Forkurs matematikk konteeksamen 2023 – løsningsforslag

Vi ser at uttrykket består av potenser av \( a \) og \( b\text{.} \) Vi løser derfor opp parentesene og samler hver bokstav for seg.

1. Løs opp parentesene Regnereglene for potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Her er \( p \) og \( q \) grunntall, og \( n \) og \( m \) eksponenter. Se videoen Flere regneregler med Potenser hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{a^2})^2 &= \textcolor{blue}{a^4} \\ \left(\textcolor{red}{b^{-\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a}\right)^3 &= \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \end{aligned} \]

2. Samle hver bokstav for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ p^n \cdot p^m = p^{n + m} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{a^{-3}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{b^2} \\ &= \textcolor{blue}{a^{4 - 3 + 3}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2} + 2}} \\ &= \textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Eksponenten \( \dfrac{1}{2} \) er det samme som kvadratrot, som i videoen Potenser og røtter: \[ \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} = \sqrt{\textcolor{red}{b}} \]

Vi ser at nevneren til høyre er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det, så vi finner fellesnevneren.

1. Faktoriser nevneren Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 5x + 6} \) med abc-formelen. Den forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-5}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-5})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{5 \pm 1}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Med nullpunktene kan vi skrive uttrykket som faktorer, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

2. Skriv alt på felles brøkstrek Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{,} \) så vi utvider den første brøken med \( {\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 3)}} - \dfrac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{2x - 6 - (x - 4)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} \end{aligned} \]

Faktoren \( {(x - 2)} \) står både i telleren og nevneren, så vi forkorter den for \( {x \neq 2}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \dfrac{\cancel{x - 2}}{\cancel{(x - 2)}(x - 3)} = \dfrac{1}{x - 3} \]

Vi ser fire logaritmer av potenser av \( x\text{.} \) Vi skriver dem derfor om til tall ganget med \( \lg x \) og trekker sammen.

1. Flytt ned eksponentene Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg p^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{red}{n} \cdot \lg p \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker. Her må \( {x > 0}\text{.} \)

Først skriver vi brøken og roten som potenser. En negativ eksponent betyr én delt på potensen, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^3} &= x^{\textcolor{red}{-3}} \\ \sqrt{x} &= x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lg x + \lg x^{\textcolor{red}{-2}} - \lg x^{\textcolor{red}{-3}} - \lg x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \\ &= \lg x + (\textcolor{red}{-2}) \lg x \\ &\quad - (\textcolor{red}{-3}) \lg x - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \lg x \end{aligned} \]

2. Trekk sammen Alle leddene er tall ganget med \( \lg x\text{,} \) så vi legger sammen tallene: \[ \begin{aligned} &\left(1 - 2 + 3 - \dfrac{1}{2}\right) \lg x \\ &= \dfrac{3}{2} \lg x \end{aligned} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi bruker nullpunktssetningen: vi setter inn tallet som gjør faktoren lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P \) nøyaktig når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= \textcolor{blue}{1}^3 + 2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 - 7 \cdot \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &= 1 + 2 - 7 + 4 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor i \( P\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( {(x - 1)} \) er en faktor, står i oppgaveteksten i a).

Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon. Da står vi igjen med et andregradsuttrykk, som vi faktoriserer videre.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 + x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 4\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 1) &= 3x^2 - 3x \\ -(3x^2 - 3x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-7x + 3x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4\text{.} \) Linja \( {-4x + 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 1) &= -4x + 4 \\ -(-4x + 4) &= \textcolor{blue}{4x - 4} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 4 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 4} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {4 - 4 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 7x + 4 \\ &= (x - 1)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på faktoriseringen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 1} \) og \( {x = -4}\text{,} \) så: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

3. Sett faktorene sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(x - 1)(x + 4) \\ &= (x - 1)^2(x + 4) \end{aligned} \]

I trekant \( ABD \) kjenner vi to vinkler og siden \( AB\text{.} \) Da kan vi bruke sinussetningen.

1. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekant \( ABD \) forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} = \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} \]Hver side står over sinus til vinkelen rett overfor seg. Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{120^\circ}, & \sin \textcolor{blue}{120^\circ} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{30^\circ}, & \sin \textcolor{red}{30^\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{7} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{blue}{BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} &= \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\dfrac{1}{2}} = 14 \\ \textcolor{blue}{BD} &= 14 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Omkretsen er summen av de fire sidene. Vi mangler \( AD \) og \( CD\text{,} \) og begge får vi fordi trekantene er spesielle.

1. Finn siden AD Vinkelsummen i trekant \( ABD \) gir vinkelen ved \( B\text{:} \) \[ \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]

Vinklene ved \( B \) og \( D \) er like, så trekanten er likebeint. Det betyr at sidene overfor dem er like lange, som i videoen Oppgave 3A (Trigonometri + Pytagoras): \[ \textcolor{blue}{AD} = AB = \textcolor{blue}{7} \]

2. Finn siden CD I trekant \( BCD \) er to av sidene like lange. \( BD \) har vi fra a), og \( BC \) fra figuren: \[ BD = BC = 7\sqrt{3} \]

Vinkelen mellom dem er \( 60^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene er også like store: \[ \begin{aligned} \angle BCD = \angle BDC &= \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet: \[ \textcolor{red}{CD} = BC = \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \]

3. Legg sammen sidene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O &= AB + BC + \textcolor{red}{CD} + \textcolor{blue}{AD} \\ &= 7 + 7\sqrt{3} + \textcolor{red}{7\sqrt{3}} + \textcolor{blue}{7} \\ &= 14 + 14\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i to trekanter. I hver av dem kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]der \( \textcolor{green}{v} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{.} \) Se videoen Arealsetningen hvis du er usikker.

2. Regn ut trekantene I trekant \( ABD \) er vinkelen ved \( A \) mellom \( {AB = 7} \) og \( {AD = 7}\text{,} \) der \( {AD = AB} \) fordi vinklene ved \( B \) og \( D \) begge er \( 30^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{7} \cdot \sin \textcolor{green}{120^\circ} \\ &= \dfrac{49}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{49\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

I trekant \( BCD \) er vinkelen ved \( B \) mellom \( {BC = 7\sqrt{3}} \) og \( {BD = 7\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= \dfrac{147}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABD} + T_{BCD} &= \dfrac{49\sqrt{3}}{4} + \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{196\sqrt{3}}{4} \\ &= 49\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi finner vektorene mellom punktene, og så regner vi ut lengdene deres.

1. Finn vektorene En vektor mellom to punkter er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [0 - 3,\ 4 - 0,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0 - 3,\ 0 - 0,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut lengdene Lengden til en vektor forteller oss at: \[ \left| [x,\ y,\ z] \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Videoen Lengden til en Vektor viser dette med to koordinater, og den tredje kommer bare med under roten.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-3})^2 + \textcolor{blue}{4}^2 + \textcolor{blue}{0}^2} \\ &= \sqrt{25} = 5 \\ \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right| &= \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 + \textcolor{red}{0}^2 + \textcolor{red}{2}^2} \\ &= \sqrt{13} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene og lengdene fra a).

Arealet får vi fra vektorproduktet av de to vektorene ut fra \( A\text{,} \) og vinkelen fra skalarproduktet deres.

1. Regn ut vektorproduktet I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-3,\ 4,\ 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[-3,\ 0,\ 2]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} = [\textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_3} - \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_2}, \\ &\quad \textcolor{blue}{u_3}\textcolor{red}{v_1} - \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_3},\ \textcolor{blue}{u_1}\textcolor{red}{v_2} - \textcolor{blue}{u_2}\textcolor{red}{v_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \\ &= [\textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0},\ \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-3}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\quad (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-3})] \\ &= \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \end{aligned} \]

2. Finn arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til vektorproduktet: \[ T = \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{blue}{\vec{u}} \times \textcolor{red}{\vec{v}} \right| \]

Plugger vi inn vektorproduktet, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \left| \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]} \right| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{64 + 36 + 144} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Skalarproduktet forteller oss at: \[ \cos \angle A = \dfrac{\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}{\left| \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \right| \cdot \left| \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \right|} \]Se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 hvis du er usikker.

Skalarproduktet får vi ved å gange koordinat for koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= (\textcolor{blue}{-3})(\textcolor{red}{-3}) + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} + \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{2} \\ &= 9 \end{aligned} \]

Plugger vi inn lengdene fra a), \( 5 \) og \( \sqrt{13}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \cos \angle A &= \dfrac{9}{5\sqrt{13}} \\ \angle A &= \cos^{-1}\left(\dfrac{9}{5\sqrt{13}}\right) \\ &\approx 60{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker arealet av trekanten fra b).

I et parallellogram er motstående sider like vektorer. Diagonalen \( AC \) deler det i to like trekanter.

1. Finn punktet D Motstående sider i \( ABCD \) er parallelle og like lange, så: \[ \overrightarrow{AD} = \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \]

Vektoren \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \) er sluttpunktet minus startpunktet: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= [0 - 0,\ 0 - 4,\ 2 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ -4,\ 2]} \end{aligned} \]

Vi starter i \( A \) og går langs denne vektoren, som når vi legger sammen vektorer i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} D &= (3 + \textcolor{blue}{0},\ 0 + (\textcolor{blue}{-4}),\ 0 + \textcolor{blue}{2}) \\ &= (3,\ -4,\ 2) \end{aligned} \]

2. Finn arealet Diagonalen \( AC \) deler parallellogrammet i to like store trekanter. I b) fant vi at \( \Delta ABC \) har arealet \( {T = \sqrt{61}}\text{.} \) Arealet \( G \) av parallellogrammet er to ganger det: \[ G = 2 \cdot T = 2 \cdot \sqrt{61} = 2\sqrt{61} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b), som står vinkelrett på grunnflata, og arealet fra c).

Vi setter opp volumet med vektorproduktet og vektoren fra \( A \) til toppunktet, og setter det lik \( 10\text{.} \) Volumet er positivt, så vi får to mulige fortegn.

1. Skriv opp volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]Videoen Volum og Overflate viser at volumet til et prisme er grunnflate ganger høyde. Pyramiden har en tredjedel av det.

I b) fant vi \( {\textcolor{green}{\vec{n}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \textcolor{green}{[8,\ 6,\ 12]}}\text{,} \) som står vinkelrett på grunnflata. Lengden er \( {\sqrt{244} = 2\sqrt{61}}\text{,} \) det samme som arealet i c): \[ G = \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right| \]

Høyden er avstanden fra \( T \) til grunnflata. Det er lengden av projeksjonen av \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \) på \( \textcolor{green}{\vec{n}}\text{:} \) \[ h = \dfrac{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right|}{\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \]

Ganger vi dem sammen, stryker \( {\left| \textcolor{green}{\vec{n}} \right|} \) seg: \[ V = \dfrac{1}{3} \left| \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} \right| \]

2. Plugg inn punktet T Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{red}{[t - 3,\ t,\ t]} \\ \textcolor{green}{\vec{n}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{green}{8}(\textcolor{red}{t - 3}) + \textcolor{green}{6}\textcolor{red}{t} + \textcolor{green}{12}\textcolor{red}{t} \\ &= 26t - 24 \end{aligned} \]

3. Løs for t Volumet skal være \( 10\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \left| 26t - 24 \right| &= 10 \\ \left| 26t - 24 \right| &= 30 \end{aligned} \]

Uttrykket inni kan være \( 30\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= 30 \\ 26t &= 54 \\ t &= \dfrac{27}{13} \end{aligned} \]

Det kan også være \( {-30}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 26t - 24 &= -30 \\ 26t &= -6 \\ t &= -\dfrac{3}{13} \end{aligned} \]

De to verdiene gir hvert sitt toppunkt, ett på hver side av grunnflata.

Vi sammenligner funksjonen med den generelle sinusfunksjonen og leser av delene.

1. Les av delene Den generelle sinusfunksjonen forteller oss at: \[ f(x) = \textcolor{blue}{A} \sin(\textcolor{red}{c}x + \varphi) + \textcolor{green}{d} \]Amplituden er \( |\textcolor{blue}{A}|\text{,} \) likevektslinja er \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}, \quad \textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} p &= \dfrac{2\pi}{\textcolor{red}{2}} = \pi \\ y &= \textcolor{green}{1} \\ |\textcolor{blue}{A}| &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) får sinus alene og finner begge vinklene på enhetssirkelen.

1. Få sinus alene Vi setter \( {f(x) = 0} \) og kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{2} \sin \textcolor{green}{u} + 1 &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn begge vinklene Vi vet at \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) så: \[ \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

Sinus er også lik for \( {\pi - \textcolor{green}{u}}\text{:} \) \[ \sin(\pi - \textcolor{green}{u}) = \sin \textcolor{green}{u} \]

To vinkler på enhetssirkelen gir altså denne sinusverdien, og vi kommer tilbake til dem etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \lor \\ \textcolor{green}{u} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \]der \( k \) er et helt tall.

3. Løs for x Vi setter inn \( \textcolor{green}{u} \) igjen. Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{\pi}{4} + \pi k \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ 2x &= \pi + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{2} + \pi k \end{aligned} \]

Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Grafen har derfor toppunkt der sinus er \( 1 \) og bunnpunkt der sinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Finn toppunktene Sinus ligger alltid mellom \( {-1} \) og \( 1\text{:} \) \[ -1 \le \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) \le 1 \]

Siden \( \sqrt{2} \) er positiv, er \( f \) størst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Vi legger til \( 2\pi k \) fordi vinkelen kommer tilbake etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot \textcolor{blue}{1} + 1 = 1 + \sqrt{2} \]

2. Finn bunnpunktene På samme måte er \( f \) minst når: \[ \begin{aligned} \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}}\right) &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x &= \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{5\pi}{8} + \pi k \end{aligned} \]

Der er funksjonsverdien: \[ y = \sqrt{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + 1 = 1 - \sqrt{2} \]

En geometrisk rekke konvergerer når kvotienten ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi finner derfor kvotienten og løser ulikheten.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{blue}{k} \) er et ledd delt på leddet foran, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{k} = \dfrac{e^{-x}}{1} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

2. Bruk konvergenskravet Kravet for konvergens forteller oss at: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \]Se videoen Geometrisk rekke test hvis du er usikker.

Plugger vi inn kvotienten, får vi: \[ |\textcolor{blue}{e^{-x}}| < 1 \]

Siden \( {e^{-x}} \) alltid er positiv, trenger vi bare at den er mindre enn \( {1 = e^0}\text{.} \) Funksjonen \( e^u \) er voksende, så vi kan sammenligne eksponentene: \[ \begin{aligned} e^{-x} &< e^0 \\ -x &< 0 \\ x &> 0 \end{aligned} \]

Vi bruker kvotienten og konvergenskravet fra a).

Vi setter summen av den uendelige rekken lik \( 3 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Sett opp summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{red}{a_1}}{1 - \textcolor{blue}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er, med kvotienten fra a): \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{blue}{k} = \textcolor{blue}{e^{-x}} \]

Plugger vi dette inn og setter summen lik \( 3\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1}}{1 - \textcolor{blue}{e^{-x}}} = 3 \]

2. Løs for x Ganger vi begge sider med nevneren, får vi: \[ \begin{aligned} 1 &= 3 - 3e^{-x} \\ 3e^{-x} &= 2 \\ e^{-x} &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} -x &= \ln \dfrac{2}{3} \\ x &= -\ln \dfrac{2}{3} = \ln \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\dfrac{3}{2} > 1} \) er \( {x > 0}\text{,} \) så rekken konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \)

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi bruker polynomdivisjon. Etterpå integrerer vi ledd for ledd.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {x^2 - 4} \) på \( {(x + 5)} \) med polynomdivisjon. Telleren mangler et \( {x\text{-ledd,}} \) så vi skriver \( 0x \) der, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^2} + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{red}{x} \cdot (x + 5) &= x^2 + 5x \\ -(x^2 + 5x) &= \textcolor{red}{-x^2 - 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & -5x & {}- 4 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {0x - 5x = -5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-4}\text{.} \) Linja \( {-5x - 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-5x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-5} \\ \textcolor{magenta}{-5} \cdot (x + 5) &= -5x - 25 \\ -(-5x - 25) &= \textcolor{magenta}{5x + 25} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^2 + 0x - 4) : (\textcolor{green}{x} + 5) \\ &= \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 0x & {}- 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{red}{{}- 5x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-5x}} & {}- 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 25} \\ \hline & & 21 \end{array} \end{array} \]\( {-5x} \) strykes mot \( 5x\text{,} \) og \( {-4 + 25 = 21}\text{.} \) Tallet 21 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 21 er restleddet.

Svaret pluss restleddet delt på nevneren gir: \[ f(x) = \textcolor{red}{x} \textcolor{magenta}{{}- 5} + \dfrac{21}{x + 5} \]

2. Integrer ledd for ledd Integrasjonsreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, \ n \neq -1 \\ \int \dfrac{a}{x + b}\,dx &= a \ln|x + b| + C \end{aligned} \]Se videoen Basic integrasjonsregler/​formler hvis du er usikker.

\( x \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}}}\text{.} \)

\( {-5} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{magenta}{-5x}}}\text{.} \)

\( {\dfrac{21}{x + 5}} \) integrert blir \( {\underline{\textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|}}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \textcolor{red}{\dfrac{x^2}{2}} \textcolor{magenta}{{}- 5x} \\ &\quad + \textcolor{blue}{21 \ln|x + 5|} + C \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a).

Området strekker seg fra \( {x = 0} \) til nullpunktet på den positive \( {x\text{-aksen.}} \) Vi finner nullpunktet og sjekker om grafen ligger over eller under aksen.

1. Finn grensene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 - 4 &= 0 \\ x &= \pm 2 \end{aligned} \]

Det positive nullpunktet er \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) så området går fra \( {x = \textcolor{red}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{2}}\text{.} \)

2. Sett opp integralet Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = -\dfrac{4}{5} \]

Grafen krysser ikke aksen mellom \( 0 \) og \( 2\text{,} \) så der ligger den under \( {x\text{-aksen,}} \) og integralet blir negativt. Arealet er derfor minus integralet, med sammenhengen fra videoen Hva er integrasjon: \[ T = -\int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} f(x)\,dx \]

3. Regn ut integralet I a) fant vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx &= \dfrac{x^2}{2} - 5x \\ &\quad + 21 \ln|x + 5| + C \end{aligned} \]

Plugger vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} T &= -\left[ \dfrac{x^2}{2} - 5x + 21 \ln|x + 5| \right]_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} \\ &= -\left( 2 - 10 + 21 \ln 7 - 21 \ln 5 \right) \\ &= 8 - 21 \ln 7 + 21 \ln 5 \end{aligned} \]

Logaritmeregelen for en brøk forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln \dfrac{p}{q} \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ T = 8 - 21 \ln \dfrac{7}{5} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: omskrivingen av \( f(x) \) står i oppgaveteksten i a).

Vi trenger punktet og stigningstallet der. Vi deriverer \( f \) ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.

1. Skriv opp tangentformelen Formelen for tangenten forteller oss at: \[ y = \textcolor{green}{f'(a)}(x - \textcolor{darkorange}{a}) + \textcolor{magenta}{f(a)} \]Her er \( \textcolor{darkorange}{a} \) \( {x\text{-koordinaten}} \) til punktet, \( \textcolor{magenta}{f(a)} \) funksjonsverdien der og \( \textcolor{green}{f'(a)} \) stigningstallet. Se videoen Tangentlinje hvis du er usikker.

2. Deriver funksjonen Fra a) har vi: \[ f(x) = x - 5 + \dfrac{21}{x + 5} \]

\( x \) derivert blir \( \underline{1}\text{,} \) og \( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

For å derivere \( {\dfrac{21}{x + 5}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{21} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 5} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{21}{x + 5}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x + 5}) - \textcolor{red}{21} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 5})^2} \\ &= \underline{-\dfrac{21}{(x + 5)^2}} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 1 - \dfrac{21}{(x + 5)^2} \]

3. Plugg inn punktet Her er \( {\textcolor{darkorange}{a} = \textcolor{darkorange}{0}}\text{,} \) og: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{f(0)} &= \dfrac{0^2 - 4}{0 + 5} = \textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}} \\ \textcolor{green}{f'(0)} &= 1 - \dfrac{21}{5^2} = \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{green}{\dfrac{4}{25}}(x - \textcolor{darkorange}{0}) + \left(\textcolor{magenta}{-\dfrac{4}{5}}\right) \\ &= \dfrac{4}{25}x - \dfrac{4}{5} \end{aligned} \]