Forkurseksamen etter tema

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

Grafen skjærer \( x \)-aksen der telleren er \( 0\text{,} \) og \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med x-aksen En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -4 \quad \text{eller} \quad x = 1 \]Nevneren er ikke \( 0 \) i noen av dem, så begge er nullpunkter.

2. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 + 3 \cdot 0 - 4}{0 + 2} = \dfrac{-4}{2} = -2 \]

Vi ser etter en vertikal asymptote der nevneren er \( 0\text{.} \) Siden telleren har én grad høyere enn nevneren, finner vi en skrå asymptote med polynomdivisjon.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi finner hvor nevneren er \( 0\text{:} \) \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

Vi ser hva telleren er der: \[ (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 4 = -6 \neq 0 \]Telleren er ikke \( 0\text{,} \) så \( f(x) \) går mot pluss eller minus uendelig når \( x \) nærmer seg \( {-2}\text{.} \) Linja \( {x = -2} \) er en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler telleren på nevneren med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 2) &= x^2 + 2x \\ -(x^2 + 2x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 2x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {3x - 2x = x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{1} \\ \textcolor{magenta}{1} \cdot (x + 2) &= x + 2 \\ -(x + 2) &= \textcolor{magenta}{-x - 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 3x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 2) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 3x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 2x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x}} & \textcolor{magenta}{{}- 2} \\ \hline & & -6 \end{array} \end{array} \]\( x \) strykes mot \( {-x}\text{,} \) og \( {-4 - 2 = -6}\text{.} \) Tallet \( {-6} \) har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og \( {-6} \) er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret: \[ \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}+ 1} + \dfrac{-6}{x + 2} = x + 1 - \dfrac{6}{x + 2} \]

3. Finn den skrå asymptoten Funksjonen er altså: \[ f(x) = \textcolor{blue}{x + 1} - \dfrac{6}{x + 2} \]

Når \( x \) blir veldig stor eller veldig liten, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{6}{x + 2} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{blue}{x + 1}}\text{,} \) som er en skrå asymptote. Siden \( f(x) \) ikke går mot et fast tall, er det ingen horisontal asymptote.

Vi bruker skjæringspunktene fra a) og asymptotene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tegner asymptotene først, setter inn skjæringspunktene og regner ut noen få verdier til. Så tegner vi grafen gjennom punktene, tett inntil asymptotene.

1. Sett opp det vi vet I a) fant vi skjæringspunktene: \[ (-4, 0), \quad (1, 0), \quad (0, -2) \]

I b) fant vi asymptotene: \[ \textcolor{red}{x = -2}, \quad \textcolor{blue}{y = x + 1} \]

2. Regn ut noen verdier Vi setter inn noen \( x \)-verdier på hver side av \( {x = -2}\text{,} \) slik vi setter inn verdier for å tegne en graf i videoen Grenseverdier: \[ \begin{aligned} f(-6) &= \dfrac{14}{-4} = -\dfrac{7}{2} \\ f(-3) &= \dfrac{-4}{-1} = 4 \\ f(-1) &= \dfrac{-6}{1} = -6 \\ f(2) &= \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\ f(4) &= \dfrac{24}{6} = 4 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi tegner \( {\textcolor{red}{x = -2}} \) og \( {\textcolor{blue}{y = x + 1}} \) stiplet. Fra b) vet vi hvor langt grafen er fra den skrå linja: \[ f(x) - (\textcolor{blue}{x + 1}) = -\dfrac{6}{x + 2} \]

Brøken er positiv til venstre for \( {\textcolor{red}{x = -2}}\text{,} \) så der ligger grafen over linja og går mot pluss uendelig inntil asymptoten.

Til høyre ligger den under linja og kommer fra minus uendelig.

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det.

1. Sett telleren lik null Slik finner vi nullpunktet til en brøk i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2x^2 - 4} &= 0 \\ x^2 &= 2 \\ x &= \pm\sqrt{2} \end{aligned} \]

2. Sjekk nevneren Vi setter inn \( {x = \pm\sqrt{2}} \) i nevneren: \[ \textcolor{blue}{(\pm\sqrt{2})^2 - 4} = 2 - 4 = -2 \neq 0 \]Begge verdiene er derfor nullpunkter.

En vertikal asymptote er der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det. Den horisontale finner vi ved å la \( x \) gå mot pluss og minus uendelig.

1. Finn de vertikale asymptotene Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \]

Vi setter inn i telleren: \[ 2 \cdot (\pm 2)^2 - 4 = 8 - 4 = 4 \neq 0 \]Da har vi vertikale asymptoter i \( {x = -2} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

2. Finn den horisontale asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Både teller og nevner vokser da uten grense. Det er typen \( \dfrac{\infty}{\infty}\text{,} \) så vi deler begge på \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x^2 - 4}{x^2 - 4} &= \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}}{1 - \dfrac{4}{\textcolor{darkorange}{x^2}}} \\ &= \dfrac{2 - 0}{1 - 0} = 2 \end{aligned} \]Da har vi en horisontal asymptote i \( {y = 2}\text{.} \)

\( g \) er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen. Så setter vi \( {g'(x) = 0} \) og bruker et fortegnsskjema for å se om punktet er et topp- eller bunnpunkt.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2 - 4} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{4x}(\textcolor{blue}{x^2 - 4}) - (\textcolor{red}{2x^2 - 4})\textcolor{blue}{2x}}{(\textcolor{blue}{x^2 - 4})^2} \\ &= \dfrac{4x^3 - 16x - 4x^3 + 8x}{(x^2 - 4)^2} \\ &= \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2} \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {g'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Brøken er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{-8x} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]Nevneren er \( {(0 - 4)^2 = 16 \neq 0}\text{,} \) så \( {x = 0} \) gjelder.

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi fra fortegnene til \( {\textcolor{magenta}{-8x}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}}\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 0, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-8x}", "expr": "-8x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)^2}", "expr": "(x^2 - 4)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "-8x/(x^2 - 4)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes.

I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \pm 2} \) finnes ikke \( g\text{,} \) så der er det ingen topp- eller bunnpunkter.

Vi setter inn \( {x = 0} \) i \( g(x) \) for å finne \( {y\text{-verdien:}} \) \[ g(0) = \dfrac{2 \cdot 0^2 - 4}{0^2 - 4} = \dfrac{-4}{-4} = 1 \]

I c) fant vi \( {g'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2 - 4)^2}}\text{.} \)

Vi deriverer \( g'(x) \) med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. Et vendepunkt krever at \( g''(x) \) skifter fortegn der \( g \) finnes.

1. Deriver nevneren Nevneren har kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{x^2 - 4}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{w}^2)' = 2\textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left((\textcolor{green}{x^2 - 4})^2\right)' &= 2(\textcolor{green}{x^2 - 4}) \cdot \textcolor{green}{2x} \\ &= 4x(x^2 - 4) \end{aligned} \]

2. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen, som i videoen Kvotientregelen, forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-8x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-8} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i telleren \( {\textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}}\text{,} \) og setter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}} \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{-8}\textcolor{blue}{(x^2 - 4)^2} - (\textcolor{red}{-8x})\textcolor{blue}{4x(x^2 - 4)} \\ &= -8(x^2 - 4)^2 + 32x^2(x^2 - 4) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}\left(-8(x^2 - 4) + 32x^2\right) \\ &= \textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32) \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{blue}{v}^2 = (x^2 - 4)^4}\text{.} \) Vi forkorter \( {\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g''(x) &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x^2 - 4)}(24x^2 + 32)}{(x^2 - 4)^4} \\ &= \dfrac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3} \end{aligned} \]

3. Se etter vendepunkt Et vendepunkt krever at \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 24x^2 + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -\dfrac{4}{3} \]Et kvadrat kan ikke være negativt, så likningen har ingen løsning. Telleren \( {24x^2 + 32} \) er alltid positiv, så fortegnet kommer fra nevneren \( {(x^2 - 4)^3}\text{,} \) som skifter fortegn bare i \( {x = \pm 2}\text{.} \) Der finnes ikke \( g\text{.} \)

Vi bruker nullpunktene fra a), asymptotene fra b), toppunktet og fortegnsskjemaet fra c), og at det ikke er noen vendepunkter fra d).

Vi tegner asymptotene først og merker punktene. Så finner vi om grafen ligger over eller under \( {y = 2}\text{,} \) og tegner en del av grafen for hvert intervall.

1. Samle det vi har funnet Dette skal inn i koordinatsystemet: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \ & x = \pm 2, \ y = 2 \\ \text{Nullpunkter:} \ & (-\sqrt{2}, 0), \ (\sqrt{2}, 0) \\ \text{Toppunkt:} \ & (0, 1) \end{aligned} \]

2. Finn hvor grafen ligger Vi trekker fra den horisontale asymptoten: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g(x)} - 2 &= \dfrac{2x^2 - 4 - 2(x^2 - 4)}{x^2 - 4} \\ &= \dfrac{4}{x^2 - 4} \end{aligned} \]

Brøken er positiv når \( {|x| > 2} \) og negativ når \( {|x| < 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |x| > 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} > 2 \\ |x| < 2: \quad & \textcolor{blue}{g(x)} < 2 \end{aligned} \]

Fortegnet til \( g'(x) \) fra c), som vi leser av som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering, sier hvor grafen stiger og synker: \[ \begin{aligned} x < -2: \quad & \text{stiger mot } +\infty \\ -2 < x < 0: \quad & \text{stiger til } (0, 1) \\ 0 < x < 2: \quad & \text{synker mot } -\infty \\ x > 2: \quad & \text{synker mot } y = 2 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Vi trekker asymptotene stiplet, merker punktene og tegner de tre delene gjennom dem:

Vi ser hvilke \( x \) vi kan sette inn i de to faktorene. For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Både \( {x - 2} \) og \( e^x \) kan regnes ut for alle tall, så: \[ D_f = \mathbb{R} \]

2. Finn nullpunktene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025. Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 2} &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Finn delene i regelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

\( e^x \) derivert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= e^x(1 + x - 2) \\ &= e^x(x - 1) \end{aligned} \]

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte. Fortegnet viser både hvor grafen stiger og synker, og hva slags punkt vi har.

1. Sett den deriverte lik null I b) viste vi uttrykket for den deriverte. For å finne topp- og bunnpunkter setter vi det lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^x}(\textcolor{magenta}{x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinje for den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "exp(x)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "exp(x)*(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {x = 1} \) gir et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så det er ingen toppunkter.

3. Finn y-koordinaten og monotoni Vi setter \( {x = 1} \) inn i funksjonen: \[ f(1) = (1 - 2)e^1 = -e \]

Grafen synker og stiger altså slik: \[ \begin{aligned} f \text{ synker for } &x \in \langle \leftarrow,\ 1] \\ f \text{ stiger for } &x \in [1,\ \rightarrow\rangle \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktet fra a) og bunnpunktet og fortegnet til den deriverte fra c).

Vi setter inn de punktene vi kjenner, regner ut noen få verdier til, og lar den deriverte fortelle hvor grafen stiger og synker.

1. Finn punktene vi trenger I a) fant vi nullpunktet \( {x = 2} \) og i c) bunnpunktet \( {(1, -e)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= 0 \\ \textcolor{blue}{f(1)} &= -e \approx -2{,}72 \end{aligned} \]

Disse to punktene markerer vi på grafen.

Vi regner ut noen flere verdier, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-3) &= -5e^{-3} \approx -0{,}25 \\ f(-1) &= -3e^{-1} \approx -1{,}10 \\ f(0) &= -2 \\ f\left(2{,}5\right) &= 0{,}5e^{2{,}5} \approx 6{,}09 \end{aligned} \]

Faktoren \( e^x \) er svært liten når \( x \) er et stort negativt tall, og \( {x - 2} \) er negativ der. Da ligger grafen rett under \( {x\text{-aksen}} \) langt til venstre.

2. Tegn grafen Vi tegner en kurve gjennom punktene, som synker fram til \( {x = 1} \) og stiger etter det:

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi finner punktet på grafen og stigningstallet der, og setter dem inn i formelen for tangenten.

1. Finn delene i formelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

I b) viste vi at: \[ f'(x) = e^x(x - 1) \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{green}{f(-1)} &= (-1 - 2)e^{-1} = \textcolor{green}{-\dfrac{3}{e}} \\ \textcolor{red}{f'(-1)} &= e^{-1}(-1 - 1) = \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}}(x - (\textcolor{blue}{-1})) \textcolor{green}{- \dfrac{3}{e}} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{2}{e} - \dfrac{3}{e} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{5}{e} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]

Vi setter inn \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) for å vise at det er et nullpunkt. Da er \( {x + \dfrac{1}{2}} \) en faktor, så vi deler med polynomdivisjon og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Sett inn nullpunktet Plugger vi inn \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + 4\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ &\quad - 4\left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{1}{2} + 1 + 2 - \dfrac{5}{2} \\ &= 0 \end{aligned} \]Altså er \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) et nullpunkt.

2. Del med polynomdivisjon Nullpunktsetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &f(\textcolor{magenta}{r}) = 0 \\ &\iff f(x) \text{ er delelig med } x - \textcolor{magenta}{r} \end{aligned} \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{magenta}{r} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) så \( f(x) \) er delelig med \( {x + \dfrac{1}{2}}\text{.} \)

Vi deler \( f(x) \) på \( {x + \dfrac{1}{2}} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x^3} + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4x^2} \\ \textcolor{red}{4x^2} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 4x^3 + 2x^2 \\ -(4x^3 + 2x^2) &= \textcolor{red}{-4x^3 - 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & 2x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 4x^3 \) strykes mot \( {-4x^3}\text{,} \) \( {4x^2 - 2x^2 = 2x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4x} \) og \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{2x} \\ \textcolor{magenta}{2x} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= 2x^2 + x \\ -(2x^2 + x) &= \textcolor{magenta}{-2x^2 - x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & -5x & {}- \dfrac{5}{2} \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-4x - x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-\dfrac{5}{2}}\text{.} \) Linja \( {-5x - \dfrac{5}{2}} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-5} \\ \textcolor{blue}{-5} \cdot (x + \dfrac{1}{2}) &= -5x - \dfrac{5}{2} \\ -(-5x - \dfrac{5}{2}) &= \textcolor{blue}{5x + \dfrac{5}{2}} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2}) : (\textcolor{green}{x} + \dfrac{1}{2}) \\ &= \textcolor{red}{4x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 2x} \textcolor{blue}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^3}} & {}+ 4x^2 & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x^3}} & \textcolor{red}{{}- 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- 4x & {}- \dfrac{5}{2} \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- \dfrac{5}{2} \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{5x}} & \textcolor{blue}{{}+ \dfrac{5}{2}} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &4x^3 + 4x^2 - 4x - \dfrac{5}{2} \\ &= (x + \dfrac{1}{2})(4x^2 + 2x - 5) \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen De andre nullpunktene er der \( {4x^2 + 2x - 5 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-5} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{84}}{8} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{21}}{8} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{21}}{4} \end{aligned} \]

Vi deriverer og finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Et fortegnsskjema for \( f'(x) \) viser hvor grafen stiger og synker, og dermed hva slags punkter vi har.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ f'(x) = 12x^2 + 8x - 4 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Slik finner vi ekstremalpunkter også i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og deler på \( 4\text{:} \) \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{3}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6} \end{aligned} \]Det gir \( {x = \dfrac{1}{3}} \) og \( {x = -1}\text{.} \)

3. Sett opp fortegnsskjema Vi faktoriserer \( f'(x) \) med nullpunktene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ f'(x) = 12(\textcolor{magenta}{x + 1})\left(\textcolor{darkorange}{x - \dfrac{1}{3}}\right) \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktoren \( 12 \) er positiv og endrer ingenting: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 0.3333333333333333], "labels": ["-1", "\\dfrac{1}{3}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - \\dfrac{1}{3}}", "expr": "x - 1/3"}, {"label": "f'(x)", "expr": "12(x + 1)(x - 1/3)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{3}} \) går den fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så vi har et bunnpunkt. Grafen stiger altså for \( {x \leq -1} \) og \( {x \geq \dfrac{1}{3}}\text{,} \) og synker mellom.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= 4(-1)^3 + 4(-1)^2 \\ &\quad - 4(-1) - \dfrac{5}{2} \\ &= -4 + 4 + 4 - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{3}\right) &= 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 + 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &\quad - 4 \cdot \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{4}{27} + \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{3} - \dfrac{5}{2} \\ &= \dfrac{8 + 24 - 72 - 135}{54} \\ &= -\dfrac{175}{54} \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra b): \( {f'(x) = 12x^2 + 8x - 4}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grafen skjærer y-aksen der \( {x = 0}\text{.} \) Normalen står vinkelrett på tangenten der, så vi finner stigningstallet fra tangentens stigningstall.

1. Finn punktet og tangentens stigningstall Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= 4 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - \dfrac{5}{2} \\ &= -\dfrac{5}{2} \\ f'(0) &= 12 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 4 \\ &= \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]

2. Finn normalens stigningstall To linjer som står vinkelrett på hverandre, har stigningstall med produkt \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_t} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot \textcolor{red}{a_n} &= -1 \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

3. Sett opp likningen Formelen for en rett linje forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{green}{b} \]Den står i videoen Tangentlinje.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{-\dfrac{5}{2}} \]Konstantleddet \( \textcolor{green}{b} \) er y-verdien der linja skjærer y-aksen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}x \textcolor{green}{{}- \dfrac{5}{2}} \]

Vi sammenligner funksjonen med den generelle sinusfunksjonen og leser av delene.

1. Les av delene Den generelle sinusfunksjonen forteller oss at: \[ f(x) = \textcolor{blue}{A} \sin(\textcolor{red}{c}x + \varphi) + \textcolor{green}{d} \]Amplituden er \( |\textcolor{blue}{A}|\text{,} \) likevektslinja er \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{2}} = \pi \\ y &= \textcolor{green}{1} \\ |\textcolor{blue}{A}| &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) får sinus alene og finner begge vinklene på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi setter \( {f(x) = 0} \) og kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{2} \sin \textcolor{green}{u} + 1 &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn begge vinklene Vi vet at \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så: \[ \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Sinus er også lik for \( {\pi - \textcolor{green}{u}}\text{:} \) \[ \sin(\pi - \textcolor{green}{u}) = \sin \textcolor{green}{u} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir altså denne sinusverdien, og vi kommer tilbake til dem etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \lor \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \]der \( k \) er et helt tall.

3. Løs for x Vi setter inn \( \textcolor{green}{u} \) igjen. Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= \pi + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{2} + \pi k \end{aligned} \]

Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Grafen har derfor toppunkt der sinus er \( 1 \) og bunnpunkt der sinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Finn toppunktene Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{:} \) \[ -1 \le \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) \le 1 \]

Siden \( \sqrt{2} \) er positiv, er \( f \) størst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Vi legger til \( 2\pi k \) fordi vinkelen kommer tilbake etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot \textcolor{blue}{1} + 1 = 1 + \sqrt{2} \]

2. Finn bunnpunktene På samme måte er \( f \) minst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{5\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + 1 = 1 - \sqrt{2} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Siden \( {e^{2x} = e^x \cdot e^x} \) kan vi faktorisere ut \( e^x\text{.} \)

1. Faktoriser funksjonsuttrykket Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ e^{2x} - 2e^x = \textcolor{red}{e^x}(\textcolor{blue}{e^x - 2}) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Vi står igjen med: \[ \textcolor{blue}{e^x - 2} = 0 \]

2. Løs likningen med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{x}} &= 2 \\ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) &= \ln 2 \\ \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 2 \\ x &= \ln 2 \end{aligned} \]

Vi deriverer, setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte på hver side av punktet.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet trenger kjerneregelen, som forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{g}}\right)' = e^{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{2x}, \quad \textcolor{green}{g'} = \textcolor{green}{2} \]

\( e^{2x} \) derivert blir da \( \underline{2e^{2x}}\text{,} \) og \( {-2e^x} \) derivert blir \( {\underline{-2e^x}}\text{.} \) Slår vi dette sammen og faktoriserer, får vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{e^x - 1}) \]

2. Sett den deriverte lik null \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= 1 \\ x &= \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) i punktet: \[ f(0) = e^0 - 2e^0 = 1 - 2 = -1 \]

3. Avgjør hva slags punkt det er Vi tegner fortegnslinja til \( f'(x)\text{,} \) som vi gjør i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{e^x - 1}", "expr": "e^x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {(0, -1)} \) er et bunnpunkt. Det er det eneste stedet den deriverte er \( 0\text{,} \) så funksjonen har ingen toppunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Et vendepunkt er der den andrederiverte bytter fortegn. Vi deriverer derfor en gang til og setter \( {f''(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn den andrederiverte I b) fant vi: \[ f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x \]

Vi deriverer ledd for ledd, med kjerneregelen på det første leddet, og faktoriserer ut \( 2e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} f''(x) &= 4e^{2x} - 2e^x \\ &= \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{2e^x - 1}) \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Vendepunktene ligger der \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så vi løser: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{2e^x - 1} &= 0 \\ e^x &= \dfrac{1}{2} \\ x &= \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2 \end{aligned} \]

Vi finner \( {y\text{-koordinaten}} \) med \( {e^x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {e^{2x} = \left(e^x\right)^2 = \dfrac{1}{4}}\text{:} \) \[ f(-\ln 2) = \dfrac{1}{4} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \]

3. Sjekk at fortegnet skifter Vi tegner fortegnslinja til \( f''(x)\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.6931471805599453], "labels": ["-\\ln 2"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2e^x - 1}", "expr": "2e^x - 1"}, {"label": "f''(x)", "expr": "2e^x(2e^x - 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) går fra minus til pluss i \( {x = -\ln 2}\text{,} \) så grafen vender der.

Vi bruker punktene fra a), b) og c).

Vi samler punktene vi har funnet, og regner ut funksjonsverdiene i endene av intervallet. Så tegner vi grafen gjennom dem.

1. Samle punktene Fra a), b) og c) har vi: \[ \begin{aligned} \text{Nullpunkt: } &\textcolor{blue}{(\ln 2,\ 0)} \\ \text{Bunnpunkt: } &\textcolor{red}{(0,\ -1)} \\ \text{Vendepunkt: } &\textcolor{green}{\left(-\ln 2,\ -\dfrac{3}{4}\right)} \end{aligned} \]

2. Regn ut verdiene i endene Med kalkulator får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-2) &= e^{-4} - 2e^{-2} \approx -0{,}25 \\ f(1) &= e^2 - 2e \approx 1{,}95 \end{aligned} \]

3. Tegn grafen Fra b) vet vi at grafen synker fram til \( {x = 0} \) og så stiger. Fra c) vet vi at den vender i \( {x = -\ln 2}\text{.} \) Da kan vi tegne den. Sammenhengen mellom en graf og fortegnslinjene ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025:

Først finner vi ut hvilken graf som er \( f \) og hvilken som er \( f'\text{.} \) Så leser vi av hvor grafene ligger over og under \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn grafen til hver funksjon Der \( f \) har et topp- eller bunnpunkt, er \( {\textcolor{red}{f'(x)} = 0}\text{.} \) Den stiplede grafen har toppunkt i \( {x = 1} \) og bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og det er akkurat der den heltrukne grafen er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{stiplet graf} &= f(x) \\ \text{heltrukken graf} &= \textcolor{red}{f'(x)} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinjen til f Vi setter opp en linje for hver funksjon, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den stiplede grafen er \( 0 \) i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 0}\text{,} \) og ellers over. I \( {x = 3} \) bare berører den aksen: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "f(x)", "expr": "x*(x - 3)^2"}]}

En strek viser hvor funksjonen er \( 0\text{.} \)

3. Tegn fortegnslinjen til den deriverte Den heltrukne grafen er \( 0 \) i \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) mellom dem og over ellers: :::fortegnsskjema {"points": [1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "3*(x - 1)*(x - 3)"}]}

4. Tegn fortegnslinjen til den dobbeltderiverte \( f''(x) \) er den deriverte av \( \textcolor{red}{f'(x)}\text{,} \) så den sier om den heltrukne grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den grafen har bunnpunkt i \( {x = 2}\text{:} \) den synker før og stiger etter. Det gir: :::fortegnsskjema {"points": [2], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "6*x - 12"}]}

Vi bruker at den stiplede grafen er \( f\text{,} \) fra a).

Vi kan lese av nullpunktene til \( f \) på grafen. Vi skriver derfor funksjonen på faktorisert form, og bruker et punkt til å finne tallet foran.

1. Skriv opp faktorisert form En tredjegradsfunksjon kan skrives med nullpunktene sine, som i videoen Nullpunktssetningen: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_1})(x - \textcolor{red}{x_2})(x - \textcolor{red}{x_3}) \]

Her er: \[ \textcolor{red}{x_1} = \textcolor{red}{0}, \quad \textcolor{red}{x_2} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{red}{x_3} = \textcolor{red}{3} \]

Nullpunktet \( {x = 3} \) telles to ganger, siden grafen bare berører \( {x\text{-aksen}} \) der. Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x \cdot (x - 3)^2 \]

2. Finn tallet foran Toppunktet \( (1, 4) \) ligger på grafen, så \( {f(1) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot 1 \cdot (1 - 3)^2 &= 4 \\ 4\textcolor{blue}{a} &= 4 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

3. Gang ut Ganger vi ut, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= x(x - 3)^2 \\ &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x \end{aligned} \]

Kontroll: Da er \( {f'(x) = 3x^2 - 12x + 9}\text{,} \) og \( {f'(2) = -3}\text{,} \) som bunnpunktet til den heltrukne grafen.

For å finne skjæringen med \( {x\text{-aksen}} \) setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) For å finne skjæringen med \( {y\text{-aksen}} \) setter vi \( {x = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ (1 - x) \cdot \textcolor{red}{e^x} = 0 \]

\( \textcolor{red}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{.} \) Da må den andre faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - x &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = (1 - 0) \cdot \textcolor{red}{e^0} = 1 \]

Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Så setter vi \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til \( f'(x)\text{.} \)

1. Deriver med produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 - x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{(1 - x)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(-1 + 1 - x) \\ &= -x \cdot e^x \end{aligned} \]

2. Finn hvor den deriverte er null Når den deriverte er \( 0\text{,} \) kan vi ha et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( e^x \) aldri er \( 0\text{,} \) får vi: \[ -x \cdot e^x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

3. Sett opp en fortegnslinje Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-x}", "expr": "-x"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "-x*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så vi har et toppunkt der.

4. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f\text{:} \) \[ f(0) = (1 - 0) \cdot e^0 = 1 \]

Det er det eneste punktet der \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så grafen har ingen bunnpunkter.

Vi bruker den deriverte fra b).

Vendepunkter finner vi der \( {f''(x) = 0} \) og \( f''(x) \) skifter fortegn. Fortegnet sier også hvilken vei grafen krummer.

1. Deriver en gang til I b) fant vi: \[ f'(x) = -x \cdot e^x \]

Dette er også et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{-x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f''(x) &= \textcolor{red}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{(-x)} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= -(1 + x) \cdot e^x \end{aligned} \]

2. Finn vendepunktet Vi setter \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( e^x \) aldri er \( 0\text{,} \) får vi: \[ -(1 + x) = 0 \Rightarrow x = -1 \]

Fortegnet til \( f''(x) \) får vi ved å gange fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [-1], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{-(1 + x)}", "expr": "-(1 + x)"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "e^x"}, {"label": "f''(x)", "expr": "-(1 + x)*e^x"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) \( f''(x) \) skifter fortegn i \( {x = -1}\text{,} \) så vi har et vendepunkt der. Grafen krummer opp der \( {f''(x) > 0} \) og ned der \( {f''(x) < 0}\text{.} \)

Vi setter inn i \( f\text{:} \) \[ f(-1) = (1 - (-1)) \cdot e^{-1} = \dfrac{2}{e} \]

Vi bruker den deriverte fra b).

En tangent er bestemt av et punkt og et stigningstall. Stigningstallet er den deriverte i punktet.

1. Finn delene i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y - \textcolor{blue}{f(a)} = \textcolor{red}{f'(a)}(x - a) \]Hvis du er usikker på tangentformelen, kan du se videoen Tangentlinje.

I b) fant vi: \[ f'(x) = -x \cdot e^x \]

Her er \( {a = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(1)} &= (1 - 1) \cdot e^1 = \textcolor{blue}{0} \\ \textcolor{red}{f'(1)} &= -1 \cdot e^1 = \textcolor{red}{-e} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y - \textcolor{blue}{0} &= \textcolor{red}{-e}(x - 1) \\ y &= -ex + e \end{aligned} \]