Forkurs matematikk ordinær eksamen 2025 – løsningsforslag

Brøkene har ulike nevnere. Vi finner derfor en felles nevner og trekker sammen til én brøk.

1. Finn felles nevner 0:15 Vi ganger hver brøk over og under med nevneren til den andre brøken: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{5}{x + 2} \\ &= \dfrac{4\textcolor{blue}{(x + 2)}}{(x - 1)\textcolor{blue}{(x + 2)}} \\ &\quad - \dfrac{5\textcolor{red}{(x - 1)}}{(x + 2)\textcolor{red}{(x - 1)}} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesene 1:11 Vi ganger ut tellerne og den felles nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{(x + 2)} &= 4x + 8 \\ 5\textcolor{red}{(x - 1)} &= 5x - 5 \\ (x - 1)(x + 2) &= x^2 + x - 2 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen til én brøk 2:00 Nå har brøkene samme nevner, så vi samler dem på én brøkstrek. Minus foran den andre brøken bytter fortegn på begge leddene i telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4x + 8 - (5x - 5)}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{4x + 8 - 5x + 5}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{13 - x}{x^2 + x - 2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( P(x) \) er et tredjegradspolynom. Vi viser faktoren med nullpunktsetningen, og faktoriserer med polynomdivisjon og abc-formelen.

1. Bruk nullpunktsetningen 0:11 Nullpunktsetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P(x) \) når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 \\ &= 1 + 3 - 1 - 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {(x - 1)} \) er en faktor i \( P(x)\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon 1:49 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 4x^2 & {}- x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + x^2 = 4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-x} \) og \( {-3}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{4x} \\ \textcolor{magenta}{4x} \cdot (x - 1) &= 4x^2 - 4x \\ -(4x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-4x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 3x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {-x + 4x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3}\text{.} \) Linja \( {3x - 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 1) &= 3x - 3 \\ -(3x - 3) &= \textcolor{blue}{-3x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 3 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 3} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-3 + 3 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen på resten 4:13 Vi faktoriserer \( {x^2 + 4x + 3} \) videre. abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

4. Skriv opp faktorene 6:25 Et andregradsuttrykk kan skrives slik, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1} \) og løsningene, får vi: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Slår vi dette sammen med faktoren \( {(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) \]

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Finn delene i regelen 0:14 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen 1:28 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{6x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{3x^2 - 4}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{6x^2 - 3x^2 + 4}{x^2} \\ &= \dfrac{3x^2 + 4}{x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en sum, så vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet har en kjerne, så der bruker vi kjerneregelen.

1. Del opp i to ledd 0:05 Vi kaller leddene \( \textcolor{blue}{a(x)} \) og \( \textcolor{red}{b(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a(x)} &= \textcolor{blue}{2\sin(\pi x)} \\ \textcolor{red}{b(x)} &= \textcolor{red}{2x^3} \end{aligned} \]

Da er: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{a'(x)} + \textcolor{red}{b'(x)} \]

2. Bruk kjerneregelen på første ledd 0:43 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{u(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'(x)} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Kjernen er \( \pi x\text{,} \) og sinus derivert er cosinus, så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x} & \textcolor{green}{u'(x)} &= \textcolor{green}{\pi} \\ f(u) &= 2\sin u & f'(u) &= 2\cos u \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a'(x)} &= 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det andre leddet 2:55 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {n = 3}\text{,} \) og konstanten \( 2 \) blir stående: \[ \textcolor{red}{b'(x)} = 2 \cdot 3x^2 = \underline{\textcolor{red}{6x^2}} \]

4. Slå sammen leddene 3:16 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)} + \textcolor{red}{6x^2} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) hvor den stiger, og hvor stigningen øker.

1. Les av fortegnet til funksjonen 0:15 Grafen ligger over \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 1}\text{,} \) krysser den i \( {x = 1} \) og ligger under til høyre: \[ \textcolor{darkorange}{h(1)} = 0 \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{h(x)}", "expr": "1 - x"}]}

2. Les av fortegnet til den deriverte 1:08 Den deriverte er \( 0 \) der grafen har et toppunkt, og det ser vi i \( {x = 0{,}5}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{h'(0{,}5)} = 0 \]

Til venstre for toppunktet stiger grafen, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er positiv. Til høyre synker den, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er negativ: :::fortegnsskjema {"points": [0.5], "labels": ["0{,}5"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{h'(x)}", "expr": "0.5 - x"}]}

3. Les av fortegnet til den dobbeltderiverte 2:25 Den dobbeltderiverte følger veksten til \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{.} \) Grafen blir brattere og brattere fram mot \( {x = 0}\text{,} \) er brattest der, og blir så slakere. Da har \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) et toppunkt i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{h''(0)} = 0 \]

Til venstre for \( {x = 0} \) vokser \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{,} \) og til høyre avtar den: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{green}{h''(x)}", "expr": "-x"}]}

En strek viser hvor funksjonen på linja er \( 0\text{.} \) Punktene er lest av figuren.

Vi løser først for \( \sin x\text{.} \) Siden to vinkler gir samme sinusverdi og sinus gjentar seg, finner vi så begge vinklene og alle rundene som ligger i intervallet.

1. Løs for sinus 0:26 Intervallet går til \( 4\pi\text{,} \) så vi svarer i radianer. Vi flytter over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn den første vinkelen 0:47 Vi vet at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og siden \( {\sin(-v) = -\sin v} \) gir sinus invers: \[ x = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6} \]Sinus invers forklares i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) der \( k \) er et helt tall: \[ \textcolor{blue}{x_1} = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k} \]

3. Finn den andre vinkelen 2:57 På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = -\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_2} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi k \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k} \end{aligned} \]

4. Test verdier av k 4:52 Vi tester \( k \) og beholder det som ligger i \( [0,\ 4\pi\rangle\text{.} \) Her er \( {4\pi = \dfrac{24\pi}{6}}\text{.} \)

For \( \textcolor{blue}{x_1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; -\dfrac{\pi}{6} \; \text{utenfor} \\ k = 1&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{11\pi}{6}} \\ k = 2&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \underline{\dfrac{23\pi}{6}} \\ k = 3&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{35\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

For \( \textcolor{red}{x_2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; \underline{\dfrac{7\pi}{6}} \\ k = 1&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{19\pi}{6}} \\ k = 2&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{31\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi slår sammen de to logaritmene til én, fjerner \( \ln \) med \( e\text{,} \) og løser for \( x\text{.} \) Til slutt må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater.

Merk – Videoen stopper før sjekken: Videoen ender på \( {x = \dfrac{e}{1 - e}}\text{.} \) Det tallet er negativt, så det er ikke en løsning, som siste steg her viser.

1. Slå sammen logaritmene 0:16 Logaritmeregelen for minus forteller oss at: \[ \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} = \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) \]Regelen vises i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{x + 1}}\right) = 1 \]

2. Fjern logaritmen 1:17 Vi opphøyer begge sider med \( e\text{,} \) siden: \[ e^{\ln u} = u \]

Det gir oss: \[ \dfrac{x}{x + 1} = e \]

3. Løs for x 1:53 Vi ganger med \( {x + 1} \) og samler \( x \) på venstre side: \[ \begin{aligned} x &= e(x + 1) \\ x &= ex + e \\ x - ex &= e \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x(1 - e) &= e \\ x &= \dfrac{e}{1 - e} \end{aligned} \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet Før vi svarer, må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater. \( \ln \) finnes bare av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. I likningen må derfor: \[ x > 0 \quad \text{og} \quad x + 1 > 0 \]

Siden \( {e > 1}\text{,} \) er nevneren negativ og telleren positiv: \[ \dfrac{e}{1 - e} < 0 \]

Tallet er negativt, så \( \ln x \) finnes ikke der. Likningen har derfor ingen løsning.

Vi ser at \( x \) står i nevneren. Vi samler derfor alt på én side, slår sammen til én brøk og bruker fortegnsskjema.

1. Finn bruddpunktet 0:00 Nevneren kan ikke være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 2 &\ne 0 \\ x &\ne -2 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 0:30 Vi flytter \( 1 \) over og skriver det med samme nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{2x - 4}{x + 2} - 1 &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4 - (x + 2)}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 6}}{\textcolor{magenta}{x + 2}} &\ge 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp fortegnsskjema 2:25 Fortegnet til brøken finner vi ved å sette sammen fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 6}{x + 2}", "expr": "(x - 6)/(x + 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 4:17 Brøken er positiv for \( {x < -2} \) og for \( {x > 6}\text{.} \) I \( {x = 6} \) er den \( 0\text{,} \) som er med. I \( {x = -2} \) finnes den ikke, så det punktet er ikke med: \[ x < -2 \quad \text{eller} \quad x \ge 6 \]

Vi ser at telleren er den deriverte av nevneren. Vi bruker derfor substitusjon, med nevneren som \( u\text{.} \)

1. Velg u og deriver Substitusjon forteller oss at: \[ \int f(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'}\,dx = \int f(\textcolor{green}{u})\,d\textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + x} \\ d\textcolor{green}{u} &= (2x + 1)\,dx \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet Plugger vi dette inn, får vi: \[ \int \dfrac{2x + 1}{x^2 + x}\,dx = \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \]

Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) er \( \ln \) av absoluttverdien, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} = \ln|\textcolor{green}{u}| + C \]

Bytter vi tilbake til \( x\text{,} \) får vi: \[ \ln|\textcolor{green}{x^2 + x}| + C \]

Vi integrerer et produkt av et polynom og \( e^x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, og lar polynomet være det vi deriverer.

1. Finn delene i regelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int_a^b \textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v'}\,dx = \Big[\textcolor{red}{u}\textcolor{blue}{v}\Big]_a^b - \int_a^b \textcolor{red}{u'}\textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( e^x \) integrert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x + 1} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og regn ut Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\Big[(\textcolor{red}{2x + 1})\textcolor{blue}{e^x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{e^x}\,dx \\ &= \Big[(2x + 1)e^x\Big]_0^1 - \Big[2e^x\Big]_0^1 \\ &= (3e^1 - 1 \cdot e^0) - (2e^1 - 2e^0) \\ &= (3e - 1) - (2e - 2) \\ &= e + 1 \end{aligned} \]

En vektor mellom to punkter finner vi ved å ta sluttpunktet minus startpunktet. Så ganger vi med \( 2 \) og trekker fra koordinat for koordinat.

1. Finn de to vektorene Vektoren fra et punkt til et annet er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x_B - x_A},\ \textcolor{red}{y_B - y_A},\ \textcolor{green}{z_B - z_A}] \]

Plugger vi inn punktene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-1 - 2},\ \textcolor{red}{1 - 0},\ \textcolor{green}{3 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}]} \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{1 - 2},\ \textcolor{red}{4 - 0},\ \textcolor{green}{4 - (-1)}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}]} \end{aligned} \]

2. Regn ut differansen Vi ganger hver koordinat med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?, og trekker fra koordinat for koordinat, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{-3},\ \textcolor{red}{1},\ \textcolor{green}{4}] - 2[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{5}] \\ &= [\textcolor{blue}{-3 + 2},\ \textcolor{red}{1 - 8},\ \textcolor{green}{4 - 10}] \\ &= \underline{[\textcolor{blue}{-1},\ \textcolor{red}{-7},\ \textcolor{green}{-6}]} \end{aligned} \]

Vi bruker vektorene fra a).

Vektorproduktet av to vektorer i planet gir en normalvektor. Med normalvektoren og punktet \( A \) kan vi sette opp likningen til planet.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-3,\ 1,\ 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [-1,\ 4,\ 5] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( {\textcolor{blue}{\vec{a}} = [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}]} \) og \( {\textcolor{red}{\vec{b}} = [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}]} \) står normalt på begge, og er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{a}} \times \textcolor{red}{\vec{b}} = [&\textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_2}, \\ &\textcolor{blue}{a_3} \textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_3}, \\ &\textcolor{blue}{a_1} \textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2} \textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \) og \( \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [&\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{5} - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4}, \\ &\textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - (\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{5}, \\ &(\textcolor{blue}{-3}) \cdot \textcolor{red}{4} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1})] \\ = [&-11,\ 11,\ -11] \end{aligned} \]

Vi kan dele på \( {-11}\text{,} \) siden alle vektorer som er parallelle med denne også står normalt på planet. Da er normalvektoren: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{1}] \]

2. Sett opp likningen til planet Likningen til et plan med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) gjennom punktet \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?.

Plugger vi inn \( \vec{n} \) og punktet \( {A(2, 0, -1)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1}(x - 2) \textcolor{red}{- 1}(y - 0) + \textcolor{green}{1}(z + 1) &= 0 \\ x - 2 - y + z + 1 &= 0 \\ x - y + z &= 1 \end{aligned} \]

Vi bruker vektorproduktet fra b).

Grunnflaten er en trekant utspent av \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) og toppunktet gir vektoren \( \overrightarrow{AP}\text{.} \) Da kan vi bruke volumformelen med vektorer.

1. Finn vektoren til toppunktet Vektoren fra \( {A(2, 0, -1)} \) til \( P(2, 6, 2) \) er sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 4A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}} &= [2 - 2,\ 6 - 0,\ 2 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]} \end{aligned} \]

2. Bruk volumformelen Grunnflaten er \( \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\text{,} \) og volumet er en tredjedel av grunnflaten ganger høyden. Det gir formelen: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|(\textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}) \cdot \textcolor{blue}{\overrightarrow{AP}}\right| \]

I b) fant vi: \[ \textcolor{red}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|\textcolor{red}{[-11,\ 11,\ -11]} \cdot \textcolor{blue}{[0,\ 6,\ 3]}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|0 + 66 - 33\right| \\ &= \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Likningen til planet fra b) står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Normalvektoren til planet er retningsvektoren til linja. I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {z = 0}\text{,} \) så vi løser for parameteren der.

1. Sett opp linja Koeffisientene i \( {\beta\text{: } x - y + z = 1} \) er normalvektoren, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram?: \[ \vec{n} = [1,\ -1,\ 1] \]

En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retning \( [p, q, r] \) kan skrives med en parameter \( t\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= x_0 + pt \\ y &= y_0 + qt \\ z &= z_0 + rt \end{aligned} \]

Her er punktet \( P(2, 6, 2) \) og retningen \( \vec{n}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + t \\ y &= 6 - t \\ \textcolor{blue}{z} &= \textcolor{blue}{2 + t} \end{aligned} \]

2. Finn skjæringspunktet I \( {xy\text{-planet}} \) er \( {\textcolor{blue}{z} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2 + t} &= 0 \\ t &= -2 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i linja, får vi: \[ \begin{aligned} x &= 2 + (-2) = 0 \\ y &= 6 - (-2) = 8 \\ z &= 2 + (-2) = 0 \end{aligned} \]

Vi legger til differansen for å finne leddene. Til summen trenger vi ledd nummer \( 72 \) først.

1. Finn de fem første leddene Vi starter på \( 5 \) og legger til \( 8 \) hver gang: \[ 5, \; 13, \; 21, \; 29, \; 37 \]

2. Finn ledd nummer 72 Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er: \[ \textcolor{red}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{green}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{8}, \quad n = 72 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a_{72}} = \textcolor{blue}{5} + 71 \cdot \textcolor{green}{8} = \textcolor{red}{573} \]

3. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Formelen står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} S_{72} &= \dfrac{72(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{573})}{2} \\ &= 36 \cdot 578 \\ &= 20\,808 \end{aligned} \]

Vi skriver summen som et uttrykk i \( n \) og setter det lik \( 5\,000\text{.} \) Så runder vi opp til neste hele tall.

1. Skriv summen med n Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{5 + (n - 1) \cdot 8 = 8n - 3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_n &= \dfrac{n(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{8n - 3})}{2} \\ &= \dfrac{n(8n + 2)}{2} \\ &= 4n^2 + n \end{aligned} \]

2. Finn hvor summen blir 5000 Vi setter summen lik \( 5\,000 \) og samler alt på én side: \[ 4n^2 + n - 5\,000 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ n = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er brukt til leddene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-5\,000} \]

Plugger vi dette inn og ser på den positive løsningen, får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} n &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} + \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5\,000})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-1 + \sqrt{80\,001}}{8} \\ &\approx 35{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn antall ledd og siste ledd Antall ledd er et helt tall, og summen vokser for hvert ledd, så vi må opp til \( {n = 36}\text{.} \) Vi sjekker de to nærmeste verdiene: \[ \begin{aligned} S_{35} &= 4 \cdot 35^2 + 35 = 4\,935 \\ S_{36} &= 4 \cdot 36^2 + 36 = 5\,220 \end{aligned} \]

Det siste leddet er da: \[ a_{36} = 8 \cdot 36 - 3 = 285 \]

Vi ser hvilke \( x \) vi kan sette inn i de to faktorene. For å finne nullpunkter setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Både \( {x - 2} \) og \( e^x \) kan regnes ut for alle tall, så: \[ D_f = \mathbb{R} \]

2. Finn nullpunktene Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) \( \textcolor{blue}{e^x} \) er alltid positiv, så den blir aldri \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025. Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x - 2} &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen.

1. Finn delene i regelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

\( e^x \) derivert blir \( e^x\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x - 2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og faktoriser Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{e^x} + (\textcolor{red}{x - 2}) \cdot \textcolor{blue}{e^x} \]

Faktoriserer vi ut \( e^x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= e^x(1 + x - 2) \\ &= e^x(x - 1) \end{aligned} \]

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi setter \( {f'(x) = 0} \) og ser på fortegnet til den deriverte. Fortegnet viser både hvor grafen stiger og synker, og hva slags punkt vi har.

1. Sett den deriverte lik null I b) viste vi uttrykket for den deriverte. For å finne topp- og bunnpunkter setter vi det lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{e^x}(\textcolor{magenta}{x - 1}) = 0 \]

\( \textcolor{darkorange}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{x - 1} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinje for den deriverte Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{e^x}", "expr": "exp(x)"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "exp(x)*(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så \( {x = 1} \) gir et bunnpunkt. Det er det eneste stedet \( {f'(x) = 0}\text{,} \) så det er ingen toppunkter.

3. Finn y-koordinaten og monotoni Vi setter \( {x = 1} \) inn i funksjonen: \[ f(1) = (1 - 2)e^1 = -e \]

Grafen synker og stiger altså slik: \[ \begin{aligned} f \text{ synker for } &x \in \langle \leftarrow,\ 1] \\ f \text{ stiger for } &x \in [1,\ \rightarrow\rangle \end{aligned} \]

Vi bruker nullpunktet fra a) og bunnpunktet og fortegnet til den deriverte fra c).

Vi setter inn de punktene vi kjenner, regner ut noen få verdier til, og lar den deriverte fortelle hvor grafen stiger og synker.

1. Finn punktene vi trenger I a) fant vi nullpunktet \( {x = 2} \) og i c) bunnpunktet \( {(1, -e)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= 0 \\ \textcolor{blue}{f(1)} &= -e \approx -2{,}72 \end{aligned} \]

Disse to punktene markerer vi på grafen.

Vi regner ut noen flere verdier, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} f(-3) &= -5e^{-3} \approx -0{,}25 \\ f(-1) &= -3e^{-1} \approx -1{,}10 \\ f(0) &= -2 \\ f\left(2{,}5\right) &= 0{,}5e^{2{,}5} \approx 6{,}09 \end{aligned} \]

Faktoren \( e^x \) er svært liten når \( x \) er et stort negativt tall, og \( {x - 2} \) er negativ der. Da ligger grafen rett under \( {x\text{-aksen}} \) langt til venstre.

2. Tegn grafen Vi tegner en kurve gjennom punktene, som synker fram til \( {x = 1} \) og stiger etter det:

Uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Vi finner punktet på grafen og stigningstallet der, og setter dem inn i formelen for tangenten.

1. Finn delene i formelen Formelen for tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) forteller oss at: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)}(x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{green}{f(a)} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

I b) viste vi at: \[ f'(x) = e^x(x - 1) \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{green}{f(-1)} &= (-1 - 2)e^{-1} = \textcolor{green}{-\dfrac{3}{e}} \\ \textcolor{red}{f'(-1)} &= e^{-1}(-1 - 1) = \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{2}{e}}(x - (\textcolor{blue}{-1})) \textcolor{green}{- \dfrac{3}{e}} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{2}{e} - \dfrac{3}{e} \\ &= -\dfrac{2}{e}x - \dfrac{5}{e} \end{aligned} \]

Vi ser at linje 14 og 15 har \( \texttt{sqrt(d)} \) der abc-formelen har rottegnet. Da må \( \textcolor{blue}{d} \) være det som står under roten.

1. Sammenlign med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b^2 - 4ac}}}{2a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Linje 14 i koden er: \[ \texttt{x\_1 = (-b + sqrt(}\textcolor{blue}{\texttt{d}}\texttt{))/(2*a)} \]

Altså er: \[ \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{b^2 - 4ac} \]

2. Skriv det som kode I Python skriver vi potens med to stjerner og ganger med én stjerne:

Vi bruker fra a) at \( {d = b^2 - 4ac} \) er det som står under roten i abc-formelen.

Fortegnet til \( \textcolor{blue}{d} \) forteller hvor mange løsninger likningen har. Teksten skal si det.

1. Les hva hver gren betyr Tallet under roten avgjør antall løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} < 0&: \quad \text{ingen reelle løsninger} \\ \textcolor{blue}{d} = 0&: \quad \text{én løsning} \\ \textcolor{blue}{d} > 0&: \quad \text{to løsninger} \end{aligned} \]

Linje 9 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} < 0}\text{.} \) Der er roten ikke et reelt tall, og linje 10 skal si at det ikke finnes noen løsning.

Linje 11 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} = 0}\text{.} \) Da blir abc-formelen: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\dfrac{b}{2a} \]

Dette er tallet linje 12 skriver ut etter teksten, så teksten skal føre fram til det.

2. Skriv teksten En passende tekst, som følger linje 16, er:

Andre tekster som sier det samme, er også riktige.