Forkurseksamen etter tema

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd.

1. Integrer ledd for ledd Reglene vi trenger, kommer etter hverandre i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \\ \int \dfrac{1}{x}\,dx &= \ln|x| + C \\ \int e^x\,dx &= e^x + C \end{aligned} \]

\( \textcolor{blue}{4x} \) integrert blir: \[ \int 4x\,dx = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^2 = \textcolor{blue}{\underline{2x^2}} \]

\( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{x}}} \) integrert blir: \[ \int -\dfrac{2}{x}\,dx = \textcolor{red}{\underline{-2\ln|x|}} \]

\( \textcolor{green}{2e^x} \) integrert blir: \[ \int 2e^x\,dx = \textcolor{green}{\underline{2e^x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{blue}{2x^2} \textcolor{red}{{}- 2\ln|x|} \textcolor{green}{{}+ 2e^x} + C \]

Integranden er et produkt, og vi kan ikke integrere den direkte. Vi bruker derfor delvis integrasjon, og velger \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon. Det samme integralet er regnet i videoen Oppgave 3A - Delvis Integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x\ln x\,dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

Vi ser at nevneren kan faktoriseres og at telleren har lavere grad, så vi bruker delbrøksoppspalting.

1. Faktoriser nevneren Nevneren har nullpunktene \( {x = 2} \) og \( {x = -1}\text{,} \) siden \( {2 + (-1) = 1} \) og \( {2 \cdot (-1) = -2}\text{:} \) \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Vi ganger begge sider med \( {(x - 2)(x + 1)}\text{:} \) \[ 3x - 3 = \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \]

Med \( {x = 2} \) faller leddet med \( \textcolor{red}{B} \) bort: \[ \begin{aligned} 3 &= 3\textcolor{blue}{A} \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {x = -1} \) faller leddet med \( \textcolor{blue}{A} \) bort: \[ \begin{aligned} -6 &= -3\textcolor{red}{B} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

3. Integrer hver delbrøk Integralet av \( {\dfrac{1}{x + n}} \) er \( {\ln|x + n|}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{2}}{x + 1}\right) dx \\ &= \textcolor{blue}{1} \cdot \ln|x - 2| + \textcolor{red}{2} \ln|x + 1| + C \\ &= \ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C \end{aligned} \]

Vi integrerer et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Faktoren \( x \) blir enklere når den deriveres, så den setter vi som \( u\text{.} \)

1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\, dx \]Videoen Delvis integrasjon regner akkurat dette integralet, uten grenser.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

2. Finn det ubestemte integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int x \sin x\, dx \\ &= \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) - \int (\textcolor{blue}{-\cos x}) \cdot \textcolor{red}{1}\, dx \\ &= -x\cos x + \int \cos x\, dx \\ &= -x\cos x + \sin x + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\Big[-x\cos x + \sin x\Big]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= \left(-\dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &\quad - (-0 \cdot \cos 0 + \sin 0) \\ &= (0 + 1) - (0 + 0) \\ &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for volumet av et omdreiningslegeme. Grensene er endepunktene der funksjonen er definert.

1. Finn grensene Uttrykket under roten må ikke være negativt. Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -4} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og mellom dem er begge positive: \[ \begin{aligned} &(4 + x)(4 - x) \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ &-4 \leq x \leq 4 \end{aligned} \]

2. Skriv opp volumformelen Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_{\textcolor{green}{a}}^{\textcolor{green}{b}} \textcolor{blue}{f(x)^2}\, dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-4}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{4} \\ \textcolor{blue}{f(x)^2} &= (4 + x)(4 - x) = \textcolor{blue}{16 - x^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\textcolor{green}{-4}}^{\textcolor{green}{4}} (\textcolor{blue}{16 - x^2})\, dx \\ &= \pi \left[16x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{4} \\ &= \pi \left(64 - \dfrac{64}{3}\right) \\ &\quad - \pi \left(-64 + \dfrac{64}{3}\right) \\ &= \pi \left(128 - \dfrac{128}{3}\right) \\ &= \dfrac{256\pi}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u og deriver Substitusjon forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'}\,dx = \int f(\textcolor{green}{u})\,d\textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + x} \\ d\textcolor{green}{u} &= (2x + 1)\,dx \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x}\,dx = \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \]

Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln \) av absoluttverdien, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} = \ln|\textcolor{green}{u}| + C \]

Bytter vi tilbake til \( x\text{,} \) får vi: \[ \ln|\textcolor{green}{x^2 + x}| + C \]

Vi integrerer et produkt av et polynom og \( e^x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og lar polynomet være det vi deriverer.

1. Finn delene i regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( e^x \) integrert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\Big[(\textcolor{red}{2x + 1})\textcolor{blue}{e^x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{e^x}\,dx \\ &= \Big[(2x + 1)e^x\Big]_0^1 - \Big[2e^x\Big]_0^1 \\ &= (3e^1 - 1 \cdot e^0) - (2e^1 - 2e^0) \\ &= (3e - 1) - (2e - 2) \\ &= e + 1 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( e^{2x}\text{,} \) og at \( 2x \) blir enklere når vi deriverer. Derfor bruker vi delvis integrasjon.

1. Skriv opp formelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{2x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} \end{aligned} \]Regelen for \( \textcolor{blue}{v} \) finner du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \cdot e^{2x}\,dx \\ &= \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}\,dx \\ &= xe^{2x} - \int e^{2x}\,dx \\ &= xe^{2x} - \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2x \) er den deriverte av eksponenten \( x^2\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = x^2}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon, og deriverer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ d\textcolor{green}{u} &= 2x\,dx \end{aligned} \]

2. Bytt grensene Grensene gjelder \( x\text{,} \) så vi regner dem om til \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0: \quad \textcolor{green}{u} &= 0^2 = 0 \\ x = 1: \quad \textcolor{green}{u} &= 1^2 = 1 \end{aligned} \]

3. Sett inn og integrer Setter vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\,dx &= \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \left[ e^{\textcolor{green}{u}} \right]_0^1 \\ &= e^1 - e^0 \\ &= e - 1 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( \ln x\text{,} \) så vi bruker delvis integrasjon.

1. Velg u og v' 0:33 Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \, dx \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) er lett å derivere og vanskelig å integrere, så vi velger den som \( \textcolor{red}{u}\text{.} \) Konstanten i \( \textcolor{blue}{v} \) trenger vi ikke her. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen 1:48 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \ln x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{x^2} \, dx \\ &= x^2 \ln x - \int x \, dx \end{aligned} \]

3. Løs det siste integralet 2:40 Dette integralet løser vi med regelen for potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x \, dx = \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int 2x \ln x \, dx = x^2 \ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

Vi ser at \( 6x \) er tre ganger den deriverte av eksponenten \( x^2\text{.} \) Da kan vi gjette svaret med kjerneregelen, og så regne det ut med substitusjon.

1. Se hva som derivert gir integranden 0:09 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}}\right)' = e^{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{x^2}, \quad \textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2x} \]

Plugger vi dette inn, med en faktor \( 3 \) foran, får vi akkurat det som står i integralet: \[ \left(3e^{\textcolor{green}{x^2}}\right)' = 3e^{\textcolor{green}{x^2}} \cdot \textcolor{green}{2x} = 6x \cdot e^{x^2} \]

2. Regn det ut med substitusjon 1:37 Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, forkorter \( x \) seg bort: \[ \begin{aligned} &\int 6x \cdot e^{x^2} \, dx \\ &= \int 6x \cdot e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x} \\ &= 3\int e^{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} = 3e^{\textcolor{green}{u}} + C \end{aligned} \]

Til slutt går vi tilbake fra \( \textcolor{green}{u} \) til \( x\text{:} \) \[ 3e^{\textcolor{green}{u}} + C = 3e^{x^2} + C \]

Vi ser en brøk med et polynom av grad \( 2 \) i nevneren. Da bruker vi delbrøkoppspalting, og integrerer hver delbrøk med substitusjon.

1. Faktoriser nevneren 0:22 Konjugatsetningen forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) = \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 9x^2 - 1 = (\textcolor{blue}{3x} - \textcolor{red}{1})(\textcolor{blue}{3x} + \textcolor{red}{1}) \]

2. Sett opp delbrøkene 2:00 Vi skriver brøken som en sum, med én faktor i hver nevner, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{9x^2 - 1} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{A}}{3x - 1} + \dfrac{\textcolor{magenta}{B}}{3x + 1} \]

3. Finn A og B 3:23 Vi setter på felles nevner, og da må tellerne være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{A}(3x + 1) + \textcolor{magenta}{B}(3x - 1) &= 4 \\ (3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B})x + (\textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B}) &= 0 \cdot x + 4 \end{aligned} \]

Det som står foran \( x \) og konstantene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{darkorange}{A} + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{darkorange}{A} - \textcolor{magenta}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Fra den andre likningen er \( {\textcolor{darkorange}{A} = 4 + \textcolor{magenta}{B}}\text{.} \) Setter vi det inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3(4 + \textcolor{magenta}{B}) + 3\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ 12 + 6\textcolor{magenta}{B} &= 0 \\ \textcolor{magenta}{B} &= -2 \\ \textcolor{darkorange}{A} &= 4 - 2 = 2 \end{aligned} \]

4. Skriv om integralet 9:31 Med \( \textcolor{darkorange}{A} \) og \( \textcolor{magenta}{B} \) kan vi dele integralet i to: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4}{9x^2 - 1} \, dx \\ &= \int \dfrac{\textcolor{darkorange}{2}}{3x - 1} \, dx + \int \dfrac{\textcolor{magenta}{-2}}{3x + 1} \, dx \end{aligned} \]

5. Integrer med substitusjon 11:10 Begge integralene bruker denne regelen, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

I det første setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x - 1}}\text{,} \) deriverer og løser for \( dx\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 3 \\ dx &= \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{3x - 1}} \, dx &= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{green}{3x - 1}| + C_1 \end{aligned} \]

I det andre setter vi \( {\textcolor{magenta}{k} = \textcolor{magenta}{3x + 1}}\text{.} \) Da er på samme måte: \[ dx = \dfrac{d\textcolor{magenta}{k}}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{-2}{\textcolor{magenta}{3x + 1}} \, dx &= -\dfrac{2}{3}\int \dfrac{1}{\textcolor{magenta}{k}} \, d\textcolor{magenta}{k} \\ &= -\dfrac{2}{3}\ln|\textcolor{magenta}{3x + 1}| + C_2 \end{aligned} \]

6. Slå sammen 15:29 Vi slår konstantene sammen til én \( C \) og setter \( \dfrac{2}{3} \) utenfor. Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{3}\left(\ln|3x - 1| - \ln|3x + 1|\right) + C \\ &= \dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\right| + C \end{aligned} \]

Vi kan samle \( y \) på den ene siden og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Integralet av \( 2x\ln x \) tar vi med delvis integrasjon.

1. Separer likningen Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( y \) og \( x \) hver for seg, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x\ln x}{y} \\ y\,dy &= 2x\ln x\,dx \end{aligned} \]

Integrerer vi begge sider, får vi: \[ \int y\,dy = \int 2x\ln x\,dx \]

Venstre side blir: \[ \underline{\dfrac{1}{2}y^2} \]

2. Integrer høyre side Høyre side er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Den forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= \underline{x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K} \end{aligned} \]

3. Løs for y Slår vi dette sammen, får vi: \[ \dfrac{1}{2}y^2 = x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + K \]

Vi ganger med \( 2 \) og kaller konstanten \( 2K \) for \( C\text{:} \) \[ y^2 = 2x^2\ln x - x^2 + C \]

Siden \( {y > 0}\text{,} \) tar vi den positive roten: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + C} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den generelle løsningen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter punktet inn i den generelle løsningen og løser for konstanten \( C\text{.} \)

1. Finn konstanten Vi setter inn \( {y = \textcolor{red}{2}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) i den generelle løsningen, som i videoen Differensialligning oppgave 3: \[ \textcolor{red}{2} = \sqrt{2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 \cdot \ln \textcolor{blue}{1} - \textcolor{blue}{1}^2 + C} \]

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \) Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 4 &= -1 + C \\ C &= 5 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i den generelle løsningen, får vi: \[ y = \sqrt{2x^2\ln x - x^2 + 5} \]

Vi starter med formelen for \( \cos 2x\text{,} \) og bruker enhetsformelen til å få bort \( \cos^2 x\text{.} \)

1. Skriv opp de to formlene Formelen for dobbel vinkel og enhetsformelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{\cos^2 x} - \sin^2 x \\ \textcolor{red}{\cos^2 x} &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} \end{aligned} \]Enhetsformelen er Pytagoras på katetene i enhetssirkelen, som du ser i videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Sett inn og løs for sinus Plugger vi den andre inn i den første, får vi: \[ \begin{aligned} \cos 2x &= \textcolor{red}{1 - \sin^2 x} - \sin^2 x \\ \cos 2x &= 1 - 2\sin^2 x \end{aligned} \]

Vi løser for \( \sin^2 x \) og får: \[ \begin{aligned} 2\sin^2 x &= 1 - \cos 2x \\ \sin^2 x &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( f \) om til en vanlig cosinusfunksjon. Da kan vi lese av alle de tre størrelsene.

1. Skriv om funksjonen Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x) \\ &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\cos(\textcolor{blue}{2}x) + \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Les av størrelsene En cosinusfunksjon på formen \( {\textcolor{red}{A}\cos(\textcolor{blue}{k}x) + \textcolor{green}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= |\textcolor{red}{A}| \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{d} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{k}} \end{aligned} \]At sinus og cosinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) ser du i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= \left|\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}\right| = \dfrac{1}{2} \\ \text{likevektslinje} &: \ y = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}} \\ \text{periode} &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{2}} = \pi \end{aligned} \]

Vi bruker amplituden \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) likevektslinjen \( {y = \dfrac{1}{2}} \) og perioden \( \pi \) fra b).

Vi regner ut funksjonsverdien der grafen snur, og tegner en bølge gjennom punktene.

1. Regn ut punktene Grafen svinger \( \dfrac{1}{2} \) opp og ned fra \( {y = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) altså mellom \( 0 \) og \( 1\text{.} \) Perioden er \( \pi\text{,} \) så den snur for hver \( \dfrac{\pi}{2}\text{.} \) Sinusverdiene står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \sin^2 0 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(\pi)} &= \sin^2 \pi = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{blue}{f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)} &= \sin^2 \tfrac{3\pi}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{blue}{f(2\pi)} &= \sin^2 2\pi = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Tegn grafen Vi tegner en jevn bølge gjennom punktene, med to hele perioder på intervallet:

Verdimengden er alle verdiene funksjonen kan få. Vi starter med hva vi vet om sinus.

1. Finn største og minste verdi Sinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Da er \( \sin^2 x \) høyst \( 1\text{,} \) og et kvadrat er aldri negativt: \[ \begin{aligned} |\sin x| \leq 1 \ &\Rightarrow \ \sin^2 x \leq 1 \\ \sin^2 x &\geq 0 \end{aligned} \]

Begge endene blir nådd, og \( f \) er kontinuerlig, så den får også alle verdiene imellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(0)} &= \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)} &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: formelen står i oppgaveteksten i a).

Formelen gjør \( \sin^2 x \) om til to ledd som er enkle å integrere. Vi tar dem ledd for ledd.

1. Skriv om integralet Formelen fra a) gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \sin^2 x \, dx \\ &= \int \left(\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{2}\cos 2x}\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x}}\text{.} \)

For det andre leddet forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \cos(nx)\,dx = \dfrac{1}{n}\sin(nx) + C \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\cos 2x}\,dx \\ &= -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2x + C \\ &= \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}\sin 2x}} + C \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}x} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{4}\sin 2x} + C \]

I e) fant vi at \[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C \]

Vi skriver \( \sin^2 x \) som et produkt. Da dukker det opprinnelige integralet opp igjen, og vi kan løse for det som i en likning.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på metoden, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Vi skriver \( {\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I &= \int \sin^2 x \, dx \\ &= \textcolor{red}{\sin x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\cos x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x})\,dx \\ &= -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx \end{aligned} \]

2. Løs for integralet Enhetsformelen gir \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x}\text{.} \) Da kommer \( \textcolor{darkorange}{I} \) tilbake på høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2 x)dx \\ &= -\sin x \cos x + \int 1\,dx - \textcolor{darkorange}{I} \\ \textcolor{darkorange}{I} &= -\sin x \cos x + x - \textcolor{darkorange}{I} \end{aligned} \]

Vi legger \( \textcolor{darkorange}{I} \) til på begge sider, deler på \( 2 \) og tar med konstanten: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{I} &= x - \sin x \cos x + C_1 \\ \textcolor{darkorange}{I} &= \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\sin x \cos x + C \end{aligned} \]

3. Sammenlign med e) Resultatet ser annerledes ut enn i e). Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]

Plugger vi denne inn i svaret fra e), får vi: \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{4}\sin 2x &= -\dfrac{1}{4} \cdot 2\sin x \cos x \\ &= -\dfrac{1}{2}\sin x \cos x \end{aligned} \]

De to svarene er altså det samme uttrykket, skrevet på to måter.

Vi ser et produkt av \( x \) og \( e^x\text{.} \) \( x \) blir enklere når den deriveres, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Bruk delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'} \, dx \]Hvis du er usikker på delvis integrasjon, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^x \, dx &= \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - \int \textcolor{blue}{e^x} \cdot \textcolor{red}{1} \, dx \\ &= x e^x - e^x + C \\ &= (x - 1)e^x + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2\pi x \) er den deriverte av det som står inni sinus. Vi bruker derfor substitusjon.

1. Velg substitusjonen Vi setter det som står inni sinus lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x^2 + 1} \\ \dfrac{du}{dx} &= \textcolor{blue}{2\pi x} \\ du &= \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx \end{aligned} \]

2. Integrer og sett tilbake Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{blue}{2\pi x} \, dx = \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du \]

Sinus integrert er minus cosinus, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \sin(\textcolor{green}{u}) \, du = -\cos(\textcolor{green}{u}) + C \]

Setter vi tilbake \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x^2 + 1}}\text{,} \) får vi: \[ -\cos(\textcolor{green}{\pi x^2 + 1}) + C \]

Nevneren er allerede faktorisert, så vi deler brøken opp med delbrøksoppspalting. Da kan vi integrere hver del for seg.

1. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x - 1}{(x + 1)(x - 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x - 3} \]

Ganger vi med \( {(x + 1)(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x - 3) + \textcolor{blue}{B}(x + 1) \\ x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x - 3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

2. Finn konstantene Leddene med \( x \) og konstantleddene må være like på hver side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 1 \\ -3\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{red}{A} &= 2 \\ \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \\ \textcolor{blue}{B} &= 1 - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

3. Integrer delbrøkene Regelen for brøken, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{x + n} \, dx = \ln|x + n| + C \]

Nevnerne er ikke \( 0 \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så integralet finnes. En konstant foran brøken blir stående. Plugger vi inn konstantene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{red}{1/2}}{x + 1} + \dfrac{\textcolor{blue}{1/2}}{x - 3}\right) dx \\ &= \left[\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln|x + 1| + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln|x - 3|\right]_0^1 \end{aligned} \]

4. Sett inn grensene Med \( {x = 1} \) og \( {x = 0} \) får vi: \[ \begin{aligned} x = 1 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 2 = \ln 2 \\ x = 0 &: \ \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\ln 1 + \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln 3 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, og bruker logaritmereglene, får vi: \[ \begin{aligned} \ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln 3 &= \dfrac{1}{2}(\ln 4 - \ln 3) \\ &= \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

For å finne nullpunkt setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonen lik null Vi setter uttrykket lik \( 0\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 1}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

\( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{e^x} > 0 \]

Da må den andre faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Så setter vi den deriverte lik \( 0 \) og ser på fortegnet rundt punktet.

1. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 1}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x (1 + x - 1) \\ &= x e^x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{magenta}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ x = 0 \]

3. Finn fortegnet til den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene:

:::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "x*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så her er et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = 0} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(0) = (0 - 1) \cdot e^0 = -1 \]

Den deriverte er bare \( 0 \) i dette ene punktet, så funksjonen har ingen toppunkt.

Vi bruker den deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0 \) og skifter fortegn. Vi deriverer derfor \( f'(x) \) én gang til.

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = x e^x \]

Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= (x + 1)e^x \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ (\textcolor{magenta}{x + 1}) \cdot \textcolor{darkorange}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ x = -1 \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene:

:::fortegnsskjema {"points": [-1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f''(x)", "expr": "(x + 1)*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = -1} \) går \( f''(x) \) fra minus til pluss, så her er et vendepunkt.

4. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = -1} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(-1) = (-1 - 1) \cdot e^{-1} = -\dfrac{2}{e} \]

Vi bruker den deriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

For å skrive opp tangenten trenger vi funksjonsverdien og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \)

1. Skriv opp tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = f'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + f(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje.

I b) fant vi \( {f'(x) = x e^x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{1} \\ f(\textcolor{green}{1}) &= (1 - 1) \cdot e^1 = \textcolor{red}{0} \\ f'(\textcolor{green}{1}) &= 1 \cdot e^1 = \textcolor{blue}{e} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{blue}{e}(x - \textcolor{green}{1}) + \textcolor{red}{0} \\ &= ex - e \end{aligned} \]

Vi bruker punktene fra a), b) og c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi samler punktene vi har funnet, finner hva grafen gjør til venstre og til høyre, og tegner kurven gjennom punktene.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{nullpunkt: } & (1, 0) \\ \text{bunnpunkt: } & (0, -1) \\ \text{vendepunkt: } & \left( -1, -\dfrac{2}{e} \right) \end{aligned} \]

Vi regner ut to punkter til, ett på hver side, som i videoen Grenseverdier, der vi setter inn verdier for å se hva grafen gjør: \[ \begin{aligned} f(2) &= (2 - 1) \cdot e^2 \\ &= e^2 \approx 7{,}4 \\ f(-3) &= (-3 - 1) \cdot e^{-3} \\ &= -\dfrac{4}{e^3} \approx -0{,}2 \end{aligned} \]

2. Finn formen til grafen Vi lar \( x \) bli stor og negativ. Da går \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) mot minus uendelig og \( \textcolor{blue}{e^x} \) mot \( 0\text{,} \) så det kan vi ikke avgjøre med en gang.

\( \textcolor{blue}{e^x} \) går mot \( 0 \) mye raskere enn \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) vokser. \( {\textcolor{red}{x - 1}} \) er negativ, så grafen nærmer seg \( {x\text{-aksen}} \) nedenfra: \[ \lim_{x \to -\infty} (\textcolor{red}{x - 1})\textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Når \( x \) blir stor, vokser begge faktorene: \[ \lim_{x \to \infty} (\textcolor{red}{x - 1})\textcolor{blue}{e^x} = \infty \]

3. Tegn grafen Grafen synker ned til bunnpunktet og stiger så gjennom nullpunktet:

Fra \( {x = 1} \) til \( {x = 2} \) ligger grafen over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( f\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi bruker delvis integrasjon.

1. Sett opp integralet For \( {x \geq 1} \) er begge faktorene ikke-negative: \[ (x - 1) \geq 0, \qquad e^x > 0 \]

Arealet under grafen er derfor integralet fra \( 1 \) til \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_1^2 (x - 1)e^x \, dx \]

2. Skriv opp delvis integrasjon Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v'} \, dx = \Big[ \textcolor{red}{u} \textcolor{blue}{v} \Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'} \textcolor{blue}{v} \, dx \]Se videoen Delvis integrasjon hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \Big[ (\textcolor{red}{x - 1}) \textcolor{blue}{e^x} \Big]_1^2 - \int_1^2 \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \, dx \\ &= \Big[ (x - 1)e^x \Big]_1^2 - \Big[ e^x \Big]_1^2 \\ &= (e^2 - 0) - (e^2 - e) \\ &= e \end{aligned} \]