Forkurseksamen etter tema

Vi får \( \cos x \) alene, og så går vi baklengs fra cosinusverdien til vinkelen, slik videoen Introduksjon til Trigonometri viser med \( \arccos\text{.} \)

1. Få cosinus alene Vi flytter \( \sqrt{3} \) over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\cos x &= \sqrt{3} \\ \cos x &= \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn vinkelen Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{\pi}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \]Alle løsningene er: \[ x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \]

Av disse er det bare \( \dfrac{\pi}{6} \) som ligger i intervallet \( [0, \pi]\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{6} \]

Vi faktoriserer telleren og nevneren. Så finner vi fortegnet til brøken med et fortegnsskjema, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering.

1. Faktoriser telleren og nevneren Telleren er en differanse mellom to kvadrater, så konjugatsetningen forteller oss at: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]Se videoen Kvadratsetningene hvis du er usikker.

Med \( {a = x} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \]

I nevneren setter vi \( x \) utenfor, som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ x^2 - x = x(x - 1) \]

Ulikheten er altså: \[ \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 1)} \leq 0 \]

Nevneren kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 0} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \)

2. Sett opp fortegnsskjemaet Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene.

:::fortegnsskjema {"points": [-3, 0, 1, 3], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 3}", "expr": "x - 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x}", "expr": "x", "denominator": true}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 1}", "expr": "x - 1", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x}", "expr": "(x + 3)(x - 3)/(x(x - 1))"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Brøken er negativ fra \( {-3} \) til \( 0 \) og fra \( 1 \) til \( 3\text{.} \)

Den er \( 0 \) i \( {x = -3} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så de er med. Den er ikke definert i \( {x = 0} \) og \( {x = 1}\text{,} \) så de er ikke med: \[ x \in [-3, 0\rangle \cup \langle 1, 3] \]

Vi flytter \( 2 \)-tallet inn i logaritmen. Da står det \( \lg \) av noe på begge sider, og vi kan sette det som står inni, likt. Til slutt sjekker vi at logaritmene finnes.

1. Skriv venstre side som én logaritme Den tredje logaritmeregelen forteller oss at, for \( {\textcolor{red}{a} > 0}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b} \cdot \lg \textcolor{red}{a} = \lg \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{b}} \]Den står i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \lg (\textcolor{red}{3x + 1})^{\textcolor{blue}{2}} = \lg x^2 \]

2. Løs likningen uten logaritmer Siden \( \lg \) gir samme verdi bare for samme tall, må det som står inni, være likt: \[ (3x + 1)^2 = x^2 \]

To kvadrater er like når tallene er like eller motsatte: \[ 3x + 1 = x \quad \text{eller} \quad 3x + 1 = -x \]

Løser vi for \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 2x &= -1 & 4x &= -1 \\ x &= -\dfrac{1}{2} & x &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

3. Sjekk at logaritmene finnes Vi kan bare ta logaritmen av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. Vi setter inn begge i \( {3x + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 &= -\dfrac{1}{2} < 0 \\ 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) + 1 &= \dfrac{1}{4} > 0 \end{aligned} \]

\( {x = -\dfrac{1}{2}} \) faller derfor bort. For \( {x = -\dfrac{1}{4}} \) er også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så den er løsningen.

Funksjonen er en brøk, så vi bruker kvotientregelen.

1. Finn delene i regelen 0:14 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3x^2 - 4} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{6x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Sett inn og trekk sammen 1:28 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{6x} \cdot \textcolor{blue}{x} - (\textcolor{red}{3x^2 - 4}) \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{6x^2 - 3x^2 + 4}{x^2} \\ &= \dfrac{3x^2 + 4}{x^2} \end{aligned} \]

Funksjonen er en sum, så vi deriverer ledd for ledd. Det første leddet har en kjerne, så der bruker vi kjerneregelen.

1. Del opp i to ledd 0:05 Vi kaller leddene \( \textcolor{blue}{a(x)} \) og \( \textcolor{red}{b(x)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a(x)} &= \textcolor{blue}{2\sin(\pi x)} \\ \textcolor{red}{b(x)} &= \textcolor{red}{2x^3} \end{aligned} \]

Da er: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{a'(x)} + \textcolor{red}{b'(x)} \]

2. Bruk kjerneregelen på første ledd 0:43 Kjerneregelen forteller oss at: \[ \bigl(f(\textcolor{green}{u(x)})\bigr)' = f'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'(x)} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Kjernen er \( \pi x\text{,} \) og sinus derivert er cosinus, så her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{\pi x} & \textcolor{green}{u'(x)} &= \textcolor{green}{\pi} \\ f(u) &= 2\sin u & f'(u) &= 2\cos u \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a'(x)} &= 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)}} \end{aligned} \]

3. Deriver det andre leddet 2:55 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Regelen står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {n = 3}\text{,} \) og konstanten \( 2 \) blir stående: \[ \textcolor{red}{b'(x)} = 2 \cdot 3x^2 = \underline{\textcolor{red}{6x^2}} \]

4. Slå sammen leddene 3:16 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{blue}{2\pi\cos(\pi x)} + \textcolor{red}{6x^2} \]

Vi har bare grafen og ikke noe funksjonsuttrykk. Vi leser derfor av hvor grafen ligger over \( {x\text{-aksen,}} \) hvor den stiger, og hvor stigningen øker.

1. Les av fortegnet til funksjonen 0:15 Grafen ligger over \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 1}\text{,} \) krysser den i \( {x = 1} \) og ligger under til høyre: \[ \textcolor{darkorange}{h(1)} = 0 \]

Det gir denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{h(x)}", "expr": "1 - x"}]}

2. Les av fortegnet til den deriverte 1:08 Den deriverte er \( 0 \) der grafen har et toppunkt, og det ser vi i \( {x = 0{,}5}\text{:} \) \[ \textcolor{magenta}{h'(0{,}5)} = 0 \]

Til venstre for toppunktet stiger grafen, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er positiv. Til høyre synker den, så \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) er negativ: :::fortegnsskjema {"points": [0.5], "labels": ["0{,}5"], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{h'(x)}", "expr": "0.5 - x"}]}

3. Les av fortegnet til den dobbeltderiverte 2:25 Den dobbeltderiverte følger veksten til \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{.} \) Grafen blir brattere og brattere fram mot \( {x = 0}\text{,} \) er brattest der, og blir så slakere. Da har \( \textcolor{magenta}{h'(x)} \) et toppunkt i \( {x = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{h''(0)} = 0 \]

Til venstre for \( {x = 0} \) vokser \( \textcolor{magenta}{h'(x)}\text{,} \) og til høyre avtar den: :::fortegnsskjema {"points": [0], "rows": [{"label": "\\textcolor{green}{h''(x)}", "expr": "-x"}]}

En strek viser hvor funksjonen på linja er \( 0\text{.} \) Punktene er lest av figuren.

Vi løser først for \( \sin x\text{.} \) Siden to vinkler gir samme sinusverdi og sinus gjentar seg, finner vi så begge vinklene og alle rundene som ligger i intervallet.

1. Løs for sinus 0:26 Intervallet går til \( 4\pi\text{,} \) så vi svarer i radianer. Vi flytter over og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sin x + 1 &= 0 \\ 2\sin x &= -1 \\ \sin x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn den første vinkelen 0:47 Vi vet at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) og siden \( {\sin(-v) = -\sin v} \) gir sinus invers: \[ x = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6} \]Sinus invers forklares i videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) så vi legger til \( 2\pi k\text{,} \) der \( k \) er et helt tall: \[ \textcolor{blue}{x_1} = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k} \]

3. Finn den andre vinkelen 2:57 På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = -\dfrac{\pi}{6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x_2} &= \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + 2\pi k \\ &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k} \end{aligned} \]

4. Test verdier av k 4:52 Vi tester \( k \) og beholder det som ligger i \( [0,\ 4\pi\rangle\text{.} \) Her er \( {4\pi = \dfrac{24\pi}{6}}\text{.} \)

For \( \textcolor{blue}{x_1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; -\dfrac{\pi}{6} \; \text{utenfor} \\ k = 1&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{11\pi}{6}} \\ k = 2&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \underline{\dfrac{23\pi}{6}} \\ k = 3&: \; -\dfrac{\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{35\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

For \( \textcolor{red}{x_2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 0&: \; \underline{\dfrac{7\pi}{6}} \\ k = 1&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \underline{\dfrac{19\pi}{6}} \\ k = 2&: \; \dfrac{7\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{31\pi}{6} \; \text{utenfor} \end{aligned} \]

Vi slår sammen de to logaritmene til én, fjerner \( \ln \) med \( e\text{,} \) og løser for \( x\text{.} \) Til slutt må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater.

Merk – Videoen stopper før sjekken: Videoen ender på \( {x = \dfrac{e}{1 - e}}\text{.} \) Det tallet er negativt, så det er ikke en løsning, som siste steg her viser.

1. Slå sammen logaritmene 0:16 Logaritmeregelen for minus forteller oss at: \[ \ln \textcolor{red}{a} - \ln \textcolor{blue}{b} = \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}\right) \]Regelen vises i videoen Regneregler med Logaritmer.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{x}, \quad \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{x + 1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{\textcolor{blue}{x + 1}}\right) = 1 \]

2. Fjern logaritmen 1:17 Vi opphøyer begge sider med \( e\text{,} \) siden: \[ e^{\ln u} = u \]

Det gir oss: \[ \dfrac{x}{x + 1} = e \]

3. Løs for x 1:53 Vi ganger med \( {x + 1} \) og samler \( x \) på venstre side: \[ \begin{aligned} x &= e(x + 1) \\ x &= ex + e \\ x - ex &= e \end{aligned} \]

Faktoriserer vi ut \( x\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x(1 - e) &= e \\ x &= \dfrac{e}{1 - e} \end{aligned} \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet Før vi svarer, må vi sjekke tallet mot det \( \ln \) tillater. \( \ln \) finnes bare av positive tall, som i videoen Regneregler med Logaritmer. I likningen må derfor: \[ x > 0 \quad \text{og} \quad x + 1 > 0 \]

Siden \( {e > 1}\text{,} \) er nevneren negativ og telleren positiv: \[ \dfrac{e}{1 - e} < 0 \]

Tallet er negativt, så \( \ln x \) finnes ikke der. Likningen har derfor ingen løsning.

Vi ser at \( x \) står i nevneren. Vi samler derfor alt på én side, slår sammen til én brøk og bruker fortegnsskjema.

1. Finn bruddpunktet 0:00 Nevneren kan ikke være \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} x + 2 &\ne 0 \\ x &\ne -2 \end{aligned} \]

2. Samle alt på én side 0:30 Vi flytter \( 1 \) over og skriver det med samme nevner: \[ \begin{aligned} \dfrac{2x - 4}{x + 2} - 1 &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{2x - 4 - (x + 2)}{x + 2} &\ge 0 \\ \dfrac{\textcolor{darkorange}{x - 6}}{\textcolor{magenta}{x + 2}} &\ge 0 \end{aligned} \]

3. Sett opp fortegnsskjema 2:25 Fortegnet til brøken finner vi ved å sette sammen fortegnene til telleren og nevneren, som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 2}", "expr": "x + 2", "denominator": true}, {"label": "\\dfrac{x - 6}{x + 2}", "expr": "(x - 6)/(x + 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor nevneren er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 4:17 Brøken er positiv for \( {x < -2} \) og for \( {x > 6}\text{.} \) I \( {x = 6} \) er den \( 0\text{,} \) som er med. I \( {x = -2} \) finnes den ikke, så det punktet er ikke med: \[ x < -2 \quad \text{eller} \quad x \ge 6 \]

Alt står allerede på én side. Vi faktoriserer venstresiden og leser av svaret i et fortegnsskjema.

1. Faktoriser venstresiden abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x_1 = 2} \) og \( {x_2 = -3}\text{.} \)

Faktorisering med nullpunktene forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn, får vi faktorene \( {\textcolor{magenta}{x + 3}} \) og \( {\textcolor{darkorange}{x - 2}}\text{:} \) \[ x^2 + x - 6 = (\textcolor{magenta}{x + 3})(\textcolor{darkorange}{x - 2}) \]

2. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, 2], "rows": [{"label": "\\textcolor{magenta}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 2}", "expr": "x - 2"}, {"label": "(x + 3)(x - 2)", "expr": "(x + 3)(x - 2)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi vil ha produktet negativt eller \( 0\text{.} \) Det er det mellom strekene, og i strekene også: \[ -3 \leq x \leq 2 \]

Vi ser at \( 5^x \) går igjen. Setter vi \( {u = 5^x}\text{,} \) får vi en andregradslikning.

1. Skriv om til en andregradslikning Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{5^x}}\text{:} \) \[ \dfrac{18 - \textcolor{darkorange}{u}}{\textcolor{darkorange}{u}} = \textcolor{darkorange}{u} + 2 \]

\( 5^x \) er alltid positiv, så vi kan gange begge sider med \( \textcolor{darkorange}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 18 - u &= u^2 + 2u \\ 0 &= u^2 + 3u - 18 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Se videoen Andregradslikninger & abc-formelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-18} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-18})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 9}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 3} \) og \( {u = -6}\text{.} \)

3. Gå tilbake til x \( 5^x \) er alltid positiv, så \( {5^x = -6} \) har ingen løsning. Da står vi igjen med: \[ 5^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for en potens, som i videoen Naturlige Logaritmer, forteller oss at: \[ \ln(\textcolor{blue}{p}^{\textcolor{red}{q}}) = \textcolor{red}{q} \cdot \ln \textcolor{blue}{p} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{5}} \) og \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{x}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \ln(\textcolor{blue}{5}^{\textcolor{red}{x}}) &= \ln 3 \\ \textcolor{red}{x} \ln \textcolor{blue}{5} &= \ln 3 \\ x &= \dfrac{\ln 3}{\ln 5} \end{aligned} \]

Vi får \( \sin(2\pi x) \) alene og finner vinklene som passer. Intervallet for \( x \) forteller hvilke vinkler vi skal se på.

1. Få sinus alene Vi flytter \( 2 \) over: \[ \dfrac{\sqrt{3}}{\sin(2\pi x)} = 2 \]

Vi ganger med \( \sin(2\pi x)\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{,} \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sqrt{3} &= 2 \sin(2\pi x) \\ \sin(2\pi x) &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) går fra \( 0 \) til \( 1\text{,} \) går vinkelen fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{:} \) \[ 0 \leq \textcolor{blue}{2\pi x} \leq 2\pi \]

Vi kjenner eksaktverdien: \[ \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Det forteller oss at: \[ \sin(\pi - v) = \sin v \]

Her er \( {v = \dfrac{\pi}{3}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2\pi x} &= \dfrac{\pi}{3} \\ \text{eller} \quad \textcolor{blue}{2\pi x} &= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi deler på \( 2\pi\text{:} \) \[ x = \dfrac{1}{6} \quad \text{eller} \quad x = \dfrac{1}{3} \]Begge ligger i \( [0, 1]\text{,} \) og nevneren er ikke \( 0 \) for noen av dem.

Vi finner nullpunktene med abc-formelen og faktoriserer uttrykket. Så leser vi av et fortegnsskjema hvor det er større enn eller lik \( 0\text{.} \)

1. Finn nullpunktene 0:19 abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-9}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{\textcolor{red}{9} \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-9})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{9 \pm \sqrt{121}}{2} = \dfrac{9 \pm 11}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = 10 \quad \vee \quad x_2 = -1 \]

2. Faktoriser uttrykket 2:04 Med nullpunktene kan vi faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1}\text{,} \) \( {x_1 = 10} \) og \( {x_2 = -1}\text{,} \) blir ulikheten: \[ (\textcolor{darkorange}{x - 10})(\textcolor{magenta}{x + 1}) \geq 0 \]

3. Tegn fortegnsskjema 2:33 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 10], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x - 10}", "expr": "x - 10"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "(x - 10)(x + 1)", "expr": "(x - 10)(x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

4. Les av svaret 6:07 Produktet skal være positivt eller \( 0\text{.} \) Det er det fra og med \( {x = 10} \) og oppover, og fra og med \( {x = -1} \) og nedover: \[ x \leq -1 \quad \vee \quad x \geq 10 \]

Vi setter \( {u = \cos t} \) og løser ulikheten for \( u \) med et fortegnsskjema. Så går vi tilbake til \( t \) med enhetssirkelen.

1. Skift variabel 0:50 Vi setter \( {u = \cos t}\text{,} \) og siden \( {\cos^2 t = (\cos t)^2} \) får vi: \[ 2u^2 + u < 0 \]

2. Finn nullpunktene 1:30 Vi faktoriserer ut \( u\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u}(\textcolor{magenta}{2u + 1}) < 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \vee \quad \textcolor{magenta}{2u + 1} = 0 \]

Løser vi den andre for \( u\text{,} \) får vi: \[ u = 0 \quad \vee \quad u = -\dfrac{1}{2} \]

3. Tegn fortegnsskjema 3:02 Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{u}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2u + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "u(2u + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er negativt mellom de to strekene: \[ -\dfrac{1}{2} < u < 0 \]

4. Gå tilbake til cosinus 5:55 Vi satte \( {u = \cos t}\text{,} \) så vi må finne vinklene der: \[ -\dfrac{1}{2} < \cos t < 0 \]

På enhetssirkelen er \( \cos t \) førstekoordinaten til punktet på sirkelen. Vi trenger altså punktene i det skraverte feltet:

5. Finn det første intervallet 9:11 Feltet treffer sirkelen i én bue øverst og én nederst. Den øverste buen starter der \( {\cos t = 0}\text{:} \) \[ t = \dfrac{\pi}{2} \]

Den slutter der \( {\cos t = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) som vi finner med cosinus invers: \[ t = \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{\pi}{2} < t < \dfrac{2\pi}{3} \]

6. Finn det andre intervallet 10:47 Den nederste buen er speilbildet av den øverste om førsteaksen. Vinkelen med samme cosinusverdi finner vi ved å trekke fra en hel runde: \[ t = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \]

Buen slutter der \( {\cos t = 0} \) igjen, etter tre kvarte runder: \[ t = \dfrac{3\pi}{2} \]

Det gir oss: \[ \dfrac{4\pi}{3} < t < \dfrac{3\pi}{2} \]

Vi bruker nullpunktssetningen, så vi trenger bare å sette inn to tall i \( P(x)\text{.} \)

1. Skriv opp nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} &(x - \textcolor{blue}{r}) \text{ er en faktor i } P(x) \\ &\iff P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} (x - 1) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \\ (x - 2) &: \quad \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

2. Sett inn de to verdiene Plugger vi dette inn i \( P(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 \\ &= 1 - 4 - 7 + 10 \\ &= 0 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{2}) &= 2^3 - 4 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 10 \\ &= 8 - 16 - 14 + 10 \\ &= -12 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor, og siden \( {P(2) \neq 0} \) er \( {(x - 2)} \) ikke en faktor.

Vi deler først. Svaret blir et andregradsuttrykk, og det faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 10\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x - 1) &= -3x^2 + 3x \\ -(-3x^2 + 3x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 - 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & -10x & {}+ 10 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-7x - 3x = -10x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 10\text{.} \) Linja \( {-10x + 10} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-10x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-10x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-10} \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot (x - 1) &= -10x + 10 \\ -(-10x + 10) &= \textcolor{blue}{10x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 10} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 7x & {}+ 10 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 7x & {}+ 10 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}- 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-10x}} & {}+ 10 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{10x}} & \textcolor{blue}{{}- 10} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-10x} \) strykes mot \( 10x\text{,} \) og \( {10 - 10 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &x^3 - 4x^2 - 7x + 10 \\ &= (x - 1)(x^2 - 3x - 10) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket Vi finner nullpunktene til \( {x^2 - 3x - 10} \) ved å løse \( {x^2 - 3x - 10 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på hvordan nullpunktene gir faktorene, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-10} \]

Vi regner ut det som står under roten først: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c} &= (\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-10}) \\ &= 9 + 40 = 49 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} = \dfrac{3 \pm 7}{2} \]

Det gir oss nullpunktene \( {x = 5} \) og \( {x = -2}\text{,} \) og dermed: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) \]

Slår vi dette sammen med divisjonen, får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Vi bruker faktoriseringen fra b).

Venstresiden er \( P(x)\text{,} \) som vi har på faktorisert form. Da kan vi finne fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Skriv ulikheten med faktorene I b) fant vi: \[ P(x) = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Ulikheten er derfor: \[ (\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{x - 1})(\textcolor{green}{x - 5}) \geq 0 \]

Faktorene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) \( {x = 1} \) og \( {x = 5}\text{.} \)

2. Lag et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, 1, 5], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 5}", "expr": "x - 5"}, {"label": "P(x)", "expr": "(x + 2)(x - 1)(x - 5)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

3. Les av svaret Vi skal ha der \( P(x) \) er positiv, og også der den er \( 0\text{,} \) siden ulikheten har \( {\geq}\text{.} \) Det gir oss: \[ -2 \leq x \leq 1 \quad \text{eller} \quad x \geq 5 \]

Først finner vi ut hvilken graf som er \( f \) og hvilken som er \( f'\text{.} \) Så leser vi av hvor grafene ligger over og under \( {x\text{-aksen.}} \)

1. Finn grafen til hver funksjon Der \( f \) har et topp- eller bunnpunkt, er \( {\textcolor{red}{f'(x)} = 0}\text{.} \) Den stiplede grafen har toppunkt i \( {x = 1} \) og bunnpunkt i \( {x = 3}\text{,} \) og det er akkurat der den heltrukne grafen er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{stiplet graf} &= f(x) \\ \text{heltrukken graf} &= \textcolor{red}{f'(x)} \end{aligned} \]

2. Tegn fortegnslinjen til f Vi setter opp en linje for hver funksjon, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den stiplede grafen er \( 0 \) i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) til venstre for \( {x = 0}\text{,} \) og ellers over. I \( {x = 3} \) bare berører den aksen: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "f(x)", "expr": "x*(x - 3)^2"}]}

En strek viser hvor funksjonen er \( 0\text{.} \)

3. Tegn fortegnslinjen til den deriverte Den heltrukne grafen er \( 0 \) i \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) under \( {x\text{-aksen}} \) mellom dem og over ellers: :::fortegnsskjema {"points": [1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "3*(x - 1)*(x - 3)"}]}

4. Tegn fortegnslinjen til den dobbeltderiverte \( f''(x) \) er den deriverte av \( \textcolor{red}{f'(x)}\text{,} \) så den sier om den heltrukne grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den grafen har bunnpunkt i \( {x = 2}\text{:} \) den synker før og stiger etter. Det gir: :::fortegnsskjema {"points": [2], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "6*x - 12"}]}

Vi bruker at den stiplede grafen er \( f\text{,} \) fra a).

Vi kan lese av nullpunktene til \( f \) på grafen. Vi skriver derfor funksjonen på faktorisert form, og bruker et punkt til å finne tallet foran.

1. Skriv opp faktorisert form En tredjegradsfunksjon kan skrives med nullpunktene sine, som i videoen Nullpunktssetningen: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a}(x - \textcolor{red}{x_1})(x - \textcolor{red}{x_2})(x - \textcolor{red}{x_3}) \]

Her er: \[ \textcolor{red}{x_1} = \textcolor{red}{0}, \quad \textcolor{red}{x_2} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{red}{x_3} = \textcolor{red}{3} \]

Nullpunktet \( {x = 3} \) telles to ganger, siden grafen bare berører \( {x\text{-aksen}} \) der. Plugger vi dette inn, får vi: \[ f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x \cdot (x - 3)^2 \]

2. Finn tallet foran Toppunktet \( (1, 4) \) ligger på grafen, så \( {f(1) = 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot 1 \cdot (1 - 3)^2 &= 4 \\ 4\textcolor{blue}{a} &= 4 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

3. Gang ut Ganger vi ut, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= x(x - 3)^2 \\ &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x \end{aligned} \]

Kontroll: Da er \( {f'(x) = 3x^2 - 12x + 9}\text{,} \) og \( {f'(2) = -3}\text{,} \) som bunnpunktet til den heltrukne grafen.

Vi leser fortegnene av topp- og bunnpunktet og vendepunktet. Den deriverte sier om grafen stiger eller synker, og den dobbeltderiverte hvilken vei den krummer.

1. Tegn fortegnslinja til den deriverte Fortegnet til \( g'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. I topp- og bunnpunktet er den \( 0\text{:} \) \[ g'(\textcolor{blue}{0}) = 0, \quad g'(\textcolor{blue}{3}) = 0 \]

Grafen stiger fram til \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) synker fra \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) og stiger så igjen. Det gir oss denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "g'(x)", "expr": "x*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( g'(x) \) er \( 0\text{.} \)

2. Tegn fortegnslinja til den dobbeltderiverte Fortegnet til \( g''(x) \) sier hvilken vei grafen krummer, og i vendepunktet er den \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ g''\left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right) = 0 \]

Rundt toppunktet i \( {x = 0} \) krummer grafen nedover, så \( g''(x) \) er negativ før \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Rundt bunnpunktet i \( {x = 3} \) krummer den oppover, så \( g''(x) \) er positiv etter: :::fortegnsskjema {"points": [1.5], "labels": ["\\dfrac{3}{2}"], "rows": [{"label": "g''(x)", "expr": "2*x - 3"}]} En strek viser hvor \( g''(x) \) er \( 0\text{.} \) Hvordan vi tenker fram disse linjene, ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025.

En tredjegradsfunksjon har fire ukjente koeffisienter. Topp- og bunnpunktet gir oss fire likninger, og vendepunktet kan vi bruke til å sjekke svaret.

1. Skriv opp funksjonen og den deriverte En tredjegradsfunksjon kan skrives slik: \[ g(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + \textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{d} \]

Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ g'(x) = 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} \]

2. Bruk toppunktet Toppunktet \( (0, 6) \) ligger på grafen, og der er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(0) = 6 &\Rightarrow \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{6} \\ g'(0) = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

3. Bruk bunnpunktet Det samme gjelder bunnpunktet \( {(3, -21)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(3) = -21 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 9\textcolor{red}{b} + 6 = -21 \\ g'(3) = 0 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 6\textcolor{red}{b} = 0 \end{aligned} \]

Det er et likningssett med to ukjente, som i videoen Likningssett. Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{red}{b} + 6 &= -21 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-9} \end{aligned} \]

Setter vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 27\textcolor{blue}{a} + 6 \cdot (\textcolor{red}{-9}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

4. Sjekk med vendepunktet Funksjonen er nå \( {g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er \( {g''(x) = 12x - 18}\text{.} \) Vendepunktet stemmer: \[ \begin{aligned} g''\left(\dfrac{3}{2}\right) &= 18 - 18 = 0 \\ g\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{27}{4} - \dfrac{81}{4} + 6 = -\dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Fortegnet til den deriverte sier hvor \( f \) vokser og synker. Vi deriverer, finner nullpunktene og tegner fortegnslinja.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi løser \( {f'(x) = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-1})} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \dfrac{-2 \pm 4}{-2} \end{aligned} \]

Det gir oss \( {x = -1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) og dermed: \[ f'(x) = -(x + 1)(x - 3) \]

3. Tegn fortegnslinja Fortegnet til \( f'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x + 1)*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er det et bunnpunkt. I \( {x = 3} \) går den fra pluss til minus, så der er det et toppunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{1}{3} + 1 - 3 = -\dfrac{5}{3} \\ f(3) &= -9 + 9 + 9 = 9 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra c).

Fortegnet til den dobbeltderiverte sier hvilken vei grafen krummer. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

1. Finn den dobbeltderiverte I c) fant vi: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Deriverer vi en gang til, får vi: \[ f''(x) = -2x + 2 \]

2. Tegn fortegnslinja Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} -2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Fortegnslinja blir: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-2*x + 2"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \)

\( f''(x) \) er positiv før \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der krummer grafen opp. Den er negativ etter, så der krummer grafen ned. Den skifter fortegn i \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der er det et vendepunkt.

3. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{1}) = -\dfrac{1}{3} + 1 + 3 = \dfrac{11}{3} \]

Vi kaller punktet på \( l \) nærmest \( P \) for \( F\text{.} \) Avstandskravet gjør at \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på planet, så den er normalvektoren vi trenger.

1. Finn normalvektoren ut fra kravet Avstanden fra \( P \) til \( l \) er \( |\overrightarrow{PF}|\text{.} \) Siden \( l \) er parallell med planet, er avstanden fra \( l \) til planet det samme som avstanden fra \( F \) til planet. Kravet er altså: \[ |\overrightarrow{PF}| = \text{avstanden fra } F \text{ til } \alpha \]

Avstanden fra \( F \) til planet er den korteste veien dit. \( P \) ligger i planet, så \( \overrightarrow{PF} \) er en vei fra planet til \( F\text{.} \) Den er bare den korteste hvis den står vinkelrett på planet: \[ \overrightarrow{PF} \perp \alpha \]

2. Finn punktet F Et vilkårlig punkt på \( l \) er: \[ F = (2 - 3t,\ -1 + 4t,\ 1 + 2t) \]

Vektoren fra \( P \) er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} = [&2 - 3t - 1, \\ &-1 + 4t - 4, \\ &1 + 2t - 4] \\ = [&\textcolor{red}{1 - 3t,\ -5 + 4t,\ -3 + 2t}] \end{aligned} \]

\( F \) er punktet nærmest \( P\text{,} \) så \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på retningsvektoren til \( l\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{[-3, 4, 2]}}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{-3}(\textcolor{red}{1 - 3t}) + \textcolor{blue}{4}(\textcolor{red}{-5 + 4t}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(\textcolor{red}{-3 + 2t}) = 0 \\ &-3 + 9t - 20 + 16t - 6 + 4t = 0 \\ &29t - 29 = 0 \\ &t = 1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &= (-1, 3, 3) \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} &= \textcolor{red}{[-2, -1, -1]} \end{aligned} \]

3. Sett inn i likningen for planet Vektoren \( [2, 1, 1] \) er parallell med \( \overrightarrow{PF}\text{,} \) så vi bruker den som normalvektor. Den står vinkelrett på \( l\text{,} \) slik at \( l \) er parallell med planet: \[ [2, 1, 1] \cdot \textcolor{blue}{[-3, 4, 2]} = -6 + 4 + 2 = 0 \]

Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{[a, b, c]} &= \textcolor{green}{[2, 1, 1]} \\ (x_0, y_0, z_0) &= P = (1, 4, 4) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 4) \\ &+ \textcolor{green}{1}(z - 4) = 0 \\ &2x - 2 + y - 4 + z - 4 = 0 \\ &2x + y + z = 10 \end{aligned} \]

Telleren har høyere grad enn nevneren, så vi deler ledd for ledd til det som står igjen har lavere grad enn nevneren.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {3x^3 - 4x^2 - 14x + 11} \) på \( {x^2 - 3x + 2} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (2). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{darkorange}{3x^3} - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \end{aligned} \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^3}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{red}{3x} \\ &\textcolor{red}{3x} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 3x^3 - 9x^2 + 6x \\ &-(3x^3 - 9x^2 + 6x) \\ &= \textcolor{red}{-3x^3 + 9x^2 - 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & 5x^2 & {}- 20x & {}+ 11 \end{array} \end{array} \]\( 3x^3 \) strykes mot \( {-3x^3}\text{,} \) \( {-4x^2 + 9x^2 = 5x^2}\text{,} \) \( {-14x - 6x = -20x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 11\text{.} \) Linja \( {5x^2 - 20x + 11} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x^2}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x^2}} = \textcolor{magenta}{5} \\ &\textcolor{magenta}{5} \cdot (x^2 - 3x + 2) \\ &= 5x^2 - 15x + 10 \\ &-(5x^2 - 15x + 10) \\ &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 15x - 10} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(3x^3 - 4x^2 - 14x + 11) \\ &: (\textcolor{green}{x^2} - 3x + 2) \\ &= \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^3}} & {}- 4x^2 & {}- 14x & {}+ 11 \\ \textcolor{red}{\cancel{-3x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 9x^2} & \textcolor{red}{{}- 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 20x & {}+ 11 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15x} & \textcolor{magenta}{{}- 10} \\ \hline & & -5x & {}+ 1 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-20x + 15x = -5x}\text{,} \) og \( {11 - 10 = 1}\text{.} \) Linja \( {-5x + 1} \) har grad 1, som er lavere enn nevnerens grad 2. Da stopper vi, og \( {-5x + 1} \) er restleddet.

2. Skriv opp svaret Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret: \[ \textcolor{red}{3x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{-5x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]

Nullpunktsetningen gir oss en rask sjekk: vi setter inn det tallet som gjør \( {x + 3} \) lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktsetningen Nullpunktsetningen forteller oss at for et polynom \( P(x) \) gjelder: \[ x - \textcolor{blue}{r} \text{ er en faktor} \quad \Leftrightarrow \quad P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 - 13x - 12 \\ x + 3 &= x - (\textcolor{blue}{-3}) \end{aligned} \]

Plugger vi \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{-3}} \) inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{-3}) &= (\textcolor{blue}{-3})^3 - 13 \cdot (\textcolor{blue}{-3}) - 12 \\ &= -27 + 39 - 12 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {x + 3} \) er en faktor.

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: at \( {x + 3} \) er en faktor, står i oppgaveteksten til b).

Vi flytter alt over på én side og faktoriserer med faktoren fra b). Så finner vi fortegnet med et fortegnsskjema.

1. Flytt alt over på én side Vi trekker \( 12 \) fra på begge sider og får: \[ x^3 - 13x - 12 > 0 \]

2. Del med polynomdivisjon I b) så vi at \( {x + 3} \) er en faktor. Vi deler \( {x^3 - 13x - 12} \) på \( {x + 3} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Leddet med \( x^2 \) mangler, så vi skriver \( 0x^2 \) på plassen, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x + 3) &= x^3 + 3x^2 \\ -(x^3 + 3x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 - 3x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & -3x^2 & {}- 13x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {0x^2 - 3x^2 = -3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-13x} \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-3x^2}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{-3x} \\ \textcolor{magenta}{-3x} \cdot (x + 3) &= -3x^2 - 9x \\ -(-3x^2 - 9x) &= \textcolor{magenta}{3x^2 + 9x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & -4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( {-3x^2} \) strykes mot \( 3x^2\text{,} \) \( {-13x + 9x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {-4x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x + 3) &= -4x - 12 \\ -(-4x - 12) &= \textcolor{blue}{4x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 0x^2 - 13x - 12) : (\textcolor{green}{x} + 3) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}- 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 0x^2 & {}- 13x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}- 3x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{-3x^2}} & {}- 13x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 9x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x - 4) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Vi bruker den til å faktorisere, som i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn i abc-formelen, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-3}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1}(\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 4} \) og \( {x = -1}\text{.} \) Dermed får vi tre faktorer, med hver sin farge fra nå av: \[ \begin{aligned} &x^3 - 13x - 12 \\ &= \textcolor{darkorange}{(x + 3)}\textcolor{magenta}{(x + 1)}\textcolor{green}{(x - 4)} \end{aligned} \]

4. Sett opp fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-3, -1, 4], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 3}", "expr": "x + 3"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x + 1}", "expr": "x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 4}", "expr": "x - 4"}, {"label": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)", "expr": "(x + 3)(x + 1)(x - 4)"}]}

En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt mellom \( {-3} \) og \( {-1} \) og til høyre for \( 4\text{:} \) \[ -3 < x < -1 \quad \text{eller} \quad x > 4 \]