Hopp til hovedinnholdet

Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

areal

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

5 oppgaver om areal

Oppgavene

Konteeksamen 2026

Oppgave 6

2 poeng

I et trapes ABCD ABCD er siden AB AB parallell med siden CD. CD\text{.}
AB=8, {AB = 8}\text{,} BC=5, {BC = 5}\text{,} CD=4 {CD = 4} og ∠B=60∘. {\angle B = 60^\circ}\text{.}
Se figur.

Oppgave 6a)

Regn ut arealet av trapeset.
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Arealet av trapeset er:
A=153‾‾ \underline{\underline{A = 15\sqrt{3}}}
For å bruke arealformelen for et trapes trenger vi høyden. Den finner vi i den rettvinklede trekanten ved \( B\text{.} \)
1. Finn høyden Vi feller ned høyden \( \textcolor{blue}{h} \) fra \( C \) til \( AB \) og kaller fotpunktet \( E\text{.} \)
I den rettvinklede trekanten \( BCE \) er \( BC \) hypotenusen og \( \textcolor{blue}{h} \) motstående katet til \( \angle B\text{.} \) Definisjonen av sinus forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{h} = BC \cdot \sin B \]Det samme eksempelet, med \( 60^\circ \) og hypotenus \( 5\text{,} \) er i videoen Introduksjon til Trigonometri.
Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \textcolor{blue}{h} = 5 \cdot \sin 60^\circ = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{blue}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}} \]
2. Regn ut arealet Arealet av et trapes med parallelle sider \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) er: \[ A = \dfrac{\textcolor{red}{a} + \textcolor{green}{b}}{2} \cdot \textcolor{blue}{h} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.
Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{8}, \qquad \textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{CD} = \textcolor{green}{4} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{\textcolor{red}{8} + \textcolor{green}{4}}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}} \\ &= 6 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \end{aligned} \]

Oppgave 6b)

Regn ut lengden av diagonalen AC AC i trapeset.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
AC=7‾‾ \underline{\underline{AC = 7}}
I trekanten \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Vi bruker derfor cosinussetningen.
1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} AC^2 = {} &\textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos \textcolor{green}{B} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på setningen, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{8}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{60^\circ} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{8}^2 + \textcolor{blue}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{8} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= 64 + 25 - 80 \cdot \dfrac{1}{2} \\ &= 49 \end{aligned} \]
En lengde er positiv, så: \[ AC = \sqrt{49} = 7 \]

Ordinær eksamen 2025

Oppgave 7

1 poeng

Arealet av en rettvinklet trekant er 16 m2. 16\,\text{m}^2\text{.} Summen av katetene er lik 12 m. 12\,\text{m}\text{.}
Hvor lange er katetene?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Katetene er:
4 mog8 m‾‾ \underline{\underline{4\,\text{m} \quad \text{og} \quad 8\,\text{m}}}
Oppgave 7 - Forkurs Eksamen Vår 2025, video, 06:27
Vi kaller katetene \( a \) og \( b\text{.} \) Oppgaven gir oss to likninger med to ukjente, så vi løser likningssettet med innsetting.
1. Sett opp to likninger 0:19 I en rettvinklet trekant er katetene grunnlinje og høyde, så arealet er: \[ \dfrac{a \cdot b}{2} = 16 \]
Summen av katetene gir den andre likningen: \[ a + b = 12 \]
2. Løs likningssettet med innsetting 1:19 Vi ganger den første likningen med \( 2 \) og løser for \( b\text{,} \) som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \begin{aligned} a \cdot b &= 32 \\ \textcolor{darkorange}{b} &= \textcolor{darkorange}{\dfrac{32}{a}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ a + \textcolor{darkorange}{\dfrac{32}{a}} = 12 \]
Vi ganger med \( a \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} a^2 + 32 &= 12a \\ a^2 - 12a + 32 &= 0 \end{aligned} \]
3. Bruk abc-formelen 2:56 abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{p}a^2 + \textcolor{red}{q}a + \textcolor{green}{r} = 0} \) er: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) allerede er en katet.
Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-12}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{32} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{12 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-12})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{32}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{12 \pm 4}{2} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ a = 8 \quad \text{eller} \quad a = 4 \]
4. Finn den andre kateten 5:26 Vi bruker \( {\textcolor{darkorange}{b = \dfrac{32}{a}}} \) for begge verdiene: \[ \begin{aligned} a = 8&: \quad b = \dfrac{32}{8} = 4 \\ a = 4&: \quad b = \dfrac{32}{4} = 8 \end{aligned} \]
Begge gir den samme trekanten, bare med katetene byttet om.

Ordinær eksamen 2024

Oppgave 9

3 poeng

Du har fått utlevert 100 m gjerde, og skal gjerde inn et kvadratisk område og et sirkelformet område. Kvadratet har sidekant x x og sirkelen har radius r, r\text{,} begge målt i meter.

Oppgave 9a)

Vis at x=25−12πr. {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\text{.}
Vis løsning på oppgave 9a
Svar
x=25−12πr‾‾ \underline{\underline{x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r}}
Hele gjerdet skal brukes, så omkretsen av kvadratet pluss omkretsen av sirkelen er \( 100\text{.} \)
1. Sett opp omkretsene Kvadratet har fire like sider, og omkretsen til en sirkel er \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O_{\text{kvadrat}}} &= \textcolor{blue}{4x} \\ \textcolor{red}{O_{\text{sirkel}}} &= \textcolor{red}{2\pi r} \end{aligned} \]
2. Løs for x Til sammen er omkretsene \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{2\pi r} &= 100 \\ 4x &= 100 - 2\pi r \\ x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi r \end{aligned} \]

Oppgave 9b)

Finn den verdien av r r som gir så lite samlet areal som mulig. Hva er verdien av x x da?
Vis løsning på oppgave 9b
Svar
Avrundet til to desimaler er:
r=50π+4≈7,00 m‾‾ \underline{\underline{r = \dfrac{50}{\pi + 4} \approx 7{,}00 \text{ m}}}
x=100π+4≈14,00 m‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{100}{\pi + 4} \approx 14{,}00 \text{ m}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket \( {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \) står i oppgaveteksten.
Vi skriver det samlede arealet som en funksjon av \( r \) og setter den deriverte lik null.
1. Sett opp arealet Optimering gjør vi som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Arealet av kvadratet er \( x^2\text{,} \) og arealet av sirkelen er \( \pi r^2\text{.} \) Vi setter inn uttrykket for \( x\text{:} \) \[ A(r) = \left(25 - \dfrac{1}{2}\pi r\right)^2 + \pi r^2 \]
2. Deriver arealet Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^2\right)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og deriverer \( \pi r^2 \) med potensregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(r) &= 2\left(\textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\right) \\ &\quad \cdot \left(\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi}\right) + 2\pi r \\ &= -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r \end{aligned} \]
3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {A'(r) = 0}\text{:} \) \[ -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r = 0 \]
Vi deler på \( \pi\text{,} \) løser for \( r \) og utvider til slutt brøken med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -25 + \dfrac{1}{2}\pi r + 2r &= 0 \\ r\left(\dfrac{1}{2}\pi + 2\right) &= 25 \\ r &= \dfrac{25}{\dfrac{1}{2}\pi + 2} \\ r &= \dfrac{50}{\pi + 4} \end{aligned} \]
4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi deriverer \( A'(r) \) en gang til. Den dobbeltderiverte er positiv for alle \( r\text{:} \) \[ A''(r) = \dfrac{1}{2}\pi^2 + 2\pi > 0 \]Grafen krummer altså oppover hele veien, så dette er det minste arealet.
5. Finn x Plugger vi inn \( r\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi \cdot \dfrac{50}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{25(\pi + 4) - 25\pi}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{100}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Oppgave 9c)

Størst mulig areal får vi ved kun å lage en sirkel (dvs. x=0 {x = 0} ). Hvor mange prosent større areal får du da enn om du kun lager et kvadrat?
Vis løsning på oppgave 9c
Svar
Sirkelens areal er, avrundet til én desimal:
27,3 % større‾‾ \underline{\underline{27{,}3\,\% \text{ større}}}
Vi finner de to arealene når hele gjerdet går til én figur, og regner ut endringen i prosent.
1. Finn arealet av sirkelen Hele gjerdet er omkretsen. Sirkelen får radius: \[ \begin{aligned} 2\pi r &= 100 \\ r &= \dfrac{50}{\pi} \end{aligned} \]
Arealet blir: \[ \textcolor{red}{A_{\text{sirkel}}} = \pi \left(\dfrac{50}{\pi}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} \]
2. Finn arealet av kvadratet Hver side er en firedel av gjerdet: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{100}{4} = 25 \\ \textcolor{blue}{A_{\text{kvadrat}}} &= 25^2 = \textcolor{blue}{625} \end{aligned} \]
3. Regn ut prosenten Hvor mange prosent noe er større, finner vi slik, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]
Her er kvadratet det vi sammenligner med. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} - \textcolor{blue}{625}}{\textcolor{blue}{625}} \cdot 100\,\% \\ &= \left(\dfrac{4}{\pi} - 1\right) \cdot 100\,\% \\ &\approx 27{,}3\,\% \end{aligned} \]Vi runder av til én desimal.

Ordinær eksamen 2021

Oppgave 7

3 poeng

Gitt et trapes der sidene AB AB og CD CD er parallelle. BC=22 m, {BC = 2\sqrt{2}\,\text{m}}\text{,} CD=6 m {CD = 6\,\text{m}} og vinkel B B er større enn 90∘. 90^\circ\text{.} Avstanden mellom de parallelle sidene er 2 m 2\,\text{m} og arealet av trapeset er 15 m2. 15\,\text{m}^2\text{.}

Oppgave 7a)

Finn vinkel B. B\text{.}
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
∠B=135∘‾‾ \underline{\underline{\angle B = 135^\circ}}
Vi feller ned høyden fra \( C \) og får en rettvinklet trekant. Der finner vi vinkelen med sinus, og vinkel \( B \) er den som står igjen på den rette linja.
1. Tegn en skisse Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) lander normalen fra \( C \) utenfor \( AB\text{,} \) i punktet \( E\text{:} \)
2. Finn vinkelen i trekanten Trekanten \( BEC \) er rettvinklet, og sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{motstående}} &= \textcolor{red}{CE} = \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{green}{v} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{2\sqrt{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]
3. Finn vinkel B Vinkel \( B \) og \( \textcolor{green}{v} \) ligger på samme rette linje, så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle B = 180^\circ - \textcolor{green}{45^\circ} = 135^\circ \]

Oppgave 7b)

Finn diagonalen BD. BD\text{.}
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Diagonalen er:
BD=25 m≈4,47 m‾‾ \underline{\underline{BD = 2\sqrt{5}\,\text{m} \approx 4{,}47\,\text{m}}}
Vi bruker \( {\angle B = 135^\circ} \) fra a).
I trekanten \( BCD \) kjenner vi to sider. Vinkelen mellom dem finner vi fra vinkel \( B\text{,} \) og så bruker vi cosinussetningen.
1. Finn vinkel C \( AB \) og \( CD \) er parallelle, så vinkel \( B \) og vinkel \( C \) er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\angle C} = 180^\circ - 135^\circ = \textcolor{green}{45^\circ} \]
2. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} BD^2 &= \textcolor{blue}{BC}^2 + \textcolor{red}{CD}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \textcolor{red}{CD} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \\ \textcolor{red}{CD} &= \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{green}{\angle C} &= \textcolor{green}{45^\circ} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} BD^2 &= (\textcolor{blue}{2\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{6}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{6} \cdot \cos \textcolor{green}{45^\circ} \\ &= 8 + 36 - 24\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 44 - 24 = 20 \\ BD &= \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \end{aligned} \]

Oppgave 7c)

Finn vinkel A. A\text{.}
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Vinkel A, A\text{,} avrundet til én desimal, er:
∠A=arctan⁡25≈21,8∘‾‾ \underline{\underline{\angle A = \arctan\dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ}}
Arealet gir oss siden \( AB\text{.} \) Så feller vi ned høyden fra \( D \) og får en rettvinklet trekant med vinkel \( A\text{.} \)
1. Finn siden AB Arealet av et trapes er gjennomsnittet av de parallelle sidene ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ A_{\text{trapes}} = \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + CD}{2} \cdot h \]
Plugger vi inn \( {A_{\text{trapes}} = 15}\text{,} \) \( {CD = 6} \) og \( {h = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 15 &= \dfrac{\textcolor{magenta}{AB} + 6}{2} \cdot 2 \\ 15 &= \textcolor{magenta}{AB} + 6 \\ \textcolor{magenta}{AB} &= 9 \end{aligned} \]
2. Finn siden AF Vi feller ned normalen fra \( D \) til punktet \( F \) og normalen fra \( C \) til punktet \( E\text{.} \) Siden vinkel \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{,} \) ligger \( E \) til høyre for \( B\text{:} \)
Pytagoras i trekanten \( BEC \) gir oss \( BE\text{:} \) \[ \begin{aligned} BE^2 + CE^2 &= BC^2 \\ BE &= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} \\ &= \sqrt{8 - 4} = 2 \end{aligned} \]
Avstanden \( FE \) er like lang som \( CD\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AF} &= \textcolor{magenta}{AB} + BE - FE \\ &= \textcolor{magenta}{9} + 2 - 6 = \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]
3. Finn vinkelen Tangens forteller oss at: \[ \tan \textcolor{green}{A} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}} \]Formelen står i videoen Introduksjon til Trigonometri. Den samme videoen viser hvordan vi finner vinkelen baklengs.
Her er \( {\textcolor{red}{DF = 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{AF = 5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \tan \textcolor{green}{A} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{5}} \\ \textcolor{green}{A} &= \arctan \dfrac{2}{5} \approx 21{,}8^\circ \end{aligned} \]

Ordinær eksamen 2016

Oppgave 6

2 poeng

En 1 meter lang streng kuttes i to deler. Den ene delen med lengde x x skal formes som et kvadrat og den andre som en sirkel.

Oppgave 6a)

Forklar at formelen for summen av arealene til kvadratet og sirkelen (målt i kvadratmeter) kan skrives som:
A(x)=(x4)2+π(1−x2π)2, A(x) = \left( \dfrac{x}{4} \right)^2 + \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2,
x∈[0,1] x \in [0, 1]
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Arealet av kvadratet med omkrets x x pluss arealet av sirkelen med omkrets 1−x {1 - x} er:
A(x)=(x4)2+π(1−x2π)2‾‾ \underline{\underline{A(x) = \left( \dfrac{x}{4} \right)^2 + \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2}}
Lengden av hver del er omkretsen til figuren. Fra omkretsen finner vi siden i kvadratet og radien i sirkelen, og så arealene.
1. Finn arealet av kvadratet Delen med lengde \( x \) er omkretsen til kvadratet. Et kvadrat har fire like sider, så hver side er: \[ \textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \]
Et kvadrat er et rektangel med like sider, som har arealet lengde ganger bredde i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{s}^2 = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 \]
2. Finn arealet av sirkelen Resten av strengen er \( {1 - x}\text{,} \) og det er omkretsen til sirkelen. Omkretsen av en sirkel er: \[ O = 2\pi \textcolor{red}{r} \]
Løser vi for \( \textcolor{red}{r}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2\pi \textcolor{red}{r} &= 1 - x \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \end{aligned} \]
Arealet av en sirkel er \( \pi \textcolor{red}{r}^2\text{:} \) \[ \pi \textcolor{red}{r}^2 = \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]
3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \left( \textcolor{blue}{\dfrac{x}{4}} \right)^2 + \pi \left( \textcolor{red}{\dfrac{1 - x}{2\pi}} \right)^2 \]
Delen \( x \) er en del av en streng på \( 1 \) meter, så den er mellom \( 0 \) og \( 1\text{:} \) \[ x \in [0, 1] \]

Oppgave 6b)

Vis ved regning hvilken verdi for x x som gjør at arealet A(x) A(x) blir minst mulig? Hva er arealet da?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Avrundet til to gjeldende siffer er arealet minst for:
x=4π+4≈0,56 m‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{4}{\pi + 4} \approx 0{,}56\,\text{m}}}
A=14(π+4)≈0,035 m2‾‾ \underline{\underline{A = \dfrac{1}{4(\pi + 4)} \approx 0{,}035\,\text{m}^2}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten.
Vi deriverer \( A(x) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Den andrederiverte viser at det er et minimum.
1. Forenkle og deriver Vi skriver om det andre leddet, slik at det blir enklere å derivere: \[ \begin{aligned} \pi \left( \dfrac{1 - x}{2\pi} \right)^2 &= \pi \cdot \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi^2} \\ &= \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi} \end{aligned} \]
Det gir oss: \[ A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(\textcolor{green}{1 - x})^2}{4\pi} \]
Det andre leddet har en kjerne, så kjerneregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{green}{u}^2)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{1 - x} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A'(x) &= \dfrac{2x}{16} + \dfrac{2(\textcolor{green}{1 - x}) \cdot (\textcolor{green}{-1})}{4\pi} \\ &= \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null I et ekstremalpunkt er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( 8\pi \) på begge sider: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{8} - \dfrac{1 - x}{2\pi} &= 0 \\ \pi x - 4(1 - x) &= 0 \\ \pi x + 4x &= 4 \\ x(\pi + 4) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{\pi + 4} \end{aligned} \]
Dette er en verdi i intervallet \( [0, 1]\text{.} \)
3. Vis at det er et minimum Den andrederiverte er: \[ A''(x) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{2\pi} > 0 \]
Den er positiv for alle \( x\text{,} \) så grafen vender hele tiden den hule siden opp. Punktet er derfor det laveste på hele intervallet.
4. Regn ut arealet Vi setter inn \( {x = \dfrac{4}{\pi + 4}}\text{.} \) Vi trenger: \[ \begin{aligned} \dfrac{x}{4} &= \dfrac{1}{\pi + 4} \\ 1 - x &= 1 - \dfrac{4}{\pi + 4} = \dfrac{\pi}{\pi + 4} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i formen fra første steg, \( {A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(1 - x)^2}{4\pi}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi^2}{4\pi(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{(\pi + 4)^2} + \dfrac{\pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{4 + \pi}{4(\pi + 4)^2} \\ &= \dfrac{1}{4(\pi + 4)} \end{aligned} \]