Forkurseksamen etter tema

Vi løser opp parentesene hver for seg, og så trekker vi sammen ledd med samme potens av \( x\text{.} \)

1. Løs opp den første parentesen Den første parentesen er et kvadrat, så vi bruker andre kvadratsetning. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{2})^2 &= \textcolor{blue}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 \\ &= x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

2. Løs opp den andre parentesen Her ganger vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: \[ \begin{aligned} &(x + 2)(3 - 2x) \\ &= 3x - 2x^2 + 6 - 4x \\ &= -2x^2 - x + 6 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen Minustegnet foran den andre parentesen snur fortegnet på alle leddene i den: \[ \begin{aligned} &(x^2 - 4x + 4) - (-2x^2 - x + 6) \\ &= x^2 - 4x + 4 + 2x^2 + x - 6 \\ &= 3x^2 - 3x - 2 \end{aligned} \]

Vi skriver de tre leddene på samme brøkstrek, og da må de ha samme nevner.

1. Finn fellesnevneren Nevnerne er \( {x - 3}\text{,} \) \( x \) og \( 1\text{.} \) Fellesnevneren finner vi ved å gange dem sammen, som med tall i videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter: \[ \textcolor{blue}{x(x - 3)} \]

2. Utvid hver brøk Vi ganger oppe og nede med det som mangler i hver nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{x - 3} &= \dfrac{x \cdot x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{x^2}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ \dfrac{2}{x} &= \dfrac{2(x - 3)}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{2x - 6}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ 1 &= \dfrac{\textcolor{blue}{x(x - 3)}}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} = \dfrac{x^2 - 3x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \end{aligned} \]

3. Trekk sammen tellerne Minustegnet foran den siste brøken snur fortegnet på hele telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x^2 + (2x - 6) - (x^2 - 3x)}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ &= \dfrac{x^2 + 2x - 6 - x^2 + 3x}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \\ &= \dfrac{5x - 6}{\textcolor{blue}{x(x - 3)}} \end{aligned} \]

Telleren og nevneren har ingen felles faktor, så vi kan ikke forkorte mer.

Vi ser at uttrykket under roten er et fullstendig kvadrat. Da blir roten en absoluttverdi, og den må vi dele i to tilfeller.

1. Skriv om uttrykket under roten Andre kvadratsetning baklengs gir, som i videoen Kvadratsetningene: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

2. Finn definisjonsområdet Kvadratet er aldri negativt, så roten er definert for alle \( x\text{:} \) \[ (x - 3)^2 \geq 0 \]

Det eneste vi må passe på, er at nevneren ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x - 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \]

3. Skriv funksjonen enklere Kvadratroten av et kvadrat er absoluttverdien, siden roten aldri er negativ: \[ \sqrt{(x - 3)^2} = \textcolor{blue}{|x - 3|} \]

Funksjonen er altså: \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{|x - 3|}}{x - 3} \]

For \( {x > 3} \) er \( {x - 3} \) positiv, så \( {\textcolor{blue}{|x - 3|} = \textcolor{blue}{x - 3}}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{x - 3}}{x - 3} = 1 \]

For \( {x < 3} \) er \( {x - 3} \) negativ, så \( {\textcolor{blue}{|x - 3|} = \textcolor{blue}{-(x - 3)}}\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{\textcolor{blue}{-(x - 3)}}{x - 3} = -1 \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Finn delene i regelen 0:14 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen 1:28 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{6x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{3x^2 - 4}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{6x^2 - 3x^2 + 4}{x^2} \\ &= \dfrac{3x^2 + 4}{x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en sum, så vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet har en kjerne, så der bruker vi kjerneregelen.

1. Del opp i to ledd 0:05 Vi kaller leddene \( \textcolor{blue}{a(x)} \) og \( \textcolor{red}{b(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a(x)} &= \textcolor{blue}{2\sin(\pi x)} \\ \textcolor{red}{b(x)} &= \textcolor{red}{2x^3} \end{aligned} \]

Da er: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{a'(x)} + \textcolor{red}{b'(x)} \]

2. Bruk kjerneregelen på første ledd 0:43 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{u(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'(x)} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Kjernen er \( \pi x\text{,} \) og sinus derivert er cosinus, så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x} & \textcolor{green}{u'(x)} &= \textcolor{green}{\pi} \\ f(u) &= 2\sin u & f'(u) &= 2\cos u \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a'(x)} &= 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det andre leddet 2:55 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {n = 3}\text{,} \) og konstanten \( 2 \) blir stående: \[ \textcolor{red}{b'(x)} = 2 \cdot 3x^2 = \underline{\textcolor{red}{6x^2}} \]

4. Slå sammen leddene 3:16 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)} + \textcolor{red}{6x^2} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) hvor den stiger, og hvor stigningen øker.

1. Les av fortegnet til funksjonen 0:15 Grafen ligger over \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 1}\text{,} \) krysser den i \( {x = 1} \) og ligger under til høyre: \[ \textcolor{darkorange}{h(1)} = 0 \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{h(x)}", "expr": "1 - x"}]}

2. Les av fortegnet til den deriverte 1:08 Den deriverte er \( 0 \) der grafen har et toppunkt, og det ser vi i \( {x = 0{,}5}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{h'(0{,}5)} = 0 \]

Til venstre for toppunktet stiger grafen, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er positiv. Til høyre synker den, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er negativ: :::fortegnsskjema {"points": [0.5], "labels": ["0{,}5"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{h'(x)}", "expr": "0.5 - x"}]}

3. Les av fortegnet til den dobbeltderiverte 2:25 Den dobbeltderiverte følger veksten til \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{.} \) Grafen blir brattere og brattere fram mot \( {x = 0}\text{,} \) er brattest der, og blir så slakere. Da har \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) et toppunkt i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{h''(0)} = 0 \]

Til venstre for \( {x = 0} \) vokser \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{,} \) og til høyre avtar den: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{green}{h''(x)}", "expr": "-x"}]}

En strek viser hvor funksjonen på linja er \( 0\text{.} \) Punktene er lest av figuren.

En asymptote er en linje som grafen kommer stadig nærmere. Her viser de stiplede linjene oss hvor de er, så vi leser av likningene.

1. Finn de loddrette asymptotene Grafen går mot pluss eller minus uendelig på begge sider av de loddrette linjene, som asymptotene i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Linjene står i: \[ x = -1 \quad \text{og} \quad x = 3 \]

2. Finn den skrå asymptoten Grafen nærmer seg den skrå linja når \( x \) går mot pluss og minus uendelig. En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b} \]

Vi leser av to punkter på linja, \( {(-6, 0)} \) og \( (0, 3)\text{.} \) Den skjærer \( {y\text{-aksen}} \) i \( 3\text{,} \) og stigningstallet blir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{a} &= \dfrac{3 - 0}{0 - (-6)} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}x + \textcolor{blue}{3} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen stiger og synker, og hvilken vei den krummer.

1. Les av fortegnet til den deriverte \( f'(x) \) er positiv der grafen stiger, negativ der den synker og \( 0 \) i topp- og bunnpunktene, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren ligger disse punktene nær: \[ f'(x) = 0 \text{ for } \textcolor{darkorange}{x \approx 1{,}7} \text{ og } \textcolor{darkorange}{x \approx 4{,}4} \]

Grafen stiger til venstre for \( {x = -1}\text{,} \) og fra \( {x = -1} \) til toppunktet. Den synker fra toppunktet mot \( {x = 3}\text{.} \) Til høyre for \( {x = 3} \) synker den fra uendelig ned til bunnpunktet, og etter det stiger den igjen. I \( {x = -1} \) og \( {x = 3} \) er \( f \) ikke definert. Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 1.7, 3, 4.4], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "(x - 1.7)*(x - 4.4)/((x + 1)^2*(x - 3)^2)"}]}

En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{,} \) og × hvor den ikke er definert.

2. Les av fortegnet til den andrederiverte \( f''(x) \) er positiv der grafen krummer oppover, som en skål, og negativ der den krummer nedover, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Avlest fra figuren har vi: \[ \begin{aligned} x < -1 &: \ \text{krummer oppover} \\ -1 < x < 3 &: \ \text{krummer nedover} \\ x > 3 &: \ \text{krummer oppover} \end{aligned} \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "1/((x + 1)*(x - 3))"}]}

Vi bruker fortegnslinjene fra b).

Fortegnslinjene forteller oss hvor grafen snur og hvor den skifter krumning. Koordinatene leser vi av i figuren.

1. Finn toppunktet I \( {x = 1{,}7} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus. Grafen stiger og så synker, så det er et toppunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{red}{f(1{,}7)} \approx \textcolor{red}{2{,}9} \]

2. Finn bunnpunktet I \( {x = 4{,}4} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss. Grafen synker og så stiger, så det er et bunnpunkt. Vi leser av høyden: \[ \textcolor{blue}{f(4{,}4)} \approx \textcolor{blue}{5{,}8} \]

3. Se etter vendepunkter I et vendepunkt skifter \( f''(x) \) fortegn, som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Fortegnet til \( f''(x) \) skifter bare i asymptotene, der \( f \) ikke er definert: \[ f(-1) \text{ og } f(3) \text{ finnes ikke} \]

Grafen har derfor ingen vendepunkter i figuren.

Vi ser at funksjonen er en brøk. Den er ikke definert der nevneren er \( 0\text{,} \) og den er \( 0 \) der telleren er \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren \( \textcolor{blue}{x} \) må være forskjellig fra \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} \neq 0 \]

Alle andre tall går fint, så: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

2. Finn nullpunktene For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). En brøk er \( 0 \) når telleren \( {\textcolor{red}{4x^2 + 1}} \) er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4x^2 + 1} &= 0 \\ x^2 &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Et kvadrat kan aldri bli negativt, så likningen har ingen løsning. Funksjonen har ingen nullpunkter.

Vi bruker fra a) at nevneren er \( 0 \) for \( {x = 0}\text{.} \)

Vi sjekker hva som skjer der nevneren er \( 0\text{,} \) og deler så opp brøken for å se hva grafen nærmer seg når \( x \) blir stor.

1. Finn den vertikale asymptoten Vi får en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). For \( {x = 0} \) er: \[ \begin{aligned} \text{Nevner:} \quad & x = 0 \\ \text{Teller:} \quad & 4 \cdot 0^2 + 1 = 1 \end{aligned} \]

Dermed har \( f \) den vertikale asymptoten: \[ x = 0 \]

2. Del opp brøken Vi deler hvert ledd i telleren på \( x\text{:} \) \[ f(x) = \dfrac{4x^2}{x} + \dfrac{1}{x} = \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \]

3. Finn den skrå asymptoten Vi lar \( x \) gå mot pluss og minus uendelig, som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Da går \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \) mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \big( f(x) - \textcolor{blue}{4x} \big) = \lim_{x \to \pm\infty} \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} = 0 \]

Grafen nærmer seg altså linja \( {y = \textcolor{blue}{4x}}\text{.} \) Dette kalles en skrå asymptote. \( |f(x)| \) vokser uten grense når \( {x \to \pm\infty}\text{,} \) så funksjonen har ingen horisontal asymptote.

Funksjonen er en brøk med \( x \) i både teller og nevner, så vi bruker kvotientregelen.

1. Bruk kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left( \dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}} \right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{4x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{8x^2 - 4x^2 - 1}{x^2} \\ &= \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og faktoriserer telleren. Et fortegnsskjema viser så hvor \( f \) stiger og synker.

1. Sett den deriverte lik null For å finne topp- eller bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Fra c) vet vi at: \[ f'(x) = \dfrac{4x^2 - 1}{x^2} \]

En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{.} \) Konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene, gir oss: \[ \begin{aligned} 4x^2 - 1 &= (\textcolor{darkorange}{2x + 1})(\textcolor{magenta}{2x - 1}) = 0 \\ x &= -\dfrac{1}{2} \ \text{ eller } \ x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnsskjema Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0, 0.5], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0", "\\dfrac{1}{2}"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x - 1}", "expr": "2x - 1"}, {"label": "x^2", "expr": "x^2", "denominator": true}, {"label": "f'(x)", "expr": "(2x + 1)(2x - 1)/x^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så her har vi et toppunkt. I \( {x = \dfrac{1}{2}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så her har vi et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4 \\ f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \dfrac{4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{2}} = 4 \end{aligned} \]

Skjemaet viser at grafen stiger for \( {x \le -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x \ge \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og synker mellom disse, bortsett fra i \( {x = 0}\text{,} \) der \( f \) ikke er definert.

Vi bruker asymptotene fra b) og topp- og bunnpunktet fra d).

Vi tegner asymptotene først og setter av punktene. Verdimengden leser vi av på hver side av \( {x = 0}\text{.} \)

1. Skisser grafen Fra b) og d) vet vi: \[ \begin{aligned} \text{Asymptoter:} \quad & x = 0, \quad y = 4x \\ \textcolor{blue}{\text{Toppunkt:}} \quad & \textcolor{blue}{\left(-\dfrac{1}{2},\, -4\right)} \\ \textcolor{red}{\text{Bunnpunkt:}} \quad & \textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2},\, 4\right)} \end{aligned} \]

Vi regner også ut ett punkt til på hver side, så grafen blir riktig: \[ f(2) = \dfrac{17}{2}, \quad f(-2) = -\dfrac{17}{2} \]

Grafen har to deler. Hver del følger \( {x = 0} \) nær \( {y\text{-aksen}} \) og \( {y = 4x} \) langt ute. Hva en asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x):

2. Finn verdimengden Når \( {x > 0} \) er \( \textcolor{red}{4} \) den minste verdien, og \( f \) vokser mot uendelig på begge sider av bunnpunktet. Når \( {x < 0} \) er \( {\textcolor{blue}{-4}} \) den største verdien, og \( f \) går mot minus uendelig på begge sider av toppunktet. Det gir oss: \[ \begin{aligned} x > 0: \quad & f(x) \ge \textcolor{red}{4} \\ x < 0: \quad & f(x) \le \textcolor{blue}{-4} \end{aligned} \]