Forkurseksamen etter tema

Vi ser at integralet består av tre ledd. Vi integrerer dem derfor ledd for ledd.

1. Integrer ledd for ledd Reglene vi trenger, kommer etter hverandre i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C \\ \int \dfrac{1}{x}\,dx &= \ln|x| + C \\ \int e^x\,dx &= e^x + C \end{aligned} \]

\( \textcolor{blue}{4x} \) integrert blir: \[ \int 4x\,dx = 4 \cdot \dfrac{1}{2}x^2 = \textcolor{blue}{\underline{2x^2}} \]

\( {\textcolor{red}{-\dfrac{2}{x}}} \) integrert blir: \[ \int -\dfrac{2}{x}\,dx = \textcolor{red}{\underline{-2\ln|x|}} \]

\( \textcolor{green}{2e^x} \) integrert blir: \[ \int 2e^x\,dx = \textcolor{green}{\underline{2e^x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{blue}{2x^2} \textcolor{red}{{}- 2\ln|x|} \textcolor{green}{{}+ 2e^x} + C \]

Integranden er et produkt, og vi kan ikke integrere den direkte. Vi bruker derfor delvis integrasjon, og velger \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon. Det samme integralet er regnet i videoen Oppgave 3A - Delvis Integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x\ln x\,dx \\ &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{x^2} - \int \textcolor{blue}{x^2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}}\,dx \\ &= x^2\ln x - \int x\,dx \\ &= x^2\ln x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

Grafen skjærer \( y \)-aksen der \( {x = 0}\text{,} \) og \( x \)-aksen der \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn skjæringen med y-aksen Vi setter inn \( {x = 0}\text{:} \) \[ f(0) = \sin 0 = 0 \]

2. Finn skjæringen med x-aksen Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{2x} = 0 \]

På enhetssirkelen er sinus \( 0 \) der vinkelen er \( 0\text{,} \) \( \pi \) eller \( 2\pi\text{,} \) slik vi leser av vinkler på enhetssirkelen i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Siden \( x \in [0, \pi]\text{,} \) er \( \textcolor{green}{2x} \in [0, 2\pi]\text{,} \) så: \[ \textcolor{green}{2x} = 0, \quad \textcolor{green}{2x} = \pi, \quad \textcolor{green}{2x} = 2\pi \]

Deler vi på \( 2\text{,} \) får vi: \[ x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2}, \quad x = \pi \]

For å finne topp- og bunnpunkter setter vi \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen har en kjerne, så vi deriverer med kjerneregelen.

1. Deriver funksjonen For sinus av en kjerne \( \textcolor{green}{u} \) forteller kjerneregelen oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Oppgave Kjerneregel.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2x}, \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = 2\cos 2x \]

2. Sett den deriverte lik null På enhetssirkelen er cosinus \( 0 \) ved \( \dfrac{\pi}{2} \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{.} \) Med \( 2x \in [0, 2\pi] \) gir det oss: \[ \begin{aligned} 2\cos 2x &= 0 \\ 2x = \dfrac{\pi}{2} \quad &\text{eller} \quad 2x = \dfrac{3\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{4} \quad &\text{eller} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} \end{aligned} \]

3. Avgjør topp eller bunn Vi ser på fortegnet til \( f'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} f'(0) &= 2\cos 0 = 2 > 0 \\ f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 2\cos \pi = -2 < 0 \\ f'(\pi) &= 2\cos 2\pi = 2 > 0 \end{aligned} \]

Grafen stiger og så synker rundt \( {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et toppunkt. Den synker og så stiger rundt \( {x = \dfrac{3\pi}{4}}\text{,} \) så der er det et bunnpunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{\pi}{2} = 1 \\ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &= \sin \dfrac{3\pi}{2} = -1 \end{aligned} \]

I a) fant vi at grafen krysser \( x \)-aksen i \( {x = \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og det trenger vi her.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på den første biten og under på den andre. Vi integrerer derfor hver bit for seg og legger sammen arealene.

1. Del opp området Med \( 2x \) mellom \( 0 \) og \( \pi \) er sinus positiv, og med \( 2x \) mellom \( \pi \) og \( 2\pi \) er den negativ: \[ \begin{aligned} f(x) \ge 0 \quad &\text{for } x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ f(x) \le 0 \quad &\text{for } x \in \left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \end{aligned} \]

Et bestemt integral regner ut arealet under grafen, som i videoen Hva er integrasjon. Under \( x \)-aksen blir integralet negativt, så vi regner ut de to bitene hver for seg.

2. Finn den antideriverte Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{green}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{n}}\cos(\textcolor{green}{n}x) + C \]Den er i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Med \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ \int \sin 2x\,dx = -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C \]

3. Regn ut de to integralene Vi setter inn grensene: \[ \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos \pi + \dfrac{1}{2}\cos 0 \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \textcolor{blue}{\underline{1}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_{\pi/2}^{\pi} \sin 2x\,dx \\ &= \left[-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right]_{\pi/2}^{\pi} \\ &= -\dfrac{1}{2}\cos 2\pi + \dfrac{1}{2}\cos \pi \\ &= -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{\underline{-1}} \end{aligned} \]

4. Legg sammen arealene Arealet er positivt, så vi tar tallverdien av det siste integralet: \[ A = \textcolor{blue}{1} + |\textcolor{red}{-1}| = 2 \]

Programmet regner ut en Riemann-sum: arealet av fire firkanter under grafen. Linje 3 er selve funksjonen, og linje 8 legger til én firkant om gangen.

1. Skriv funksjonen på linje 3 Funksjonen skal returnere uttrykket som integreres: \[ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \]

På Python skrives det slik, med \( \texttt{sqrt} \) fra linje 1 og \( x^2 \) som \( \texttt{x*x}\text{:} \) \[ \texttt{return x/sqrt(x*x + 4)} \]

2. Skriv summen på linje 8 Arealet av en firkant er bredde ganget med høyde, som i videoen Riemann sum. Her er bredden \( \textcolor{blue}{\texttt{dx}} \) og høyden funksjonsverdien i venstre kant, \( \textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\text{:} \) \[ \text{areal} = \textcolor{red}{f(x_0)} \cdot \textcolor{blue}{\Delta x} \]

Vi legger arealet til summen \( s\text{:} \) \[ \texttt{s = s + }\textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\texttt{*}\textcolor{blue}{\texttt{dx}} \]

Vi ser at \( x \) i telleren nesten er den deriverte av det som står under roten. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = x^2 + 4}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter det som står under roten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + 4} \\ \dfrac{du}{dx} &= 2x \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \int \dfrac{1}{\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \dfrac{1}{2}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\int \textcolor{green}{u}^{-\tfrac{1}{2}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\textcolor{green}{u}^{\tfrac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{\textcolor{green}{x^2 + 4}} + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Vi bruker den antideriverte fra \( 0 \) til \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \left[\sqrt{x^2 + 4}\right]_0^2 \\ &= \sqrt{8} - \sqrt{4} \\ &= 2\sqrt{2} - 2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: den eksakte verdien står i oppgaveteksten i b).

Koden bruker bare fire brede firkanter. Med smalere og flere firkanter kommer vi nærmere arealet under grafen.

1. Forklar hvorfor estimatet er dårlig Koden regner ut venstre Riemann-sum med fire firkanter som er \( \textcolor{blue}{0{,}5} \) brede, med høyden \( \textcolor{red}{f(x_0)} \) i venstre kant. Avrundet til tre desimaler får vi: \[ \begin{aligned} s = \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{red}{f(0{,}5)} \\ &+ \textcolor{red}{f(1)} + \textcolor{red}{f(1{,}5)}) \\ \approx \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{0} + \textcolor{red}{0{,}243} \\ &+ \textcolor{red}{0{,}447} + \textcolor{red}{0{,}6}) \\ \approx \ &0{,}645 \end{aligned} \]

Den eksakte verdien fra b) er, avrundet til tre desimaler: \[ 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}828 \]

Grafen stiger hele veien fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Høyden tas i venstre kant, så firkantene ligger under grafen og gir for lite areal, som i videoen Riemann sum. Med så brede firkanter blir feilen stor.

2. Velg smalere firkanter Bredden ganget med antallet må fortsatt bli lengden av intervallet, \( 2\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\Delta x} \cdot n = 2 \]

Velger vi \( {\textcolor{blue}{\Delta x} = \textcolor{blue}{0{,}01}}\text{,} \) får vi: \[ n = \dfrac{2}{\textcolor{blue}{0{,}01}} = 200 \]Andre valg er også riktige, så lenge produktet er \( 2\text{.} \)

Linje 6 og 7 blir da: \[ \begin{aligned} &\texttt{dx = 1/100} \\ &\texttt{for i in range(200):} \end{aligned} \]

Vi ser at nevneren kan faktoriseres og at telleren har lavere grad, så vi bruker delbrøksoppspalting.

1. Faktoriser nevneren Nevneren har nullpunktene \( {x = 2} \) og \( {x = -1}\text{,} \) siden \( {2 + (-1) = 1} \) og \( {2 \cdot (-1) = -2}\text{:} \) \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som en sum av to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Vi ganger begge sider med \( {(x - 2)(x + 1)}\text{:} \) \[ 3x - 3 = \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 2) \]

Med \( {x = 2} \) faller leddet med \( \textcolor{red}{B} \) bort: \[ \begin{aligned} 3 &= 3\textcolor{blue}{A} \\ \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Med \( {x = -1} \) faller leddet med \( \textcolor{blue}{A} \) bort: \[ \begin{aligned} -6 &= -3\textcolor{red}{B} \\ \textcolor{red}{B} &= \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

3. Integrer hver delbrøk Integralet av \( {\dfrac{1}{x + n}} \) er \( {\ln|x + n|}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{blue}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{red}{2}}{x + 1}\right) dx \\ &= \textcolor{blue}{1} \cdot \ln|x - 2| + \textcolor{red}{2} \ln|x + 1| + C \\ &= \ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C \end{aligned} \]

Vi integrerer et produkt, så vi bruker delvis integrasjon. Faktoren \( x \) blir enklere når den deriveres, så den setter vi som \( u\text{.} \)

1. Skriv opp regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\, dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{u'}\, dx \]Videoen Delvis integrasjon regner akkurat dette integralet, uten grenser.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\sin x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{-\cos x} \end{aligned} \]

2. Finn det ubestemte integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int x \sin x\, dx \\ &= \textcolor{red}{x} \cdot (\textcolor{blue}{-\cos x}) - \int (\textcolor{blue}{-\cos x}) \cdot \textcolor{red}{1}\, dx \\ &= -x\cos x + \int \cos x\, dx \\ &= -x\cos x + \sin x + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\Big[-x\cos x + \sin x\Big]_0^{\tfrac{\pi}{2}} \\ &= \left(-\dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &\quad - (-0 \cdot \cos 0 + \sin 0) \\ &= (0 + 1) - (0 + 0) \\ &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker formelen for volumet av et omdreiningslegeme. Grensene er endepunktene der funksjonen er definert.

1. Finn grensene Uttrykket under roten må ikke være negativt. Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -4} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og mellom dem er begge positive: \[ \begin{aligned} &(4 + x)(4 - x) \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ &-4 \leq x \leq 4 \end{aligned} \]

2. Skriv opp volumformelen Volumformelen forteller oss at: \[ V = \pi \int_{\textcolor{green}{a}}^{\textcolor{green}{b}} \textcolor{blue}{f(x)^2}\, dx \]Det er formelen i videoen Omdreiningslegeme x-akse.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{-4}, \quad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{4} \\ \textcolor{blue}{f(x)^2} &= (4 + x)(4 - x) = \textcolor{blue}{16 - x^2} \end{aligned} \]

3. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\textcolor{green}{-4}}^{\textcolor{green}{4}} (\textcolor{blue}{16 - x^2})\, dx \\ &= \pi \left[16x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{4} \\ &= \pi \left(64 - \dfrac{64}{3}\right) \\ &\quad - \pi \left(-64 + \dfrac{64}{3}\right) \\ &= \pi \left(128 - \dfrac{128}{3}\right) \\ &= \dfrac{256\pi}{3} \end{aligned} \]

Vi integrerer ledd for ledd og husker konstanten \( C\text{,} \) siden integralet er ubestemt.

1. Integrer ledd for ledd For potenser, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller integrasjonsregelen oss at: \[ \int \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{n}}\, dx = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{n} + 1}x^{\textcolor{red}{n} + 1} + C \]

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{n} = \textcolor{red}{1}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \int \textcolor{blue}{2}x\, dx = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1} + 1}x^{\textcolor{red}{1} + 1} = \underline{x^2} \]

Det siste leddet gir \( \ln\text{,} \) siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{.} \) Det viser den samme videoen: \[ \int \dfrac{1}{x}\, dx = \underline{\ln|x|} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \int \left(2x - \dfrac{1}{x}\right) dx = x^2 - \ln|x| + C \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Da får vi to enkle brøker som hver gir en \( \ln\text{.} \)

1. Faktoriser nevneren abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4{\cdot}\textcolor{blue}{1}{\cdot}(\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm 4}{2} \\ x_1 &= 3, \quad x_2 = -1 \end{aligned} \]

Nullpunktene gir faktorene, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]Ingen av nullpunktene ligger i \( [0, 1]\text{,} \) så integralet kan regnes ut.

2. Del opp brøken Vi skriver brøken som to delbrøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{x + 5}{(x - 3)(x + 1)} = \dfrac{\textcolor{blue}{A}}{x - 3} + \dfrac{\textcolor{red}{B}}{x + 1} \]

Ganger vi med fellesnevneren, får vi: \[ \begin{aligned} x + 5 &= \textcolor{blue}{A}(x + 1) + \textcolor{red}{B}(x - 3) \\ x + 5 &= (\textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B})x + \textcolor{blue}{A} - 3\textcolor{red}{B} \end{aligned} \]

Koeffisientene foran \( x \) og konstantleddene må være like på begge sider: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} + \textcolor{red}{B} &= 1 \\ \textcolor{blue}{A} - 3\textcolor{red}{B} &= 5 \end{aligned} \]

Trekker vi den nederste fra den øverste, får vi: \[ 4\textcolor{red}{B} = -4 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{red}{B} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{2} \]

3. Integrer Integrasjonsregelen for en slik brøk, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, forteller oss at: \[ \int \dfrac{p}{x + n}\, dx = p\ln|x + n| + C \]

Med \( {\textcolor{blue}{A} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{B} = \textcolor{red}{-1}} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \left(\dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x - 3} \textcolor{red}{-} \dfrac{\textcolor{red}{1}}{x + 1}\right) dx \\ &= \Big[\textcolor{blue}{2}\ln|x - 3| \textcolor{red}{-} \ln|x + 1|\Big]_0^1 \\ &= (2\ln 2 - \ln 2) - (2\ln 3 - \ln 1) \\ &= \ln 2 - 2\ln 3 \end{aligned} \]

Med logaritmereglene, som i videoen Regneregler med Logaritmer, kan vi skrive det som én logaritme: \[ \ln 2 - 2\ln 3 = \ln 2 - \ln 9 = \ln\dfrac{2}{9} \]

Vi ser at telleren er den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u og deriver Substitusjon forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'}\,dx = \int f(\textcolor{green}{u})\,d\textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + x} \\ d\textcolor{green}{u} &= (2x + 1)\,dx \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x}\,dx = \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \]

Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln \) av absoluttverdien, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} = \ln|\textcolor{green}{u}| + C \]

Bytter vi tilbake til \( x\text{,} \) får vi: \[ \ln|\textcolor{green}{x^2 + x}| + C \]

Vi integrerer et produkt av et polynom og \( e^x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og lar polynomet være det vi deriverer.

1. Finn delene i regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( e^x \) integrert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\Big[(\textcolor{red}{2x + 1})\textcolor{blue}{e^x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{e^x}\,dx \\ &= \Big[(2x + 1)e^x\Big]_0^1 - \Big[2e^x\Big]_0^1 \\ &= (3e^1 - 1 \cdot e^0) - (2e^1 - 2e^0) \\ &= (3e - 1) - (2e - 2) \\ &= e + 1 \end{aligned} \]

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( e^{2x}\text{,} \) og at \( 2x \) blir enklere når vi deriverer. Derfor bruker vi delvis integrasjon.

1. Skriv opp formelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{2x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} \end{aligned} \]Regelen for \( \textcolor{blue}{v} \) finner du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \cdot e^{2x}\,dx \\ &= \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}\,dx \\ &= xe^{2x} - \int e^{2x}\,dx \\ &= xe^{2x} - \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2x \) er den deriverte av eksponenten \( x^2\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = x^2}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon, og deriverer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ d\textcolor{green}{u} &= 2x\,dx \end{aligned} \]

2. Bytt grensene Grensene gjelder \( x\text{,} \) så vi regner dem om til \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0: \quad \textcolor{green}{u} &= 0^2 = 0 \\ x = 1: \quad \textcolor{green}{u} &= 1^2 = 1 \end{aligned} \]

3. Sett inn og integrer Setter vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\,dx &= \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \left[ e^{\textcolor{green}{u}} \right]_0^1 \\ &= e^1 - e^0 \\ &= e - 1 \end{aligned} \]

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser at \( 3 \) er en felles faktor i \( f(x)\text{.} \) Da gir enhetsformelen at funksjonen er konstant, og integralet blir enkelt.

1. Forenkle funksjonen Vi setter \( \textcolor{blue}{3} \) utenfor: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3}\left(\sin^2 x + \cos^2 x\right) \]

Enhetsformelen forteller oss at: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]Den brukes i videoen Fra vanlige koordinater til polar.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{3} \cdot 1 = \textcolor{blue}{3} \]

2. Regn ut integralet Regelen for integralet av en konstant forteller oss at: \[ \int k\, dx = kx + C \]Det er regelen i videoen Basic integrasjonsregler/​formler med \( {n = 0}\text{.} \)

Plugger vi inn \( {k = \textcolor{blue}{3}} \) og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{13}} \textcolor{blue}{3}\, dx &= \Big[\textcolor{blue}{3}x\Big]_0^{\textcolor{red}{13}} \\ &= \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{13} - \textcolor{blue}{3} \cdot 0 \\ &= 39 \end{aligned} \]

Dette er nettopp \( {\textcolor{red}{13} \cdot \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) integralet er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{red}{13} \) og høyde \( \textcolor{blue}{3}\text{.} \) Robotens omvei gir derfor rett svar.

Vi ganger inn \( 3 \) og integrerer ledd for ledd.

1. Gang inn i parentesen \[ 3(x^2 + 4x + 4) = \textcolor{blue}{3x^2} + \textcolor{red}{12x} + \textcolor{green}{12} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a x^n\, dx = \dfrac{a}{n + 1} x^{n + 1} + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{3x^2} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{x^3}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{12x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{6x^2}}\text{.} \)

\( \textcolor{green}{12} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{green}{12x}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 3(x^2 + 4x + 4)\, dx \\ &= \textcolor{blue}{x^3} + \textcolor{red}{6x^2} + \textcolor{green}{12x} + C \end{aligned} \]

Nevneren er et fullstendig kvadrat. Når vi skriver den slik, kan vi bruke substitusjon.

1. Faktoriser nevneren Første kvadratsetning forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 + 2\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{q} + \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})^2 \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ x^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{red}{2}^2 = (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{2})^2 \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{(x + 2)^2}\, dx \]

2. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 1 \\ dx &= d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Integralet blir da: \[ \int \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2}\, d\textcolor{green}{u} \]

3. Integrer En brøk med \( \textcolor{green}{u}^2 \) i nevneren skriver vi som en negativ potens, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \dfrac{3}{\textcolor{green}{u}^2} = 3\textcolor{green}{u}^{-2} \]

Regelen for potenser forteller oss at: \[ \int a u^n\, du = \dfrac{a}{n + 1} u^{n + 1} + C \]

Her er \( {a = 3} \) og \( {n = -2}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int 3\textcolor{green}{u}^{-2}\, d\textcolor{green}{u} &= \dfrac{3}{-1} \textcolor{green}{u}^{-1} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{u}} + C \\ &= -\dfrac{3}{\textcolor{green}{x + 2}} + C \end{aligned} \]

Vi ser at telleren er halvparten av den deriverte til nevneren. Da bruker vi substitusjon med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Sett inn substitusjonen Vi setter \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 + 4x}}\text{,} \) som i videoen Substitusjon. Da er: \[ \begin{aligned} \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x + 4 = 2(x + 2) \\ (x + 2)\, dx &= \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

2. Integrer Regelen for \( \dfrac{1}{u} \) forteller oss at: \[ \int \dfrac{1}{u}\, du = \ln|u| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn substitusjonen, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x}\, dx &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{1}{2}\, d\textcolor{green}{u} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{u}| + C \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|\textcolor{green}{x^2 + 4x}| + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Nevneren \( {x(x + 4)} \) er \( 0 \) bare i \( {x = 0} \) og \( {x = -4}\text{,} \) og ingen av dem ligger mellom grensene. Da kan vi sette inn: \[ \begin{aligned} &\left[\dfrac{1}{2} \ln|x^2 + 4x|\right]_{-3}^{-1} \\ &= \dfrac{1}{2} \ln|1 - 4| - \dfrac{1}{2} \ln|9 - 12| \\ &= \dfrac{1}{2} \ln 3 - \dfrac{1}{2} \ln 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]