Forkurseksamen etter tema

Momentan vekstfart er den deriverte. Vi deriverer begge funksjonene, setter dem like og løser med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver begge funksjonene \( e^x \) derivert er seg selv: \[ f'(x) = e^x \]

\( g \) har kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}}\text{.} \) Kjerneregelen for \( e^u \) forteller oss at: \[ (e^{\textcolor{green}{u}})' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Det er regelen i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ g'(x) = e^{\textcolor{green}{4x}} \cdot \textcolor{green}{4} = 4e^{4x} \]

2. Sett de deriverte like Vi deler begge sider på \( e^x\text{,} \) som aldri er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} e^x &= 4e^{4x} \\ 1 &= 4e^{3x} \\ e^{3x} &= \dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Løs med logaritmer Vi tar \( \ln \) på begge sider og flytter ned \( 3x\text{,} \) slik videoen Naturlige Logaritmer viser: \[ \begin{aligned} \ln e^{3x} &= \ln \dfrac{1}{4} \\ 3x &= \ln \dfrac{1}{4} \\ x &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}} \ln \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \end{aligned} \]

Dette er formen \( {x = \textcolor{blue}{a} \ln \textcolor{red}{b}}\text{,} \) så vi kan lese av: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{4}} \]

Siden \( {\ln \dfrac{1}{4} = -\ln 4}\text{,} \) kan samme \( x \) også skrives \( {x = -\dfrac{1}{3} \ln 4}\text{.} \) Da er \( {a = -\dfrac{1}{3}} \) og \( {b = 4}\text{,} \) som også er riktig.

En tangent trenger et punkt og et stigningstall. Vi finner \( {g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og \( {g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \) og setter dem inn i tangentformelen.

1. Finn punktet \[ g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \pi = \dfrac{\pi}{2} \cdot 0 = 0 \]

2. Deriver funksjonen Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Se videoen Produktregelen hvis du er usikker.

Faktoren \( \sin 2x \) deriverer vi med kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{k})' = \cos \textcolor{green}{k} \cdot \textcolor{green}{k'} \]

Med kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{2}} \) får vi: \[ (\sin 2x)' = \cos \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sin 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{2\cos 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sin 2x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2\cos 2x} \\ &= \sin 2x + 2x\cos 2x \end{aligned} \]

3. Finn stigningstallet \[ \begin{aligned} g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= \sin \pi + 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \cos \pi \\ &= 0 + \pi \cdot (-1) \\ &= -\pi \end{aligned} \]

4. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at: \[ y = g'(\textcolor{green}{a})(x - \textcolor{green}{a}) + g(\textcolor{green}{a}) \]Det er formelen i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{a} &= \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}} \\ g\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= 0 \\ g'\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) &= -\pi \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= -\pi\left(x - \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{2}}\right) + 0 \\ &= -\pi x + \dfrac{\pi^2}{2} \end{aligned} \]

Vi setter opp arealet som en funksjon av \( x \) og finner toppunktet ved å sette den deriverte lik \( 0\text{.} \) Samme tankegang står i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

1. Sett opp arealet Sidene må være positive, så \( {0 < x < 4}\text{.} \) Rektangelet har areal lengde ganger høyde: \[ \textcolor{blue}{A_r} = \textcolor{blue}{x(4 - x)} = \textcolor{blue}{4x - x^2} \]

Halvsirkelen har radius \( \dfrac{x}{2}\text{,} \) og arealet er halve \( \pi r^2\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A_s} = \dfrac{1}{2} \pi \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A(x) = \textcolor{blue}{4x - x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{\pi x^2}{8}} \]

2. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd: \[ A'(x) = 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og samler leddene med \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 4 - 2x + \dfrac{\pi x}{4} &= 0 \\ x\left(2 - \dfrac{\pi}{4}\right) &= 4 \\ x &= \dfrac{4}{2 - \dfrac{\pi}{4}} \\ x &= \dfrac{16}{8 - \pi} \end{aligned} \]

Dette er innenfor kravet til \( x\text{,} \) siden \( {8 - \pi > 4}\text{:} \) \[ 0 < \dfrac{16}{8 - \pi} < 4 \]

3. Sjekk at det er et toppunkt Den andrederiverte er negativ for alle \( x\text{,} \) siden \( {\pi < 8}\text{:} \) \[ A''(x) = -2 + \dfrac{\pi}{4} < 0 \]Grafen krummer altså nedover, så punktet er et toppunkt, og arealet er størst der.

Hele gjerdet skal brukes, så omkretsen av kvadratet pluss omkretsen av sirkelen er \( 100\text{.} \)

1. Sett opp omkretsene Kvadratet har fire like sider, og omkretsen til en sirkel er \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O_{\text{kvadrat}}} &= \textcolor{blue}{4x} \\ \textcolor{red}{O_{\text{sirkel}}} &= \textcolor{red}{2\pi r} \end{aligned} \]

2. Løs for x Til sammen er omkretsene \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{2\pi r} &= 100 \\ 4x &= 100 - 2\pi r \\ x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi r \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket \( {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \) står i oppgaveteksten.

Vi skriver det samlede arealet som en funksjon av \( r \) og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp arealet Optimering gjør vi som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Arealet av kvadratet er \( x^2\text{,} \) og arealet av sirkelen er \( \pi r^2\text{.} \) Vi setter inn uttrykket for \( x\text{:} \) \[ A(r) = \left(25 - \dfrac{1}{2}\pi r\right)^2 + \pi r^2 \]

2. Deriver arealet Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^2\right)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og deriverer \( \pi r^2 \) med potensregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(r) &= 2\left(\textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\right) \\ &\quad \cdot \left(\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi}\right) + 2\pi r \\ &= -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {A'(r) = 0}\text{:} \) \[ -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r = 0 \]

Vi deler på \( \pi\text{,} \) løser for \( r \) og utvider til slutt brøken med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -25 + \dfrac{1}{2}\pi r + 2r &= 0 \\ r\left(\dfrac{1}{2}\pi + 2\right) &= 25 \\ r &= \dfrac{25}{\dfrac{1}{2}\pi + 2} \\ r &= \dfrac{50}{\pi + 4} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi deriverer \( A'(r) \) en gang til. Den dobbeltderiverte er positiv for alle \( r\text{:} \) \[ A''(r) = \dfrac{1}{2}\pi^2 + 2\pi > 0 \]Grafen krummer altså oppover hele veien, så dette er det minste arealet.

5. Finn x Plugger vi inn \( r\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi \cdot \dfrac{50}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{25(\pi + 4) - 25\pi}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{100}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Vi finner de to arealene når hele gjerdet går til én figur, og regner ut endringen i prosent.

1. Finn arealet av sirkelen Hele gjerdet er omkretsen. Sirkelen får radius: \[ \begin{aligned} 2\pi r &= 100 \\ r &= \dfrac{50}{\pi} \end{aligned} \]

Arealet blir: \[ \textcolor{red}{A_{\text{sirkel}}} = \pi \left(\dfrac{50}{\pi}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} \]

2. Finn arealet av kvadratet Hver side er en firedel av gjerdet: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{100}{4} = 25 \\ \textcolor{blue}{A_{\text{kvadrat}}} &= 25^2 = \textcolor{blue}{625} \end{aligned} \]

3. Regn ut prosenten Hvor mange prosent noe er større, finner vi slik, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]

Her er kvadratet det vi sammenligner med. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} - \textcolor{blue}{625}}{\textcolor{blue}{625}} \cdot 100\,\% \\ &= \left(\dfrac{4}{\pi} - 1\right) \cdot 100\,\% \\ &\approx 27{,}3\,\% \end{aligned} \]Vi runder av til én desimal.

Tallene foran \( t \) forteller hvor mye flyet flytter seg per minutt. Farten er lengden av denne vektoren, og den regner vi om til km/h til slutt.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonen, som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat: \[ \vec{v} = [\textcolor{blue}{-8},\ \textcolor{red}{6},\ \textcolor{green}{0{,}2}] \]Tallene er målt i km per minutt.

2. Regn ut lengden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 + \textcolor{green}{c}^2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-8}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{6}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{(\textcolor{blue}{-8})^2 + \textcolor{red}{6}^2 + \textcolor{green}{0{,}2}^2} \\ &= \sqrt{100{,}04} \end{aligned} \]Det er farten i km per minutt.

3. Regn om til km/h En time er \( 60 \) minutter, så vi ganger med \( 60\text{:} \) \[ 60 \cdot \sqrt{100{,}04} \approx 600 \]

Flyet er over punktet når \( {x = 0} \) og \( {y = 20}\text{.} \) Høyden er \( {z\text{-koordinaten}} \) i det samme øyeblikket.

1. Finn tidspunktet Parameterframstillingen gir flyets koordinater for hver \( t\text{,} \) som i videoen Parametrisering - Intro. Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{40 - 8t} &= 0 \\ t &= 5 \end{aligned} \]

Vi sjekker at \( \textcolor{red}{y} \) stemmer for samme \( t\text{:} \) \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{red}{6 \cdot 5 - 10} = 20 \]

2. Finn høyden Vi setter \( {t = 5} \) inn i uttrykket for \( \textcolor{green}{z}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z} = \textcolor{green}{2 + 0{,}2 \cdot 5} = 3 \]

Vi setter opp vektoren mellom flyene ved samme \( t\text{.} \) Avstanden er minst der kvadratet av lengden er minst, så vi deriverer det og setter lik \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren mellom flyene Vi trekker koordinatene til det andre flyet fra koordinatene til det første, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\Delta x} &= 40 - 8t - 6t = \textcolor{blue}{40 - 14t} \\ \textcolor{red}{\Delta y} &= 6t - 10 - 5t = \textcolor{red}{t - 10} \\ \textcolor{green}{\Delta z} &= 2 + 0{,}2t - (3 - 0{,}5t) \\ &= \textcolor{green}{0{,}7t - 1} \end{aligned} \]

2. Finn kvadratet av avstanden Formelen for lengden til en vektor forteller oss at avstanden \( d \) er gitt ved: \[ d^2 = \textcolor{blue}{\Delta x}^2 + \textcolor{red}{\Delta y}^2 + \textcolor{green}{\Delta z}^2 \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Avstanden er positiv, så den er minst der \( {g(t) = d^2} \) er minst. Vi ganger ut med kvadratsetningene, som i videoen Kvadratsetningene: \[ \begin{aligned} g(t) &= (\textcolor{blue}{40 - 14t})^2 + (\textcolor{red}{t - 10})^2 \\ &\quad + (\textcolor{green}{0{,}7t - 1})^2 \\ &= \textcolor{blue}{1600 - 1120t + 196t^2} \\ &\quad + \textcolor{red}{t^2 - 20t + 100} \\ &\quad + \textcolor{green}{0{,}49t^2 - 1{,}4t + 1} \\ &= 197{,}49t^2 - 1141{,}4t + 1701 \end{aligned} \]

3. Finn minimum Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, og setter lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(t) &= 394{,}98t - 1141{,}4 = 0 \\ t &= \dfrac{1141{,}4}{394{,}98} \approx 2{,}89 \end{aligned} \]

\( g \) er en andregradsfunksjon der tallet foran \( t^2 \) er positivt, så grafen er en smilende parabel og punktet er et bunnpunkt: \[ 197{,}49 > 0 \]Verdien ligger også i intervallet \( [0, 5]\text{.} \)

Overflaten avhenger av høyden, som vi ikke kjenner. Vi bruker volumet til å uttrykke høyden med \( x\text{,} \) og setter det inn i overflaten.

1. Finn høyden Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = G \cdot \textcolor{green}{h} \]

Her er: \[ V = 300, \quad G = 3x \cdot x = 3x^2 \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3x^2 \cdot \textcolor{green}{h} &= 300 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Overflaten av en kasse er de seks sideflatene lagt sammen, som i videoen Volum og Overflate: \[ O = 2(\textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{green}{h} + \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h}) \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{l} = \textcolor{blue}{3x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{green}{h} = \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} O(x) &= 2\Big(\textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{3x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}} \\ &\qquad + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{100}{x^2}}\Big) \\ &= 2\left(3x^2 + \dfrac{300}{x} + \dfrac{100}{x}\right) \\ &= \dfrac{800}{x} + 6x^2 \end{aligned} \]

3. Deriver ledd for ledd Vi skriver brøken som en potens, \( {\dfrac{800}{x} = 800x^{-1}}\text{,} \) og bruker potensregelen. Den forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {800x^{-1}} \) derivert blir: \[ \underline{800 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\dfrac{800}{x^2}} \]

\( 6x^2 \) derivert blir: \[ \underline{6 \cdot 2 \cdot x = 12x} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ O'(x) = 12x - \dfrac{800}{x^2} \]

Vi bruker uttrykkene for \( O(x) \) og \( O'(x) \) fra a).

Den minste overflaten finner vi der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) og vi sjekker fortegnet for å se at det er et bunnpunkt.

1. Sett den deriverte lik null I a) fant vi: \[ O'(x) = 12x - \dfrac{800}{x^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi ganger med \( x^2 \) på begge sider og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 12x - \dfrac{800}{x^2} &= 0 \\ 12x^3 &= 800 \\ x^3 &= \dfrac{200}{3} \\ x &= \sqrt[3]{\dfrac{200}{3}} \end{aligned} \]

Vi kaller denne verdien \( \textcolor{blue}{x_0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x_0} = \textcolor{blue}{\sqrt[3]{\dfrac{200}{3}}} \approx \textcolor{blue}{4{,}0548} \]

2. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(x) = \dfrac{12x^3 - 800}{x^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} x < \textcolor{blue}{x_0} &: \quad 12x^3 < 800 \Rightarrow O'(x) < 0 \\ x > \textcolor{blue}{x_0} &: \quad 12x^3 > 800 \Rightarrow O'(x) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og har dermed sin minste verdi i dette punktet.

3. Regn ut målene Vi regner med den uavrundede verdien av \( \textcolor{blue}{x_0}\text{,} \) og med høyden \( {h = \dfrac{100}{x^2}} \) fra a): \[ \begin{aligned} \text{Lengden} &= 3\textcolor{blue}{x_0} \approx 12{,}16 \\ \text{Bredden} &= \textcolor{blue}{x_0} \approx 4{,}05 \\ \text{Høyden} &= \dfrac{100}{\textcolor{blue}{x_0}^2} \approx 6{,}08 \end{aligned} \]

4. Regn ut overflaten Vi setter \( \textcolor{blue}{x_0} \) inn i \( O(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{x_0}) &= \dfrac{800}{\textcolor{blue}{x_0}} + 6\textcolor{blue}{x_0}^2 \\ &\approx 197{,}30 + 98{,}65 \\ &\approx 295{,}95 \end{aligned} \]

Vi skisserer trapeset. Da ser vi at diagonalen \( BD \) gir en rettvinklet trekant, der vi finner den øverste siden og høyden med sinus og cosinus.

1. Skisser trapeset Siden \( {\angle ABC = 90^\circ} \) og \( AD \) er parallell med \( BC\text{,} \) er også vinkelen i \( A \) rett. Parallelle sider gir at \( {\angle ADB = \angle DBC = \beta}\text{:} \)

2. Finn høyden og den øverste siden Trekant \( ABD \) er rettvinklet. Sinus og cosinus forteller oss at: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående}}}{\text{hypotenus}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\text{hypotenus}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på sinus og cosinus, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er hypotenusen \( {BD = 2}\text{:} \) \[ \sin \beta = \dfrac{\textcolor{red}{h}}{2}, \quad \cos \beta = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{2} \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h} \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{2\sin \beta}, \quad \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2\cos \beta} \]

3. Regn ut arealet Formelen for arealet av et trapes forteller oss at: \[ A = \dfrac{(\textcolor{blue}{a} + b) \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på formelen for arealet av et trapes, kan du se videoen Trapesmetoden.

Her er \( {b = BC = 4}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A(\beta) &= \dfrac{(\textcolor{blue}{2\cos \beta} + 4) \cdot \textcolor{red}{2\sin \beta}}{2} \\ &= (2\cos \beta + 4)\sin \beta \\ &= 4\sin \beta + 2\sin \beta \cos \beta \end{aligned} \]

Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \sin(2\beta) = 2\sin \beta \cos \beta \]

Det gir oss: \[ A(\beta) = 4\sin(\beta) + \sin(2\beta) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( A(\beta) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( A(\beta) \) og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \) Med formelen for dobbel vinkel blir dette en andregradslikning i \( \cos \beta\text{.} \)

1. Deriver arealet Vi deriverer med \( \beta \) i radianer og gjør om til grader til slutt. \( 4\sin \beta \) derivert blir \( \underline{4\cos \beta}\text{.} \)

For \( \sin(2\beta) \) bruker vi kjerneregelen. Den forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{2\beta}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi \( \underline{2\cos(2\beta)}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ A'(\beta) = 4\cos \beta + 2\cos(2\beta) \]

2. Sett den deriverte lik null Formelen for dobbel vinkel forteller oss at: \[ \cos(2\beta) = 2\cos^2 \beta - 1 \]

Setter vi inn og setter \( {A'(\beta) = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 4\cos \beta + 2(2\cos^2 \beta - 1) &= 0 \\ 2\cos^2 \beta + 2\cos \beta - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Vi setter \( {t = \cos \beta}\text{.} \) Da får likningen formen \( {\textcolor{blue}{a}t^2 + \textcolor{red}{b}t + \textcolor{green}{c} = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{2}t^2 + \textcolor{red}{2}t \textcolor{green}{- 1} = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

For \( \beta \in \langle 0^\circ, 90^\circ \rangle \) ligger \( \cos \beta \) mellom \( 0 \) og \( 1\text{,} \) så bare plusstegnet gir en løsning: \[ \begin{aligned} \cos \beta &= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ \beta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \approx 68{,}5^\circ \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er størst areal Vi setter inn en vinkel på hver side: \[ \begin{aligned} A'(60^\circ) &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 1 > 0 \\ A'(80^\circ) &\approx -1{,}18 < 0 \end{aligned} \]

\( A'(\beta) \) går fra pluss til minus, så arealet stiger og så synker. Dermed gir denne vinkelen størst areal.

Volumet avhenger av høyden, som vi ikke kjenner. Vi bruker omkretsen til å uttrykke høyden med \( x\text{,} \) og setter det inn i volumet.

1. Finn høyden Omkretsen er alle fire sidene lagt sammen, som i videoen Volum og Overflate: \[ 2x + 2\textcolor{red}{h} = 24 \]

Løser vi for \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{12 - x} \]

2. Sett opp volumet Volumet av en sylinder forteller oss at: \[ V = \pi \textcolor{blue}{r}^2 \textcolor{red}{h} \]Formelen skriver vi opp i videoen Omdreninglegeme y-akse.

Rektangelet roterer om siden \( h\text{,} \) så \( h \) blir høyden i sylinderen, og bredden \( x \) blir radien. Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{h} = \textcolor{red}{12 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ V(x) = \pi \textcolor{blue}{x}^2 (\textcolor{red}{12 - x}) \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( V(x) \) står i oppgaveteksten.

Det største volumet finner vi der den deriverte er \( 0\text{.} \) Vi deriverer, løser likningen og sjekker med et fortegnsskjema at det er et toppunkt.

1. Deriver volumet Vi har: \[ \begin{aligned} V(x) &= \pi x^2 (12 - x) \\ &= \pi (12x^2 - x^3) \end{aligned} \]

Begge sidene i rektangelet må være positive, så: \[ 0 < x < 12 \]

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} V'(x) &= \pi (24x - 3x^2) \\ &= 3\pi \textcolor{darkorange}{x} (\textcolor{magenta}{8 - x}) \end{aligned} \]

2. Finn toppunktet Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {x > 0}\text{,} \) må den siste faktoren være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{magenta}{8 - x} &= 0 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. \( 3\pi \) er positiv, så den endrer ikke fortegnet: :::fortegnsskjema {"points": [8], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{8 - x}", "expr": "8 - x"}, {"label": "V'(x)", "expr": "3*x*(8 - x)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

I \( {x = 8} \) går \( V'(x) \) fra pluss til minus, så volumet vokser og så avtar. Der er altså det største volumet.

3. Regn ut volumet Vi setter inn \( {x = 8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V(8) &= \pi \cdot 8^2 \cdot (12 - 8) \\ &= \pi \cdot 64 \cdot 4 = 256\pi \end{aligned} \]

Buen møter vannet der \( {f(x) = 0}\text{.} \) Bredden er avstanden mellom de to punktene.

1. Sett funksjonen lik null Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}09x^2 + 9 &= 0 \\ 0{,}09x^2 &= 9 \\ x^2 &= 100 \end{aligned} \]

Vi tar kvadratroten på begge sider, som i videoen abc-formelen – hvor kommer den fra?, og får to løsninger: \[ x = \textcolor{blue}{-10} \quad \text{eller} \quad x = \textcolor{red}{10} \]

2. Regn ut bredden Bredden er avstanden mellom punktene: \[ \text{Bredde} = \textcolor{red}{10} - (\textcolor{blue}{-10}) = 20 \]

Vi bruker fra a) at buen treffer vannet i \( {x = -10} \) og \( {x = 10}\text{.} \)

Sideflaten er et rektangel der vi tar bort arealet under buen. Rektangelet er \( 20\,\text{m} \) bredt og \( 11\,\text{m} \) høyt.

1. Regn ut rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganget med bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{blue}{A_{\text{rektangel}}} = 20 \cdot 11 = \textcolor{blue}{220} \]

2. Regn ut arealet under buen Arealet under grafen er integralet mellom nullpunktene, som i videoen Hva er integrasjon. Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A_{\text{bue}}} &= \int_{-10}^{10} (-0{,}09x^2 + 9)\,dx \\ &= \left[ -0{,}03x^3 + 9x \right]_{-10}^{10} \\ &= (-30 + 90) - (30 - 90) \\ &= 60 + 60 = \textcolor{red}{120} \end{aligned} \]

3. Trekk fra Sideflaten er rektangelet minus arealet under buen: \[ A = \textcolor{blue}{220} - \textcolor{red}{120} = 100 \]

Lekteren er \( 12\,\text{m} \) bred, så midt i elva går hjørnene i \( {x = -6} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Vi ser om buen er høyere enn lekteren der.

1. Regn ut høyden ved hjørnene Brua er symmetrisk, så det holder å se på \( {\textcolor{blue}{x = 6}}\text{.} \) Der er buen: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{6}) &= -0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{6}^2 + 9 \\ &= -3{,}24 + 9 \\ &= \textcolor{red}{5{,}76} \end{aligned} \]

2. Sammenlign med lekteren Buen er høyere enn lekteren ved hjørnene: \[ \textcolor{red}{5{,}76} > 5{,}5 \]Lengre inn mot midten er buen enda høyere, så lekteren kan passere midt i elva, med \( 0{,}26\,\text{m} \) klaring.

Vi lar hjørnene øverst følge buen. Arealet er da bredden ganget med høyden, begge uttrykt med \( x\text{.} \)

1. Sett opp bredde og høyde Rektangelet står midt under brua, med hjørner i \( {-x} \) og \( x\text{,} \) der \( {0 < x < 10}\text{.} \) Det blir høyest mulig når de øverste hjørnene treffer buen:

Dette gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{bredde}} &= \textcolor{blue}{2x} \\ \textcolor{red}{\text{høyde}} &= \textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9} \end{aligned} \]

2. Gang sammen Arealet av et rektangel er bredden ganget med høyden, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A(x) &= \textcolor{blue}{2x} \cdot (\textcolor{red}{-0{,}09x^2 + 9}) \\ &= -0{,}18x^3 + 18x \\ &= 18x - 0{,}18x^3 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til d), kan du løse denne: uttrykket for \( A(x) \) står i oppgaveteksten, og bredden er \( 2x\text{.} \)

Arealet er størst der den deriverte er \( 0 \) og går fra pluss til minus. Vi finner \( x \) der, og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} (18x)' &= 18 \\ (0{,}18x^3)' &= 0{,}54x^2 \\ A'(x) &= 18 - 0{,}54x^2 \end{aligned} \]

Vi setter \( {A'(x) = 0} \) og løser for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 18 - 0{,}54x^2 &= 0 \\ x^2 &= \dfrac{18}{0{,}54} = \dfrac{100}{3} \\ x &= \pm\dfrac{10}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

Bare den positive løsningen gir mening, siden \( {0 < x < 10}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} \approx 5{,}77 \]

2. Sjekk at det er et toppunkt Vi ser på fortegnet til \( A'(x) \) på hver side, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A'(5) &= 18 - 13{,}5 = 4{,}5 > 0 \\ A'(6) &= 18 - 19{,}44 = -1{,}44 < 0 \end{aligned} \]Den deriverte går fra pluss til minus, så arealet er størst i \( {\textcolor{blue}{x = \dfrac{10}{\sqrt{3}}}}\text{.} \)

3. Regn ut bredden Bredden er \( 2x\text{:} \) \[ \text{Bredde} = 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{\sqrt{3}}} = \dfrac{20}{\sqrt{3}} \approx 11{,}55 \]

Vi skriver begge leddene som potenser av \( x\text{.} \) Da kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen.

1. Skriv leddene som potenser En brøk med \( x \) i nevneren har negativ eksponent, og en rot kan skrives som en potens, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{3}{x}} &= \textcolor{red}{3x^{-1}} \\ \textcolor{blue}{4x^2\sqrt{x}} &= 4x^2 \cdot x^{\tfrac{1}{2}} = \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( {\textcolor{red}{3x^{-1}}} \) derivert blir: \[ 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \underline{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}}} \]

\( \textcolor{blue}{4x^{\tfrac{5}{2}}} \) derivert blir: \[ 4 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot x^{\tfrac{3}{2}} = 10x^{\tfrac{3}{2}} = \underline{\textcolor{blue}{10x\sqrt{x}}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{-\dfrac{3}{x^2}} - \textcolor{blue}{10x\sqrt{x}} \]

Nevneren er bare tallet \( 5\text{,} \) så vi trenger ikke kvotientregelen. Vi deriverer telleren og deler på \( 5\text{,} \) og leddet \( 2x^3 \cos x \) er et produkt.

1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{1}{5} \) utenfor en parentes: \[ g(x) = \dfrac{1}{5}\left(2x^3 \cos x + 1\right) \]

Konstanten \( 1 \) derivert blir \( 0\text{,} \) så vi står igjen med å derivere produktet.

2. Deriver produktet Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

Vi bruker at \( \cos x \) derivert blir \( {-\sin x}\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x^2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(2x^3 \cos x)' \\ &= \textcolor{red}{6x^2} \cdot \textcolor{blue}{\cos x} + \textcolor{red}{2x^3} \cdot (\textcolor{blue}{-\sin x}) \\ &= 6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x \end{aligned} \]

3. Sett sammen Vi deler på \( 5 \) og får: \[ g'(x) = \dfrac{6x^2 \cos x - 2x^3 \sin x}{5} \]

Vi ser en brøk og potenser inni \( \ln\text{.} \) Med logaritmereglene blir uttrykket mye enklere å derivere, så vi skriver det om først.

1. Skriv om med logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) &= \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln(a^b) &= b \cdot \ln a \end{aligned} \]Du finner dem i videoen Naturlige Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x^3}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \]

Plugger vi dette inn og bruker at \( {\ln e = 1}\text{,} \) får vi for \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k(x) &= \ln \textcolor{red}{x^3} - \ln \textcolor{blue}{e^{2x - 1}} \\ &= 3\ln x - (2x - 1) \cdot \ln e \\ &= 3\ln x - 2x + 1 \end{aligned} \]

2. Deriver ledd for ledd \( \ln x \) derivert blir \( \dfrac{1}{x}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Da får vi: \[ (3\ln x)' = \underline{\dfrac{3}{x}} \]

\( {-2x + 1} \) derivert blir: \[ (-2x + 1)' = \underline{-2} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ k'(x) = \dfrac{3}{x} - 2 \]

Volumet binder høyden til radien, så overflaten kan skrives med bare én variabel. Så finner vi bunnpunktet med den deriverte.

1. Uttrykk høyden med radien Vi regner i desimeter, siden \( 1 \) liter er \( 1\,\text{dm}^3\text{.} \) Volumet er grunnflaten ganget med høyden, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = \pi r^2 \textcolor{green}{h} \]

Her er \( {V = 1}\text{.} \) Løser vi for \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \pi r^2 \textcolor{green}{h} &= 1 \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \end{aligned} \]

2. Sett opp overflaten Sylinderen har bunn, men ikke lokk. Sideflaten rullet ut er et rektangel med bredde \( 2\pi r \) og høyde \( \textcolor{green}{h}\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. Overflaten er derfor: \[ O = \pi r^2 + 2\pi r \textcolor{green}{h} \]

Plugger vi inn høyden, får vi: \[ \begin{aligned} O(r) &= \pi r^2 + 2\pi r \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{\pi r^2}} \\ &= \pi r^2 + \dfrac{2}{r} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi deriverer ledd for ledd, med \( {\dfrac{2}{r} = 2r^{-1}}\text{:} \) \[ O'(r) = 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} \]

Et ekstremalpunkt finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 2\pi r - \dfrac{2}{r^2} &= 0 \\ 2\pi r^3 &= 2 \\ \textcolor{blue}{r^3} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi skriver den deriverte på én brøkstrek: \[ O'(r) = \dfrac{2\pi r^3 - 2}{r^2} \]

Nevneren er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren: \[ \begin{aligned} r^3 < \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) < 0 \\ r^3 > \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}} &: \quad O'(r) > 0 \end{aligned} \]

Overflaten minker og øker så, og den er derfor minst i dette punktet.

5. Finn forholdet Vi deler høyden på radien og setter inn \( \textcolor{blue}{r^3}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{h}}{r} = \dfrac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{\pi r^2} \cdot r} = \dfrac{1}{\pi \textcolor{blue}{r^3}} = \dfrac{1}{\pi \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\pi}}} = 1 \]

Høyden må altså være like stor som radien.

Vi kan samle \( y \) på én side og \( x \) på den andre, så likningen er separabel. Vi løser den, og bruker \( {y(0) = 10} \) til å finne konstanten.

1. Separer variablene Vi skriver \( y' \) som \( \dfrac{dy}{dx} \) og samler \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{x} \) på hver sin side, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} &= (1 - x)y \\ \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \end{aligned} \]

2. Integrer begge sider Det gir oss: \[ \begin{aligned} \int \textcolor{blue}{\dfrac{1}{y}\,dy} &= \int \textcolor{red}{(1 - x)\,dx} \\ \ln|y| &= x - \dfrac{1}{2}x^2 + C \end{aligned} \]

3. Løs for y Vi tar \( e \) opphøyd i begge sidene. Siden \( {y(0) = 10 > 0}\text{,} \) er \( y \) positiv, så \( {|y| = y}\text{.} \) Vi skriver \( {\textcolor{green}{K} = e^{C}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |y| &= e^{x - \tfrac{1}{2}x^2 + C} \\ y &= e^{C} \cdot e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \\ y &= \textcolor{green}{K} e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \end{aligned} \]

4. Finn konstanten Vi setter inn \( {y(0) = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10 &= \textcolor{green}{K} e^{0} \\ \textcolor{green}{K} &= \textcolor{green}{10} \end{aligned} \]

Det gir oss løsningen vi skulle vise: \[ y(x) = \textcolor{green}{10}e^{x - \tfrac{1}{2}x^2} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

For å finne den høyeste temperaturen setter vi \( {y'(x) = 0}\text{.} \) Den deriverte står allerede i differensiallikningen.

1. Sett den deriverte lik null For å finne et toppunkt setter vi den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/​S1 Eksamen Vår 2026. Differensiallikningen gir: \[ y'(x) = (\textcolor{darkorange}{1 - x}) \cdot \textcolor{magenta}{y(x)} \]

\( {\textcolor{magenta}{y(x)} = 10e^{x - \tfrac{1}{2}x^2}} \) er alltid positiv, siden \( e \) opphøyd i noe aldri blir \( 0 \) eller negativ. Dermed må: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{1 - x} &= 0 \\ x &= 1 \end{aligned} \]

2. Vis at det er et toppunkt Siden \( \textcolor{magenta}{y(x)} \) er positiv, har \( y'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{darkorange}{1 - x}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 \le x < 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} > 0, \ \ y'(x) > 0 \\ x > 1: \ & \textcolor{darkorange}{1 - x} < 0, \ \ y'(x) < 0 \end{aligned} \]

Temperaturen stiger helt fram til \( {x = 1} \) og synker hele tiden etterpå. Da er \( {x = 1} \) det høyeste punktet på hele intervallet.

3. Regn ut temperaturen Vi setter \( {x = 1} \) inn i \( y(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} y(1) &= 10e^{1 - \tfrac{1}{2} \cdot 1^2} \\ &= 10e^{\tfrac{1}{2}} = 10\sqrt{e} \approx 16{,}5 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( y(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi lar \( x \) bli stor og ser hva som skjer med eksponenten i \( y(x)\text{.} \)

1. Se på eksponenten Vi lar \( x \) gå mot uendelig, som når vi leter etter en horisontal asymptote i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer eksponenten: \[ \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} = x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) \]

Når \( x \) blir stor, går \( x \) mot uendelig og parentesen mot minus uendelig. Dermed vet vi at: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{blue}{x - \dfrac{1}{2}x^2} \right) = -\infty \]

2. Finn grenseverdien \( e \) opphøyd i et stort negativt tall er nesten \( 0\text{,} \) siden det er det samme som \( 1 \) delt på et stort tall. Det gir oss: \[ \lim_{x \to \infty} 10e^{\textcolor{blue}{x - \tfrac{1}{2}x^2}} = 10 \cdot 0 = 0 \]

Temperaturen er hele tiden over \( 0\,^\circ\text{C}\text{,} \) men kommer så nær vi vil etter hvert.