Forkurseksamen etter tema

Vi får \( \cos x \) alene, og så går vi baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, slik videoen Introduksjon til Trigonometri viser med \( \arccos\text{.} \)

1. Få cosinus alene Vi flytter \( \sqrt{3} \) over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\cos x &= \sqrt{3} \\ \cos x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn vinkelen Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]Alle løsningene er: \[ x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \]

Av disse er det bare \( \dfrac{\pi}{6} \) som ligger i intervallet \( [0, \pi]\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{6} \]

Vi faktoriserer telleren og nevneren. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

1. Faktoriser telleren og nevneren Telleren er en differanse mellom to kvadrater, så konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Med \( {a = x} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \]

I nevneren setter vi \( x \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ x^2 - x = x(x - 1) \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 1)} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 0} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \)

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene.

:::fortegnsskjema {"points": [-3, 0, 1, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x}", "expr": "(x + 3)(x - 3)/(x(x - 1))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ fra \( {-3} \) til \( 0 \) og fra \( 1 \) til \( 3\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = -3} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er med. Den er ikke definert i \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x \in [-3, 0\rangle \cup \langle 1, 3] \]

Vi flytter \( 2 \)-tallet inn i logaritmen. Da står det \( \lg \) av noe på begge sider, og vi kan sette det som står inni, likt. Til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Skriv venstre side som én logaritme Den tredje logaritmeregelen forteller oss at, for \( {\textcolor{red}{a} > 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b} \cdot \lg \textcolor{red}{a} = \lg \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{b}} \]Den står i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lg (\textcolor{red}{3x + 1})^{\textcolor{blue}{2}} = \lg x^2 \]

2. Løs likningen uten logaritmer Siden \( \lg \) gir samme verdi bare for samme tall, må det som står inni, være likt: \[ (3x + 1)^2 = x^2 \]

To kvadrater er like når tallene er like eller motsatte: \[ 3x + 1 = x \quad \text{eller} \quad 3x + 1 = -x \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -1 & 4x &= -1 \\ x &= -\dfrac{1}{2} & x &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Vi setter inn begge i \( {3x + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 &= -\dfrac{1}{2} < 0 \\ 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) + 1 &= \dfrac{1}{4} > 0 \end{aligned} \]

\( {x = -\dfrac{1}{2}} \) faller derfor bort. For \( {x = -\dfrac{1}{4}} \) er også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så den er løsningen.

Vi deriverer \( f \) to ganger med potensregelen, og setter inn \( {x = -2} \) i hvert uttrykk.

1. Finn funksjonsverdien Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}} \) i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{blue}{-2}) &= (\textcolor{blue}{-2})^3 - 2 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \\ &= -8 + 4 \\ &= -4 \end{aligned} \]

2. Deriver én gang Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( x^3 \) derivert blir \( \underline{3x^2}\text{.} \)

\( {-2x} \) derivert blir \( {\underline{-2}}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f'(\textcolor{blue}{-2}) &= 3 \cdot (\textcolor{blue}{-2})^2 - 2 \\ &= 12 - 2 \\ &= 10 \end{aligned} \]

3. Deriver en gang til \( 3x^2 \) derivert blir \( \underline{6x}\text{,} \) og \( {-2} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant: \[ f''(x) = 6x \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{-2}}\text{:} \) \[ f''(\textcolor{blue}{-2}) = 6 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) = -12 \]

Funksjonen er et produkt, så vi bruker produktregelen. Faktoren \( \cos 2x \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Bruk produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Faktoren \( \cos 2x \) har kjernen \( \textcolor{green}{2x}\text{.} \) Kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen, forteller oss at: \[ (\cos \textcolor{green}{w})' = -\sin \textcolor{green}{w} \cdot \textcolor{green}{w'} \]

Her er \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{2x}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{2}}\text{.} \) Det gir oss: \[ (\cos \textcolor{green}{2x})' = -\sin \textcolor{green}{2x} \cdot \textcolor{green}{2} = -2\sin 2x \]

Delene i produktregelen er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos 2x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-2\sin 2x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= \textcolor{red}{e^x} \cdot \textcolor{blue}{\cos 2x} + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-2\sin 2x}) \\ &= e^x(\cos 2x - 2\sin 2x) \end{aligned} \]

Vi skriver om begge leddene før vi deriverer: brøken som en potens, og logaritmen med logaritmereglene. Så deriverer vi ledd for ledd.

1. Skriv om logaritmen Inni logaritmen skriver vi roten som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} \]

Logaritmeregelen for potenser, som i videoen Regneregler med Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(a^n) = n \cdot \ln a \]

Det gir oss: \[ \ln(x^{5/2}) = \dfrac{5}{2}\ln x \]

Funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{,} \) og vi kan skrive den som: \[ h(x) = \textcolor{blue}{2x^{-1}} - \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \]

2. Deriver ledd for ledd \( {\textcolor{blue}{2x^{-1}}} \) derivert blir, med potensregelen fra videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \textcolor{blue}{-2x^{-2} = -\dfrac{2}{x^2}} \]

\( \textcolor{red}{\dfrac{5}{2}\ln x} \) derivert blir, siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2x}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} h'(x) &= \textcolor{blue}{-\dfrac{2}{x^2}} \textcolor{red}{- \dfrac{5}{2x}} \\ &= -\dfrac{4}{2x^2} - \dfrac{5x}{2x^2} \\ &= -\dfrac{5x + 4}{2x^2} \end{aligned} \]

Vi løser først for \( \sin x\text{.} \) Siden to vinkler gir samme sinusverdi og sinus gjentar seg, finner vi så begge vinklene og alle rundene som ligger i intervallet.

1. Løs for sinus 0:26 Intervallet går til \( 4\pi\text{,} \) så vi svarer i radianer. Vi flytter over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn den første vinkelen 0:47 Vi vet at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og siden \( {\sin(-v) = -\sin v} \) gir sinus invers: \[ x = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6} \]Sinus invers forklares i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) der \( k \) er et helt tall: \[ \textcolor{blue}{x_1} = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k} \]

3. Finn den andre vinkelen 2:57 På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = -\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_2} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi k \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k} \end{aligned} \]

4. Test verdier av k 4:52 Vi tester \( k \) og beholder det som ligger i \( [0,\ 4\pi\rangle\text{.} \) Her er \( {4\pi = \dfrac{24\pi}{6}}\text{.} \)

For \( \textcolor{blue}{x_1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; -\dfrac{\pi}{6} \; \text{utenfor} \\ k = 1&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{11\pi}{6}} \\ k = 2&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \underline{\dfrac{23\pi}{6}} \\ k = 3&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{35\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

For \( \textcolor{red}{x_2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; \underline{\dfrac{7\pi}{6}} \\ k = 1&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{19\pi}{6}} \\ k = 2&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{31\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi slår sammen de to logaritmene til én, fjerner \( \ln \) med \( e\text{,} \) og løser for \( x\text{.} \) Til slutt må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater.

Merk – Videoen stopper før sjekken: Videoen ender på \( {x = \dfrac{e}{1 - e}}\text{.} \) Det tallet er negativt, så det er ikke en løsning, som siste steg her viser.

1. Slå sammen logaritmene 0:16 Logaritmeregelen for minus forteller oss at: \[ \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} = \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) \]Regelen vises i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{x + 1}}\right) = 1 \]

2. Fjern logaritmen 1:17 Vi opphøyer begge sider med \( e\text{,} \) siden: \[ e^{\ln u} = u \]

Det gir oss: \[ \dfrac{x}{x + 1} = e \]

3. Løs for x 1:53 Vi ganger med \( {x + 1} \) og samler \( x \) på venstre side: \[ \begin{aligned} x &= e(x + 1) \\ x &= ex + e \\ x - ex &= e \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x(1 - e) &= e \\ x &= \dfrac{e}{1 - e} \end{aligned} \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet Før vi svarer, må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater. \( \ln \) finnes bare av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. I likningen må derfor: \[ x > 0 \quad \text{og} \quad x + 1 > 0 \]

Siden \( {e > 1}\text{,} \) er nevneren negativ og telleren positiv: \[ \dfrac{e}{1 - e} < 0 \]

Tallet er negativt, så \( \ln x \) finnes ikke der. Likningen har derfor ingen løsning.

Vi ser at \( x \) står i nevneren. Vi samler derfor alt på én side, slår sammen til én brøk og bruker fortegnsskjema.

1. Finn bruddpunktet 0:00 Nevneren kan ikke være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 2 &\ne 0 \\ x &\ne -2 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 0:30 Vi flytter \( 1 \) over og skriver det med samme nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{2x - 4}{x + 2} - 1 &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4 - (x + 2)}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 6}}{\textcolor{magenta}{x + 2}} &\ge 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp fortegnsskjema 2:25 Fortegnet til brøken finner vi ved å sette sammen fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 6}{x + 2}", "expr": "(x - 6)/(x + 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 4:17 Brøken er positiv for \( {x < -2} \) og for \( {x > 6}\text{.} \) I \( {x = 6} \) er den \( 0\text{,} \) som er med. I \( {x = -2} \) finnes den ikke, så det punktet er ikke med: \[ x < -2 \quad \text{eller} \quad x \ge 6 \]

Vi ser at \( {27 = 3^3}\text{,} \) så hele brøken er en potens av \( \dfrac{x}{3}\text{.} \) Da kan vi gange eksponentene sammen. Vi regner med \( {x > 0}\text{,} \) siden eksponenten er en brøk.

1. Skriv brøken som én potens Siden \( {27 = 3^3}\text{,} \) kan vi skrive: \[ \dfrac{x^3}{27} = \dfrac{x^3}{3^3} = \left(\dfrac{x}{3}\right)^3 \]

2. Gang eksponentene Regelen for en potens av en potens forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n}})^{\textcolor{green}{m}} = \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{green}{m}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}, \quad \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{green}{m} = \textcolor{green}{-\dfrac{2}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{\textcolor{blue}{3}}\right)^{\textcolor{green}{-2/3}} &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-2/3})} \\ &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{-2} \end{aligned} \]

3. Bli kvitt den negative eksponenten En negativ eksponent betyr at potensen står i nevneren, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{-2} &= \dfrac{1}{\left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^2} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{9}} \\ &= \dfrac{9}{x^2} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, slik at alt består av \( \ln x \) og \( \ln y\text{,} \) og trekker sammen. Logaritmene finnes bare når \( {x > 0} \) og \( {y > 0}\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln(a \cdot b) &= \ln a + \ln b \\ \ln(a^n) &= n \cdot \ln a \end{aligned} \]Reglene gjennomgås i videoen Regneregler med Logaritmer, og i Naturlige Logaritmer ser du at de gjelder for \( \ln \) også.

2. Skriv om ledd for ledd \( \ln(xy)\text{:} \) \[ \ln(xy) = \underline{\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{\ln y}} \]

\( \ln(x^2 y)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(x^2 y) &= \ln(x^2) + \ln y \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{\ln y}} \end{aligned} \]

\( \ln(xy^2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(xy^2) &= \ln x + \ln(y^2) \\ &= \underline{\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{2\ln y}} \end{aligned} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{\ln y} + \textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{\ln y} \\ &\quad - (\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{2\ln y}) \\ &= \textcolor{blue}{(1 + 2 - 1)\ln x} \\ &\quad + \textcolor{red}{(1 + 1 - 2)\ln y} \\ &= \textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{0 \cdot \ln y} \\ &= \textcolor{blue}{2\ln x} \end{aligned} \]

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

Vi ser at både telleren og nevneren kan faktoriseres. Vi faktoriserer dem, forkorter brøken og legger til slutt til \( 1\text{.} \)

1. Faktoriser telleren Telleren er en differanse mellom to kvadrater. Konjugatsetningen forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{p}^2 - \textcolor{red}{q}^2 = (\textcolor{blue}{p} + \textcolor{red}{q})(\textcolor{blue}{p} - \textcolor{red}{q}) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{p} &= \textcolor{blue}{2a} \\ \textcolor{red}{q} &= \textcolor{red}{b} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 4a^2 - b^2 = (\textcolor{blue}{2a} + \textcolor{red}{b})(\textcolor{blue}{2a} - \textcolor{red}{b}) \]

2. Faktoriser nevneren Begge leddene i nevneren har faktoren \( b\text{,} \) som vi setter utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ 2ab + b^2 = b(2a + b) \]

3. Forkort og legg sammen Faktoren \( {\textcolor{darkorange}{2a + b}} \) står både i telleren og i nevneren, så den stryker vi, som i eksempelet i Faktorisering steg for steg. Så skriver vi \( 1 \) som \( \dfrac{b}{b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{(2a + b)}(2a - b)}{b\textcolor{darkorange}{(2a + b)}} + 1 \\ &= \dfrac{2a - b}{b} + \dfrac{b}{b} \\ &= \dfrac{2a - b + b}{b} \\ &= \dfrac{2a}{b} \end{aligned} \]

Vi skriver begge logaritmene med potens eller rot som et tall ganger \( \ln b\text{.} \) Da kan vi forkorte.

1. Skriv om logaritmene Logaritmeregelen for en potens forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]Samme regel gjelder for \( \log \) og \( \ln\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.

En rot kan vi skrive som en potens, som i videoen Potenser og røtter: \[ \sqrt{b} = b^{\tfrac{1}{2}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{b}} \) begge steder. Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln b^2 &= \textcolor{red}{2} \ln \textcolor{blue}{b} \\ \ln \sqrt{b} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \ln \textcolor{blue}{b} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forkort Plugger vi dette inn i brøken, kan vi sette \( \textcolor{magenta}{\ln b} \) utenfor i telleren. Da stryker vi \( {\textcolor{darkorange}{a - 2}} \) og \( \textcolor{magenta}{\ln b}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{a \ln b - 2 \ln b}{(a - 2) \cdot \dfrac{1}{2} \ln b} \\ &= \dfrac{\textcolor{darkorange}{(a - 2)}\textcolor{magenta}{\ln b}}{\textcolor{darkorange}{(a - 2)} \cdot \dfrac{1}{2} \textcolor{magenta}{\ln b}} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} \\ &= 2 \end{aligned} \]

Alt står allerede på én side. Vi faktoriserer venstresiden og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Faktoriser venstresiden abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -3}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi faktorene \( {\textcolor{magenta}{x + 3}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ x^2 + x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 3})(\textcolor{darkorange}{x - 2}) \]

2. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "(x + 3)(x - 2)", "expr": "(x + 3)(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi vil ha produktet negativt eller \( 0\text{.} \) Det er det mellom strekene, og i strekene også: \[ -3 \leq x \leq 2 \]

Vi ser at \( 5^x \) går igjen. Setter vi \( {u = 5^x}\text{,} \) får vi en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{5^x}}\text{:} \) \[ \dfrac{18 - \textcolor{darkorange}{u}}{\textcolor{darkorange}{u}} = \textcolor{darkorange}{u} + 2 \]

\( 5^x \) er alltid positiv, så vi kan gange begge sider med \( \textcolor{darkorange}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 18 - u &= u^2 + 2u \\ 0 &= u^2 + 3u - 18 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-18} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-18})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 9}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 3} \) og \( {u = -6}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( 5^x \) er alltid positiv, så \( {5^x = -6} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med: \[ 5^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for en potens, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}}) &= \ln 3 \\ \textcolor{red}{x} \ln \textcolor{blue}{5} &= \ln 3 \\ x &= \dfrac{\ln 3}{\ln 5} \end{aligned} \]

Vi får \( \sin(2\pi x) \) alene og finner vinklene som passer. Intervallet for \( x \) forteller hvilke vinkler vi skal se på.

1. Få sinus alene Vi flytter \( 2 \) over: \[ \dfrac{\sqrt{3}}{\sin(2\pi x)} = 2 \]

Vi ganger med \( \sin(2\pi x)\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{,} \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{3} &= 2 \sin(2\pi x) \\ \sin(2\pi x) &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går vinkelen fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{:} \) \[ 0 \leq \textcolor{blue}{2\pi x} \leq 2\pi \]

Vi kjenner eksaktverdien: \[ \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Det forteller oss at: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\pi x} &= \dfrac{\pi}{3} \\ \text{eller} \quad \textcolor{blue}{2\pi x} &= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ x = \dfrac{1}{6} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{1}{3} \]Begge ligger i \( [0, 1]\text{,} \) og nevneren er ikke \( 0 \) for noen av dem.

Vi ser at uttrykket består av potenser av \( a \) og \( b\text{.} \) Vi løser derfor opp parentesene og samler hver bokstav for seg.

1. Løs opp parentesene Regnereglene for potenser forteller oss at: \[ \begin{aligned} (p^n)^m &= p^{n \cdot m} \\ (p \cdot q)^n &= p^n \cdot q^n \end{aligned} \]Her er \( p \) og \( q \) grunntall, og \( n \) og \( m \) eksponenter. Se videoen Flere regneregler med Potenser hvis du er usikker.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{a^2})^2 &= \textcolor{blue}{a^4} \\ \left(\textcolor{red}{b^{-\tfrac{1}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a}\right)^3 &= \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \end{aligned} \]

2. Samle hver bokstav for seg Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ p^n \cdot p^m = p^{n + m} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{blue}{a^{-3}} \cdot \textcolor{blue}{a^3} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2}}} \cdot \textcolor{red}{b^2} \\ &= \textcolor{blue}{a^{4 - 3 + 3}} \cdot \textcolor{red}{b^{-\tfrac{3}{2} + 2}} \\ &= \textcolor{blue}{a^4} \cdot \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Eksponenten \( \dfrac{1}{2} \) er det samme som kvadratrot, som i videoen Potenser og røtter: \[ \textcolor{red}{b^{\tfrac{1}{2}}} = \sqrt{\textcolor{red}{b}} \]

Vi ser at nevneren til høyre er et andregradsuttrykk. Vi faktoriserer det, så vi finner fellesnevneren.

1. Faktoriser nevneren Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 5x + 6} \) med abc-formelen. Den forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-5}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-5}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-5})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{5 \pm 1}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Med nullpunktene kan vi skrive uttrykket som faktorer, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

2. Skriv alt på felles brøkstrek Fellesnevneren er \( {(x - 2)(x - 3)}\text{,} \) så vi utvider den første brøken med \( {\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{2\textcolor{darkorange}{(x - 3)}}{(x - 2)\textcolor{darkorange}{(x - 3)}} - \dfrac{x - 4}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{2x - 6 - (x - 4)}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} \end{aligned} \]

Faktoren \( {(x - 2)} \) står både i telleren og nevneren, så vi forkorter den for \( {x \neq 2}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \dfrac{\cancel{x - 2}}{\cancel{(x - 2)}(x - 3)} = \dfrac{1}{x - 3} \]

Vi ser fire logaritmer av potenser av \( x\text{.} \) Vi skriver dem derfor om til tall ganget med \( \lg x \) og trekker sammen.

1. Flytt ned eksponentene Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \lg p^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{red}{n} \cdot \lg p \]Se videoen Regneregler med Logaritmer hvis du er usikker. Her må \( {x > 0}\text{.} \)

Først skriver vi brøken og roten som potenser. En negativ eksponent betyr én delt på potensen, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{x^3} &= x^{\textcolor{red}{-3}} \\ \sqrt{x} &= x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i regelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\lg x + \lg x^{\textcolor{red}{-2}} - \lg x^{\textcolor{red}{-3}} - \lg x^{\textcolor{red}{\tfrac{1}{2}}} \\ &= \lg x + (\textcolor{red}{-2}) \lg x \\ &\quad - (\textcolor{red}{-3}) \lg x - \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \lg x \end{aligned} \]

2. Trekk sammen Alle leddene er tall ganget med \( \lg x\text{,} \) så vi legger sammen tallene: \[ \begin{aligned} &\left(1 - 2 + 3 - \dfrac{1}{2}\right) \lg x \\ &= \dfrac{3}{2} \lg x \end{aligned} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi skal bruke derivasjon, så vi deriverer høyre side. Blir det \( f(x)\text{,} \) stemmer integralet.

1. Skriv om det første leddet Her står kvadratet inni logaritmen, \( {\ln\left((x + 3)^2\right)}\text{.} \) Siden \( {x + 3 > 0}\text{,} \) forteller logaritmeregelen for potenser oss at: \[ \ln(x + 3)^2 = 2\ln(x + 3) \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

2. Deriver ledd for ledd Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 3}} \) i det første leddet og \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x + 2}} \) i det andre, med \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}} \) i begge.

\( {2\ln(\textcolor{green}{x + 3})} \) derivert blir: \[ \underline{\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}}} \]

\( {-\ln(\textcolor{green}{x + 2})} \) derivert blir: \[ \underline{-\dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}}} \]

\( C \) derivert blir \( \underline{0}\text{.} \)

3. Sett på felles brøkstrek Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{2}{\textcolor{green}{x + 3}} - \dfrac{1}{\textcolor{green}{x + 2}} \\ &= \dfrac{2(x + 2) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 2)} \\ &= \dfrac{x + 1}{x^2 + 5x + 6} = f(x) \end{aligned} \]

Den deriverte av høyre side er \( f(x)\text{,} \) så integralet stemmer.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: integralet står i oppgaveteksten til a).

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 2 \) er både teller og nevner positive, så grafen ligger over \( {x\text{-aksen.}} \) Arealet er derfor det bestemte integralet fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \)

1. Sett opp integralet Fra a) vet vi at: \[ \begin{aligned} \int f(x)\,dx = \ &\ln(x + 3)^2 \\ &- \ln(x + 2) + C \end{aligned} \]

Vi setter inn grensene, som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \begin{aligned} &\int_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} f(x)\,dx \\ &= \Big[\ln(x + 3)^2 - \ln(x + 2)\Big]_{\textcolor{blue}{0}}^{\textcolor{red}{2}} \\ &= (\textcolor{red}{\ln 25 - \ln 4}) - (\textcolor{blue}{\ln 9 - \ln 2}) \end{aligned} \]

2. Slå sammen logaritmene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln a + \ln b &= \ln(ab) \\ \ln a - \ln b &= \ln \dfrac{a}{b} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmereglene, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Bruker vi dem, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{\ln 25} + \textcolor{blue}{\ln 2} \textcolor{red}{- \ln 4} \textcolor{blue}{- \ln 9} \\ &= \ln \dfrac{\textcolor{red}{25} \cdot \textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{9}} \\ &= \ln \dfrac{25}{18} \end{aligned} \]

Vi ser etter vertikale asymptoter der nevneren er \( 0\text{,} \) og horisontale ved å la \( x \) gå mot uendelig.

1. Se etter vertikale asymptoter En vertikal asymptote kan vi bare ha der nevneren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Vi faktoriserer nevneren: \[ \textcolor{blue}{x^2 + 5x + 6} = \textcolor{blue}{(x + 2)(x + 3)} \]

Den er \( 0 \) for \( {x = -2} \) og \( {x = -3}\text{.} \) Begge ligger utenfor definisjonsmengden \( [0, \to\rangle\text{,} \) så \( f \) har ingen vertikale asymptoter.

2. Finn den horisontale asymptoten Vi begynner med å la \( x \) gå mot uendelig i \( \textcolor{red}{\text{telleren}} \) og \( \textcolor{blue}{\text{nevneren}} \) hver for seg. Begge vokser over alle grenser, så vi deler teller og nevner på den høyeste potensen, \( x^2\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x): \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{\textcolor{blue}{1 + \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^2}}} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{0 + 0}}{\textcolor{blue}{1 + 0 + 0}} = 0 \end{aligned} \]

Grafen nærmer seg derfor linjen \( {y = 0}\text{.} \)