Forkurseksamen etter tema

I \( B \) ligger \( x \) og \( 2x \) langs en rett linje, så de er \( 180^\circ \) til sammen. Deretter bruker vi vinkelsummen i trekanten.

1. Finn x Vinklene langs en rett linje er \( 180^\circ \) til sammen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} + 2\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{blue}{x} &= 180^\circ \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

2. Finn y Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} + 2\textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{60^\circ} &= 180^\circ \\ 3\textcolor{red}{y} &= 120^\circ \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{red}{40^\circ} \end{aligned} \]

3. Sett opp vinklene Vinkelen i \( C \) er \( 2\textcolor{red}{y}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle A &= \textcolor{red}{y} = 40^\circ \\ \angle B &= \textcolor{blue}{x} = 60^\circ \\ \angle C &= 2\textcolor{red}{y} = 80^\circ \end{aligned} \]

Vi bruker vinklene fra a): \( {\angle A = 40^\circ}\text{,} \) \( {\angle B = 60^\circ} \) og \( {\angle C = 80^\circ}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kjenner én side og alle vinklene, så vi finner \( AC \) med sinussetningen. Da kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så arealet finner vi med arealsetningen.

1. Finn siden AC Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{\sin \textcolor{red}{C}} \]Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Side \( AC \) står rett overfor \( B\text{,} \) og side \( AB \) står rett overfor \( C\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{AC} & \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \\ \textcolor{red}{c} &= \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{C} &= \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} \\ AC &= \dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \\ AC &\approx 1{,}76 \end{aligned} \]Vi runder av til to desimaler.

2. Finn arealet Arealsetningen forteller oss at, med nye farger: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Her er \( \textcolor{green}{\theta} \) vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{,} \) som i videoen Arealsetningen.

Vinkelen mellom \( AB \) og \( AC \) er vinkelen i \( A\text{.} \) Her er: \[ \textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{2}, \quad \textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}}, \quad \textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{40^\circ} \]

Plugger vi dette inn, med den uavrundede \( AC\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{2 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &\approx 1{,}13 \end{aligned} \]

Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( AC \) er hypotenusen og \( AB \) er hosliggende katet til vinkelen i \( A\text{.} \) Vi bruker derfor cosinus.

1. Bruk cosinus I en rettvinklet trekant forteller definisjonen av cosinus oss at: \[ \cos \theta = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Her er: \[ \begin{aligned} \theta &= 30^\circ \\ \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen i firkanten gir \( \angle CDA\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) bruker vi sinussetningen.

1. Finn vinkelen i D Diagonalen deler firkanten i to trekanter, så vinkelsummen er \( {2 \cdot 180^\circ = 360^\circ}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CDA &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD I trekant \( ABC \) er den siste vinkelen: \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Da blir vinklene ved diagonalen i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CAD &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \angle ACD &= 140^\circ - 60^\circ = 80^\circ \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side \( s \) delt på sinus til vinkelen \( v \) den står mot, er det samme for alle sidene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{s_1}}{\sin \textcolor{red}{v_1}} = \dfrac{\textcolor{blue}{s_2}}{\sin \textcolor{blue}{v_2}} \]Hvis du er usikker på sinussetningen, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot vinkelen i \( C\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen i \( D\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s_1} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{v_1} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{s_2} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{v_2} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{AD}}{\sin \textcolor{red}{80^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} = 4 \\ \textcolor{red}{AD} &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle CAD = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger dem sammen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]der \( \textcolor{green}{\theta} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

2. Finn arealet av trekant ABC Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AC} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{30^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ T_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \]

3. Finn arealet av trekant ACD Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{AD} = \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \\ \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{40^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

4. Legg sammen Slår vi dette sammen, og runder av først til slutt, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 2{,}598 + 4{,}386 \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

Vi kjenner arealet og vinkelen mellom \( AB \) og \( BC\text{,} \) så arealsetningen gir oss de to sidene. Den siste siden finner vi med cosinussetningen.

1. Finn AB og BC med arealsetningen Vi kaller \( {AB = x}\text{,} \) så er \( {BC = 2x}\text{.} \) Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin(\textcolor{green}{\theta}) \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} A &= 8 & \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{x} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2x} & \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{150^\circ} \end{aligned} \]

Vi trenger også sinus til vinkelen: \[ \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} 8 &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{2x} \cdot \dfrac{1}{2} \\ 8 &= \dfrac{x^2}{2} \\ x^2 &= 16 \end{aligned} \]

En lengde er positiv, så \( {x = 4}\text{.} \) Det gir oss: \[ AB = 4, \quad BC = 2 \cdot 4 = 8 \]

2. Finn AC med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden overfor vinkel \( B \) er gitt ved: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{AB}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]Du finner den i videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \textcolor{red}{AB} = \textcolor{red}{4}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Cosinus til vinkelen er: \[ \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} AC^2 &= \textcolor{red}{4}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 16 + 64 + 32\sqrt{3} \\ &= 80 + 32\sqrt{3} \end{aligned} \]

Tar vi kvadratroten og setter \( 16 \) utenfor, får vi: \[ \begin{aligned} AC &= \sqrt{80 + 32\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{16 \cdot (5 + 2\sqrt{3})} \\ &= 4\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \\ &\approx 11{,}6 \end{aligned} \]

Vi bruker sidene \( {AB = 4} \) og \( {BC = 8} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser på trekanten \( BMC\text{,} \) der vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Cosinussetningen gir siden \( MC\text{,} \) og da gir sinussetningen vinkelen.

I a) fant vi \( {AB = 4}\text{,} \) så \( {BM = 2}\text{.} \) Cosinussetningen, som i videoen Cosinussetningen, forteller oss at i trekanten \( BMC \) er: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{BM}^2 + \textcolor{blue}{BC}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{BM} \cdot \textcolor{blue}{BC} \cdot \cos(\textcolor{green}{B}) \end{aligned} \]

Her er: \[ \textcolor{red}{BM} = \textcolor{red}{2}, \quad \textcolor{blue}{BC} = \textcolor{blue}{8}, \quad \textcolor{green}{B} = \textcolor{green}{150^\circ} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos(150^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} MC^2 &= \textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{8}^2 \\ &- 2 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 68 + 16\sqrt{3} \end{aligned} \]

Så lengden er: \[ \textcolor{magenta}{MC} = \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \]

2. Finn vinkelen med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\sin(\textcolor{blue}{M})}{\textcolor{blue}{BC}} = \dfrac{\sin(\textcolor{green}{B})}{\textcolor{magenta}{MC}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{BC} &= \textcolor{blue}{8} \\ \textcolor{green}{B} &= \textcolor{green}{150^\circ} \\ \textcolor{magenta}{MC} &= \textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\sin(150^\circ) = \dfrac{1}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin(\textcolor{blue}{M}) &= \dfrac{\textcolor{blue}{8} \cdot \sin(\textcolor{green}{150^\circ})}{\textcolor{magenta}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}} \\ &= \dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}} \approx 0{,}409 \end{aligned} \]

3. Velg riktig vinkel Sinus gir to mulige vinkler, men vinkel \( B \) er \( 150^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene i trekanten har til sammen bare \( 30^\circ\text{.} \) Vinkelen må derfor være spiss: \[ \begin{aligned} \angle BMC &= \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{68 + 16\sqrt{3}}}\right) \\ &\approx 24{,}1^\circ \end{aligned} \]

I trekant \( ABD \) kjenner vi to vinkler og siden \( AB\text{.} \) Da kan vi bruke sinussetningen.

1. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekant \( ABD \) forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} = \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} \]Hver side står over sinus til vinkelen rett overfor seg. Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{120^\circ}, & \sin \textcolor{blue}{120^\circ} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{30^\circ}, & \sin \textcolor{red}{30^\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{7} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{blue}{BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} &= \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\dfrac{1}{2}} = 14 \\ \textcolor{blue}{BD} &= 14 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Omkretsen er summen av de fire sidene. Vi mangler \( AD \) og \( CD\text{,} \) og begge får vi fordi trekantene er spesielle.

1. Finn siden AD Vinkelsummen i trekant \( ABD \) gir vinkelen ved \( B\text{:} \) \[ \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]

Vinklene ved \( B \) og \( D \) er like, så trekanten er likebeint. Det betyr at sidene overfor dem er like lange, som i videoen Oppgave 3A (Trigonometri + Pytagoras): \[ \textcolor{blue}{AD} = AB = \textcolor{blue}{7} \]

2. Finn siden CD I trekant \( BCD \) er to av sidene like lange. \( BD \) har vi fra a), og \( BC \) fra figuren: \[ BD = BC = 7\sqrt{3} \]

Vinkelen mellom dem er \( 60^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene er også like store: \[ \begin{aligned} \angle BCD = \angle BDC &= \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet: \[ \textcolor{red}{CD} = BC = \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \]

3. Legg sammen sidene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O &= AB + BC + \textcolor{red}{CD} + \textcolor{blue}{AD} \\ &= 7 + 7\sqrt{3} + \textcolor{red}{7\sqrt{3}} + \textcolor{blue}{7} \\ &= 14 + 14\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i to trekanter. I hver av dem kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]der \( \textcolor{green}{v} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{.} \) Se videoen Arealsetningen hvis du er usikker.

2. Regn ut trekantene I trekant \( ABD \) er vinkelen ved \( A \) mellom \( {AB = 7} \) og \( {AD = 7}\text{,} \) der \( {AD = AB} \) fordi vinklene ved \( B \) og \( D \) begge er \( 30^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{7} \cdot \sin \textcolor{green}{120^\circ} \\ &= \dfrac{49}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{49\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

I trekant \( BCD \) er vinkelen ved \( B \) mellom \( {BC = 7\sqrt{3}} \) og \( {BD = 7\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= \dfrac{147}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABD} + T_{BCD} &= \dfrac{49\sqrt{3}}{4} + \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{196\sqrt{3}}{4} \\ &= 49\sqrt{3} \end{aligned} \]

Trekanten er rettvinklet, så vi kan bruke cosinus. Vi kjenner den hosliggende kateten og skal finne hypotenusen.

1. Bruk cosinus Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos A = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{hosliggende}}}{\textcolor{red}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Sett fra \( A \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{hosliggende}} &= \textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{\text{hypotenus}} &= \textcolor{red}{AC} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{2} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{AC}} \\ \textcolor{red}{AC} &= \dfrac{2 \cdot \textcolor{blue}{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a).

Vinkelsummen gir \( \angle D\text{.} \) Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter, og i trekant \( ACD \) kan vi bruke sinussetningen.

1. Finn vinkel D Vinkelsummen i en firkant er \( 360^\circ\text{.} \) Vinkel \( B \) er fortsatt \( 90^\circ\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} \angle D &= 360^\circ - 70^\circ - 90^\circ - 140^\circ \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinklene i trekant ACD Figuren viser firkanten med diagonalen \( AC\text{.} \)

Diagonalen deler vinklene i \( A \) og \( C\text{.} \) Vinkelsummen i trekant \( ABC \) gir oss vinkelen i \( C\text{:} \) \[ \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ \]

Det gir oss vinklene i trekant \( ACD\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle DAC &= 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \\ \textcolor{red}{\angle ACD} &= 140^\circ - 60^\circ = \textcolor{red}{80^\circ} \end{aligned} \]

3. Bruk sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{\alpha}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{\beta}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ACD \) står \( AD \) rett overfor \( \angle ACD\text{,} \) og \( AC \) rett overfor \( \angle D\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{AD} & \textcolor{red}{\alpha} &= \textcolor{red}{80^\circ} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} & \textcolor{blue}{\beta} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og bruker at \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{red}{80^\circ}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= 4\sin 80^\circ \approx 3{,}94 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {AC = 2\sqrt{3}} \) fra a), og \( {AD = 4\sin 80^\circ} \) og \( {\angle DAC = 40^\circ} \) fra b).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i to trekanter. Vi finner arealet av hver av dem med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn arealet av trekant ABC Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ABC \) er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AB}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ &= \underline{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \end{aligned} \]

2. Finn arealet av trekant ACD Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{AC}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{AD}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{40^\circ}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{2\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{4\sin 80^\circ} \cdot \sin \textcolor{green}{40^\circ} \\ &= \underline{4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ} \end{aligned} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen og runder av til to desimaler, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 4\sqrt{3}\sin 80^\circ \sin 40^\circ \\ &\approx 6{,}98 \end{aligned} \]

Vi tegner høyden fra \( C \) ned på \( AB\text{.} \) Da får vi to rettvinklede trekanter med vinkler der sinus og tangens har eksakte verdier.

1. Finn den siste vinkelen Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{,} \) som vises i videoen Oppgave 12A (Sinussetningen). Det gir oss: \[ \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

2. Finn høyden Vi kaller fotpunktet til høyden for \( F\text{:} \)

Tangens er gitt ved, som i videoen Introduksjon til Trigonometri: \[ \tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} \]

I de to rettvinklede trekantene gir det: \[ \begin{aligned} \tan 45^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{red}{AF}} = 1 \\ \textcolor{red}{AF} &= \textcolor{blue}{h} \\ \tan 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\textcolor{green}{FB}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{FB} &= \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} \end{aligned} \]

Sammen er de to delene lik \( AB\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AF} + \textcolor{green}{FB} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} + \sqrt{3}\,\textcolor{blue}{h} &= 120 \\ \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120}{\sqrt{3} + 1} \end{aligned} \]

Vi utvider med \( {\sqrt{3} - 1} \) for å få bort roten i nevneren: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{h} &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \\ &= \dfrac{120(\sqrt{3} - 1)}{2} = 60(\sqrt{3} - 1) \end{aligned} \]

3. Finn sidene Sinus er gitt ved: \[ \sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}} \]

Hypotenusene er \( AC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} AC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2}\,\textcolor{blue}{h} \\ &= 60(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \approx 62{,}1 \\ BC &= \dfrac{\textcolor{blue}{h}}{\sin 30^\circ} = 2\textcolor{blue}{h} \\ &= 120(\sqrt{3} - 1) \approx 87{,}8 \end{aligned} \]

Alternativ metode: Sinussetningen Sinussetningen forteller oss at: \[ \dfrac{BC}{\sin 45^\circ} = \dfrac{AC}{\sin 30^\circ} = \dfrac{120}{\sin 105^\circ} \]

Det gir oss direkte: \[ \begin{aligned} BC &= \dfrac{120 \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 87{,}8 \\ AC &= \dfrac{120 \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 62{,}1 \end{aligned} \]

Dette går raskest med kalkulator, men eksakte verdier krever formelen for sinus til en sum.

Vi bruker siden \( AC \) fra a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen, som i videoen Arealsetningen, forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AB} \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]

Her er, med \( AC \) fra a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{120} \\ \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \\ \sin \textcolor{green}{A} &= \sin 45^\circ = \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{120} \cdot \textcolor{blue}{60(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 1800\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \\ &= 1800(\sqrt{12} - 2) \\ &= 3600(\sqrt{3} - 1) \approx 2635{,}4 \end{aligned} \]

Trekantene \( ADC \) og \( ABC \) har samme vinkel i \( A \) og samme side \( AC\text{.} \) Arealsetningen viser da at forholdet mellom arealene er forholdet mellom \( AD \) og \( AB\text{.} \)

1. Sett opp de to arealene Arealsetningen gir oss begge arealene: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{AD} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \\ T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot AC \cdot \sin 45^\circ \end{aligned} \]

2. Bruk kravet til arealet Arealet av \( ADC \) skal være en tredjedel av hele arealet. Alt annet enn \( \textcolor{red}{AD} \) og \( \textcolor{blue}{AB} \) er likt og kan forkortes bort: \[ \begin{aligned} T_{ADC} &= \dfrac{1}{3}T_{ABC} \\ \textcolor{red}{AD} &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{AB} \\ &= \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{120} = 40 \end{aligned} \]