Hopp til hovedinnholdet

Forkurseksamen etter tema

Øv på ett tema om gangen med oppgavene fra forkurseksamenene i matematikk. Velg tema, så henter vi oppgavene fra alle settene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

prosent

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver om prosent

Oppgavene

Ordinær eksamen 2024

Oppgave 9

3 poeng

Du har fått utlevert 100 m gjerde, og skal gjerde inn et kvadratisk område og et sirkelformet område. Kvadratet har sidekant x x og sirkelen har radius r, r\text{,} begge målt i meter.

Oppgave 9a)

Vis at x=25−12πr. {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\text{.}
Vis løsning på oppgave 9a
Svar
x=25−12πr‾‾ \underline{\underline{x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r}}
Hele gjerdet skal brukes, så omkretsen av kvadratet pluss omkretsen av sirkelen er \( 100\text{.} \)
1. Sett opp omkretsene Kvadratet har fire like sider, og omkretsen til en sirkel er \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O_{\text{kvadrat}}} &= \textcolor{blue}{4x} \\ \textcolor{red}{O_{\text{sirkel}}} &= \textcolor{red}{2\pi r} \end{aligned} \]
2. Løs for x Til sammen er omkretsene \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{2\pi r} &= 100 \\ 4x &= 100 - 2\pi r \\ x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi r \end{aligned} \]

Oppgave 9b)

Finn den verdien av r r som gir så lite samlet areal som mulig. Hva er verdien av x x da?
Vis løsning på oppgave 9b
Svar
Avrundet til to desimaler er:
r=50π+4≈7,00 m‾‾ \underline{\underline{r = \dfrac{50}{\pi + 4} \approx 7{,}00 \text{ m}}}
x=100π+4≈14,00 m‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{100}{\pi + 4} \approx 14{,}00 \text{ m}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket \( {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \) står i oppgaveteksten.
Vi skriver det samlede arealet som en funksjon av \( r \) og setter den deriverte lik null.
1. Sett opp arealet Optimering gjør vi som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Arealet av kvadratet er \( x^2\text{,} \) og arealet av sirkelen er \( \pi r^2\text{.} \) Vi setter inn uttrykket for \( x\text{:} \) \[ A(r) = \left(25 - \dfrac{1}{2}\pi r\right)^2 + \pi r^2 \]
2. Deriver arealet Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^2\right)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, og deriverer \( \pi r^2 \) med potensregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(r) &= 2\left(\textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\right) \\ &\quad \cdot \left(\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi}\right) + 2\pi r \\ &= -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r \end{aligned} \]
3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {A'(r) = 0}\text{:} \) \[ -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r = 0 \]
Vi deler på \( \pi\text{,} \) løser for \( r \) og utvider til slutt brøken med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -25 + \dfrac{1}{2}\pi r + 2r &= 0 \\ r\left(\dfrac{1}{2}\pi + 2\right) &= 25 \\ r &= \dfrac{25}{\dfrac{1}{2}\pi + 2} \\ r &= \dfrac{50}{\pi + 4} \end{aligned} \]
4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi deriverer \( A'(r) \) en gang til. Den dobbeltderiverte er positiv for alle \( r\text{:} \) \[ A''(r) = \dfrac{1}{2}\pi^2 + 2\pi > 0 \]Grafen krummer altså oppover hele veien, så dette er det minste arealet.
5. Finn x Plugger vi inn \( r\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi \cdot \dfrac{50}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{25(\pi + 4) - 25\pi}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{100}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Oppgave 9c)

Størst mulig areal får vi ved kun å lage en sirkel (dvs. x=0 {x = 0} ). Hvor mange prosent større areal får du da enn om du kun lager et kvadrat?
Vis løsning på oppgave 9c
Svar
Sirkelens areal er, avrundet til én desimal:
27,3 % større‾‾ \underline{\underline{27{,}3\,\% \text{ større}}}
Vi finner de to arealene når hele gjerdet går til én figur, og regner ut endringen i prosent.
1. Finn arealet av sirkelen Hele gjerdet er omkretsen. Sirkelen får radius: \[ \begin{aligned} 2\pi r &= 100 \\ r &= \dfrac{50}{\pi} \end{aligned} \]
Arealet blir: \[ \textcolor{red}{A_{\text{sirkel}}} = \pi \left(\dfrac{50}{\pi}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} \]
2. Finn arealet av kvadratet Hver side er en firedel av gjerdet: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{100}{4} = 25 \\ \textcolor{blue}{A_{\text{kvadrat}}} &= 25^2 = \textcolor{blue}{625} \end{aligned} \]
3. Regn ut prosenten Hvor mange prosent noe er større, finner vi slik, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]
Her er kvadratet det vi sammenligner med. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} - \textcolor{blue}{625}}{\textcolor{blue}{625}} \cdot 100\,\% \\ &= \left(\dfrac{4}{\pi} - 1\right) \cdot 100\,\% \\ &\approx 27{,}3\,\% \end{aligned} \]Vi runder av til én desimal.

Ordinær eksamen 2019

Oppgave 8

1 poeng

Per og Kari skal forflytte seg fra A A til B. B\text{.} Per går i rett linje fra A A til B. B\text{.} Kari går i rette linjer via punktene D D og C. C\text{.} Hvor mange prosent lenger enn Per må Kari gå?
Vis løsning på oppgave 8

Svar

Avrundet til én desimal er:
Kari ga˚r 32,5 % lenger enn Per‾‾ \underline{\underline{\text{Kari går } 32{,}5\,\% \text{ lenger enn Per}}}
Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem i trekanten \( ACD\text{.} \) Vi trekker derfor linja \( AC \) og deler firkanten i to trekanter.
1. Del firkanten i to trekanter Vi trekker linja \( AC\text{:} \)
2. Finn linja AC Cosinussetningen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{AD}^2 + \textcolor{blue}{DC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AD} \cdot \textcolor{blue}{DC} \cdot \cos D \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.
Her er: \[ \textcolor{blue}{AD} = \textcolor{blue}{DC} = \textcolor{blue}{5}, \quad D = 120^\circ \]
Plugger vi dette inn, får vi, siden \( {\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{blue}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{blue}{5} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ &= 75 \\ \textcolor{red}{AC} &= \textcolor{red}{5\sqrt{3}} \end{aligned} \]
3. Finn vinklene i trekant ABC Trekanten \( ACD \) er likebeint, så vinklene ved \( A \) og \( C \) er like: \[ \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \]
Trekker vi disse fra vinklene i figuren, får vi vinklene i trekanten \( ABC\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle CAB &= 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ \\ \angle ACB &= 130^\circ - 30^\circ = 100^\circ \\ \angle ABC &= 180^\circ - 15^\circ - 100^\circ = 65^\circ \end{aligned} \]
4. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekanten \( ABC \) forteller oss at: \[ \begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin \angle ACB} &= \dfrac{\textcolor{red}{AC}}{\sin \angle ABC} \\ \dfrac{BC}{\sin \angle CAB} &= \dfrac{\textcolor{red}{AC}}{\sin \angle ABC} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.
Løser vi for \( AB \) og \( BC\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \dfrac{\textcolor{red}{5\sqrt{3}} \cdot \sin 100^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 9{,}4104 \\ BC &= \dfrac{\textcolor{red}{5\sqrt{3}} \cdot \sin 15^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 2{,}4732 \end{aligned} \]
5. Sammenlign de to veiene Per går \( AB\text{,} \) og Kari går \( {AD + DC + BC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Per} &\approx 9{,}4104\,\text{km} \\ \text{Kari} &\approx 5 + 5 + 2{,}4732 \\ &= 12{,}4732\,\text{km} \end{aligned} \]
Hvor mange prosent lenger Kari må gå, er forskjellen delt på det Per går: \[ \begin{aligned} &\dfrac{12{,}4732 - 9{,}4104}{9{,}4104} \cdot 100\,\% \\ &\approx 32{,}5\,\% \end{aligned} \]