\text{.} \)

Vi skriver volumet uttrykt med \( x \) og \( h\text{,} \) og setter det lik \( 200\text{.} \) Så løser vi for \( h\text{.} \)

1. Sett opp volumet Volumet av et prisme, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ V = G \cdot h = \textcolor{red}{l} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot h \]

Her er: \[ \textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}, \quad V = 200 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( h\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot h &= 200 \\ 4x^2 h &= 200 \\ h &= \dfrac{200}{4x^2} = \dfrac{50}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( h \) står i oppgaveteksten til a).

Vi legger sammen de seks sideflatene, og setter inn uttrykket for \( h\text{.} \)

1. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse, som i videoen Volum og Overflate, forteller oss at: \[ O = 2(\textcolor{red}{l}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{red}{l}h + \textcolor{blue}{b}h) \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{l} = \textcolor{red}{4x}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} O &= 2(\textcolor{red}{4x} \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{4x}h + \textcolor{blue}{x}h) \\ &= 8x^2 + 10xh \end{aligned} \]

2. Sett inn høyden I a) viste vi at \( {h = \dfrac{50}{x^2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O(x) &= 8x^2 + 10x \cdot \dfrac{50}{x^2} \\ &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: uttrykket for \( O(x) \) står i oppgaveteksten til b).

Vi deriverer ledd for ledd og setter den deriverte lik null. En fortegnslinje viser at punktet gir den minste overflaten.

1. Deriver overflaten I b) viste vi at \( {O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2}\text{.} \) Vi skriver \( {\dfrac{500}{x} = 500x^{-1}} \) og bruker regelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \left(x^n\right)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} O'(x) &= -500x^{-2} + 16x \\ &= -\dfrac{500}{x^2} + \dfrac{16x^3}{x^2} \\ &= \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2} \end{aligned} \]

2. Finn hvor den deriverte er null Vi setter telleren lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16x^3 &= 500 \\ x^3 &= \dfrac{125}{4} \\ x &= \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \end{aligned} \]

Fortegnslinjen setter vi opp som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Nevneren \( x^2 \) er positiv for \( {x > 0}\text{,} \) så fortegnet følger telleren: :::fortegnsskjema {"start": 0, "points": [3.149802624737183], "labels": ["\\dfrac{5}{\\sqrt[3]{4}}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{-500 + 16x^3}", "expr": "-500 + 16*x^3"}, {"label": "O'(x)", "expr": "(-500 + 16*x^3)/x^2"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( O'(x) \) går fra minus til pluss: overflaten synker og så stiger, så her er den minst.

3. Regn ut målene Bredden er \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}}\text{.} \) Det gir oss lengden og høyden: \[ \begin{aligned} l &= 4x = \dfrac{20}{\sqrt[3]{4}} \approx 12{,}60 \\ b &= x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}} \approx 3{,}15 \\ h &= \dfrac{50}{x^2} = 2\sqrt[3]{16} \approx 5{,}04 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter inn \( {x = \dfrac{5}{\sqrt[3]{4}}} \) og \( {x^2 = \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= \dfrac{500}{x} + 8x^2 \\ &= 500 \cdot \dfrac{\sqrt[3]{4}}{5} + 8 \cdot \dfrac{25}{\sqrt[3]{16}} \\ &= 100\sqrt[3]{4} + \dfrac{200}{\sqrt[3]{16}} \end{aligned} \]

Siden \( {\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{4} = 4}\text{,} \) er \( {\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{4}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} O &= 100\sqrt[3]{4} + 50\sqrt[3]{4} \\ &= 150\sqrt[3]{4} \approx 238{,}1 \end{aligned} \]

Vi tegner høyden fra \( C \) ned på \( AB\text{.} \) Da får vi to rettvinklede trekanter med vinkler der sinus og tangens har eksakte verdier.

1. Finn den siste vinkelen Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som vises i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen). Det gir oss: \[ \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

2. Finn høyden Vi kaller fotpunktet til høyden for \( F\text{:} \)

Tangens er gitt ved, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} \]

I de to rettvinklede trekantene gir det: \[ \begin{aligned} \tan 45^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{red}{AF}} = 1 \\ \textcolor{red}{AF} &= \textcolor{blue}{h} \\ \tan 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{green}{FB}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{FB} &= \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} \end{aligned} \]

Sammen er de to delene lik \( AB\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AF} + \textcolor{green}{FB} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} + \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120}{\sqrt{3} + 1} \end{aligned} \]

Vi utvider med \( {\sqrt{3} - 1} \) for å få bort roten i nevneren: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\ &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{2} = 60(\sqrt{3} - 1) \end{aligned} \]

3. Finn sidene Sinus er gitt ved: \[ \sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} \]

Hypotenusene er \( AC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} AC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2}\,\textcolor{blue}{h} \\ &= 60(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 62{,}1 \\ BC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 30^\circ} = 2\textcolor{blue}{h} \\ &= 120(\sqrt{3} - 1) \approx 87{,}8 \end{aligned} \]

Alternativ metode: Sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{BC}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 30^\circ} = \dfrac{120}{\sin 105^\circ} \]

Det gir oss direkte: \[ \begin{aligned} BC &= \dfrac{120 \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 87{,}8 \\ AC &= \dfrac{120 \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 62{,}1 \end{aligned} \]

Dette går raskest med kalkulator, men eksakte verdier krever formelen for sinus til en sum.

Vi bruker siden \( AC \) fra a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen, som i videoen Arealsetningen, forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]

Her er, med \( AC \) fra a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{120} \\ \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \\ \sin \textcolor{green}{A} &= \sin 45^\circ = \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{120} \cdot \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 1800\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \\ &= 1800(\sqrt{12} - 2) \\ &= 3600(\sqrt{3} - 1) \approx 2635{,}4 \end{aligned} \]

Trekantene \( ADC \) og \( ABC \) har samme vinkel i \( A \) og samme side \( AC\text{.} \) Arealsetningen viser da at forholdet mellom arealene er forholdet mellom \( AD \) og \( AB\text{.} \)

1. Sett opp de to arealene Arealsetningen gir oss begge arealene: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AD} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \\ T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \end{aligned} \]

2. Bruk kravet til arealet Arealet av \( ADC \) skal være en tredjedel av hele arealet. Alt annet enn \( \textcolor{red}{AD} \) og \( \textcolor{blue}{AB} \) er likt og kan forkortes bort: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{3}T_{ABC} \\ \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{AB} \\ &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{120} = 40 \end{aligned} \]

Skuddene er uavhengige, så vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd. Spillet fortsetter bare så lenge begge bommer.

1. Finn sannsynligheten for bom \( a \) enten treffer eller bommer, og det samme gjelder \( b\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(\bar{A})} &= 1 - \dfrac{1}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{blue}{P(\bar{B})} &= 1 - \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Gang sannsynlighetene for hvert skudd For uavhengige begivenheter ganger vi sannsynlighetene: \[ P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y) \]

Det gir oss: \[ P(\bar{A} \cap B) = \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \]

Når \( a \) vinner på skudd tre, bommer først \( a \) og så \( b\text{,} \) og så treffer \( a\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9} \]

Når \( a \) vinner på skudd fem, bommer begge to ganger før \( a \) treffer: \[ \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{27} \]

3. Legg sammen Vinner \( a \) på første skudd, er sannsynligheten \( {P(A) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \) De tre utfallene kan ikke skje samtidig, så vi legger dem sammen. Hvert ledd er det forrige ganget med samme tall, altså en kvotient på \( \dfrac{1}{3}\text{:} \) \[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{9 + 3 + 1}{27} = \dfrac{13}{27} \]

Vi bruker mønsteret fra a).

\( a \) kan vinne på skudd en, tre, fem og så videre. Det gir en uendelig geometrisk rekke, som vi kan summere.

1. Finn rekken I a) fant vi leddene \( \dfrac{1}{3}\text{,} \) \( \dfrac{1}{9} \) og \( \dfrac{1}{27}\text{.} \) For hver runde der begge bommer, ganges sannsynligheten med: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \]

Sannsynligheten for at \( a \) vinner er derfor en uendelig geometrisk rekke: \[ P = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \cdots \]

2. Summer rekken Siden \( {\left|\textcolor{blue}{k}\right| < 1}\text{,} \) er rekken konvergent. Summen av en uendelig geometrisk rekke, som i videoen Geometrisk rekke test, er gitt ved: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{\textcolor{red}{\tfrac{1}{3}}}{1 - \textcolor{blue}{\tfrac{1}{3}}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{2} \]