Forkurseksamen etter tema

Brøkene har ulike nevnere. Vi setter dem derfor på felles brøkstrek, med fellesnevneren \( {x(2x - 3)}\text{.} \)

1. Finn fellesnevneren Vi utvider hver brøk med den nevneren den mangler, som i videoen Oppgave 3C - Forkurs Eksamen Vår 2025: \[ \dfrac{6 \cdot \textcolor{blue}{x}}{(2x - 3) \cdot \textcolor{blue}{x}} - \dfrac{3 \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}}{x \cdot \textcolor{red}{(2x - 3)}} \]

2. Trekk sammen Nå har brøkene samme nevner, så vi kan trekke sammen tellerne: \[ \begin{aligned} &\dfrac{6x - 3(2x - 3)}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{6x - 6x + 9}{x(2x - 3)} \\ &= \dfrac{9}{x(2x - 3)} \end{aligned} \]

Alle leddene har \( x \) som faktor, så vi setter den utenfor. Siden \( {x = 4} \) er et nullpunkt, går divisjonen med \( {(x - 4)} \) opp, og det som står igjen, faktoriserer vi med abc-formelen.

1. Sett x utenfor Vi setter \( x \) utenfor parentesen: \[ P(x) = x(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) \]

Nullpunktssetningen forteller oss at hvis \( r \) er et nullpunkt, er polynomet delelig med \( {(x - r)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &P(4) = 0 \\ &\Rightarrow \ (x - 4) \text{ er en faktor} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på nullpunktssetningen, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24} \) på \( {(x - 4)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{-2x^3} + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-2x^3}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{-2x^2} \\ \textcolor{red}{-2x^2} \cdot (x - 4) &= -2x^3 + 8x^2 \\ -(-2x^3 + 8x^2) &= \textcolor{red}{2x^3 - 8x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( {-2x^3} \) strykes mot \( 2x^3\text{,} \) \( {9x^2 - 8x^2 = x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 2x \) og \( {-24}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{x} \\ \textcolor{magenta}{x} \cdot (x - 4) &= x^2 - 4x \\ -(x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 6x & {}- 24 \end{array} \end{array} \]\( x^2 \) strykes mot \( {-x^2}\text{,} \) \( {2x + 4x = 6x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-24}\text{.} \) Linja \( {6x - 24} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{6x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{6x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{6} \cdot (x - 4) &= 6x - 24 \\ -(6x - 24) &= \textcolor{blue}{-6x + 24} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24) : (\textcolor{green}{x} - 4) \\ &= \textcolor{red}{-2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ x} \textcolor{blue}{{}+ 6} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{-2x^3}} & {}+ 9x^2 & {}+ 2x & {}- 24 \\ \textcolor{red}{\cancel{2x^3}} & \textcolor{red}{{}- 8x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{x^2}} & {}+ 2x & {}- 24 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{6x}} & {}- 24 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-6x}} & \textcolor{blue}{{}+ 24} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 6x \) strykes mot \( {-6x}\text{,} \) og \( {-24 + 24 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon: \[ \begin{aligned} &-2x^3 + 9x^2 + 2x - 24 \\ &= (x - 4)(-2x^2 + x + 6) \end{aligned} \]

3. Finn de to siste nullpunktene Vi setter \( {-2x^2 + x + 6 = 0}\text{.} \) abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot (\textcolor{blue}{-2}) \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot (\textcolor{blue}{-2})} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{-4} = \dfrac{-1 \pm 7}{-4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -\dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = 2 \]

4. Sett sammen faktorene Et andregradsuttrykk kan skrives slik: \[ \textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a}(x - x_1)(x - x_2) \]Det er formelen i videoen Faktorisering med abc-formelen.

Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{-2}} \) og nullpunktene, får vi: \[ \begin{aligned} &-2x^2 + x + 6 \\ &= \textcolor{blue}{-2}\left(x + \dfrac{3}{2}\right)(x - 2) \\ &= -(2x + 3)(x - 2) \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med \( x \) og \( {(x - 4)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} P(x) = -&x(x - 4) \\ &\cdot (x - 2)(2x + 3) \end{aligned} \]

Kvotienten er et ledd delt på leddet foran. Så bruker vi formelen for summen av en konvergent geometrisk rekke.

1. Finn kvotienten Kvotienten i en geometrisk rekke er: \[ k = \dfrac{\textcolor{red}{a_{n + 1}}}{\textcolor{blue}{a_n}} \]Hvis du er usikker på kvotienten, kan du se videoen Geometriske rekker intro.

Vi deler andre ledd på første, og tredje på andre: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 + x}}{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}} \\ &= (1 + x) \cdot \dfrac{1 - x}{1 + x} = 1 - x \\ k &= \dfrac{\textcolor{red}{1 - x^2}}{\textcolor{blue}{1 + x}} \\ &= \dfrac{(1 - x)(1 + x)}{1 + x} = 1 - x \end{aligned} \]Vi får den samme kvotienten, så rekka er geometrisk.

2. Finn summen Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ s = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{green}{k}} \]Den kommer fram i videoen Geometrisk rekke test.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}, \qquad \textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} s(x) &= \dfrac{\textcolor{blue}{\dfrac{1 + x}{1 - x}}}{1 - (\textcolor{green}{1 - x})} = \dfrac{\dfrac{1 + x}{1 - x}}{x} \\ &= \dfrac{1 + x}{x(1 - x)} = \dfrac{1 + x}{x - x^2} \end{aligned} \]

I a) fant vi kvotienten \( {k = 1 - x}\text{.} \)

En geometrisk rekke konvergerer når \( {|k| < 1}\text{.} \) I tillegg må alle leddene være definert.

1. Bruk konvergenskravet Kravet forteller oss at: \[ |\textcolor{green}{k}| < 1 \]Hvis du er usikker på kravet, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{1 - x}} \) får vi: \[ \begin{aligned} -1 < \textcolor{green}{1 - x} &< 1 \\ -2 < -x &< 0 \\ 0 < x &< 2 \end{aligned} \]

2. Sjekk at leddene er definert Første ledd har nevneren \( {1 - x}\text{,} \) som ikke kan være \( 0\text{:} \) \[ x \neq 1 \]

Merk – Spesialtilfelle: For \( {x = -1} \) er alle leddene \( 0\text{,} \) så den spesielle rekka konvergerer også, selv om den ikke har noen kvotient.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( s(x) \) står i oppgaveteksten i a). Vi bruker også konvergensområdet fra b).

Vi setter uttrykket for summen lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{,} \) løser likningen og sjekker hvilke løsninger som ligger der rekka konvergerer.

1. Sett opp likningen Vi setter summen fra a) lik \( {-\dfrac{10}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{1 + x}{x - x^2} = -\dfrac{10}{3} \]

Vi kryssmultipliserer og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} 3(1 + x) &= -10(x - x^2) \\ 3 + 3x &= -10x + 10x^2 \\ 0 &= \textcolor{blue}{10}x^2 \textcolor{red}{{}- 13}x \textcolor{green}{{}- 3} \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{10}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-13}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{13 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-13})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{10} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{10}} \\ &= \dfrac{13 \pm \sqrt{289}}{20} = \dfrac{13 \pm 17}{20} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = \dfrac{3}{2}, \qquad x_2 = -\dfrac{1}{5} \]

3. Sjekk konvergensområdet Fra b) konvergerer rekka for \( {0 < x < 1} \) og \( {1 < x < 2}\text{.} \) Vi sjekker begge løsningene: \[ \begin{aligned} x_1 = \dfrac{3}{2}\text{:} \ \ &1 < \dfrac{3}{2} < 2, \text{ gyldig} \\ x_2 = -\dfrac{1}{5}\text{:} \ \ &k = \dfrac{6}{5} > 1, \text{ ikke gyldig} \end{aligned} \]

Vi ser at vi har brøker med \( x \) i nevneren. Vi ganger derfor med fellesnevneren, slik at brøkene forsvinner, og løser andregradslikningen vi står igjen med.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq -1} \) og \( {x \neq 1}\text{.} \) Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)}}\text{.} \) Vi ganger hvert ledd med den: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x + 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &- \dfrac{1}{x - 1} \cdot \textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Forkorter vi, får vi: \[ \begin{aligned} &x(x - 1) - (x + 1) \\ &= 2\textcolor{darkorange}{(x + 1)(x - 1)} \end{aligned} \]

Til høyre bruker vi konjugatsetningen, som i videoen Kvadratsetningene: \[ (p + q)(p - q) = p^2 - q^2 \]

Da får vi, når vi ganger ut: \[ \begin{aligned} x^2 - x - x - 1 &= 2(x^2 - 1) \\ x^2 - 2x - 1 &= 2x^2 - 2 \end{aligned} \]

Flytter vi alt over på høyre side, får vi: \[ 0 = x^2 + 2x - 1 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{2} \pm \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ &= -1 \pm \sqrt{2} \end{aligned} \]

Ingen av løsningene er \( {-1} \) eller \( 1\text{,} \) så begge gjelder.

Begge leddene har faktoren \( \cos x\text{.} \) Vi setter den utenfor, og da må en av de to faktorene være \( 0\text{.} \)

1. Faktoriser Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{\cos x}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{\cos x}(\sin x - \cos x) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{\cos x} = 0 \quad \text{eller} \quad \sin x - \cos x = 0 \]

2. Løs den første likningen Cosinus er \( 0 \) i toppen og bunnen av enhetssirkelen: \[ \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \dfrac{3\pi}{2} \]

3. Løs den andre likningen Her kan ikke \( \cos x \) være \( 0\text{,} \) for da er \( {\sin x = \pm 1}\text{.} \) Vi kan derfor dele på \( \cos x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sin x &= \cos x \\ \dfrac{\sin x}{\cos x} &= 1 \\ \tan x &= 1 \end{aligned} \]

Tangens gjentar seg for hver \( \pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Løs likningen, så: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]

I intervallet \( [\pi, 2\pi\rangle \) er det bare \( {k = 1} \) som passer: \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4} \]

Brøkene har ulike nevnere. Vi finner derfor en felles nevner og trekker sammen til én brøk.

1. Finn felles nevner 0:15 Vi ganger hver brøk over og under med nevneren til den andre brøken: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{5}{x + 2} \\ &= \dfrac{4\textcolor{blue}{(x + 2)}}{(x - 1)\textcolor{blue}{(x + 2)}} \\ &\quad - \dfrac{5\textcolor{red}{(x - 1)}}{(x + 2)\textcolor{red}{(x - 1)}} \end{aligned} \]

2. Gang ut parentesene 1:11 Vi ganger ut tellerne og den felles nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{(x + 2)} &= 4x + 8 \\ 5\textcolor{red}{(x - 1)} &= 5x - 5 \\ (x - 1)(x + 2) &= x^2 + x - 2 \end{aligned} \]

3. Trekk sammen til én brøk 2:00 Nå har brøkene samme nevner, så vi samler dem på én brøkstrek. Minus foran den andre brøken bytter fortegn på begge leddene i telleren: \[ \begin{aligned} &\dfrac{4x + 8 - (5x - 5)}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{4x + 8 - 5x + 5}{x^2 + x - 2} \\ &= \dfrac{13 - x}{x^2 + x - 2} \end{aligned} \]

Vi ser at \( P(x) \) er et tredjegradspolynom. Vi viser faktoren med nullpunktsetningen, og faktoriserer med polynomdivisjon og abc-formelen.

1. Bruk nullpunktsetningen 0:11 Nullpunktsetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P(x) \) når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Nullpunktssetningen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 \\ &= 1 + 3 - 1 - 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Dermed vet vi at \( {(x - 1)} \) er en faktor i \( P(x)\text{.} \)

2. Del med polynomdivisjon 1:49 Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 4x^2 & {}- x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + x^2 = 4x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-x} \) og \( {-3}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{4x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{4x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{4x} \\ \textcolor{magenta}{4x} \cdot (x - 1) &= 4x^2 - 4x \\ -(4x^2 - 4x) &= \textcolor{magenta}{-4x^2 + 4x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & 3x & {}- 3 \end{array} \end{array} \]\( 4x^2 \) strykes mot \( {-4x^2}\text{,} \) \( {-x + 4x = 3x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3}\text{.} \) Linja \( {3x - 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \cdot (x - 1) &= 3x - 3 \\ -(3x - 3) &= \textcolor{blue}{-3x + 3} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 3x^2 - x - 3) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 4x} \textcolor{blue}{{}+ 3} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- x & {}- 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{4x^2}} & {}- x & {}- 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-4x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 4x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x}} & {}- 3 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-3x}} & \textcolor{blue}{{}+ 3} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 3x \) strykes mot \( {-3x}\text{,} \) og \( {-3 + 3 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} P(x) &= x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 3) \end{aligned} \]

3. Bruk abc-formelen på resten 4:13 Vi faktoriserer \( {x^2 + 4x + 3} \) videre. abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{4} \pm \sqrt{\textcolor{red}{4}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

4. Skriv opp faktorene 6:25 Et andregradsuttrykk kan skrives slik, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Plugger vi inn \( {a = 1} \) og løsningene, får vi: \[ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]

Slår vi dette sammen med faktoren \( {(x - 1)}\text{,} \) får vi: \[ P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) \]

Vi legger til differansen for å finne leddene. Til summen trenger vi ledd nummer \( 72 \) først.

1. Finn de fem første leddene Vi starter på \( 5 \) og legger til \( 8 \) hver gang: \[ 5, \; 13, \; 21, \; 29, \; 37 \]

2. Finn ledd nummer 72 Ledd nummer \( n \) i en aritmetisk rekke er: \[ \textcolor{red}{a_n} = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1)\textcolor{green}{d} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{5}, \quad \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{8}, \quad n = 72 \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a_{72}} = \textcolor{blue}{5} + 71 \cdot \textcolor{green}{8} = \textcolor{red}{573} \]

3. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Formelen står i videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} S_{72} &= \dfrac{72(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{573})}{2} \\ &= 36 \cdot 578 \\ &= 20\,808 \end{aligned} \]

Vi skriver summen som et uttrykk i \( n \) og setter det lik \( 5\,000\text{.} \) Så runder vi opp til neste hele tall.

1. Skriv summen med n Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{red}{a_n} &= \textcolor{red}{5 + (n - 1) \cdot 8 = 8n - 3} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_n &= \dfrac{n(\textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{8n - 3})}{2} \\ &= \dfrac{n(8n + 2)}{2} \\ &= 4n^2 + n \end{aligned} \]

2. Finn hvor summen blir 5000 Vi setter summen lik \( 5\,000 \) og samler alt på én side: \[ 4n^2 + n - 5\,000 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ n = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4\textcolor{blue}{p}\textcolor{green}{r}}}{2\textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Vi kaller konstantene \( p\text{,} \) \( q \) og \( r\text{,} \) siden \( a \) er brukt til leddene.

Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{4}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-5\,000} \]

Plugger vi dette inn og ser på den positive løsningen, får vi, avrundet til to desimaler: \[ \begin{aligned} n &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} + \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot (\textcolor{green}{-5\,000})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{4}} \\ &= \dfrac{-1 + \sqrt{80\,001}}{8} \\ &\approx 35{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn antall ledd og siste ledd Antall ledd er et helt tall, og summen vokser for hvert ledd, så vi må opp til \( {n = 36}\text{.} \) Vi sjekker de to nærmeste verdiene: \[ \begin{aligned} S_{35} &= 4 \cdot 35^2 + 35 = 4\,935 \\ S_{36} &= 4 \cdot 36^2 + 36 = 5\,220 \end{aligned} \]

Det siste leddet er da: \[ a_{36} = 8 \cdot 36 - 3 = 285 \]

Vi ser at linje 14 og 15 har \( \texttt{sqrt(d)} \) der abc-formelen har rottegnet. Da må \( \textcolor{blue}{d} \) være det som står under roten.

1. Sammenlign med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b^2 - 4ac}}}{2a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Linje 14 i koden er: \[ \texttt{x\_1 = (-b + sqrt(}\textcolor{blue}{\texttt{d}}\texttt{))/(2*a)} \]

Altså er: \[ \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{b^2 - 4ac} \]

2. Skriv det som kode I Python skriver vi potens med to stjerner og ganger med én stjerne:

Vi bruker fra a) at \( {d = b^2 - 4ac} \) er det som står under roten i abc-formelen.

Fortegnet til \( \textcolor{blue}{d} \) forteller hvor mange løsninger likningen har. Teksten skal si det.

1. Les hva hver gren betyr Tallet under roten avgjør antall løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} < 0&: \quad \text{ingen reelle løsninger} \\ \textcolor{blue}{d} = 0&: \quad \text{én løsning} \\ \textcolor{blue}{d} > 0&: \quad \text{to løsninger} \end{aligned} \]

Linje 9 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} < 0}\text{.} \) Der er roten ikke et reelt tall, og linje 10 skal si at det ikke finnes noen løsning.

Linje 11 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} = 0}\text{.} \) Da blir abc-formelen: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\dfrac{b}{2a} \]

Dette er tallet linje 12 skriver ut etter teksten, så teksten skal føre fram til det.

2. Skriv teksten En passende tekst, som følger linje 16, er:

Andre tekster som sier det samme, er også riktige.

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

Vi ser at \( x \) står i nevnerne. Vi ganger derfor hele likningen med fellesnevneren, så brøkene forsvinner.

1. Fjern brøkene Nevnerne kan ikke være \( 0\text{,} \) så \( {x \neq 3} \) og \( {x \neq 0}\text{.} \) Ganger vi begge sider med \( {x(x - 3)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x + 4(x - 3) &= x(x - 3) \\ 5x - 12 &= x^2 - 3x \\ 0 &= x^2 - 8x + 12 \end{aligned} \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-8}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-8}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-8})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 2 \quad \lor \quad x = 6 \]

Ingen av dem gjør en nevner lik \( 0\text{,} \) så begge er løsninger.

Vi ser at \( \ln x \) går igjen i alle leddene. Vi bytter det derfor ut med en ny bokstav og får et polynom vi kan faktorisere.

1. Bytt ut logaritmen Her må \( {x > 0}\text{.} \) Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}}\text{,} \) på samme måte som i videoen Oppgave 1C - Løs likningen, der \( u \) tar plassen til \( e^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 &= 6\textcolor{darkorange}{u} \\ 2\textcolor{darkorange}{u}^3 - \textcolor{darkorange}{u}^2 - 6\textcolor{darkorange}{u} &= 0 \end{aligned} \]

Vi deler ikke på \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) for da mister vi løsningen \( {\textcolor{darkorange}{u} = 0}\text{.} \) I stedet faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{u}\text{,} \) som i videoen Faktorisering steg for steg: \[ \textcolor{darkorange}{u}(2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6) = 0 \]

Et produkt er \( 0 \) når en av faktorene er \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{u} = 0 \quad \lor \quad 2\textcolor{darkorange}{u}^2 - \textcolor{darkorange}{u} - 6 = 0 \]

2. Bruk abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2}(\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm 7}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ u = 2 \quad \lor \quad u = -\dfrac{3}{2} \]

3. Finn x Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) tilbake. Fra definisjonen av \( \ln \) i videoen Naturlige Logaritmer vet vi at: \[ \ln x = u \quad \Leftrightarrow \quad x = e^u \]

Det gir oss én \( x \) for hver \( u\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\ln x} = 0 \quad &\Rightarrow \quad x = e^0 = 1 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = 2 \quad &\Rightarrow \quad x = e^2 \\ \textcolor{darkorange}{\ln x} = -\dfrac{3}{2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-\tfrac{3}{2}} \end{aligned} \]

Alle tre er positive, så alle er løsninger.

Vi bruker nullpunktssetningen: vi setter inn tallet som gjør faktoren lik \( 0\text{.} \)

1. Bruk nullpunktssetningen Nullpunktssetningen forteller oss at \( {(x - \textcolor{blue}{r})} \) er en faktor i \( P \) nøyaktig når: \[ P(\textcolor{blue}{r}) = 0 \]Se videoen Nullpunktssetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{1}) &= \textcolor{blue}{1}^3 + 2 \cdot \textcolor{blue}{1}^2 - 7 \cdot \textcolor{blue}{1} + 4 \\ &= 1 + 2 - 7 + 4 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Siden \( {P(1) = 0}\text{,} \) er \( {(x - 1)} \) en faktor i \( P\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: at \( {(x - 1)} \) er en faktor, står i oppgaveteksten i a).

Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon. Da står vi igjen med et andregradsuttrykk, som vi faktoriserer videre.

1. Del med polynomdivisjon Vi deler \( P(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 3x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {2x^2 + x^2 = 3x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-7x} \) og \( 4\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{3x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{3x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{3x} \\ \textcolor{magenta}{3x} \cdot (x - 1) &= 3x^2 - 3x \\ -(3x^2 - 3x) &= \textcolor{magenta}{-3x^2 + 3x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & -4x & {}+ 4 \end{array} \end{array} \]\( 3x^2 \) strykes mot \( {-3x^2}\text{,} \) \( {-7x + 3x = -4x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4\text{.} \) Linja \( {-4x + 4} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( {\textcolor{darkorange}{-4x}}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{-4x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{blue}{-4} \cdot (x - 1) &= -4x + 4 \\ -(-4x + 4) &= \textcolor{blue}{4x - 4} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 2x^2 - 7x + 4) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 3x} \textcolor{blue}{{}- 4} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 2x^2 & {}- 7x & {}+ 4 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{3x^2}} & {}- 7x & {}+ 4 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-3x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 3x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{-4x}} & {}+ 4 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{4x}} & \textcolor{blue}{{}- 4} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( {-4x} \) strykes mot \( 4x\text{,} \) og \( {4 - 4 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 2x^2 - 7x + 4 \\ &= (x - 1)(x^2 + 3x - 4) \end{aligned} \]

2. Faktoriser andregradsuttrykket abc-formelen forteller oss at nullpunktene til \( {x^2 + 3x - 4} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på faktoriseringen, kan du se videoen Faktorisering med abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{3} \pm \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir \( {x = 1} \) og \( {x = -4}\text{,} \) så: \[ x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]

3. Sett faktorene sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} P(x) &= (x - 1)(x - 1)(x + 4) \\ &= (x - 1)^2(x + 4) \end{aligned} \]