Forkurs matematikk konteeksamen 2024 – løsningsforslag

Vi ser at \( {27 = 3^3}\text{,} \) så hele brøken er en potens av \( \dfrac{x}{3}\text{.} \) Da kan vi gange eksponentene sammen. Vi regner med \( {x > 0}\text{,} \) siden eksponenten er en brøk.

1. Skriv brøken som én potens Siden \( {27 = 3^3}\text{,} \) kan vi skrive: \[ \dfrac{x^3}{27} = \dfrac{x^3}{3^3} = \left(\dfrac{x}{3}\right)^3 \]

2. Gang eksponentene Regelen for en potens av en potens forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n}})^{\textcolor{green}{m}} = \textcolor{red}{a}^{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{green}{m}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.

Her er: \[ \textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}, \quad \textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{3}, \quad \textcolor{green}{m} = \textcolor{green}{-\dfrac{2}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{\textcolor{blue}{3}}\right)^{\textcolor{green}{-2/3}} &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{\textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{green}{-2/3})} \\ &= \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{-2} \end{aligned} \]

3. Bli kvitt den negative eksponenten En negativ eksponent betyr at potensen står i nevneren, som i videoen Regneregler med Potenser: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^{-2} &= \dfrac{1}{\left(\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}\right)^2} \\ &= \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{9}} \\ &= \dfrac{9}{x^2} \end{aligned} \]

Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, slik at alt består av \( \ln x \) og \( \ln y\text{,} \) og trekker sammen. Logaritmene finnes bare når \( {x > 0} \) og \( {y > 0}\text{.} \)

1. Skriv opp logaritmereglene Logaritmereglene forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln(a \cdot b) &= \ln a + \ln b \\ \ln(a^n) &= n \cdot \ln a \end{aligned} \]Reglene gjennomgås i videoen Regneregler med Logaritmer, og i Naturlige Logaritmer ser du at de gjelder for \( \ln \) også.

2. Skriv om ledd for ledd \( \ln(xy)\text{:} \) \[ \ln(xy) = \underline{\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{\ln y}} \]

\( \ln(x^2 y)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(x^2 y) &= \ln(x^2) + \ln y \\ &= \underline{\textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{\ln y}} \end{aligned} \]

\( \ln(xy^2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln(xy^2) &= \ln x + \ln(y^2) \\ &= \underline{\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{2\ln y}} \end{aligned} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{\ln y} + \textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{\ln y} \\ &\quad - (\textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{2\ln y}) \\ &= \textcolor{blue}{(1 + 2 - 1)\ln x} \\ &\quad + \textcolor{red}{(1 + 1 - 2)\ln y} \\ &= \textcolor{blue}{2\ln x} + \textcolor{red}{0 \cdot \ln y} \\ &= \textcolor{blue}{2\ln x} \end{aligned} \]

Vi ser at likningen har brøker med \( x \) i nevneren. Vi finner først hvilke \( x \) som gir null i en nevner, og ganger så med fellesnevneren for å bli kvitt brøkene.

1. Finn definisjonsområdet Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) som i videoen Ulikheter med fortegnsskjema – brøk og faktorisering. Faktoriserer vi den siste nevneren, får vi: \[ x^2 - 3x = \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \]

Nevnerne blir derfor \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x \neq 0 \quad \text{og} \quad x \neq 3 \]

2. Gang med fellesnevneren Fellesnevneren er \( {\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}}\text{.} \) Ganger vi alle ledd med den, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{x}{x - 3} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} + \dfrac{1}{x} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \\ &= \dfrac{3x}{\textcolor{darkorange}{x(x - 3)}} \cdot \textcolor{darkorange}{x(x - 3)} \end{aligned} \]

Forkorter vi og trekker sammen, får vi: \[ \begin{aligned} x \cdot x + (x - 3) &= 3x \\ x^2 + x - 3 &= 3x \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at løsningene av \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) er: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-2})\!\pm\!\sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = 3 \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = 3} \) er ikke med i definisjonsområdet, så den må vi forkaste. Vi står igjen med: \[ x = -1 \]

Tallet under rottegnet kan ikke være negativt. Vi isolerer roten og kvadrerer begge sider. Kvadrering kan gi løsninger som ikke stemmer, så vi må sette prøve til slutt.

1. Finn definisjonsområdet Det som står under rottegnet, må være minst \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 - x &\ge 0 \\ x &\le 3 \end{aligned} \]

2. Isoler roten og kvadrer Vi flytter \( {-3} \) over til høyre side og får: \[ \sqrt{3 - x} = x + 3 \]

Kvadrerer vi begge sider, får vi: \[ 3 - x = (x + 3)^2 \]

Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Du finner den i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{3}}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} 3 - x &= \textcolor{blue}{x}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{3} + \textcolor{red}{3}^2 \\ 3 - x &= x^2 + 6x + 9 \\ 0 &= x^2 + 7x + 6 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{7}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{6} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{7} \pm \sqrt{\textcolor{red}{7}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{6}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-7 \pm 5}{2} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = -1 \quad \text{eller} \quad x = -6 \]

4. Sett prøve Begge ligger i definisjonsområdet, så vi setter dem inn i den opprinnelige likningen.

\( {x = -1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-1)} &= -3 + 2 \\ &= -1 = x \end{aligned} \]Det er lik høyre side, så \( {x = -1} \) er en løsning.

\( {x = -6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3 + \sqrt{3 - (-6)} &= -3 + 3 = 0 \\ 0 &\neq -6 \end{aligned} \]Her stemmer det ikke, så \( {x = -6} \) må vi forkaste.

Vi kan bare ta \( \ln \) av et positivt tall, så vi løser en ulikhet for å finne definisjonsområdet. Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) må det som står inni parentesen, være lik \( 1\text{.} \)

1. Finn definisjonsområdet Det som står inni \( \ln\text{,} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Faktoriserer vi, får vi: \[ \textcolor{darkorange}{x}\textcolor{magenta}{(2x + 1)} > 0 \]

Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema. Faktorene er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [-0.5, 0], "labels": ["-\\dfrac{1}{2}", "0"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x}", "expr": "x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "x(2x + 1)", "expr": "x(2x + 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Produktet er positivt til venstre for \( {-\dfrac{1}{2}} \) og til høyre for \( 0\text{,} \) så definisjonsområdet er: \[ x < -\dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x > 0 \]

2. Sett uttrykket lik én Fra definisjonen vet vi at \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så vi må ha: \[ \begin{aligned} 2x^2 + x &= 1 \\ 2x^2 + x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs andregradslikningen abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen, forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{1} \pm \sqrt{\textcolor{red}{1}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{green}{-1})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -1 \]

4. Sjekk mot definisjonsområdet \( {x = \dfrac{1}{2}} \) er større enn \( 0\text{,} \) og \( {x = -1} \) er mindre enn \( {-\dfrac{1}{2}}\text{,} \) så begge er med: \[ \dfrac{1}{2} > 0 \quad \text{og} \quad -1 < -\dfrac{1}{2} \]

For å finne tangenten trenger vi punktet og stigningstallet i \( {x = 1}\text{.} \) Stigningstallet får vi ved å derivere \( f \) med kjerneregelen.

1. Finn punktet Setter vi inn \( {x = 1}\text{,} \) får vi: \[ f(1) = \ln(3 - 1) = \ln 2 \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{u})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du finner den i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3 - x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3 - x}} \cdot (\textcolor{green}{-1}) = -\dfrac{1}{3 - x} \]

Stigningstallet i punktet er derfor: \[ f'(1) = -\dfrac{1}{3 - 1} = -\dfrac{1}{2} \]

3. Sett inn i tangentformelen Tangentformelen forteller oss at tangenten i \( {x = \textcolor{blue}{a}} \) er: \[ y = \textcolor{red}{f'(a)} \cdot (x - \textcolor{blue}{a}) + \textcolor{darkorange}{f(a)} \]Formelen brukes i videoen Tangentlinje - lineær tilnærming.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{f'(a)} = \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}}, \quad \textcolor{darkorange}{f(a)} = \textcolor{darkorange}{\ln 2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} y &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}} \cdot (x - \textcolor{blue}{1}) + \textcolor{darkorange}{\ln 2} \\ y &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} + \ln 2 \end{aligned} \]

Vi ser på hva som skjer med \( f(x) \) der funksjonen slutter å eksistere, og når \( x \) går mot minus uendelig. Funksjonen finnes bare når \( {3 - x > 0}\text{,} \) altså for \( {x < 3}\text{.} \)

1. Se på den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Lar vi \( x \) gå mot \( 3 \) fra venstre, går \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) mot \( 0 \) fra positiv side, og da går \( \ln \) mot minus uendelig: \[ \lim_{x \to 3^-} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = -\infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. La x gå mot minus uendelig Funksjonen finnes bare til venstre for \( 3\text{,} \) så vi lar \( x \) gå mot minus uendelig. Da vokser \( {\textcolor{green}{3 - x}} \) uten grense, og \( \ln \) gjør det samme, bare saktere: \[ \lim_{x \to -\infty} \ln(\textcolor{green}{3 - x}) = \infty \]Funksjonen nærmer seg altså ingen konstant verdi, så den har ingen horisontal asymptote.

For en skrå asymptote måtte \( \dfrac{f(x)}{x} \) ha gått mot et tall ulikt \( 0\text{.} \) Siden \( \ln \) vokser saktere enn \( x\text{,} \) får vi: \[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\ln(\textcolor{green}{3 - x})}{x} = 0 \]Så funksjonen har heller ingen skrå asymptote.

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Vi isolerer sinus, finner de to vinklene som gir denne sinusverdien, og tester hvilke \( x \) som ligger i \( [0, 4]\text{.} \)

1. Isoler sinus Vi setter \( {f(x) = 0} \) og løser for \( \sin(\pi x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 0 \\ \sin(\pi x) &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn de to vinklene Vi løser denne på samme måte som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Sinus invers gir den ene vinkelen: \[ \textcolor{blue}{\pi x} = \sin^{-1}\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} \]

På enhetssirkelen gir den speilvendte vinkelen samme sinusverdi: \[ \textcolor{red}{\pi x} = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} \]

Hver gang vi tar en hel runde, altså \( 2\pi k\text{,} \) får vi samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\pi x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{\pi}{6}} + 2\pi k \\ \textcolor{red}{\pi x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7\pi}{6}} + 2\pi k \end{aligned} \]

Deler vi på \( \pi\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{6}} + 2k \\ \textcolor{red}{x} &= \textcolor{red}{\dfrac{7}{6}} + 2k \end{aligned} \]

3. Test verdier av k Vi tester hele tall \( k \) og beholder det som ligger i \( [0, 4]\text{.} \) Den første løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{blue}{x} &= -\dfrac{1}{6} < 0 \\ k = 1: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{11}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{23}{6} \\ k = 3: \quad \textcolor{blue}{x} &= \dfrac{35}{6} > 4 \end{aligned} \]

Den andre løsningen gir: \[ \begin{aligned} k = 0: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{7}{6} \\ k = 1: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{19}{6} \\ k = 2: \quad \textcolor{red}{x} &= \dfrac{31}{6} > 4 \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( f \) med den generelle formen til en sinusfunksjon og leser av tallene.

1. Sammenlign med den generelle formen En sinusfunksjon kan skrives som: \[ y = \textcolor{green}{d} + \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{blue}{c}x) \]Da er amplituden \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) likevektslinja \( {y = \textcolor{green}{d}} \) og perioden: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{c}} \]

Her er: \[ \textcolor{green}{d} = \textcolor{green}{1}, \quad \textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{c} = \textcolor{blue}{\pi} \]

2. Regn ut perioden Sinus gjentar seg for hver hele runde \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Plugger vi dette inn, får vi: \[ P = \dfrac{2\pi}{\textcolor{blue}{\pi}} = 2 \]

Så funksjonen gjentar seg hver gang \( x \) øker med \( 2\text{.} \) Den svinger \( \textcolor{red}{2} \) opp og ned fra linja \( {y = \textcolor{green}{1}}\text{.} \)

Linja tangerer grafen der de har samme verdi og samme stigningstall. Linja \( {y = 3} \) har stigningstall \( 0\text{,} \) så vi må vise at \( {f(x) = 3} \) og \( {f'(x) = 0} \) i de to punktene, og ingen andre steder.

1. Finn hvor grafen treffer linja Vi setter \( {f(x) = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 + 2\sin(\pi x) &= 3 \\ \sin(\pi x) &= 1 \end{aligned} \]

Sinus er \( 1 \) bare i toppen av enhetssirkelen, så: \[ \begin{aligned} \pi x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]

I \( [0, 4] \) gir \( {k = 0} \) og \( {k = 1} \) de eneste verdiene: \[ x = \dfrac{1}{2} \quad \text{og} \quad x = \dfrac{5}{2} \]

2. Deriver funksjonen Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sin \textcolor{green}{u})' = \cos \textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\pi x}, \quad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\pi} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ f'(x) = 2\cos(\textcolor{green}{\pi x}) \cdot \textcolor{green}{\pi} = 2\pi\cos(\pi x) \]

3. Sjekk stigningstallet Setter vi inn de to verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} f'\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \\ f'\left(\dfrac{5}{2}\right) &= 2\pi\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \end{aligned} \]

Grafen har altså samme verdi og samme stigningstall som linja i begge punktene, så linja tangerer grafen der.

Selv om du ikke fikk til c), kan du løse denne: tangeringspunktene står i oppgaveteksten i c).

Grafen og linja møtes i \( {x = \dfrac{1}{2}} \) og \( {x = \dfrac{5}{2}}\text{,} \) og linja ligger over grafen mellom dem. Arealet er integralet av øverste minus nederste.

Området ligger mellom tangeringspunktene, under linja og over grafen. Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Arealet er: \[ \begin{aligned} A &= \int_{1/2}^{5/2} \left(3 - (1 + 2\sin(\pi x))\right) dx \\ &= \int_{1/2}^{5/2} \left(2 - 2\sin(\pi x)\right) dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for sinus forteller oss at: \[ \int \sin(\textcolor{blue}{n}x)\,dx = -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}x) + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Ledd for ledd får vi: \[ \int 2\,dx = \underline{2x} \]\[ \begin{aligned} &\int -2\sin(\textcolor{blue}{\pi} x)\,dx \\ &= -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\right)\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \\ &= \underline{\dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x)} \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ A = \left[ 2x + \dfrac{2}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos(\textcolor{blue}{\pi} x) \right]_{1/2}^{5/2} \]

3. Sett inn grensene Cosinusleddene forsvinner i begge grensene, siden: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = 0 \]

Da står vi igjen med: \[ \begin{aligned} A &= \left( 2 \cdot \dfrac{5}{2} + 0 \right) - \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \right) \\ &= 5 - 1 = 4 \end{aligned} \]

Vi kjenner arealet og vinkelen mellom \( AB \) og \( BC\text{,} \) så arealsetningen gir oss de to sidene. Den siste siden finner vi med cosinussetningen.

1. Finn AB og BC med arealsetningen Vi kaller \( {AB = x}\text{,} \) så er \( {BC = 2x}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} A &= 8 & \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{150^\circ} \end{aligned} \]

Vi trenger også sinus til vinkelen: \[ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x} \cdot \dfrac{1}{2} \\ 8 &= \dfrac{x^2}{2} \\ x^2 &= 16 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så \( {x = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ AB = 4, \quad BC = 2 \cdot 4 = 8 \]

2. Finn AC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden overfor vinkel \( B \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]Du finner den i videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Cosinus til vinkelen er: \[ \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{4}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 + 64 + 32\sqrt{3} \\ &= 80 + 32\sqrt{3} \end{aligned} \]

Tar vi kvadratroten og setter \( 16 \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} AC &= \sqrt{80 + 32\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{16 \cdot (5 + 2\sqrt{3})} \\ &= 4\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \\ &\approx 11{,}6 \end{aligned} \]

Vi bruker sidene \( {AB = 4} \) og \( {BC = 8} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser på trekanten \( BMC\text{,} \) der vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Cosinussetningen gir siden \( MC\text{,} \) og da gir sinussetningen vinkelen.

I a) fant vi \( {AB = 4}\text{,} \) så \( {BM = 2}\text{.} \) Cosinussetningen, som i videoen Cosinussetningen, forteller oss at i trekanten \( BMC \) er: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{BM}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{BM} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{BM} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos(150^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 68 + 16\sqrt{3} \end{aligned} \]

Så lengden er: \[ \textcolor{magenta}{MC} = \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \]

2. Finn vinkelen med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\sin(\textcolor{blue}{M})}{\textcolor{blue}{BC}} = \dfrac{\sin(\textcolor{green}{B})}{\textcolor{magenta}{MC}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{8} \\ \textcolor{green}{B} &= \textcolor{green}{150^\circ} \\ \textcolor{magenta}{MC} &= \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\sin(150^\circ) = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin(\textcolor{blue}{M}) &= \dfrac{\textcolor{blue}{8} \cdot \sin(\textcolor{green}{150^\circ})}{\textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \approx 0{,}409 \end{aligned} \]

3. Velg riktig vinkel Sinus gir to mulige vinkler, men vinkel \( B \) er \( 150^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene i trekanten har til sammen bare \( 30^\circ\text{.} \) Vinkelen må derfor være spiss: \[ \begin{aligned} \angle BMC &= \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}\right) \\ &\approx 24{,}1^\circ \end{aligned} \]

Vi går gjennom linje 4 og 5, som er selve løkka. Linje 4 sier hvor mange ganger den kjører, og linje 5 hva som skjer hver gang.

1. Se hvor mange ganger den kjører Et program gjør én ting om gangen, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 4 lar \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) gå gjennom tallene i \( \texttt{range(1,31)}\text{.} \) Der er 1 med, mens 31 ikke er med, så: \[ \textcolor{blue}{n} = 1, 2, 3, \dots, 30 \]Det er \( 30 \) verdier, så løkka kjører \( 30 \) ganger.

2. Se hva linje 5 gjør I en geometrisk rekke er ledd nummer \( \textcolor{blue}{n} \) gitt ved: \[ \textcolor{red}{a_n} = a_1 \cdot k^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Det er nettopp det som står etter plusstegnet i linje 5, der to stjerner betyr «opphøyd i». Linja regner ut ledd nummer \( \textcolor{blue}{\texttt{n}} \) og legger det til summen \( \texttt{s}\text{,} \) som starter på \( 0\text{.} \) Med \( {a_1 = 1} \) og \( {k = 1{,}2} \) blir summen til slutt: \[ s = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{1{,}2} + \textcolor{red}{1{,}2^2} + \dots + \textcolor{red}{1{,}2^{29}} \]

I a) så vi at programmet legger sammen de \( 30 \) første leddene i den geometriske rekka.

Å legge sammen \( 30 \) ledd for hånd tar for lang tid, så vi bruker formelen for summen av en geometrisk rekke.

1. Skriv opp sumformelen Summen av de \( \textcolor{green}{n} \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_{\textcolor{green}{n}} = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Formelen gjennomgås i videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1}, \quad \textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}2}, \quad \textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{30} \]

2. Regn ut summen Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{\textcolor{green}{30}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}2}^{\textcolor{green}{30}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}2} - 1} \\ &\approx \dfrac{237{,}3763 - 1}{0{,}2} \\ &\approx 1181{,}9 \end{aligned} \]

Vi ser at integranden er et produkt av \( 2x \) og \( e^{2x}\text{,} \) og at \( 2x \) blir enklere når vi deriverer. Derfor bruker vi delvis integrasjon.

1. Skriv opp formelen Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Delvis integrasjon.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^{2x}} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} \end{aligned} \]Regelen for \( \textcolor{blue}{v} \) finner du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

2. Sett inn og integrer Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\int 2x \cdot e^{2x}\,dx \\ &= \textcolor{red}{2x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}} - \int \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}e^{2x}}\,dx \\ &= xe^{2x} - \int e^{2x}\,dx \\ &= xe^{2x} - \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \end{aligned} \]

Vi ser at \( 2x \) er den deriverte av eksponenten \( x^2\text{,} \) så vi bruker substitusjon med \( {u = x^2}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter eksponenten lik \( \textcolor{green}{u}\text{,} \) som i videoen Substitusjon, og deriverer: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{x^2} \\ \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} &= 2x \\ d\textcolor{green}{u} &= 2x\,dx \end{aligned} \]

2. Bytt grensene Grensene gjelder \( x\text{,} \) så vi regner dem om til \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x = 0: \quad \textcolor{green}{u} &= 0^2 = 0 \\ x = 1: \quad \textcolor{green}{u} &= 1^2 = 1 \end{aligned} \]

3. Sett inn og integrer Setter vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\,dx &= \int_0^1 e^{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \left[ e^{\textcolor{green}{u}} \right]_0^1 \\ &= e^1 - e^0 \\ &= e - 1 \end{aligned} \]

Lengden av vektorproduktet er arealet av parallellogrammet, og trekanten er halvparten av det. Arealet er også halvparten av grunnlinje ganger høyde, så vi kan løse for høyden.

1. Finn vektorene Vi tar sluttpunktet minus startpunktet, som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= [2 - 1, 2 - 2, 3 - (-1)] \\ &= \textcolor{blue}{[1, 0, 4]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [1 - 1, 4 - 2, -3 - (-1)] \\ &= \textcolor{red}{[0, 2, -2]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Vektorproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{blue}{a_2}, \textcolor{blue}{a_3}] \times [\textcolor{red}{b_1}, \textcolor{red}{b_2}, \textcolor{red}{b_3}] \\ &= [\textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1}] \end{aligned} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-2}) - \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{2}, \\ &\qquad \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{0} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-2}), \\ &\qquad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{0}] \\ &= [-8, 2, 2] \end{aligned} \]

3. Finn lengdene Lengden til en vektor er gitt ved: \[ \left|[a, b, c]\right| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]Du finner den i videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| &= \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \\ \left|\overrightarrow{AB}\right| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{17} \end{aligned} \]

4. Løs for høyden Arealet av trekanten kan skrives på to måter: \[ \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right| \cdot h \]

Løser vi for \( h\text{,} \) får vi: \[ h = \dfrac{\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \dfrac{6\sqrt{34}}{17} \]

Vi bruker vektorproduktet fra a), og \( A \) fra oppgaveteksten.

Vektorproduktet av to vektorer i planet står vinkelrett på planet, så det er en normalvektor. Normalvektoren og ett punkt gir likningen.

1. Finn en normalvektor I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= [-8, 2, 2] \\ &= -2 \cdot [4, -1, -1] \end{aligned} \]

Vi kan bruke hvilken som helst vektor i samme retning, så vi velger den enkleste: \[ \textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]} \]

2. Sett inn i planformelen Et plan med normalvektor \( [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] \) gjennom punktet \( (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}(x - \textcolor{blue}{x_0}) + \textcolor{red}{b}(y - \textcolor{blue}{y_0}) \\ &+ \textcolor{red}{c}(z - \textcolor{blue}{z_0}) = 0 \end{aligned} \]Du ser den brukt i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Her er: \[ \begin{aligned} [\textcolor{red}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{red}{c}] &= [\textcolor{red}{4}, \textcolor{red}{-1}, \textcolor{red}{-1}] \\ (\textcolor{blue}{x_0}, \textcolor{blue}{y_0}, \textcolor{blue}{z_0}) &= (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{-1}) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{4}(x - \textcolor{blue}{1}) \textcolor{red}{{}- 1}(y - \textcolor{blue}{2}) \textcolor{red}{{}- 1}(z + \textcolor{blue}{1}) &= 0 \\ 4x - 4 - y + 2 - z - 1 &= 0 \\ 4x - y - z - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: likningen for planet står i oppgaveteksten i b).

En linje er parallell med et plan når retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren. Skalarproduktet må altså bli \( 0\text{.} \) Vi sjekker også at linja ikke ligger i selve planet.

1. Regn ut skalarproduktet Linja har retningsvektor \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} = \textcolor{blue}{[1, 1, 3]}}\text{,} \) og av likningen \( {4x - y - z - 3 = 0} \) leser vi normalvektoren \( {\textcolor{red}{\vec{n}} = \textcolor{red}{[4, -1, -1]}}\text{.} \)

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{OP}} \cdot \textcolor{red}{\vec{n}} &= \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) + \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) \\ &= 4 - 1 - 3 = 0 \end{aligned} \]

Linja står altså vinkelrett på normalvektoren, så den er parallell med planet eller ligger i det.

2. Sjekk at linja ligger utenfor planet Linja går gjennom origo. Setter vi inn \( (0, 0, 0) \) i likningen for planet, får vi: \[ 4 \cdot 0 - 0 - 0 - 3 = -3 \neq 0 \]

Origo ligger ikke i planet, så linja ligger ikke i planet, og den er parallell med det.

Vi bruker vektorproduktet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tre vektorer fra samme hjørne utspenner pyramiden, og volumet er en sjettedel av absoluttverdien til det vi får når vi ganger vektorproduktet med den tredje vektoren.

1. Skriv opp volumformelen Volumet av en trekantet pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{6}\left|\left(\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}\right) \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}}\right| \]At en pyramide trenger en annen formel enn en boks, ser du i videoen Volum og Overflate.

I a) fant vi: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [-8, 2, 2] \]

Den tredje vektoren går fra \( A \) til \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\overrightarrow{AT}} &= [-3 - 1, 0 - 2, 0 - (-1)] \\ &= \textcolor{green}{[-4, -2, 1]} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Skalarproduktet er gitt ved: \[ \begin{aligned} &[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1, b_2, b_3] \\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} V &= \dfrac{1}{6}\left|(-8)(\textcolor{green}{-4}) + 2(\textcolor{green}{-2}) + 2 \cdot \textcolor{green}{1}\right| \\ &= \dfrac{1}{6}\left|32 - 4 + 2\right| \\ &= \dfrac{30}{6} = 5 \end{aligned} \]

Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så nevneren gir definisjonsmengden. En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) så vi setter telleren lik \( 0\text{.} \)

1. Finn definisjonsmengden Nevneren er \( 0 \) når: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt \( 3\text{.} \)

2. Sett telleren lik null Vi må løse: \[ 2x^2 - x + 3 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er: \[ \textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}, \quad \textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-1}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} \\ &= \dfrac{1 \pm \sqrt{-23}}{4} \end{aligned} \]

Det står et negativt tall under rottegnet, så vi får ingen reelle løsninger, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

Nevneren gir en vertikal asymptote. Telleren har én grad høyere enn nevneren, så polynomdivisjon gir oss en skrå asymptote.

1. Finn den vertikale asymptoten Hva en vertikal asymptote er, ser du i videoen Oppgave 4A - Finn nullpunkt og asymptoter til f(x). Nevneren er \( 0 \) for \( {x = 3}\text{,} \) og telleren er ikke \( 0 \) der: \[ 2 \cdot 3^2 - 3 + 3 = 18 \neq 0 \]Telleren er positiv nær \( {x = 3}\text{,} \) så \( g(x) \) går mot uendelig på hver sin side: \[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = \infty \]Dermed er \( {x = 3} \) en vertikal asymptote.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^2 - x + 3} \) på \( {(x - 3)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Polynomdivisjon - Håndtering av Restledd + Manglende ledd. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (2) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^2} - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x} \\ \textcolor{red}{2x} \cdot (x - 3) &= 2x^2 - 6x \\ -(2x^2 - 6x) &= \textcolor{red}{-2x^2 + 6x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & 5x & {}+ 3 \end{array} \end{array} \]\( 2x^2 \) strykes mot \( {-2x^2}\text{,} \) \( {-x + 6x = 5x}\text{,} \) og vi trekker ned \( 3\text{.} \) Linja \( {5x + 3} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5} \\ \textcolor{magenta}{5} \cdot (x - 3) &= 5x - 15 \\ -(5x - 15) &= \textcolor{magenta}{-5x + 15} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^2 - x + 3) : (\textcolor{green}{x} - 3) \\ &= \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^2}} & {}- x & {}+ 3 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^2}} & \textcolor{red}{{}+ 6x} & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x}} & {}+ 3 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x}} & \textcolor{magenta}{{}+ 15} \\ \hline & & 18 \end{array} \end{array} \]\( 5x \) strykes mot \( {-5x}\text{,} \) og \( {3 + 15 = 18}\text{.} \) Tallet 18 har grad 0, som er lavere enn nevnerens grad 1. Da stopper vi, og 18 er restleddet.

Restleddet delt på nevneren legger vi til svaret, så: \[ g(x) = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5} + \dfrac{18}{x - 3} \]

3. Finn den skrå asymptoten Lar vi \( x \) gå mot pluss eller minus uendelig, går brøken mot \( 0\text{:} \) \[ \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{18}{x - 3} = 0 \]Da nærmer grafen seg linja \( {y = \textcolor{red}{2x} \textcolor{magenta}{{}+ 5}}\text{,} \) som er den skrå asymptoten.

Vi deriverer \( g \) med kvotientregelen, setter \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og bruker en fortegnslinje for å se hva slags punkter vi får.

1. Deriver funksjonen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x^2 - x + 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{4x - 1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 3} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, blir nevneren \( {(\textcolor{blue}{x - 3})^2}\text{,} \) og telleren blir: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{red}{4x - 1})(\textcolor{blue}{x - 3}) - (\textcolor{red}{2x^2 - x + 3}) \cdot \textcolor{blue}{1} \\ &= 4x^2 - 13x + 3 - 2x^2 + x - 3 \\ &= 2x^2 - 12x \\ &= \textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)} \end{aligned} \]

Så den deriverte er: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}\textcolor{magenta}{(x - 6)}}{(x - 3)^2} \]

2. Finn fortegnet til den deriverte Telleren er \( 0 \) for \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{.} \) Når den deriverte er \( 0 \) og skifter fortegn, har vi et topp- eller bunnpunkt, som i videoen Oppgave 2C - Forkurs Eksamen Vår 2025. Fortegnet til brøken finner vi ved å gange og dele fortegnene til faktorene: :::fortegnsskjema {"points": [0, 3, 6], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2x}", "expr": "2x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{x - 6}", "expr": "x - 6"}, {"label": "(x - 3)^2", "expr": "(x - 3)^2", "denominator": true}, {"label": "g'(x)", "expr": "2x(x - 6)/(x - 3)^2"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{,} \) og × viser hvor \( g'(x) \) ikke finnes. I \( {x = 0} \) går \( g'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så der er et toppunkt. I \( {x = 6} \) går \( g'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så der er et bunnpunkt.

3. Finn y-koordinatene Setter vi inn i \( g\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} g(0) &= \dfrac{2 \cdot 0^2 - 0 + 3}{0 - 3} = \dfrac{3}{-3} = -1 \\ g(6) &= \dfrac{2 \cdot 6^2 - 6 + 3}{6 - 3} = \dfrac{69}{3} = 23 \end{aligned} \]

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b).

Et vendepunkt finner vi der den andrederiverte er \( 0\text{.} \) Omskrivingen fra b) gjør det enkelt å derivere to ganger.

1. Deriver to ganger I b) fant vi: \[ \begin{aligned} g(x) &= 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3} \\ &= 2x + 5 + 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-1} \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^n\right)' = n \cdot \textcolor{green}{u}^{n - 1} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x - 3}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{1}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen.

Bruker vi den to ganger, får vi: \[ \begin{aligned} g'(x) &= 2 - 18(\textcolor{green}{x - 3})^{-2} \\ g''(x) &= 36(\textcolor{green}{x - 3})^{-3} = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \end{aligned} \]

2. Sett den andrederiverte lik null Et vendepunkt finner vi ved å sette \( {g''(x) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) og her er telleren alltid \( 36\text{:} \) \[ g''(x) = \dfrac{36}{(x - 3)^3} \neq 0 \]

Fortegnet til \( g''(x) \) skifter bare i \( {x = 3}\text{,} \) og der finnes ikke funksjonen. Grafen har derfor ingen vendepunkt.

Vi bruker omskrivingen av \( g(x) \) fra b), som gjør integralet enkelt.

Grafen ligger over \( x \)-aksen på hele intervallet, så arealet er det bestemte integralet av \( g \) fra \( 4 \) til \( 7\text{.} \)

1. Sett opp integralet Telleren har ingen nullpunkt og er alltid positiv, og nevneren er positiv for \( {x > 3}\text{,} \) så \( {g(x) > 0} \) på \( [4, 7]\text{.} \) Hva et bestemt integral betyr, ser du i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

I b) fant vi \( {g(x) = 2x + 5 + \dfrac{18}{x - 3}}\text{,} \) så arealet er: \[ A = \int_4^7 \left( \textcolor{blue}{2x} + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{\dfrac{18}{x - 3}} \right) dx \]

2. Integrer ledd for ledd Regelen for det siste leddet forteller oss at: \[ \int \dfrac{a}{x + n}\,dx = a\ln|x + n| + C \]Du finner den i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Det gir oss: \[ A = \left[ \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{5x} + \textcolor{green}{18\ln|x - 3|} \right]_4^7 \]

3. Sett inn grensene Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} A &= (49 + 35 + 18\ln 4) \\ &\quad - (16 + 20 + 18\ln 1) \\ &= 84 + 18\ln 4 - 36 \\ &= 48 + 18\ln 4 \\ &= 48 + 36\ln 2 \end{aligned} \]