Forkurseksamen etter tema

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi bruker produktregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} + \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Den deriverte av \( \sin t \) er \( \cos t\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{t} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin t} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\cos t} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= \textcolor{red}{t} \cdot \textcolor{blue}{\cos t} + \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin t} \\ &= t\cos t + \sin t \end{aligned} \]

Inni \( \ln \) står det en brøk, så vi bruker kjerneregelen med brøken som kjerne. Den deriverte av kjernen finner vi med kvotientregelen.

1. Skriv opp kjerneregelen For \( \ln \) av en kjerne \( \textcolor{green}{w} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{w})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{w}} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstanten \( 3 \) blir stående som en faktor, slik videoen Kvotientregelen oppgave viser.

Kjernen er: \[ \textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}} \]

2. Deriver kjernen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Den samme oppgaven med \( \ln \) av en brøk er i videoen Kvotientregelen oppgave.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w'} &= \dfrac{\textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{x^2 + 1}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \end{aligned} \]

3. Sett sammen Plugger vi \( \textcolor{green}{w} \) og \( \textcolor{green}{w'} \) inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 3 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{\dfrac{x^2 + 1}{x}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{x^2 - 1}{x^2}} \\ &= 3 \cdot \dfrac{x}{x^2 + 1} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \end{aligned} \]

Vi forkorter \( x \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{3(x^2 - 1)}{x(x^2 + 1)} \]

For å skrive opp tangenten trenger vi \( f(1) \) og \( f'(1)\text{.} \) Funksjonen er en brøk, så vi deriverer med kvotientregelen.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x + 1} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{x + 1}) - \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x + 1})^2} \\ &= \dfrac{xe^x}{(x + 1)^2} \end{aligned} \]

2. Finn punktet og stigningstallet Vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(1) &= \dfrac{e^1}{1 + 1} = \dfrac{e}{2} \\ f'(1) &= \dfrac{1 \cdot e^1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

3. Skriv opp tangenten Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = a} \) er: \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentlinje.

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} y &= \dfrac{e}{4}(x - 1) + \dfrac{e}{2} \\ &= \dfrac{e}{4}x - \dfrac{e}{4} + \dfrac{2e}{4} \\ &= \dfrac{e}{4}x + \dfrac{e}{4} \end{aligned} \]

Fra figuren leser vi at parabelen har nullpunktene \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Stigningen i \( {x = 0} \) gir oss konstanten, og så finner vi toppunktet med den deriverte.

1. Sett opp parabelen En parabel med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives slik: \[ h(x) = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 3}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} h(x) &= \textcolor{blue}{a} \cdot x(x - 3) \\ &= \textcolor{blue}{a}x^2 - 3\textcolor{blue}{a}x \end{aligned} \]

2. Bruk stigningen i null Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ h'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x - 3\textcolor{blue}{a} \]

Vi vet at \( {h'(0) = \dfrac{1}{10}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} h'(0) = -3\textcolor{blue}{a} &= \dfrac{1}{10} \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{30}} \end{aligned} \]

Parabelen og den deriverte er derfor: \[ \begin{aligned} h(x) &= -\dfrac{1}{30}x^2 + \dfrac{1}{10}x \\ h'(x) &= -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} \end{aligned} \]

3. Finn det høyeste punktet Vi setter \( {h'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{1}{15}x + \dfrac{1}{10} &= 0 \\ x &= \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

Siden \( {\textcolor{blue}{a} < 0}\text{,} \) vender parabelen ned, så dette er toppunktet. Vi setter inn: \[ \begin{aligned} h\left(\dfrac{3}{2}\right) &= -\dfrac{1}{30} \cdot \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{2} \\ &= -\dfrac{3}{40} + \dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{40} \end{aligned} \]

4. Regn ut høydeforskjellen Det laveste punktet finner vi i endepunktene, der: \[ h(0) = h(3) = 0 \]

Høydeforskjellen er derfor: \[ \begin{aligned} \dfrac{3}{40} - 0 &= \dfrac{3}{40}\,\text{km} \\ &= 0{,}075\,\text{km} = 75\,\text{m} \end{aligned} \]

Buen møter vannet der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Bredden er avstanden mellom de to punktene.

1. Sett funksjonen lik null Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}09x^2 + 9 &= 0 \\ 0{,}09x^2 &= 9 \\ x^2 &= 100 \end{aligned} \]

Vi tar kvadratroten på begge sider, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?, og får to løsninger: \[ x = \textcolor{blue}{-10} \quad \text{eller} \quad x = \textcolor{red}{10} \]

2. Regn ut bredden Bredden er avstanden mellom punktene: \[ \text{Bredde} = \textcolor{red}{10} - (\textcolor{blue}{-10}) = 20 \]

Vi bruker fra a) at buen treffer vannet i \( {x = -10} \) og \( {x = 10}\text{.} \)

Sideflaten er et rektangel der vi tar bort arealet under buen. Rektangelet er \( 20\,\text{m} \) bredt og \( 11\,\text{m} \) høyt.

1. Regn ut rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganget med bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{A_{\text{rektangel}}} = 20 \cdot 11 = \textcolor{blue}{220} \]

2. Regn ut arealet under buen Arealet under grafen er integralet mellom nullpunktene, som i videoen Hva er integrasjon. Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A_{\text{bue}}} &= \int_{-10}^{10} (-0{,}09x^2 + 9)\,dx \\ &= \left[ -0{,}03x^3 + 9x \right]_{-10}^{10} \\ &= (-30 + 90) - (30 - 90) \\ &= 60 + 60 = \textcolor{red}{120} \end{aligned} \]

3. Trekk fra Sideflaten er rektangelet minus arealet under buen: \[ A = \textcolor{blue}{220} - \textcolor{red}{120} = 100 \]

Lekteren er \( 12\,\text{m} \) bred, så midt i elva går hjørnene i \( {x = -6} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Vi ser om buen er høyere enn lekteren der.

1. Regn ut høyden ved hjørnene Brua er symmetrisk, så det holder å se på \( {\textcolor{blue}{x = 6}}\text{.} \) Der er buen: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{6}) &= -0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 9 \\ &= -3{,}24 + 9 \\ &= \textcolor{red}{5{,}76} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med lekteren Buen er høyere enn lekteren ved hjørnene: \[ \textcolor{red}{5{,}76} > 5{,}5 \]Lengre inn mot midten er buen enda høyere, så lekteren kan passere midt i elva, med \( 0{,}26\,\text{m} \) klaring.

Vi lar hjørnene øverst følge buen. Arealet er da bredden ganget med høyden, begge uttrykt med \( x\text{.} \)

1. Sett opp bredde og høyde Rektangelet står midt under brua, med hjørner i \( {-x} \) og \( x\text{,} \) der \( {0 < x < 10}\text{.} \) Det blir høyest mulig når de øverste hjørnene treffer buen:

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= \textcolor{blue}{2x} \\ \textcolor{red}{\text{høyde}} &= \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9} \end{aligned} \]

2. Gang sammen Arealet av et rektangel er bredden ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A(x) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot (\textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9}) \\ &= -0{,}18x^3 + 18x \\ &= 18x - 0{,}18x^3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til d), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten, og bredden er \( 2x\text{.} \)

Arealet er størst der den deriverte er \( 0 \) og går fra pluss til minus. Vi finner \( x \) der, og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} (18x)' &= 18 \\ (0{,}18x^3)' &= 0{,}54x^2 \\ A'(x) &= 18 - 0{,}54x^2 \end{aligned} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 18 - 0{,}54x^2 &= 0 \\ x^2 &= \dfrac{18}{0{,}54} = \dfrac{100}{3} \\ x &= \pm\dfrac{10}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

Bare den positive løsningen gir mening, siden \( {0 < x < 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} \approx 5{,}77 \]

2. Sjekk at det er et toppunkt Vi ser på fortegnet til \( A'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A'(5) &= 18 - 13{,}5 = 4{,}5 > 0 \\ A'(6) &= 18 - 19{,}44 = -1{,}44 < 0 \end{aligned} \]Den deriverte går fra pluss til minus, så arealet er størst i \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{10}{\sqrt{3}}}}\text{.} \)

3. Regn ut bredden Bredden er \( 2x\text{:} \) \[ \text{Bredde} = 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \]