Forkurseksamen etter tema

Summen av de tre første leddene minus summen av de to første leddene er akkurat det tredje leddet.

1. Skriv leddet som en differanse \( s_n \) er summen av de \( n \) første leddene, som i videoen Sum tegn: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= a_1 + a_2 + a_3 \\ \textcolor{blue}{s_2} &= a_1 + a_2 \end{aligned} \]

Trekker vi den ene fra den andre, står bare det tredje leddet igjen: \[ a_3 = \textcolor{red}{s_3} - \textcolor{blue}{s_2} \]

2. Regn ut summene Vi setter inn i \( {s_n = 3n^2 + 4n}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_3} &= 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3 = \textcolor{red}{39} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = \textcolor{blue}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ a_3 = \textcolor{red}{39} - \textcolor{blue}{20} = 19 \]

Vi kjenner summen av de 10 første og av de 20 første leddene. Sumformelen gir da to likninger med de to ukjente \( a_1 \) og \( d\text{.} \)

1. Sett opp formlene Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_n}) \cdot n}{2} \]Hvis du er usikker, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Det siste leddet finner vi med formelen for det \( {n\text{-te}} \) leddet, som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ \textcolor{blue}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1 + (n - 1)d} \]

Her er summen av de 20 første leddene de to summene lagt sammen: \[ \begin{aligned} S_{10} &= 400 \\ S_{20} &= 400 + 1000 = 1400 \end{aligned} \]

2. Sett opp to likninger Plugger vi dette inn med \( {n = 10} \) og \( {n = 20}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 9d}) \cdot 10}{2} &= 400 \\ 10a_1 + 45d &= 400 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} \dfrac{(a_1 + \textcolor{blue}{a_1 + 19d}) \cdot 20}{2} &= 1400 \\ 20a_1 + 190d &= 1400 \end{aligned} \]

3. Løs likningssettet Vi ganger den første likningen med \( 2 \) og trekker den fra den andre, som med addisjonsmetoden i videoen Likningssett: \[ \begin{aligned} 20a_1 + 190d &= 1400 \\ 20a_1 + 90d &= 800 \\ 100d &= 600 \\ d &= 6 \end{aligned} \]

Setter vi \( {d = 6} \) inn i den første likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 10a_1 + 45 \cdot 6 &= 400 \\ 10a_1 &= 130 \\ a_1 &= 13 \end{aligned} \]

Vi leser fortegnene av topp- og bunnpunktet og vendepunktet. Den deriverte sier om grafen stiger eller synker, og den dobbeltderiverte hvilken vei den krummer.

1. Tegn fortegnslinja til den deriverte Fortegnet til \( g'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. I topp- og bunnpunktet er den \( 0\text{:} \) \[ g'(\textcolor{blue}{0}) = 0, \quad g'(\textcolor{blue}{3}) = 0 \]

Grafen stiger fram til \( {x = \textcolor{blue}{0}}\text{,} \) synker fra \( {x = \textcolor{blue}{0}} \) til \( {x = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) og stiger så igjen. Det gir oss denne fortegnslinja: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3], "rows": [{"label": "g'(x)", "expr": "x*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( g'(x) \) er \( 0\text{.} \)

2. Tegn fortegnslinja til den dobbeltderiverte Fortegnet til \( g''(x) \) sier hvilken vei grafen krummer, og i vendepunktet er den \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ g''\left(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}\right) = 0 \]

Rundt toppunktet i \( {x = 0} \) krummer grafen nedover, så \( g''(x) \) er negativ før \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Rundt bunnpunktet i \( {x = 3} \) krummer den oppover, så \( g''(x) \) er positiv etter: :::fortegnsskjema {"points": [1.5], "labels": ["\\dfrac{3}{2}"], "rows": [{"label": "g''(x)", "expr": "2*x - 3"}]} En strek viser hvor \( g''(x) \) er \( 0\text{.} \) Hvordan vi tenker fram disse linjene, ser du i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025.

En tredjegradsfunksjon har fire ukjente koeffisienter. Topp- og bunnpunktet gir oss fire likninger, og vendepunktet kan vi bruke til å sjekke svaret.

1. Skriv opp funksjonen og den deriverte En tredjegradsfunksjon kan skrives slik: \[ g(x) = \textcolor{blue}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2 + \textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{d} \]

Vi deriverer med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ g'(x) = 3\textcolor{blue}{a}x^2 + 2\textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} \]

2. Bruk toppunktet Toppunktet \( (0, 6) \) ligger på grafen, og der er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(0) = 6 &\Rightarrow \textcolor{darkorange}{d} = \textcolor{darkorange}{6} \\ g'(0) = 0 &\Rightarrow \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0} \end{aligned} \]

3. Bruk bunnpunktet Det samme gjelder bunnpunktet \( {(3, -21)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(3) = -21 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 9\textcolor{red}{b} + 6 = -21 \\ g'(3) = 0 &\Rightarrow 27\textcolor{blue}{a} + 6\textcolor{red}{b} = 0 \end{aligned} \]

Det er et likningssett med to ukjente, som i videoen Likningssett. Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{red}{b} + 6 &= -21 \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{-9} \end{aligned} \]

Setter vi dette inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 27\textcolor{blue}{a} + 6 \cdot (\textcolor{red}{-9}) &= 0 \\ \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \end{aligned} \]

4. Sjekk med vendepunktet Funksjonen er nå \( {g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6}\text{,} \) og den dobbeltderiverte er \( {g''(x) = 12x - 18}\text{.} \) Vendepunktet stemmer: \[ \begin{aligned} g''\left(\dfrac{3}{2}\right) &= 18 - 18 = 0 \\ g\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{27}{4} - \dfrac{81}{4} + 6 = -\dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Fortegnet til den deriverte sier hvor \( f \) vokser og synker. Vi deriverer, finner nullpunktene og tegner fortegnslinja.

1. Deriver funksjonen Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]

Det gir oss: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

2. Finn nullpunktene til den deriverte Vi løser \( {f'(x) = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-1})} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} = \dfrac{-2 \pm 4}{-2} \end{aligned} \]

Det gir oss \( {x = -1} \) og \( {x = 3}\text{,} \) og dermed: \[ f'(x) = -(x + 1)(x - 3) \]

3. Tegn fortegnslinja Fortegnet til \( f'(x) \) sier om grafen stiger eller synker, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-1, 3], "rows": [{"label": "f'(x)", "expr": "-(x + 1)*(x - 3)"}]} En strek viser hvor \( f'(x) \) er \( 0\text{.} \)

I \( {x = -1} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss, så der er det et bunnpunkt. I \( {x = 3} \) går den fra pluss til minus, så der er det et toppunkt.

4. Finn y-koordinatene Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(-1) &= \dfrac{1}{3} + 1 - 3 = -\dfrac{5}{3} \\ f(3) &= -9 + 9 + 9 = 9 \end{aligned} \]

Vi bruker den deriverte fra c).

Fortegnet til den dobbeltderiverte sier hvilken vei grafen krummer. Der den skifter fortegn, er det et vendepunkt.

1. Finn den dobbeltderiverte I c) fant vi: \[ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 \]

Deriverer vi en gang til, får vi: \[ f''(x) = -2x + 2 \]

2. Tegn fortegnslinja Et vendepunkt krever at \( {f''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} -2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Fortegnslinja blir: :::fortegnsskjema {"points": [1], "rows": [{"label": "f''(x)", "expr": "-2*x + 2"}]} En strek viser hvor \( f''(x) \) er \( 0\text{.} \)

\( f''(x) \) er positiv før \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der krummer grafen opp. Den er negativ etter, så der krummer grafen ned. Den skifter fortegn i \( {x = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) så der er det et vendepunkt.

3. Finn y-koordinaten Vi setter inn i \( f(x)\text{:} \) \[ f(\textcolor{blue}{1}) = -\dfrac{1}{3} + 1 + 3 = \dfrac{11}{3} \]

Vi kaller punktet på \( l \) nærmest \( P \) for \( F\text{.} \) Avstandskravet gjør at \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på planet, så den er normalvektoren vi trenger.

1. Finn normalvektoren ut fra kravet Avstanden fra \( P \) til \( l \) er \( |\overrightarrow{PF}|\text{.} \) Siden \( l \) er parallell med planet, er avstanden fra \( l \) til planet det samme som avstanden fra \( F \) til planet. Kravet er altså: \[ |\overrightarrow{PF}| = \text{avstanden fra } F \text{ til } \alpha \]

Avstanden fra \( F \) til planet er den korteste veien dit. \( P \) ligger i planet, så \( \overrightarrow{PF} \) er en vei fra planet til \( F\text{.} \) Den er bare den korteste hvis den står vinkelrett på planet: \[ \overrightarrow{PF} \perp \alpha \]

2. Finn punktet F Et vilkårlig punkt på \( l \) er: \[ F = (2 - 3t,\ -1 + 4t,\ 1 + 2t) \]

Vektoren fra \( P \) er sluttpunkt minus startpunkt: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} = [&2 - 3t - 1, \\ &-1 + 4t - 4, \\ &1 + 2t - 4] \\ = [&\textcolor{red}{1 - 3t,\ -5 + 4t,\ -3 + 2t}] \end{aligned} \]

\( F \) er punktet nærmest \( P\text{,} \) så \( \overrightarrow{PF} \) står vinkelrett på retningsvektoren til \( l\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{[-3, 4, 2]}}\text{.} \) To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{-3}(\textcolor{red}{1 - 3t}) + \textcolor{blue}{4}(\textcolor{red}{-5 + 4t}) \\ &+ \textcolor{blue}{2}(\textcolor{red}{-3 + 2t}) = 0 \\ &-3 + 9t - 20 + 16t - 6 + 4t = 0 \\ &29t - 29 = 0 \\ &t = 1 \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} F &= (-1, 3, 3) \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{PF}} &= \textcolor{red}{[-2, -1, -1]} \end{aligned} \]

3. Sett inn i likningen for planet Vektoren \( [2, 1, 1] \) er parallell med \( \overrightarrow{PF}\text{,} \) så vi bruker den som normalvektor. Den står vinkelrett på \( l\text{,} \) slik at \( l \) er parallell med planet: \[ [2, 1, 1] \cdot \textcolor{blue}{[-3, 4, 2]} = -6 + 4 + 2 = 0 \]

Likningen for et plan forteller oss at: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{a}(x - x_0) + \textcolor{green}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{[a, b, c]} &= \textcolor{green}{[2, 1, 1]} \\ (x_0, y_0, z_0) &= P = (1, 4, 4) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{2}(x - 1) + \textcolor{green}{1}(y - 4) \\ &+ \textcolor{green}{1}(z - 4) = 0 \\ &2x - 2 + y - 4 + z - 4 = 0 \\ &2x + y + z = 10 \end{aligned} \]

Vi ser at likningen har brøker. Vi løser opp parentesen og ganger med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Løs opp parentesen Vi ganger \( {-\dfrac{1}{3}} \) inn i parentesen: \[ \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{1}{3}x - 3 - \dfrac{1}{5} \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren til \( 3 \) og \( 5 \) er \( \textcolor{darkorange}{15}\text{.} \) Hvis du er usikker på fellesnevner, kan du se videoen Oppgave 2 - Potenser med røtter. Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{2}{3}x + \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{4}{5} \\ &= -\textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{3}x - \textcolor{darkorange}{15} \cdot 3 - \textcolor{darkorange}{15} \cdot \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ 10x + 12 = -5x - 45 - 3 \]

3. Løs for x Vi samler \( x \) på venstre side og tallene på høyre: \[ \begin{aligned} 10x + 5x &= -45 - 3 - 12 \\ 15x &= -60 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Den første likningen gir \( h \) med en gang. Vi setter den inn i den andre og får en andregradslikning i \( t\text{.} \)

1. Finn h Vi løser den første likningen for \( h\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{h} = \textcolor{darkorange}{-40} \]

2. Sett inn i den andre likningen Vi setter dette inn i den andre likningen, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ \textcolor{darkorange}{-40} = 10t - 5t^2 \]

Vi flytter alt over på én side og deler på \( 5\text{:} \) \[ \begin{aligned} 5t^2 - 10t - 40 &= 0 \\ t^2 - 2t - 8 &= 0 \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ t = 4 \quad \text{eller} \quad t = -2 \]

Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Isoler roten Vi flytter \( x \) over på høyre side: \[ 2\sqrt{x + 2} = -3 - x \]

2. Kvadrer begge sider Roten er det samme som å opphøye i en halv, som i videoen Potenser og røtter, så den forsvinner når vi kvadrerer. Siden \( {(-3 - x)^2 = (x + 3)^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} (2\sqrt{x + 2})^2 &= (x + 3)^2 \\ 4(x + 2) &= (x + 3)^2 \end{aligned} \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 4x + 8 &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 4x + 8 &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 2x + 1 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen Her er høyresiden første kvadratsetning baklengs, med \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{1})^2 &= 0 \\ x &= -1 \end{aligned} \]

4. Sett prøve Vi setter \( {x = -1} \) inn i venstresiden av den opprinnelige likningen: \[ \begin{aligned} V &= -1 + 2\sqrt{-1 + 2} \\ &= -1 + 2 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]

Høyresiden er: \[ H = -3 \]

Siden \( {1 \neq -3}\text{,} \) stemmer ikke \( {x = -1}\text{.} \) Det var den eneste mulige løsningen, så likningen har ingen løsning.

Vi bruker definisjonen av logaritmen til å få bort \( \lg\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av lg Definisjonen av logaritmen forteller oss at: \[ \lg \textcolor{blue}{a} = \textcolor{red}{b} \quad \Leftrightarrow \quad 10^{\textcolor{red}{b}} = \textcolor{blue}{a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2x + 7}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ 10^{\textcolor{red}{3}} = \textcolor{blue}{2x + 7} \]

2. Løs for x \[ \begin{aligned} 1000 &= 2x + 7 \\ 2x &= 993 \\ x &= \dfrac{993}{2} \end{aligned} \]

Her er \( {2x + 7 = 1000}\text{,} \) som er positivt, så logaritmen finnes.

Vi isolerer potensen med \( e \) og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Isoler potensen Vi deler på \( 7\text{:} \) \[ e^{\textcolor{green}{-x-3}} = \dfrac{5}{7} \]

2. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{-x-3}}\right) = \ln\dfrac{5}{7} \]

Logaritmereglene forteller oss at: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-x-3}}\text{,} \) så vi får: \[ \textcolor{green}{-x-3} = \ln\dfrac{5}{7} \]

3. Løs for x Vi legger til \( 3 \) på begge sider og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ x = -3 - \ln\dfrac{5}{7} \]

Siden \( {-\ln\dfrac{5}{7} = \ln\dfrac{7}{5}}\text{,} \) kan vi også skrive: \[ x = \ln\dfrac{7}{5} - 3 \]

Vi isolerer sinus og finner de to vinklene som gir denne sinusverdien. Så løser vi for \( x \) og tester hvilke \( x \) som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi kaller vinkelen \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Da får vi: \[ \begin{aligned} 2\sin \textcolor{green}{v} + \sqrt{3} &= 0 \\ \sin \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi vet at \( \dfrac{\pi}{3} \) er \( 60^\circ\text{,} \) som står i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri. Sinus er negativ, så vi bytter fortegn på vinkelen: \[ \begin{aligned} \sin\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Den ene vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_1} = -\dfrac{\pi}{3} \]

På enhetssirkelen gir to vinkler samme sinusverdi, som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \sin v = \sin(\pi - v) \]

Den andre vinkelen er derfor: \[ \textcolor{green}{v_2} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} \]

Sinus gjentar seg for hver \( 2\pi\text{,} \) så med et helt tall \( k \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{eller} \\ \textcolor{green}{v} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \]

3. Løs for x Vi setter inn for \( \textcolor{green}{v}\text{,} \) legger til \( \dfrac{\pi}{6} \) på begge sider og ganger med \( \dfrac{4}{\pi}\text{.} \) Den første gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{2}{3} + 8k \end{aligned} \]

Den andre gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{4}x &= \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 6 + 8k \end{aligned} \]

4. Test hvilke x som er med Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( {[-4, 8]}\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -1 &: \quad x = -\dfrac{26}{3} \quad \text{utenfor} \\ k = 0 &: \quad x = -\dfrac{2}{3} \\ k = 1 &: \quad x = \dfrac{22}{3} \\ k = 2 &: \quad x = \dfrac{46}{3} \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = -2 &: \quad x = -10 \quad \text{utenfor} \\ k = -1 &: \quad x = -2 \\ k = 0 &: \quad x = 6 \\ k = 1 &: \quad x = 14 \quad \text{utenfor} \end{aligned} \]