Forkurseksamen etter tema

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Integralet av \( 2x\ln x \) tar vi med delvis integrasjon.

1. Separer likningen Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( y \) og \( x \) hver for seg, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x\ln x}{y} \\ y\,dy &= 2x\ln x\,dx \end{aligned} \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \int y\,dy = \int 2x\ln x\,dx \]

Venstre side blir: \[ \underline{\dfrac{1}{2}y^2} \]

2. Integrer høyre side Høyre side er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Den forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= \underline{x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K} \end{aligned} \]

3. Løs for y Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{1}{2}y^2 = x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K \]

Vi ganger med \( 2 \) og kaller konstanten \( 2K \) for \( C\text{:} \) \[ y^2 = 2x^2\ln x - x^2 + C \]

Siden \( {y > 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + C} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den generelle løsningen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter punktet inn i den generelle løsningen og løser for konstanten \( C\text{.} \)

1. Finn konstanten Vi setter inn \( {y = \textcolor{red}{2}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) i den generelle løsningen, som i videoen Differensialligning oppgave 3: \[ \textcolor{red}{2} = \sqrt{2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \ln \textcolor{blue}{1} - \textcolor{blue}{1}^2 + C} \]

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \) Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 4 &= -1 + C \\ C &= 5 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i den generelle løsningen, får vi: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + 5} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]Disse deriverte står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2})^2} \\ &= \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} \end{aligned} \]

2. Forkort brøken Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{x} \) i telleren, kan vi forkorte: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}(1 - 2\ln x)}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot x^3} = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den andre faktoren deriverer vi med kjerneregelen.

1. Deriver den andre faktoren Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{k}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{k}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x + 3}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{1}, \quad n = 3 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x + 3})^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{x + 3})^2 \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= 3(x + 3)^2 \end{aligned} \]

2. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x + 3)^3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{(x + 3)^3} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3(x + 3)^2} \]

3. Faktoriser svaret Faktoriserer vi ut \( {\textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)^2}\left((x + 3) + 3x\right) \\ &= (x + 3)^2(4x + 3) \end{aligned} \]

Vi kan samle alt med \( y \) på én side og alt med \( x \) på den andre. Likningen er altså separabel.

1. Separer likningen Vi ganger begge sider med \( 2x \) og med \( e^{y}\text{,} \) og bruker at \( {e^{y} \cdot e^{-y} = 1}\text{:} \) \[ e^{y} \cdot y' = 2x \]

En separabel likning løser vi ved at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{g(y)} \cdot y' = \textcolor{red}{h(x)} \\ &\Rightarrow \ \int \textcolor{blue}{g(y)}\,dy = \int \textcolor{red}{h(x)}\,dx \end{aligned} \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Seperable diff-ligninger.

Her er \( {\textcolor{blue}{g(y)} = \textcolor{blue}{e^{y}}} \) og \( {\textcolor{red}{h(x)} = \textcolor{red}{2x}}\text{:} \) \[ \int \textcolor{blue}{e^{y}}\,dy = \int \textcolor{red}{2x}\,dx \]

2. Integrer begge sider Integrerer vi begge sider, får vi resultatet under. Reglene står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler for \( 2x\text{,} \) og fra 3:08 for \( e^{y}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{y}} = \textcolor{red}{x^2} + C \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^{1} &= 0^2 + C \\ C &= e \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \begin{aligned} e^{y} &= x^2 + e \\ y &= \ln(x^2 + e) \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd og setter inn grensene. Merk at \( e^2 \) bare er en konstant.

1. Integrer ledd for ledd Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn hvert ledd, og integrerer \( \textcolor{green}{e^2} \) som en konstant, får vi: \[ F(x) = x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + 3x^2 + \textcolor{green}{e^2}x \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er gitt ved: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]Hvis du er usikker på det, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {a = -2} \) og \( {b = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{F(2)} &= \textcolor{blue}{16 - \dfrac{16}{3} + 12 + 2\textcolor{green}{e^2}} \\ \textcolor{red}{F(-2)} &= \textcolor{red}{16 + \dfrac{16}{3} + 12 - 2\textcolor{green}{e^2}} \end{aligned} \]

Trekker vi fra, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{F(2)} - \textcolor{red}{F(-2)} \\ &= -\dfrac{16}{3} - \dfrac{16}{3} + 2\textcolor{green}{e^2} + 2\textcolor{green}{e^2} \\ &= 4\textcolor{green}{e^2} - \dfrac{32}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) er den deriverte av \( \sin x\text{.} \) Da passer substitusjon med \( {u = \sin x}\text{.} \)

1. Velg substitusjon Vi setter, som i videoen Substitusjon: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x} \]

Deriverer vi begge sider og løser for \( dx\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= \cos x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, stryker \( \cos x \) mot \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{\sin^2 x}}\,dx &= \int \dfrac{\cos x}{\textcolor{green}{u}^2} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{\cos x} \\ &= \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Potensregelen for integraler, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int u^n\,du = \dfrac{1}{n + 1}u^{n + 1} + C \]

Her er \( {n = -2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{green}{u}^{-2}\,d\textcolor{green}{u} = -\textcolor{green}{u}^{-1} + C = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} + C \]

3. Bytt tilbake til x Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\sin x}} \) tilbake: \[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x}\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{\sin x}} + C \]

Et rotasjonslegeme kalles også et omdreiningslegeme. Vi bruker formelen for volumet om \( {x\text{-aksen,}} \) der radien er funksjonsverdien.

1. Sett opp integralet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er gitt ved: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} \textcolor{green}{f(x)}^2\,dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \textcolor{green}{f(x)} = \textcolor{green}{e^x}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{0}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} (\textcolor{green}{e^x})^2\,dx = \pi \int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} e^{2x}\,dx \]

2. Regn ut integralet Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n}e^{nx} + C \]Du finner regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} V &= \pi \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{1}} \\ &= \pi\left(\dfrac{1}{2}e^{2} - \dfrac{1}{2}e^{0}\right) \\ &= \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1) \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Faktoren \( {y + 1} \) kan vi forkorte bort først.

1. Separer likningen Konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {a = y} \) og \( {b = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ (y - 1)\textcolor{darkorange}{(y + 1)}y' = 3\textcolor{darkorange}{(y + 1)} \]

Vi starter i \( {y = 2}\text{,} \) så \( {y + 1 \neq 0}\text{,} \) og vi kan dele på \( {\textcolor{darkorange}{(y + 1)}}\text{.} \) Så skriver vi \( {y' = \dfrac{dy}{dx}} \) og separerer, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} (y - 1)\dfrac{dy}{dx} &= 3 \\ (y - 1)\,dy &= 3\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider \[ \begin{aligned} \int (y - 1)\,dy &= \int 3\,dx \\ \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x + \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]

3. Bruk initialverdien Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {y = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 &= 3 \cdot 1 + \textcolor{green}{C} \\ 0 &= 3 + \textcolor{green}{C} \\ \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{-3} \end{aligned} \]

4. Løs for y Vi setter inn \( \textcolor{green}{C} \) og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}y^2 - y &= 3x \textcolor{green}{{}- 3} \\ y^2 - 2y &= 6x - 6 \\ y^2 - 2y + 6 - 6x &= 0 \end{aligned} \]

Dette er en andregradslikning i \( y\text{.} \) Abc-formelen forteller oss at: \[ y = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}c}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad c = 6 - 6x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (6 - 6x)}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{24x - 20}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{6x - 5} \end{aligned} \]

5. Velg riktig fortegn Vi setter inn \( {x = 1} \) i begge og sammenligner med \( {y(1) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 2 \\ 1 - \sqrt{6 \cdot 1 - 5} &= 0 \end{aligned} \]

Bare plusstegnet passer. Løsningen gjelder for \( {x > \dfrac{5}{6}}\text{,} \) der roten er positiv.

Vi kan samle \( y \) på én side og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Vi løser den, og bruker \( {y(0) = 10} \) til å finne konstanten.

1. Separer variablene Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{x} \) på hver sin side, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= (1 - x)y \\ \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \int \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \\ \ln|y| &= x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {y(0) = 10 > 0}\text{,} \) er \( y \) positiv, så \( {|y| = y}\text{.} \) Vi skriver \( {\textcolor{green}{K} = e^{C}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |y| &= e^{x - \tfrac{1}{2}x^2 + C} \\ y &= e^{C} \cdot e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \\ y &= \textcolor{green}{K} e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \end{aligned} \]

4. Finn konstanten Vi setter inn \( {y(0) = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10 &= \textcolor{green}{K} e^{0} \\ \textcolor{green}{K} &= \textcolor{green}{10} \end{aligned} \]

Det gir oss løsningen vi skulle vise: \[ y(x) = \textcolor{green}{10}e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

For å finne den høyeste temperaturen setter vi \( {y'(x) = 0}\text{.} \) Den deriverte står allerede i differensiallikningen.

1. Sett den deriverte lik null For å finne et toppunkt setter vi den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Differensiallikningen gir: \[ y'(x) = (\textcolor{darkorange}{1 - x}) \cdot \textcolor{magenta}{y(x)} \]

\( {\textcolor{magenta}{y(x)} = 10e^{x - \tfrac{1}{2}x^2}} \) er alltid positiv, siden \( e \) opphøyd i noe aldri blir \( 0 \) eller negativ. Dermed må: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1 - x} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Vis at det er et toppunkt Siden \( \textcolor{magenta}{y(x)} \) er positiv, har \( y'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{darkorange}{1 - x}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le x < 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} > 0, \ \ y'(x) > 0 \\ x > 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} < 0, \ \ y'(x) < 0 \end{aligned} \]

Temperaturen stiger helt fram til \( {x = 1} \) og synker hele tiden etterpå. Da er \( {x = 1} \) det høyeste punktet på hele intervallet.

3. Regn ut temperaturen Vi setter \( {x = 1} \) inn i \( y(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} y(1) &= 10e^{1 - \tfrac{1}{2} \cdot 1^2} \\ &= 10e^{\tfrac{1}{2}} = 10\sqrt{e} \approx 16{,}5 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi lar \( x \) bli stor og ser hva som skjer med eksponenten i \( y(x)\text{.} \)

1. Se på eksponenten Vi lar \( x \) gå mot uendelig, som når vi leter etter en horisontal asymptote i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer eksponenten: \[ \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} = x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) \]

Når \( x \) blir stor, går \( x \) mot uendelig og parentesen mot minus uendelig. Dermed vet vi at: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} \right) = -\infty \]

2. Finn grenseverdien \( e \) opphøyd i et stort negativt tall er nesten \( 0\text{,} \) siden det er det samme som \( 1 \) delt på et stort tall. Det gir oss: \[ \lim_{x \to \infty} 10e^{\textcolor{blue}{x - \tfrac{1}{2}x^2}} = 10 \cdot 0 = 0 \]

Temperaturen er hele tiden over \( 0\,^\circ\text{C}\text{,} \) men kommer så nær vi vil etter hvert.

Vi skriver røttene som potenser, så alt har samme grunntall. Da kan vi legge sammen og trekke fra eksponentene.

1. Skriv røttene som potenser En rot kan skrives som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]

Potens av en potens forteller oss at: \[ \left(a^n\right)^m = a^{n \cdot m} \]

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\sqrt{a^3}} &= \textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \\ \textcolor{blue}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2} &= \left(a^{\tfrac{1}{6}}\right)^2 = \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}} \end{aligned} \]

2. Slå sammen eksponentene Regnereglene for potenser, som i videoen Flere regneregler med Potenser, forteller oss at: \[ a^n \cdot a^m = a^{n + m}, \quad \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a^{\tfrac{3}{2}}} \cdot a^{\tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2}} \cdot \textcolor{blue}{a^{\tfrac{1}{3}}}} &= \dfrac{a^{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{3}}}{a^{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}}} \\ &= a^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}} \\ &= a^1 = a \end{aligned} \]

Vi flytter alt over på én side og setter på felles nevner. Så faktoriserer vi og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Sett på felles nevner Ganger vi ut \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) ser vi at det er nevneren på høyre side: \[ (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \]

Vi flytter alt til venstre, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema, brøk og faktorisering: \[ \begin{aligned} &\dfrac{(x + 1)^2 + (x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} \\ &- \dfrac{x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 1)} \le 0 \end{aligned} \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 2} \) og \( {x \neq -1}\text{.} \) Regner vi ut telleren, får vi: \[ \begin{aligned} &x^2 + 2x + 1 + x^2 - 4 - x^2 - 4x \\ &= x^2 - 2x - 3 \end{aligned} \]

2. Faktoriser telleren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x &= 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Det gir oss faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

Da kan vi forkorte, siden \( {x \neq -1}\text{:} \) \[ \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 3}}{\textcolor{magenta}{x - 2}} \le 0 \]

3. Les av fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til teller og nevner: :::fortegnsskjema {"points": [2, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 3}{x - 2}", "expr": "(x - 3)/(x - 2)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor brøken ikke finnes. Brøken er negativ mellom \( 2 \) og \( 3\text{,} \) og \( 0 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Punktet \( {x = -1} \) ligger utenfor dette området, så det endrer ingenting.

Vi får \( \sin(2x) \) alene og finner de to vinklene på enhetssirkelen. Så deler vi på \( 2 \) og tester hvilke \( k \) som gir svar i intervallet.

1. Få sinus alene Vi flytter over og deler: \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin(\textcolor{green}{2x}) &= 3 \\ \sin(\textcolor{green}{2x}) &= \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi bruker sinus invers, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, og får \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Enhetssirkelen gir en vinkel til med samme sinusverdi, og begge gjentar seg hver \( 2\pi\text{:} \) \[ \begin{aligned} v &= v_0 + 2\pi k \\ v &= \pi - v_0 + 2\pi k \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( {v = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {v_0 = \dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \textcolor{green}{2x} &= \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\pi}{6} + \pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k \( {k = 0} \) gir: \[ x = \dfrac{\pi}{6}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} \]

\( {k = 1} \) gir: \[ x = \dfrac{7\pi}{6}, \quad x = \dfrac{4\pi}{3} \]

\( {k = 2} \) gir verdier større enn \( 2\pi\text{,} \) og \( {k = -1} \) gir negative verdier.

To logaritmer er like bare når tallene inni er like. Det gir en andregradslikning, og til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Sett tallene inni like Vi flytter over: \[ \ln(x^2) = \ln(3x - 2) \]

\( \ln \) er voksende, så to like logaritmer må ha samme tall inni: \[ \begin{aligned} x^2 &= 3x - 2 \\ x^2 - 3x + 2 &= 0 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 1}{2} \\ x &= 1 \quad \text{eller} \quad x = 2 \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} x = 1: \quad x^2 &= 1, \quad 3x - 2 = 1 \\ x = 2: \quad x^2 &= 4, \quad 3x - 2 = 4 \end{aligned} \]

Alle tallene er positive, så begge løsningene gjelder.

Vi finner kvotienten ved å dele et ledd på leddet foran. En geometrisk rekke er konvergent når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \)

1. Finn kvotienten Kvotienten er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{red}{k} = \dfrac{4e^x}{2} = \textcolor{red}{2e^x} \]

Det samme får vi mellom de neste leddene: \[ \dfrac{8e^{2x}}{4e^x} = 2e^x \]

2. Bruk kravet til konvergens Videoen Geometrisk rekke test forteller oss at rekken er konvergent når: \[ -1 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

\( e^x \) er alltid positiv, så \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2e^x} > 0}\text{.} \) Dermed er kravet: \[ 0 < \textcolor{red}{k} < 1 \]

3. Finn hva det betyr for x Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2e^x} &< 1 \\ e^x &< \dfrac{1}{2} \\ x &< \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^3 + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{3x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{blue}{x^3 + 1}) - \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{3x^2}}{(\textcolor{blue}{x^3 + 1})^2} \\ &= \dfrac{x^3 + 1 - 3x^3}{(x^3 + 1)^2} \\ &= \dfrac{1 - 2x^3}{(x^3 + 1)^2} \end{aligned} \]

Vi skriver roten som en potens og flytter eksponenten ut foran logaritmen. Så står vi igjen med \( \ln \) av en kjerne.

1. Skriv om uttrykket Logaritmeregelen, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln a^b = b \ln a \]

Roten er det samme som \( \dfrac{1}{2} \) i eksponenten. Det gir oss: \[ \begin{aligned} g(x) &= \ln\left(\left(\cos 2x\right)^{\tfrac{1}{2}}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(\cos 2x) \end{aligned} \]

2. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos 2x}}\text{.} \) Den deriverer vi med Kjerneregelen én gang til, med \( 2x \) som indre kjerne: \[ \left(\cos v\right)' = -\sin v \cdot v' \]

Det gir oss: \[ \textcolor{green}{u'} = -\sin(2x) \cdot 2 = \textcolor{green}{-2\sin 2x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos 2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2\sin 2x}) \\ &= -\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} \\ &= -\tan 2x \end{aligned} \]

Vi deler brøken i to og skriver alt som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi integrere ledd for ledd.

1. Skriv om brøken Siden \( {x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}} &= \dfrac{2}{x^{\tfrac{3}{2}}} + \dfrac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} \\ &= \textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}} + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for en potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at, for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

\( {\textcolor{red}{2x^{-\tfrac{3}{2}}}} \) integrert blir med \( {n = -\dfrac{3}{2}}\text{:} \) \[ 2 \cdot \dfrac{x^{-\tfrac{1}{2}}}{-\tfrac{1}{2}} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{\sqrt{x}}}} \]

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \) integrert blir \( \ln\text{,} \) som i samme video. \( \sqrt{x} \) krever \( {x > 0}\text{,} \) så vi trenger ikke absoluttverdi: \[ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \underline{\textcolor{blue}{\ln x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \dfrac{2 + \sqrt{x}}{x\sqrt{x}}\,dx = \textcolor{blue}{\ln x} \textcolor{red}{- \dfrac{4}{\sqrt{x}}} + C \]

Den øvre grensen er uendelig, så vi integrerer opp til \( b \) og lar \( b \) vokse. Integralet løser vi med substitusjon, siden \( x \) nesten er den deriverte av eksponenten.

1. Skriv integralet som en grense Vi skriver det uegentlige integralet som en grenseverdi, som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx \]

2. Bruk substitusjon Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x^2} \\ du &= -2x\,dx \\ x\,dx &= -\dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir også nye: \[ \begin{aligned} x = 0 &\Rightarrow u = 1 \\ x = b &\Rightarrow u = 1 - b^2 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int_0^b x e^{1 - x^2}\,dx &= -\dfrac{1}{2}\int_1^{1 - b^2} e^{\textcolor{green}{u}}\,du \\ &= -\dfrac{1}{2}\left[e^u\right]_1^{1 - b^2} \\ &= \dfrac{e}{2} - \dfrac{1}{2}e^{1 - b^2} \end{aligned} \]

3. La b vokse Når \( b \) vokser, går eksponenten \( {1 - b^2} \) mot minus uendelig: \[ \lim_{b \to \infty} e^{1 - b^2} = 0 \]

Det betyr at: \[ \int_0^{\infty} x e^{1 - x^2}\,dx = \dfrac{e}{2} - 0 = \dfrac{e}{2} \]

Likningen er lineær av første orden, så vi ganger med en integrerende faktor. Til slutt bruker vi randkravet til å finne konstanten.

1. Finn den integrerende faktoren For en likning \( {y' + \textcolor{red}{P(x)}y = K(x)} \) er den integrerende faktoren, som i videoen Integrerende Faktor: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{P(x)}\,dx} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{P(x)} = \textcolor{red}{x^2}, \quad K(x) = x^2 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{blue}{f(x)} = e^{\int \textcolor{red}{x^2}\,dx} = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

2. Gang og integrer Ganger vi hele likningen med faktoren, får vi: \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y' + x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Venstresiden er den deriverte av et produkt: \[ \left(\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y\right)' = x^2\textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} \]

Vi integrerer begge sider. Høyresiden løser vi med \( {u = \dfrac{x^3}{3}} \) og \( {du = x^2\,dx}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}}y = \textcolor{blue}{e^{\tfrac{x^3}{3}}} + C \]

Deler vi på faktoren, får vi: \[ y = 1 + Ce^{-\tfrac{x^3}{3}} \]

3. Bruk randkravet Vi setter inn \( {x = 0} \) og \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= 1 + C \cdot e^0 \\ C &= -1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ y = 1 - e^{-\tfrac{x^3}{3}} \]