Forkurs matematikk ordinær eksamen 2021 – løsningsforslag

Koeffisienten \( k \) er et ledd delt på leddet foran. Vi regner ut begge kvotientene og viser at begge blir \( 2\cos\dfrac{x}{2}\text{.} \)

1. Skriv opp leddene Kvotienten er det vi ganger med for å komme til neste ledd, som i videoen Geometriske rekker intro: \[ k = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{red}{a_2} &= \textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ \textcolor{green}{a_3} &= \textcolor{green}{\sin x} \end{aligned} \]Vi regner for de \( x \) der leddene finnes og ikke er \( 0\text{.} \)

2. Del andre ledd på første Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan\dfrac{x}{2} = \dfrac{\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{a_2}}{\textcolor{blue}{a_1}} &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{x}{2}}} \\ &= \sin\dfrac{x}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]

3. Del tredje ledd på andre Formelen for sinus til dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2u) = 2\sin u \cos u \]

Her er \( {u = \dfrac{x}{2}}\text{,} \) så \( {2u = x}\text{.} \) Det gir oss: \[ \textcolor{green}{\sin x} = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{green}{a_3}}{\textcolor{red}{a_2}} &= \dfrac{\textcolor{green}{\sin x}}{\textcolor{red}{\sin\dfrac{x}{2}}} \\ &= \dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}} \\ &= 2\cos\dfrac{x}{2} \end{aligned} \]

Begge kvotientene blir det samme, så \( k \) er den samme mellom \( a_1 \) og \( a_2\text{,} \) og mellom \( a_2 \) og \( a_3\text{.} \)

Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a).

En geometrisk rekke konvergerer når \( k \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{.} \) Vi setter inn \( k \) og finner hvilke \( x \) det gir.

1. Skriv opp kravet En geometrisk rekke konvergerer når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test: \[ |\textcolor{blue}{k}| < 1 \Leftrightarrow -1 < \textcolor{blue}{k} < 1 \]

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{k = 2\cos\dfrac{x}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 &< \textcolor{blue}{2\cos\dfrac{x}{2}} < 1 \\ -\dfrac{1}{2} &< \cos\dfrac{x}{2} < \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Vi setter \( {\textcolor{red}{u} = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Siden \( {0 \le x < 4\pi}\text{,} \) er \( {0 \le \textcolor{red}{u} < 2\pi}\text{.} \) Der er: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{red}{u} = \dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3} \\ \cos \textcolor{red}{u} = -\dfrac{1}{2} &\Rightarrow \textcolor{red}{u} = \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3} \end{aligned} \]Tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser hvordan cosinus går fra \( 1 \) ned til \( {-1} \) og opp igjen.

Cosinus synker fra \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{3} \) til \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{2\pi}{3}\text{,} \) og stiger igjen fra \( {-\dfrac{1}{2}} \) i \( \dfrac{4\pi}{3} \) til \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{5\pi}{3}\text{.} \) Enhetssirkelen brukes til dette i videoen Oppgave 2B - Løs ulikheten. Cosinus ligger altså mellom \( {-\dfrac{1}{2}} \) og \( \dfrac{1}{2} \) for: \[ \dfrac{\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{2\pi}{3} \quad \text{eller} \quad \dfrac{4\pi}{3} < \textcolor{red}{u} < \dfrac{5\pi}{3} \]

3. Gå tilbake til x Vi ganger med \( 2\text{,} \) siden \( {x = 2\textcolor{red}{u}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3} \quad \text{eller} \\ &\dfrac{8\pi}{3} < x < \dfrac{10\pi}{3} \end{aligned} \]

I første ledd står \( \tan\dfrac{x}{2}\text{,} \) som ikke finnes når \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2}} \) eller \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{3\pi}{2}}\text{.} \) Disse to verdiene må vi derfor ta ut: \[ x \ne \pi, \quad x \ne 3\pi \]

Vi bruker \( {k = 2\cos\dfrac{x}{2}} \) fra a) og konvergensområdet fra b).

Vi sjekker først at rekka konvergerer for denne \( {x\text{-en.}} \) Så setter vi første ledd og \( k \) inn i sumformelen.

1. Sjekk at rekka konvergerer I b) fant vi at rekka konvergerer for \( {\dfrac{2\pi}{3} < x < \dfrac{4\pi}{3}} \) med \( x \ne \pi\text{.} \) Her er: \[ \dfrac{4\pi}{6} < \dfrac{5\pi}{6} < \dfrac{6\pi}{6} = \pi \]

2. Bruk sumformelen Summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer, er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Videoen Geometrisk rekke test viser hvorfor summen blir et fast tall når absoluttverdien til kvotienten er mindre enn \( 1\text{.} \)

Her er \( {\dfrac{x}{2} = \dfrac{5\pi}{12}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og ganger med \( 2 \) oppe og nede, får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2} \tan\dfrac{5\pi}{12}}}{1 - \textcolor{red}{2\cos\dfrac{5\pi}{12}}} \\ &= \dfrac{\tan\dfrac{5\pi}{12}}{2 - 4\cos\dfrac{5\pi}{12}} \\ &\approx 3{,}87 \end{aligned} \]Tallet er avrundet til to desimaler, med kalkulatoren stilt på radianer.

Buen møter vannet der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Bredden er avstanden mellom de to punktene.

1. Sett funksjonen lik null Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}09x^2 + 9 &= 0 \\ 0{,}09x^2 &= 9 \\ x^2 &= 100 \end{aligned} \]

Vi tar kvadratroten på begge sider, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?, og får to løsninger: \[ x = \textcolor{blue}{-10} \quad \text{eller} \quad x = \textcolor{red}{10} \]

2. Regn ut bredden Bredden er avstanden mellom punktene: \[ \text{Bredde} = \textcolor{red}{10} - (\textcolor{blue}{-10}) = 20 \]

Vi bruker fra a) at buen treffer vannet i \( {x = -10} \) og \( {x = 10}\text{.} \)

Sideflaten er et rektangel der vi tar bort arealet under buen. Rektangelet er \( 20\,\text{m} \) bredt og \( 11\,\text{m} \) høyt.

1. Regn ut rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganget med bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{A_{\text{rektangel}}} = 20 \cdot 11 = \textcolor{blue}{220} \]

2. Regn ut arealet under buen Arealet under grafen er integralet mellom nullpunktene, som i videoen Hva er integrasjon. Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A_{\text{bue}}} &= \int_{-10}^{10} (-0{,}09x^2 + 9)\,dx \\ &= \left[ -0{,}03x^3 + 9x \right]_{-10}^{10} \\ &= (-30 + 90) - (30 - 90) \\ &= 60 + 60 = \textcolor{red}{120} \end{aligned} \]

3. Trekk fra Sideflaten er rektangelet minus arealet under buen: \[ A = \textcolor{blue}{220} - \textcolor{red}{120} = 100 \]

Lekteren er \( 12\,\text{m} \) bred, så midt i elva går hjørnene i \( {x = -6} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Vi ser om buen er høyere enn lekteren der.

1. Regn ut høyden ved hjørnene Brua er symmetrisk, så det holder å se på \( {\textcolor{blue}{x = 6}}\text{.} \) Der er buen: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{6}) &= -0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 9 \\ &= -3{,}24 + 9 \\ &= \textcolor{red}{5{,}76} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med lekteren Buen er høyere enn lekteren ved hjørnene: \[ \textcolor{red}{5{,}76} > 5{,}5 \]Lengre inn mot midten er buen enda høyere, så lekteren kan passere midt i elva, med \( 0{,}26\,\text{m} \) klaring.

Vi lar hjørnene øverst følge buen. Arealet er da bredden ganget med høyden, begge uttrykt med \( x\text{.} \)

1. Sett opp bredde og høyde Rektangelet står midt under brua, med hjørner i \( {-x} \) og \( x\text{,} \) der \( {0 < x < 10}\text{.} \) Det blir høyest mulig når de øverste hjørnene treffer buen:

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= \textcolor{blue}{2x} \\ \textcolor{red}{\text{høyde}} &= \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9} \end{aligned} \]

2. Gang sammen Arealet av et rektangel er bredden ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A(x) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot (\textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9}) \\ &= -0{,}18x^3 + 18x \\ &= 18x - 0{,}18x^3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til d), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten, og bredden er \( 2x\text{.} \)

Arealet er størst der den deriverte er \( 0 \) og går fra pluss til minus. Vi finner \( x \) der, og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} (18x)' &= 18 \\ (0{,}18x^3)' &= 0{,}54x^2 \\ A'(x) &= 18 - 0{,}54x^2 \end{aligned} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 18 - 0{,}54x^2 &= 0 \\ x^2 &= \dfrac{18}{0{,}54} = \dfrac{100}{3} \\ x &= \pm\dfrac{10}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

Bare den positive løsningen gir mening, siden \( {0 < x < 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} \approx 5{,}77 \]

2. Sjekk at det er et toppunkt Vi ser på fortegnet til \( A'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A'(5) &= 18 - 13{,}5 = 4{,}5 > 0 \\ A'(6) &= 18 - 19{,}44 = -1{,}44 < 0 \end{aligned} \]Den deriverte går fra pluss til minus, så arealet er størst i \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{10}{\sqrt{3}}}}\text{.} \)

3. Regn ut bredden Bredden er \( 2x\text{:} \) \[ \text{Bredde} = 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \]

Grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) så arealet er integralet av \( F(x) \) fra \( {-1} \) til \( 1\text{.} \)

1. Sett opp integralet Arealet under grafen er integralet mellom grensene, som i videoen Hva er integrasjon: \[ A = \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{2} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Integralet av en eksponentialfunksjon forteller oss at: \[ \int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx} \]Regelen står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {n = 1} \) i det første leddet og \( {n = -1} \) i det andre: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{e^x}\,dx &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \int \textcolor{red}{e^{-x}}\,dx &= \textcolor{red}{-e^{-x}} \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \left[ \textcolor{blue}{e^x} \textcolor{red}{- e^{-x}} \right]_{-1}^{1} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( (e - e^{-1}) - (e^{-1} - e) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 2e - 2e^{-1} \right) \\ &= e - \dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Vi bruker volumformelen for et omdreiningslegeme. Vi må først kvadrere \( F(x)\text{.} \)

1. Skriv opp volumformelen Volumet av et omdreiningslegeme om \( {x\text{-aksen}} \) er: \[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} F(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på volumformelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse. Her er grensene \( {x_1 = -1} \) og \( {x_2 = 1}\text{.} \)

2. Kvadrer funksjonen Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Den står i videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{e^x} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{e^{-x}} \\ \textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} &= e^{x - x} = 1 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} F(x)^2 &= \dfrac{1}{4} \left( \textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{e^{-x}} \right)^2 \\ &= \dfrac{1}{4} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Vi integrerer ledd for ledd, med regelen \( {\int e^{nx}\,dx = \dfrac{1}{n} e^{nx}} \) fra videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \int_{-1}^{1} \left( e^{2x} + 2 + e^{-2x} \right) dx \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left[ \dfrac{1}{2} e^{2x} + 2x - \dfrac{1}{2} e^{-2x} \right]_{-1}^{1} \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, først \( 1 \) og så \( {-1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^2 + 2 - \dfrac{1}{2} e^{-2} \right) \\ &\quad - \dfrac{\pi}{4} \left( \dfrac{1}{2} e^{-2} - 2 - \dfrac{1}{2} e^2 \right) \\ &= \dfrac{\pi}{4} \left( e^2 - e^{-2} + 4 \right) \end{aligned} \]

Vi finner vektorene ved å trekke fra koordinatene. Vinkelen finner vi med skalarproduktet.

1. Finn vektorene Vektoren fra \( C \) til et punkt er koordinatene til punktet minus koordinatene til \( C\text{,} \) som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} &= [0 - 2,\ 0 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{blue}{[-2, -4, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} &= [3 - 2,\ 1 - 4,\ 0 - 0] \\ &= \textcolor{red}{[1, -3, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet Skalarproduktet forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} = |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| \cdot |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Her er \( \textcolor{green}{v} \) vinkelen mellom vektorene. Regelen står i videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Vi ganger koordinat for koordinat og legger sammen: \[ \begin{aligned} & \textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}} \cdot \textcolor{red}{\overrightarrow{CB}} \\ &= -2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 \\ &= -2 + 12 = 10 \end{aligned} \]

3. Regn ut lengdene Lengden finner vi med Pytagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\textcolor{blue}{\overrightarrow{CA}}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{20} \\ |\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}| &= \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{10} \end{aligned} \]

4. Finn vinkelen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \cos \textcolor{green}{v} &= \dfrac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} \\ &= \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker lengdene og vinkelen fra a).

Volumet er en tredel av grunnflaten ganger høyden. Grunnflaten finner vi med arealsetningen, og høyden kan vi lese av \( {z\text{-koordinatene.}} \)

1. Regn ut grunnflaten Arealsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{G} = \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot CB \cdot \sin C \]Her er \( CA \) og \( CB \) to sider, og \( C \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I a) fant vi: \[ \begin{aligned} CA &= \sqrt{20} \\ CB &= \sqrt{10} \\ \angle C &= 45^\circ \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{G} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin 45^\circ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

2. Finn høyden \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) har alle \( {z = 0}\text{,} \) så grunnflaten ligger i \( {xy\text{-planet.}} \) Høyden er derfor \( {z\text{-koordinaten}} \) til \( T\text{:} \) \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{5} \]

3. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{G} \cdot \textcolor{red}{h} \]Videoen Volum og Overflate viser hvorfor \( {V = G \cdot h} \) ikke gjelder for en pyramide.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{25}{3} \]

Vi setter opp kryssproduktet som en determinant. Lengden av kryssproduktet er arealet av et parallellogram, og trekanten er halvparten.

1. Finn vektorene Siden \( A \) er origo, er vektorene de samme tallene som punktene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} &= \textcolor{blue}{[1, 2, 5]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{red}{[3, 1, 0]} \end{aligned} \]

2. Regn ut kryssproduktet Kryssproduktet er determinanten med enhetsvektorene i første rad. Det vises i videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, et eksempel om curl, der kryssproduktet regnes slik: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} \end{vmatrix} \]

Vi regner ut hver komponent: \[ \begin{aligned} \vec{i}: \quad & 2 \cdot 0 - 5 \cdot 1 = -5 \\ \vec{j}: \quad & -(1 \cdot 0 - 5 \cdot 3) = 15 \\ \vec{k}: \quad & 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -5 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AT}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{green}{[-5, 15, -5]} \]

3. Regn ut arealet Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot |\textcolor{green}{[-5, 15, -5]}| \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{25 + 225 + 25} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{275} = \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker kryssproduktet fra c) som normalvektor.

Kryssproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet. Det er derfor en normalvektor, og \( A \) er et punkt i planet.

1. Finn normalvektoren I c) fant vi \( {\overrightarrow{AT} \times \overrightarrow{AB} = [-5, 15, -5]}\text{.} \) Vi kan dele på \( {-5} \) og få en enklere vektor med samme retning: \[ \textcolor{blue}{\vec{n}} = \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \]

2. Sett opp planlikningen Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_0}) + \textcolor{blue}{b}(y - \textcolor{red}{y_0}) \\ &+ \textcolor{blue}{c}(z - \textcolor{red}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{blue}{b}, \textcolor{blue}{c}] &= \textcolor{blue}{[1, -3, 1]} \\ (\textcolor{red}{x_0}, \textcolor{red}{y_0}, \textcolor{red}{z_0}) &= \textcolor{red}{(0, 0, 0)} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - \textcolor{red}{0}) \textcolor{blue}{- 3}(y - \textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{1}(z - \textcolor{red}{0}) &= 0 \\ x - 3y + z &= 0 \end{aligned} \]

Kontroll: \( B(3, 1, 0) \) gir \( {3 - 3 + 0 = 0}\text{,} \) og \( T(1, 2, 5) \) gir \( {1 - 6 + 5 = 0}\text{.} \)

Vi feller ned høyden fra \( C \) og får en rettvinklet trekant. Der finner vi vinkelen med sinus, og vinkel \( B \) er den som står igjen på den rette linja.

1. Tegn en skisse Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) lander normalen fra \( C \) utenfor \( AB\text{,} \) i punktet \( E\text{:} \)

2. Finn vinkelen i trekanten Trekanten \( BEC \) er rettvinklet, og sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{motstående}} &= \textcolor{red}{CE} = \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{green}{v} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

3. Finn vinkel B Vinkel \( B \) og \( \textcolor{green}{v} \) ligger på samme rette linje, så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle B = 180^\circ - \textcolor{green}{45^\circ} = 135^\circ \]

Vi bruker \( {\angle B = 135^\circ} \) fra a).

I trekanten \( BCD \) kjenner vi to sider. Vinkelen mellom dem finner vi fra vinkel \( B\text{,} \) og så bruker vi cosinussetningen.

1. Finn vinkel C \( AB \) og \( CD \) er parallelle, så vinkel \( B \) og vinkel \( C \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\angle C} = 180^\circ - 135^\circ = \textcolor{green}{45^\circ} \]

2. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{BC}^2 + \textcolor{red}{CD}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \textcolor{red}{CD} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \\ \textcolor{red}{CD} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{\angle C} &= \textcolor{green}{45^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= (\textcolor{blue}{2\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{6}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos \textcolor{green}{45^\circ} \\ &= 8 + 36 - 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 44 - 24 = 20 \\ BD &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]

Arealet gir oss siden \( AB\text{.} \) Så feller vi ned høyden fra \( D \) og får en rettvinklet trekant med vinkel \( A\text{.} \)

1. Finn siden AB Arealet av et trapes er gjennomsnittet av de parallelle sidene ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A_{\text{trapes}} = \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + CD}{2} \cdot h \]

Plugger vi inn \( {A_{\text{trapes}} = 15}\text{,} \) \( {CD = 6} \) og \( {h = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 15 &= \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + 6}{2} \cdot 2 \\ 15 &= \textcolor{magenta}{AB} + 6 \\ \textcolor{magenta}{AB} &= 9 \end{aligned} \]

2. Finn siden AF Vi feller ned normalen fra \( D \) til punktet \( F \) og normalen fra \( C \) til punktet \( E\text{.} \) Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) ligger \( E \) til høyre for \( B\text{:} \)

Pytagoras i trekanten \( BEC \) gir oss \( BE\text{:} \) \[ \begin{aligned} BE^2 + CE^2 &= BC^2 \\ BE &= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \sqrt{8 - 4} = 2 \end{aligned} \]

Avstanden \( FE \) er like lang som \( CD\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AF} &= \textcolor{magenta}{AB} + BE - FE \\ &= \textcolor{magenta}{9} + 2 - 6 = \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]

3. Finn vinkelen Tangens forteller oss at: \[ \tan \textcolor{green}{A} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri. Den samme videoen viser hvordan vi finner vinkelen baklengs.

Her er \( {\textcolor{red}{DF = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{AF = 5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{green}{A} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{5}} \\ \textcolor{green}{A} &= \arctan \dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ \end{aligned} \]

Vi regner ut hva det koster samfunnet uten vaksine og med vaksine, og sammenligner.

1. Regn ut kostnaden uten vaksine \( 2{,}3\,\% \) av \( 1000 \) personer blir syke, regnet som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \begin{aligned} \text{Syke} &= \dfrac{2{,}3}{100} \cdot 1000 = 23 \\ \textcolor{blue}{\text{Uten vaksine}} &= 23 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{blue}{23\,000\,000} \end{aligned} \]

2. Regn ut kostnaden med vaksine Vaksinen koster \( 2\,300 \) for hver av de \( 1000 \) personene. Av de \( 23 \) som ellers ville blitt syke, er \( 10\,\% \) ikke beskyttet: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\text{Vaksiner}} &= 1000 \cdot 2\,300 \\ &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ \text{Syke i snitt} &= \dfrac{10}{100} \cdot 23 = 2{,}3 \\ \textcolor{darkorange}{\text{Oppfølging}} &= 2{,}3 \cdot 1\,000\,000 \\ &= \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Med vaksine}} &= \textcolor{green}{2\,300\,000} \\ &\quad + \textcolor{darkorange}{2\,300\,000} \\ &= \textcolor{red}{4\,600\,000} \end{aligned} \]

3. Sammenlign Det koster mye mindre å vaksinere alle: \[ \textcolor{red}{4\,600\,000} < \textcolor{blue}{23\,000\,000} \]Samfunnet sparer \( 18\,400\,000\text{,} \) så det lønner seg.

Vi deler først på om personen er vaksinert eller ikke. Sykdom \( A \) kan ramme begge gruppene, mens sykdom \( B \) bare rammer de vaksinerte.

1. Finn sannsynlighetene La \( \textcolor{green}{V} \) være at personen er vaksinert. Blant de vaksinerte er \( 10\,\% \) av de \( 2{,}3\,\% \) ikke beskyttet. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{P(A \mid V)} &= 0{,}10 \cdot 0{,}023 = \textcolor{red}{0{,}0023} \\ \textcolor{red}{P(A \mid \overline{V})} &= \textcolor{red}{0{,}023} \\ \textcolor{blue}{P(B \mid V)} &= \textcolor{blue}{0{,}001} \end{aligned} \]

2. Tegn valgtreet Vi vet ikke ennå hvor mange som vaksinerer seg, så de første greinene har ikke tall. Vi antar at sjansen for \( \textcolor{blue}{B} \) er den samme enten personen får \( \textcolor{red}{A} \) eller ikke:

3. Tegn venndiagrammet Rektangelet er hele populasjonen, delt i vaksinerte og ikke vaksinerte. \( \textcolor{red}{A} \) ligger på begge sider av streken, mens \( \textcolor{blue}{B} \) ligger helt på den vaksinerte siden og overlapper med \( \textcolor{red}{A}\text{:} \)

En person kan få sykdommen på to måter: som vaksinert eller som uvaksinert. Vi regner ut begge og legger sammen.

1. Skriv opp sannsynlighetene La \( V \) være at personen er vaksinert. Blant de uvaksinerte får \( 2{,}3\,\% \) sykdommen, og blant de vaksinerte \( 10\,\% \) av dette. Dette er betingede sannsynligheter, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ \begin{aligned} P(V) &= 0{,}75 & P(A \mid V) &= 0{,}0023 \\ P(\overline{V}) &= 0{,}25 & P(A \mid \overline{V}) &= 0{,}023 \end{aligned} \]

2. Legg sammen de to greinene Vi ganger langs hver grein og legger sammen: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{P(V) \cdot P(A \mid V)} \\ &\quad + \textcolor{red}{P(\overline{V}) \cdot P(A \mid \overline{V})} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(A) &= \textcolor{blue}{0{,}75 \cdot 0{,}0023} + \textcolor{red}{0{,}25 \cdot 0{,}023} \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} + \textcolor{red}{0{,}00575} \\ &= 0{,}007475 \end{aligned} \]

Vi bruker tallene fra c).

Vi vet at personen har sykdom \( A\text{.} \) Da er dette en betinget sannsynlighet: de vaksinerte med sykdommen delt på alle med sykdommen.

1. Skriv opp betinget sannsynlighet La \( V \) være at personen er vaksinert. Betinget sannsynlighet er gunstige delt på mulige, som i videoen Betinget sannsynlighet Del1: \[ P(V \mid A) = \dfrac{\textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)}}{\textcolor{red}{P(A)}} \]

I c) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{P(V \text{ og } A)} &= 0{,}75 \cdot 0{,}0023 \\ &= \textcolor{blue}{0{,}001725} \\ \textcolor{red}{P(A)} &= \textcolor{red}{0{,}007475} \end{aligned} \]

2. Regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(V \mid A) &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}001725}}{\textcolor{red}{0{,}007475}} \\ &= \dfrac{3}{13} \approx 0{,}231 \end{aligned} \]