Forkurseksamen etter tema

Brøkene har ulike nevnere. Vi setter dem derfor på felles brøkstrek, med fellesnevneren \( {x(2x - 3)}\text{.} \)

1. Finn fellesnevneren Vi utvider hver brøk med den nevneren den mangler, som i videoen Oppgave 3C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \dfrac{6 \cdot \textcolor{blue}{x}}{(2x - 3) \cdot \textcolor{blue}{x}} - \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}}{x \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}} \]

2. Trekk sammen Nå har brøkene samme nevner, så vi kan trekke sammen tellerne: \[ \begin{aligned} &\dfrac{6x - 3(2x - 3)}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{6x - 6x + 9}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{9}{x(2x - 3)} \end{aligned} \]

Alle leddene har \( x \) som faktor, så vi setter den utenfor. Siden \( {x = 4} \) er et nullpunkt, går divisjonen med \( {(x - 4)} \) opp, og det som står igjen, faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Sett x utenfor Vi setter \( x \) utenfor parentesen: \[ P(x) = x(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) \]

Nullpunktssetningen forteller oss at hvis \( r \) er et nullpunkt, er polynomet delelig med \( {(x - r)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &P(4) = 0 \\ &\Rightarrow \ (x - 4) \text{ er en faktor} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på nullpunktssetningen, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24} \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{-2x^3} + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-2x^3}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{-2x^2} \\ \textcolor{red}{-2x^2} \cdot (x - 4) &= -2x^3 + 8x^2 \\ -(-2x^3 + 8x^2) &= \textcolor{red}{2x^3 - 8x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( {-2x^3} \) strykes mot \( 2x^3\text{,} \) \( {9x^2 - 8x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2x \) og \( {-24}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 4) &= x^2 - 4x \\ -(x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 6x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {2x + 4x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-24}\text{.} \) Linja \( {6x - 24} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{6} \cdot (x - 4) &= 6x - 24 \\ -(6x - 24) &= \textcolor{blue}{-6x + 24} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}+ 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}- 24 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 24} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {-24 + 24 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24 \\ &= (x - 4)(-2x^2 + x + 6) \end{aligned} \]

3. Finn de to siste nullpunktene Vi setter \( {-2x^2 + x + 6 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-2})} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{-4} = \dfrac{-1 \pm 7}{-4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -\dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = 2 \]

4. Sett sammen faktorene Et andregradsuttrykk kan skrives slik: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}} \) og nullpunktene, får vi: \[ \begin{aligned} &-2x^2 + x + 6 \\ &= \textcolor{blue}{-2}\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 2) \\ &= -(2x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med \( x \) og \( {(x - 4)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(x) = -&x(x - 4) \\ &\cdot (x - 2)(2x + 3) \end{aligned} \]

Vi løser opp parentesene hver for seg, og så trekker vi sammen ledd med samme potens av \( x\text{.} \)

1. Løs opp den første parentesen Den første parentesen er et kvadrat, så vi bruker andre kvadratsetning. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{2})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 \\ &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

2. Løs opp den andre parentesen Her ganger vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} &(x + 2)(3 - 2x) \\ &= 3x - 2x^2 + 6 - 4x \\ &= -2x^2 - x + 6 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen Minustegnet foran den andre parentesen snur fortegnet på alle leddene i den: \[ \begin{aligned} &(x^2 - 4x + 4) - (-2x^2 - x + 6) \\ &= x^2 - 4x + 4 + 2x^2 + x - 6 \\ &= 3x^2 - 3x - 2 \end{aligned} \]

Vi skriver de tre leddene på samme brøkstrek, og da må de ha samme nevner.

1. Finn fellesnevneren Nevnerne er \( {x - 3}\text{,} \) \( x \) og \( 1\text{.} \) Fellesnevneren finner vi ved å gange dem sammen, som med tall i videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter: \[ \textcolor{blue}{x(x - 3)} \]

2. Utvid hver brøk Vi ganger oppe og nede med det som mangler i hver nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{x - 3} &= \dfrac{x \cdot x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{x^2}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ \dfrac{2}{x} &= \dfrac{2(x - 3)}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{2x - 6}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ 1 &= \dfrac{\textcolor{blue}{x(x - 3)}}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{x^2 - 3x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \end{aligned} \]

3. Trekk sammen tellerne Minustegnet foran den siste brøken snur fortegnet på hele telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 + (2x - 6) - (x^2 - 3x)}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ &= \dfrac{x^2 + 2x - 6 - x^2 + 3x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ &= \dfrac{5x - 6}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \end{aligned} \]

Telleren og nevneren har ingen felles faktor, så vi kan ikke forkorte mer.

Vi ser at uttrykket under roten er et fullstendig kvadrat. Da blir roten en absoluttverdi, og den må vi dele i to tilfeller.

1. Skriv om uttrykket under roten Andre kvadratsetning baklengs gir, som i videoen Kvadratsetningene: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

2. Finn definisjonsområdet Kvadratet er aldri negativt, så roten er definert for alle \( x\text{:} \) \[ (x - 3)^2 \geq 0 \]

Det eneste vi må passe på, er at nevneren ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \]

3. Skriv funksjonen enklere Kvadratroten av et kvadrat er absoluttverdien, siden roten aldri er negativ: \[ \sqrt{(x - 3)^2} = \textcolor{blue}{|x - 3|} \]

Funksjonen er altså: \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{|x - 3|}}{x - 3} \]

For \( {x > 3} \) er \( {x - 3} \) positiv, så \( {\textcolor{blue}{|x - 3|} = \textcolor{blue}{x - 3}}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{x - 3}}{x - 3} = 1 \]

For \( {x < 3} \) er \( {x - 3} \) negativ, så \( {\textcolor{blue}{|x - 3|} = \textcolor{blue}{-(x - 3)}}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{-(x - 3)}}{x - 3} = -1 \]

Brøkene har ulike nevnere. Vi finner derfor en felles nevner og trekker sammen til én brøk.

1. Finn felles nevner 0:15 Vi ganger hver brøk over og under med nevneren til den andre brøken: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{5}{x + 2} \\ &= \dfrac{4\textcolor{blue}{(x + 2)}}{(x - 1)\textcolor{blue}{(x + 2)}} \\ &\quad - \dfrac{5\textcolor{red}{(x - 1)}}{(x + 2)\textcolor{red}{(x - 1)}} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesene 1:11 Vi ganger ut tellerne og den felles nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{(x + 2)} &= 4x + 8 \\ 5\textcolor{red}{(x - 1)} &= 5x - 5 \\ (x - 1)(x + 2) &= x^2 + x - 2 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen til én brøk 2:00 Nå har brøkene samme nevner, så vi samler dem på én brøkstrek. Minus foran den andre brøken bytter fortegn på begge leddene i telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4x + 8 - (5x - 5)}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{4x + 8 - 5x + 5}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{13 - x}{x^2 + x - 2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( P(x) \) er et tredjegradspolynom. Vi viser faktoren med nullpunktsetningen, og faktoriserer med polynomdivisjon og abc-formelen.

1. Bruk nullpunktsetningen 0:11 Nullpunktsetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P(x) \) når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 \\ &= 1 + 3 - 1 - 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {(x - 1)} \) er en faktor i \( P(x)\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon 1:49 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 4x^2 & {}- x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + x^2 = 4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-x} \) og \( {-3}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{4x} \\ \textcolor{magenta}{4x} \cdot (x - 1) &= 4x^2 - 4x \\ -(4x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-4x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 3x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {-x + 4x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3}\text{.} \) Linja \( {3x - 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 1) &= 3x - 3 \\ -(3x - 3) &= \textcolor{blue}{-3x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 3 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 3} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-3 + 3 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen på resten 4:13 Vi faktoriserer \( {x^2 + 4x + 3} \) videre. abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

4. Skriv opp faktorene 6:25 Et andregradsuttrykk kan skrives slik, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1} \) og løsningene, får vi: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Slår vi dette sammen med faktoren \( {(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) \]

Vi ser at både telleren og nevneren kan faktoriseres. Vi faktoriserer dem, forkorter brøken og legger til slutt til \( 1\text{.} \)

1. Faktoriser telleren Telleren er en differanse mellom to kvadrater. Konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 - \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})(\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q}) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{2a} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 4a^2 - b^2 = (\textcolor{blue}{2a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{2a} - \textcolor{red}{b}) \]

2. Faktoriser nevneren Begge leddene i nevneren har faktoren \( b\text{,} \) som vi setter utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 2ab + b^2 = b(2a + b) \]

3. Forkort og legg sammen Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{2a + b}} \) står både i telleren og i nevneren, så den stryker vi, som i eksempelet i Faktorisering steg for steg. Så skriver vi \( 1 \) som \( \dfrac{b}{b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{(2a + b)}(2a - b)}{b\textcolor{darkorange}{(2a + b)}} + 1 \\ &= \dfrac{2a - b}{b} + \dfrac{b}{b} \\ &= \dfrac{2a - b + b}{b} \\ &= \dfrac{2a}{b} \end{aligned} \]

Vi skriver begge logaritmene med potens eller rot som et tall ganger \( \ln b\text{.} \) Da kan vi forkorte.

1. Skriv om logaritmene Logaritmeregelen for en potens forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]Samme regel gjelder for \( \log \) og \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

En rot kan vi skrive som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt{b} = b^{\tfrac{1}{2}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{b}} \) begge steder. Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln b^2 &= \textcolor{red}{2} \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \sqrt{b} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \ln \textcolor{blue}{b} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forkort Plugger vi dette inn i brøken, kan vi sette \( \textcolor{magenta}{\ln b} \) utenfor i telleren. Da stryker vi \( {\textcolor{darkorange}{a - 2}} \) og \( \textcolor{magenta}{\ln b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{a \ln b - 2 \ln b}{(a - 2) \cdot \dfrac{1}{2} \ln b} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(a - 2)}\textcolor{magenta}{\ln b}}{\textcolor{darkorange}{(a - 2)} \cdot \dfrac{1}{2} \textcolor{magenta}{\ln b}} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \end{aligned} \]

Vi ser at uttrykket består av potenser av \( a \) og \( b\text{.} \) Vi løser derfor opp parentesene og samler hver bokstav for seg.

1. Løs opp parentesene Regnereglene for potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Her er \( p \) og \( q \) grunntall, og \( n \) og \( m \) eksponenter. Se videoen Flere regneregler med Potenser hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{a^2})^2 &= \textcolor{blue}{a^4} \\ \left(\textcolor{red}{b^{-\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a}\right)^3 &= \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \end{aligned} \]

2. Samle hver bokstav for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ p^n \cdot p^m = p^{n + m} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{a^{-3}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{b^2} \\ &= \textcolor{blue}{a^{4 - 3 + 3}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2} + 2}} \\ &= \textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Eksponenten \( \dfrac{1}{2} \) er det samme som kvadratrot, som i videoen Potenser og røtter: \[ \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} = \sqrt{\textcolor{red}{b}} \]

Vi ser at nevneren til høyre er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det, så vi finner fellesnevneren.

1. Faktoriser nevneren Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 5x + 6} \) med abc-formelen. Den forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-5}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-5})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{5 \pm 1}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Med nullpunktene kan vi skrive uttrykket som faktorer, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

2. Skriv alt på felles brøkstrek Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{,} \) så vi utvider den første brøken med \( {\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 3)}} - \dfrac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{2x - 6 - (x - 4)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} \end{aligned} \]

Faktoren \( {(x - 2)} \) står både i telleren og nevneren, så vi forkorter den for \( {x \neq 2}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \dfrac{\cancel{x - 2}}{\cancel{(x - 2)}(x - 3)} = \dfrac{1}{x - 3} \]

Vi ser fire logaritmer av potenser av \( x\text{.} \) Vi skriver dem derfor om til tall ganget med \( \lg x \) og trekker sammen.

1. Flytt ned eksponentene Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg p^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{red}{n} \cdot \lg p \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker. Her må \( {x > 0}\text{.} \)

Først skriver vi brøken og roten som potenser. En negativ eksponent betyr én delt på potensen, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^3} &= x^{\textcolor{red}{-3}} \\ \sqrt{x} &= x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lg x + \lg x^{\textcolor{red}{-2}} - \lg x^{\textcolor{red}{-3}} - \lg x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \\ &= \lg x + (\textcolor{red}{-2}) \lg x \\ &\quad - (\textcolor{red}{-3}) \lg x - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \lg x \end{aligned} \]

2. Trekk sammen Alle leddene er tall ganget med \( \lg x\text{,} \) så vi legger sammen tallene: \[ \begin{aligned} &\left(1 - 2 + 3 - \dfrac{1}{2}\right) \lg x \\ &= \dfrac{3}{2} \lg x \end{aligned} \]

Uttrykket består av røtter og potenser. Vi skriver derfor røttene som potenser, og samler så potensene med samme grunntall.

1. Skriv opp reglene En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}} \]Regelen står i videoen Potenser og røtter.

Potensreglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} (a^n)^m &= a^{n \cdot m} \\ (a \cdot b)^n &= a^n \cdot b^n \\ a^n \cdot a^m &= a^{n + m} \\ \dfrac{a^n}{a^m} &= a^{n - m} \\ a^{-n} &= \dfrac{1}{a^n} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoene Flere regneregler med Potenser og Regneregler med Potenser.

2. Skriv om telleren Vi skriver røttene som potenser, ganger sammen eksponentene og legger sammen potensene av \( a\text{.} \) Potensene av \( 5 \) er blå, og potensene av \( a \) er røde: \[ \begin{aligned} &\sqrt{5}\left(\sqrt[5]{a^2}\right)^2 a^{\tfrac{1}{5}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{\left(a^{\tfrac{2}{5}}\right)^2} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{\tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{5}}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \end{aligned} \]

3. Skriv om nevneren Eksponenten \( 3 \) går på begge faktorene i parentesen: \[ \begin{aligned} &a^{-1}\left(\sqrt{5}\,a^{\tfrac{1}{3}}\right)^3 \\ &= \textcolor{red}{a^{-1}} \cdot \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{1}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a^{0}} \\ &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}} \end{aligned} \]

4. Sett sammen brøken Vi trekker eksponenten i nevneren fra eksponenten i telleren, og skriver den negative eksponenten som en brøk: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5^{\tfrac{3}{2}}}} &= \textcolor{blue}{5^{\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \textcolor{blue}{5^{-1}} \cdot \textcolor{red}{a} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{5}} \end{aligned} \]

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den omvendte brøken. Så faktoriserer vi og stryker det som er likt.

1. Gjør om til ganging Regelen for brøk delt på brøk forteller oss at: \[ \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \]Du ser dette i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).

Plugger vi inn brøkene våre, får vi: \[ \dfrac{5t^2 - 45}{t - 3} \cdot \dfrac{3t^2 + 6t}{t + 2} \]

2. Faktoriser I \( {5t^2 - 45} \) setter vi \( 5 \) utenfor. Da står vi igjen med et uttrykk der konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{t}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 45 &= 5(\textcolor{blue}{t}^2 - \textcolor{red}{3}^2) \\ &= 5(\textcolor{blue}{t} + \textcolor{red}{3})(\textcolor{blue}{t} - \textcolor{red}{3}) \end{aligned} \]

I \( {3t^2 + 6t} \) setter vi \( 3t \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 3t^2 + 6t = 3t(t + 2) \]

3. Stryk like faktorer Plugger vi dette inn, kan vi stryke \( {\textcolor{darkorange}{t - 3}} \) og \( {\textcolor{magenta}{t + 2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(t + 3)\cancel{\textcolor{darkorange}{(t - 3)}}}{\cancel{\textcolor{darkorange}{t - 3}}} \cdot \dfrac{3t\cancel{\textcolor{magenta}{(t + 2)}}}{\cancel{\textcolor{magenta}{t + 2}}} \\ &= 5(t + 3) \cdot 3t \\ &= 15t(t + 3) \\ &= 15t^2 + 45t \end{aligned} \]

Uttrykket i oppgaven er bare definert når vi ikke deler på \( 0\text{:} \) \[ t \neq 3, \quad t \neq 0, \quad t \neq -2 \]

Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så vi finner først hvilke \( x \) som er lov. Så slår vi sammen logaritmene til én.

1. Finn hvilke verdier som er lov Vi kan ikke ta \( \ln \) av null eller et negativt tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Begge uttrykkene må derfor være positive: \[ \begin{aligned} x &> 0 \\ x^2 - x = x(x - 1) &> 0 \end{aligned} \]

Når \( x \) er positiv, er den andre ulikheten oppfylt bare når \( {x - 1} \) også er positiv: \[ x > 1 \]

2. Slå sammen logaritmene Regneregelen for logaritmer forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regnereglene gjelder for \( \ln \) også, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x^2 - x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og stryker \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln \dfrac{\textcolor{blue}{x}}{\textcolor{red}{x(x - 1)}} &= 1 \\ \ln \dfrac{1}{x - 1} &= 1 \end{aligned} \]

3. Løs for x Definisjonen av \( \ln \) forteller oss at: \[ \ln c = 1 \quad \Leftrightarrow \quad c = e^1 \]Definisjonen står i videoen Hva er en Logaritme?

Her er \( {c = \dfrac{1}{x - 1}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x - 1} &= e \\ x - 1 &= \dfrac{1}{e} \\ x &= 1 + \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Denne verdien er lov, siden: \[ 1 + \dfrac{1}{e} > 1 \]

En dobbel ulikhet er to ulikheter som begge må gjelde. Vi løser dem hver for seg og slår svarene sammen.

1. Løs venstre ulikhet Vi flytter \( x \) og tallene over. Det snur aldri tegnet, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} x - 2 &< 2x - 1 \\ -2 + 1 &< 2x - x \\ \textcolor{blue}{-1} &\textcolor{blue}{{}< x} \end{aligned} \]

2. Løs høyre ulikhet Vi gjør det samme med den andre: \[ \begin{aligned} 2x - 1 &\leq x + 7 \\ 2x - x &\leq 7 + 1 \\ \textcolor{red}{x} &\textcolor{red}{{}\leq 8} \end{aligned} \]

3. Slå sammen svarene Begge må gjelde samtidig, så vi får: \[ \textcolor{blue}{-1 <{}} \textcolor{red}{x \leq 8} \]

Vi kan ikke gange med \( {x - 1}\text{,} \) for vi vet ikke om det er positivt eller negativt. Vi samler alt på én side, skriver det som én brøk og bruker et fortegnsskjema.

1. Samle alt på én side Vi flytter \( x \) over og setter på felles brøkstrek, med \( {x \neq 1} \) siden nevneren ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2}{x - 1} - x &\geq 0 \\ \dfrac{2 - x(x - 1)}{x - 1} &\geq 0 \\ \dfrac{-x^2 + x + 2}{x - 1} &\geq 0 \end{aligned} \]

Vi ganger med \( {-1} \) for å få \( x^2 \) positiv. Da snur tegnet, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} \leq 0 \]

2. Faktoriser telleren Vi finner nullpunktene til telleren med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-2} \]

Plugger vi dette inn, med \( {-\textcolor{red}{b} = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-2})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{1 \pm 3}{2} \\ x &= 2 \quad \text{eller} \quad x = -1 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Her er \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -1}\text{.} \) Telleren er derfor \( {(x - 2)(x + 1)}\text{,} \) og ulikheten blir: \[ \dfrac{\textcolor{darkorange}{(x + 1)}\textcolor{magenta}{(x - 2)}}{x - 1} \leq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "x - 1", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{(x + 1)(x - 2)}{x - 1}", "expr": "(x + 1)*(x - 2)/(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor brøken ikke finnes.

Vi vil ha brøken negativ eller lik \( 0\text{.} \) Det gir oss: \[ x \leq -1 \quad \text{eller} \quad 1 < x \leq 2 \]

Strekene i \( {x = -1} \) og \( {x = 2} \) er med, siden brøken er \( 0 \) der. \( {x = 1} \) er ikke med.

Vi ser at både teller og nevner er produkter. Vi skriver derfor om én og én faktor, og stryker det som er likt over og under brøkstreken.

1. Skriv om telleren \( {x^2 - 2x + 1} \) er en kvadratsetning. Andre kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{,} \) så vi får: \[ x^2 - 2x + 1 = (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{1})^2 \]

\( \ln e^x \) skriver vi om med potensregelen for logaritmer, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \ln e^x = x \cdot \ln e = x \cdot 1 = \textcolor{green}{x} \]

\( \sin\dfrac{\pi}{4} \) er en eksakt verdi fra formelsamlingen: \[ \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Skriv om nevneren \( {(x^{-1})^{-1}} \) er en potens av en potens, og da ganger vi eksponentene, som i videoen Flere regneregler med Potenser: \[ (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = \textcolor{darkorange}{x} \]

\( \ln x \) er det tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Dermed vet vi at: \[ e^{\ln x} = \textcolor{magenta}{x} \]

3. Sett inn og stryk Fra \( \ln e^x \) fikk vi \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) fra \( {(x^{-1})^{-1}} \) fikk vi \( \textcolor{darkorange}{x} \) og fra \( e^{\ln x} \) fikk vi \( \textcolor{magenta}{x}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 \cdot (x - 1)^2 \cdot \textcolor{green}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\textcolor{darkorange}{x} \cdot \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 1) \cdot \sqrt{2}} \\ &= \dfrac{x^3 (x - 1)^2}{x^2 (x - 1)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ &= x(x - 1) \cdot \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Uttrykket gir bare mening når \( {x > 0} \) på grunn av \( \ln x\text{,} \) og nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 1}\text{.} \)

Vi finner først alle vinklene som gir sinus lik \( {-1}\text{.} \) Så deler vi på \( 3 \) og beholder de løsningene som ligger i intervallet.

1. Finn vinkelen på enhetssirkelen Sinus er \( y \)-koordinaten på enhetssirkelen, og \( {-1} \) er det nederste punktet. Der er vinkelen \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det er den eneste vinkelen på hver runde.

Vi kommer tilbake til samme punkt etter hver hele runde, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025, så vi legger til \( 2\pi\textcolor{red}{k}\text{,} \) der \( \textcolor{red}{k} \) er et helt tall. Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{3x} = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\textcolor{red}{k} \]

2. Løs for x Vi deler på \( 3 \) på begge sider og får: \[ x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3}\textcolor{red}{k} \]

3. Velg løsningene i intervallet Vi prøver én \( \textcolor{red}{k} \) om gangen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k = -2}: \quad x &= -\dfrac{3\pi}{2} < -\pi \\ \textcolor{red}{k = -1}: \quad x &= -\dfrac{5\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 0}: \quad x &= -\dfrac{\pi}{6} \\ \textcolor{red}{k = 1}: \quad x &= \dfrac{\pi}{2} \\ \textcolor{red}{k = 2}: \quad x &= \dfrac{7\pi}{6} > \pi \end{aligned} \]

\( {k = -2} \) og \( {k = 2} \) gir verdier utenfor \( {[-\pi, \pi]}\text{,} \) og det gjør også alle \( k \) lenger ut.

Vi ser to logaritmer med minus mellom. Vi samler dem derfor til én logaritme, og tar \( e \) opphøyd i begge sidene.

1. Samle logaritmene Logaritmeregelen for en differanse forteller oss at: \[ \ln \textcolor{blue}{a} - \ln \textcolor{red}{b} = \ln\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}} \]Regelen brukes baklengs i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x + 2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\dfrac{\textcolor{blue}{x + 2}}{\textcolor{red}{x}} = 1 \]

2. Løs for x Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {e^{\ln a} = a}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{x + 2}{x} = e \]

Vi ganger med \( x \) og samler \( x \) på én side: \[ \begin{aligned} x + 2 &= ex \\ 2 &= ex - x \\ 2 &= x(e - 1) \\ x &= \dfrac{2}{e - 1} \end{aligned} \]

Logaritmene krever \( {x > 0}\text{.} \) Siden \( {e > 1} \) er: \[ \dfrac{2}{e - 1} > 0 \]Løsningen er dermed gyldig.

Funksjonen er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi vet at \( {(\sin x)' = \cos x} \) og \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{\cos x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{\sin x} \cdot \textcolor{blue}{e^x} \\ &= e^x(\cos x + \sin x) \end{aligned} \]

Vi ser at \( \cos x \) står inni \( \ln\text{.} \) Det er to funksjoner inni hverandre, så vi bruker kjerneregelen.

1. Bruk kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\cos x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-\sin x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{\cos x}} \cdot (\textcolor{green}{-\sin x}) \\ &= -\dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= -\tan x \end{aligned} \]

Vi ser at telleren nesten er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon.

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 - 4} \\ du &= 2x\,dx \\ \textcolor{red}{4x\,dx} &= \textcolor{red}{2\,du} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4x\,dx}}{\textcolor{green}{x^2 - 4}} = \int \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{green}{u}}\,\textcolor{red}{du} \]

2. Regn ut integralet Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln|u|\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{2}{\textcolor{green}{u}}\,du &= 2\ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= 2\ln|\textcolor{green}{x^2 - 4}| + C \end{aligned} \]

Telleren har samme grad som nevneren. Vi deler derfor først med polynomdivisjon, så står vi igjen med to ledd som er enkle å integrere.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( 4x \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har samme grad (1) som nevneren. Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{4x}) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{4} \cdot (x - 4) &= 4x - 16 \\ -(4x - 16) &= \textcolor{red}{-4x + 16} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(4x) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rr} \textcolor{darkorange}{\cancel{4x}} & {}+ 0 \\ \textcolor{red}{\cancel{-4x}} & \textcolor{red}{{}+ 16} \\ \hline & 16 \end{array} \end{array} \]\( 4x \) strykes mot \( {-4x}\text{,} \) og \( {0 + 16 = 16}\text{.} \) Tallet 16 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 16 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren lagt til svaret gir: \[ \dfrac{4x}{x - 4} = \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren er en \( \ln\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \dfrac{4x}{x - 4}\,dx \\ &= \int \left( \textcolor{red}{4} + \dfrac{16}{x - 4} \right) dx \\ &= 4x + 16\ln|x - 4| + C \end{aligned} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting og integrerer én brøk om gangen.

1. Del opp brøken Med konjugatsetningen er \( {x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)}\text{.} \) Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 2} \]

Vi ganger med \( {(x - 2)(x + 2)} \) på begge sider og samler leddene: \[ \begin{aligned} 4 &= \textcolor{blue}{A}(x + 2) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \\ 4 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

På venstre side er det ikke noe \( {x\text{-ledd.}} \) Vi sammenligner derfor med høyre side: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 0 \\ 2\textcolor{blue}{A} - 2\textcolor{red}{B} &= 4 \end{aligned} \]

Første likning gir \( {\textcolor{red}{B} = -\textcolor{blue}{A}}\text{.} \) Setter vi det inn i den andre, får vi: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{A} &= 4 \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{-1} \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_3^4 \left( \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} \textcolor{red}{{}- \dfrac{1}{x + 2}} \right) dx \\ &= \Big[ \ln|x - 2| - \ln|x + 2| \Big]_3^4 \\ &= (\ln 2 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 5) \\ &= \ln 2 + \ln 5 - \ln 6 \\ &= \ln\dfrac{2 \cdot 5}{6} = \ln\dfrac{5}{3} \end{aligned} \]

Vi ser at vi kommer fra ett ledd til det neste ved å gange med det samme. Rekken er altså geometrisk, så vi finner kvotienten, bruker kravet for konvergens og setter inn i sumformelen.

1. Finn kvotienten Kvotienten \( \textcolor{red}{k} \) er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{1} \\ \dfrac{t}{\sqrt{7}} : 1 &= \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \\ \dfrac{t^2}{7} : \dfrac{t}{\sqrt{7}} &= \dfrac{t}{\sqrt{7}} = \textcolor{red}{k} \end{aligned} \]

Slik fortsetter det: hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}\text{.} \)

2. Finn konvergensområdet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{red}{k}| < 1 \]

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{k}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \left| \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}} \right| &< 1 \\ |t| &< \sqrt{7} \end{aligned} \]

3. Regn ut summen Summen av en konvergent geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Du ser hvor den kommer fra i videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(t) &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{1 - \textcolor{red}{\dfrac{t}{\sqrt{7}}}} \\ &= \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - t} \end{aligned} \]