Forkurseksamen etter tema

Programmet regner ut en Riemann-sum: arealet av fire firkanter under grafen. Linje 3 er selve funksjonen, og linje 8 legger til én firkant om gangen.

1. Skriv funksjonen på linje 3 Funksjonen skal returnere uttrykket som integreres: \[ f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \]

På Python skrives det slik, med \( \texttt{sqrt} \) fra linje 1 og \( x^2 \) som \( \texttt{x*x}\text{:} \) \[ \texttt{return x/sqrt(x*x + 4)} \]

2. Skriv summen på linje 8 Arealet av en firkant er bredde ganget med høyde, som i videoen Riemann sum. Her er bredden \( \textcolor{blue}{\texttt{dx}} \) og høyden funksjonsverdien i venstre kant, \( \textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\text{:} \) \[ \text{areal} = \textcolor{red}{f(x_0)} \cdot \textcolor{blue}{\Delta x} \]

Vi legger arealet til summen \( s\text{:} \) \[ \texttt{s = s + }\textcolor{red}{\texttt{f(x0)}}\texttt{*}\textcolor{blue}{\texttt{dx}} \]

Vi ser at \( x \) i telleren nesten er den deriverte av det som står under roten. Vi bruker derfor substitusjon med \( {u = x^2 + 4}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter det som står under roten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2 + 4} \\ \dfrac{du}{dx} &= 2x \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \int \dfrac{1}{\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \dfrac{1}{2}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\int \textcolor{green}{u}^{-\tfrac{1}{2}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2\textcolor{green}{u}^{\tfrac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{\textcolor{green}{x^2 + 4}} + C \end{aligned} \]

3. Sett inn grensene Vi bruker den antideriverte fra \( 0 \) til \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\,dx &= \left[\sqrt{x^2 + 4}\right]_0^2 \\ &= \sqrt{8} - \sqrt{4} \\ &= 2\sqrt{2} - 2 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: den eksakte verdien står i oppgaveteksten i b).

Koden bruker bare fire brede firkanter. Med smalere og flere firkanter kommer vi nærmere arealet under grafen.

1. Forklar hvorfor estimatet er dårlig Koden regner ut venstre Riemann-sum med fire firkanter som er \( \textcolor{blue}{0{,}5} \) brede, med høyden \( \textcolor{red}{f(x_0)} \) i venstre kant. Avrundet til tre desimaler får vi: \[ \begin{aligned} s = \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{red}{f(0{,}5)} \\ &+ \textcolor{red}{f(1)} + \textcolor{red}{f(1{,}5)}) \\ \approx \ &\textcolor{blue}{0{,}5} \cdot (\textcolor{red}{0} + \textcolor{red}{0{,}243} \\ &+ \textcolor{red}{0{,}447} + \textcolor{red}{0{,}6}) \\ \approx \ &0{,}645 \end{aligned} \]

Den eksakte verdien fra b) er, avrundet til tre desimaler: \[ 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}828 \]

Grafen stiger hele veien fra \( 0 \) til \( 2\text{.} \) Høyden tas i venstre kant, så firkantene ligger under grafen og gir for lite areal, som i videoen Riemann sum. Med så brede firkanter blir feilen stor.

2. Velg smalere firkanter Bredden ganget med antallet må fortsatt bli lengden av intervallet, \( 2\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\Delta x} \cdot n = 2 \]

Velger vi \( {\textcolor{blue}{\Delta x} = \textcolor{blue}{0{,}01}}\text{,} \) får vi: \[ n = \dfrac{2}{\textcolor{blue}{0{,}01}} = 200 \]Andre valg er også riktige, så lenge produktet er \( 2\text{.} \)

Linje 6 og 7 blir da: \[ \begin{aligned} &\texttt{dx = 1/100} \\ &\texttt{for i in range(200):} \end{aligned} \]

Uttrykket står i linje 3. Temperaturen er størst og minst der \( \cos \) er henholdsvis \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) fordi den trekkes fra.

1. Les av uttrykket Linje 2 og 3 definerer funksjonen. I koden står \( \texttt{pi} \) for \( \pi\text{,} \) og \( \texttt{*} \) betyr gange: \[ T(t) = 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \]

2. Finn største og minste verdi Verdiene til cosinus ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) som tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri viser: \[ -1 \leq \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) \leq 1 \]

Gjennom døgnet går \( t \) fra \( 0 \) til \( 24\text{,} \) så \( \dfrac{\pi t}{12} \) går fra \( 0 \) til \( 2\pi\text{.} \) Da får cosinus både verdien \( 1 \) og verdien \( {-1}\text{.} \)

Med \( {\cos = \textcolor{blue}{-1}} \) får vi den høyeste temperaturen, ved \( {t = 12}\text{:} \) \[ T_{\text{maks}} = 16 - 8 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) = 24 \]

Med \( {\cos = \textcolor{red}{1}} \) får vi den laveste temperaturen, ved \( {t = 0} \) og \( {t = 24}\text{:} \) \[ T_{\text{min}} = 16 - 8 \cdot \textcolor{red}{1} = 8 \]

Vi tenker som datamaskinen, slik videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025 gjør. Løkken stopper første gang \( \texttt{verdi} \) er minst \( 20\text{.} \)

1. Se hva løkken gjør Linje 6 sjekker om \( {\texttt{verdi} < 20} \) før hver runde. Først er \( {\texttt{verdi} = 0} \) og \( {\texttt{t1} = 0}\text{.} \)

I hver runde regner linje 7 ut \( T(\texttt{t1})\text{,} \) og linje 9 øker \( \texttt{t1} \) med \( 1\text{.} \) Runde nummer én bruker altså \( {t = 0}\text{,} \) runde to \( {t = 1}\text{,} \) og så videre.

2. Finn når temperaturen når 20 Vi løser \( {T(t) = 20}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16 - 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= 20 \\ \cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

Fra de eksakte verdiene vet vi at: \[ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} \]

Fra midnatt til \( {t = 12} \) synker cosinus hele tiden fra \( 1 \) til \( {-1}\text{,} \) så temperaturen stiger. Dette er derfor første gang den når \( 20\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\pi t}{12} &= \dfrac{2\pi}{3} \\ \textcolor{blue}{t} &= \textcolor{blue}{8} \end{aligned} \]

3. Tell rundene For \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er temperaturen akkurat \( 20\text{:} \) \[ T(\textcolor{blue}{8}) = 16 - 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 20 \]

Etter runden med \( {\textcolor{blue}{t = 8}} \) er \( {\texttt{verdi} = 20}\text{.} \) Betingelsen \( {20 < 20} \) er usann, så løkken stopper. Rundene bruker \( {t = 0, 1, \ldots, \textcolor{blue}{8}}\text{,} \) og det er: \[ \textcolor{blue}{8} + 1 = 9 \text{ runder} \]

Vi tenker som datamaskinen og går gjennom løkka runde for runde. Legg merke til at programmet skriver ut etter at tallet er endret.

1. Gå gjennom løkka Linje 1 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 0}\text{.} \) Linje 2 sjekker om \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} \le 20}\text{.} \) Linje 3 regner ut det nye \( \textcolor{red}{\texttt{tall}}\text{,} \) og linje 4 skriver det ut. Slik går vi gjennom en løkke i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025.

Hver runde ser slik ut: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{0} \le 20 &: \quad 2 \cdot \textcolor{blue}{0} + 3 = \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{3} \le 20 &: \quad 2 \cdot \textcolor{blue}{3} + 3 = \textcolor{red}{9} \\ \textcolor{blue}{9} \le 20 &: \quad 2 \cdot \textcolor{blue}{9} + 3 = \textcolor{red}{21} \end{aligned} \]

2. Se når løkka stopper Nå er \( {\textcolor{blue}{\texttt{tall}} = 21}\text{,} \) og betingelsen holder ikke lenger: \[ 21 \le 20 \quad \text{er usant} \]Programmet stopper. \( 21 \) er likevel skrevet ut, for sjekken kommer først i neste runde.

Partallene kommer ved å legge til \( 2 \) hver runde. Vi endrer derfor linje 3, og linje 2 slik at løkka stopper etter \( 18\text{.} \)

1. Endre utregningen Vi vil at tallet skal gå slik: \[ 0 \to 2 \to 4 \to 6 \to \cdots \to \textcolor{blue}{18} \]Hver runde legger vi altså til \( \textcolor{red}{2}\text{,} \) så linje 3 blir \( {\texttt{tall = tall + 2}}\text{.} \)

2. Endre betingelsen Programmet skriver ut etter at tallet er endret, som vi også ser når vi går gjennom koden i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Det siste tallet skal være \( \textcolor{blue}{18}\text{.} \) Den siste runden må derfor starte med \( 16\text{,} \) og det må ikke komme en ny runde når tallet er \( 18\text{:} \) \[ \begin{aligned} 16 < 18 &: \quad 16 \textcolor{red}{+ 2} = \textcolor{blue}{18} \\ \textcolor{blue}{18} < 18 &: \quad \text{usant, løkka stopper} \end{aligned} \]

Linje 2 blir derfor \( {\texttt{while tall < 18:}}\text{,} \) og programmet blir:

Andre programmer er også riktige, for eksempel med \( {\texttt{while tall <= 16:}} \) i linje 2.

Vi ser at linje 14 og 15 har \( \texttt{sqrt(d)} \) der abc-formelen har rottegnet. Da må \( \textcolor{blue}{d} \) være det som står under roten.

1. Sammenlign med abc-formelen abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\textcolor{blue}{b^2 - 4ac}}}{2a} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Linje 14 i koden er: \[ \texttt{x\_1 = (-b + sqrt(}\textcolor{blue}{\texttt{d}}\texttt{))/(2*a)} \]

Altså er: \[ \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{b^2 - 4ac} \]

2. Skriv det som kode I Python skriver vi potens med to stjerner og ganger med én stjerne:

Vi bruker fra a) at \( {d = b^2 - 4ac} \) er det som står under roten i abc-formelen.

Fortegnet til \( \textcolor{blue}{d} \) forteller hvor mange løsninger likningen har. Teksten skal si det.

1. Les hva hver gren betyr Tallet under roten avgjør antall løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} < 0&: \quad \text{ingen reelle løsninger} \\ \textcolor{blue}{d} = 0&: \quad \text{én løsning} \\ \textcolor{blue}{d} > 0&: \quad \text{to løsninger} \end{aligned} \]

Linje 9 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} < 0}\text{.} \) Der er roten ikke et reelt tall, og linje 10 skal si at det ikke finnes noen løsning.

Linje 11 er grenen \( {\textcolor{blue}{d} = 0}\text{.} \) Da blir abc-formelen: \[ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = -\dfrac{b}{2a} \]

Dette er tallet linje 12 skriver ut etter teksten, så teksten skal føre fram til det.

2. Skriv teksten En passende tekst, som følger linje 16, er:

Andre tekster som sier det samme, er også riktige.

Vi går gjennom linje 4 og 5, som er selve løkka. Linje 4 sier hvor mange ganger den kjører, og linje 5 hva som skjer hver gang.

1. Se hvor mange ganger den kjører Et program gjør én ting om gangen, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 lar \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) gå gjennom tallene i \( \texttt{range(1,31)}\text{.} \) Der er 1 med, mens 31 ikke er med, så: \[ \textcolor{blue}{n} = 1, 2, 3, \dots, 30 \]Det er \( 30 \) verdier, så løkka kjører \( 30 \) ganger.

2. Se hva linje 5 gjør I en geometrisk rekke er ledd nummer \( \textcolor{blue}{n} \) gitt ved: \[ \textcolor{red}{a_n} = a_1 \cdot k^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Det er nettopp det som står etter plusstegnet i linje 5, der to stjerner betyr «opphøyd i». Linja regner ut ledd nummer \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) og legger det til summen \( \texttt{s}\text{,} \) som starter på \( 0\text{.} \) Med \( {a_1 = 1} \) og \( {k = 1{,}2} \) blir summen til slutt: \[ s = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1{,}2} + \textcolor{red}{1{,}2^2} + \dots + \textcolor{red}{1{,}2^{29}} \]

I a) så vi at programmet legger sammen de \( 30 \) første leddene i den geometriske rekka.

Å legge sammen \( 30 \) ledd for hånd tar for lang tid, så vi bruker formelen for summen av en geometrisk rekke.

1. Skriv opp sumformelen Summen av de \( \textcolor{green}{n} \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}2}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30} \]

2. Regn ut summen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{\textcolor{green}{30}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}2}^{\textcolor{green}{30}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}2} - 1} \\ &\approx \dfrac{237{,}3763 - 1}{0{,}2} \\ &\approx 1181{,}9 \end{aligned} \]

I en aritmetisk følge er hvert ledd det forrige leddet pluss \( d\text{.} \) Samtidig må \( n \) telle hvilket ledd vi er kommet til.

1. Fyll inn boksene I en aritmetisk følge er differansen mellom to ledd alltid \( \textcolor{blue}{d}\text{,} \) som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ a_{\textcolor{red}{n + 1}} = a_n + \textcolor{blue}{d} \]

Linje 6 skal derfor legge til \( \textcolor{blue}{\texttt{d}}\text{,} \) og linje 7 skal øke \( \textcolor{red}{\texttt{n}} \) med \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\texttt{an = an + } \textcolor{blue}{\texttt{d}} \\ &\texttt{n = } \textcolor{red}{\texttt{n + 1}} \end{aligned} \]

2. Forklar løkken Vi tenker som datamaskinen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi starter med første ledd, \( {\texttt{an} = a_1} \) og \( {\texttt{n} = 1}\text{.} \)

Linje 5 sjekker om \( {\texttt{an} < 200}\text{.} \) Så lenge det stemmer, regner linje 6 ut neste ledd, og linje 7 øker \( \texttt{n} \) med \( 1\text{.} \) Da er \( \texttt{an} \) hele tiden \( a_n \) for den \( \texttt{n} \) vi står på.

Første gang \( {\texttt{an} \geq 200} \) stopper løkken, og linje 8 skriver ut \( \texttt{n} \) og \( \texttt{an}\text{.} \) Dette er den minste \( n \) som gir \( {a_n \geq 200}\text{.} \)

Programmet stopper ved den minste \( n \) der \( {a_n \geq 200}\text{,} \) så vi løser den ulikheten med formelen for det \( n \)-te leddet.

1. Sett opp formelen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{blue}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{3}} \]

2. Løs ulikheten Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + (n - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5}{3}} \geq 200 \]

Vi ganger med \( 3 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} 1 + 5(n - 1) &\geq 600 \\ 5n - 4 &\geq 600 \\ n &\geq \dfrac{604}{5} = 120{,}8 \end{aligned} \]

3. Finn den minste n \( n \) må være et helt tall, så den minste verdien er \( 121\text{.} \) Vi kontrollerer på hver side av \( 120{,}8\text{:} \) \[ \begin{aligned} a_{120} &= \dfrac{1}{3} + 119 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{596}{3} < 200 \\ a_{121} &= \dfrac{1}{3} + 120 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{601}{3} > 200 \end{aligned} \]