Forkurseksamen etter tema

I en aritmetisk følge er hvert ledd det forrige leddet pluss \( d\text{.} \) Samtidig må \( n \) telle hvilket ledd vi er kommet til.

1. Fyll inn boksene I en aritmetisk følge er differansen mellom to ledd alltid \( \textcolor{blue}{d}\text{,} \) som i videoen Aritmetiske rekker intro: \[ a_{\textcolor{red}{n + 1}} = a_n + \textcolor{blue}{d} \]

Linje 6 skal derfor legge til \( \textcolor{blue}{\texttt{d}}\text{,} \) og linje 7 skal øke \( \textcolor{red}{\texttt{n}} \) med \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\texttt{an = an + } \textcolor{blue}{\texttt{d}} \\ &\texttt{n = } \textcolor{red}{\texttt{n + 1}} \end{aligned} \]

2. Forklar løkken Vi tenker som datamaskinen, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Vi starter med første ledd, \( {\texttt{an} = a_1} \) og \( {\texttt{n} = 1}\text{.} \)

Linje 5 sjekker om \( {\texttt{an} < 200}\text{.} \) Så lenge det stemmer, regner linje 6 ut neste ledd, og linje 7 øker \( \texttt{n} \) med \( 1\text{.} \) Da er \( \texttt{an} \) hele tiden \( a_n \) for den \( \texttt{n} \) vi står på.

Første gang \( {\texttt{an} \geq 200} \) stopper løkken, og linje 8 skriver ut \( \texttt{n} \) og \( \texttt{an}\text{.} \) Dette er den minste \( n \) som gir \( {a_n \geq 200}\text{.} \)

Programmet stopper ved den minste \( n \) der \( {a_n \geq 200}\text{,} \) så vi løser den ulikheten med formelen for det \( n \)-te leddet.

1. Sett opp formelen Formelen for det \( n \)-te leddet forteller oss at: \[ a_n = \textcolor{red}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{blue}{d} \]Den utledes i videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er: \[ \textcolor{red}{a_1} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}, \quad \textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{\dfrac{5}{3}} \]

2. Løs ulikheten Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} + (n - 1) \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{5}{3}} \geq 200 \]

Vi ganger med \( 3 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} 1 + 5(n - 1) &\geq 600 \\ 5n - 4 &\geq 600 \\ n &\geq \dfrac{604}{5} = 120{,}8 \end{aligned} \]

3. Finn den minste n \( n \) må være et helt tall, så den minste verdien er \( 121\text{.} \) Vi kontrollerer på hver side av \( 120{,}8\text{:} \) \[ \begin{aligned} a_{120} &= \dfrac{1}{3} + 119 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{596}{3} < 200 \\ a_{121} &= \dfrac{1}{3} + 120 \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{601}{3} > 200 \end{aligned} \]