Forkurseksamen etter tema

Hele gjerdet skal brukes, så omkretsen av kvadratet pluss omkretsen av sirkelen er \( 100\text{.} \)

1. Sett opp omkretsene Kvadratet har fire like sider, og omkretsen til en sirkel er \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O_{\text{kvadrat}}} &= \textcolor{blue}{4x} \\ \textcolor{red}{O_{\text{sirkel}}} &= \textcolor{red}{2\pi r} \end{aligned} \]

2. Løs for x Til sammen er omkretsene \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4x} + \textcolor{red}{2\pi r} &= 100 \\ 4x &= 100 - 2\pi r \\ x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi r \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket \( {x = 25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \) står i oppgaveteksten.

Vi skriver det samlede arealet som en funksjon av \( r \) og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp arealet Optimering gjør vi som i videoen Oppgave 5C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Arealet av kvadratet er \( x^2\text{,} \) og arealet av sirkelen er \( \pi r^2\text{.} \) Vi setter inn uttrykket for \( x\text{:} \) \[ A(r) = \left(25 - \dfrac{1}{2}\pi r\right)^2 + \pi r^2 \]

2. Deriver arealet Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{u}^2\right)' = 2\textcolor{green}{u} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Se videoen Kjerneregelen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r} \\ \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, og deriverer \( \pi r^2 \) med potensregelen, får vi: \[ \begin{aligned} A'(r) &= 2\left(\textcolor{green}{25 - \dfrac{1}{2}\pi r}\right) \\ &\quad \cdot \left(\textcolor{green}{-\dfrac{1}{2}\pi}\right) + 2\pi r \\ &= -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {A'(r) = 0}\text{:} \) \[ -25\pi + \dfrac{1}{2}\pi^2 r + 2\pi r = 0 \]

Vi deler på \( \pi\text{,} \) løser for \( r \) og utvider til slutt brøken med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -25 + \dfrac{1}{2}\pi r + 2r &= 0 \\ r\left(\dfrac{1}{2}\pi + 2\right) &= 25 \\ r &= \dfrac{25}{\dfrac{1}{2}\pi + 2} \\ r &= \dfrac{50}{\pi + 4} \end{aligned} \]

4. Sjekk at det er et bunnpunkt Vi deriverer \( A'(r) \) en gang til. Den dobbeltderiverte er positiv for alle \( r\text{:} \) \[ A''(r) = \dfrac{1}{2}\pi^2 + 2\pi > 0 \]Grafen krummer altså oppover hele veien, så dette er det minste arealet.

5. Finn x Plugger vi inn \( r\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 25 - \dfrac{1}{2}\pi \cdot \dfrac{50}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{25(\pi + 4) - 25\pi}{\pi + 4} \\ &= \dfrac{100}{\pi + 4} \end{aligned} \]

Vi finner de to arealene når hele gjerdet går til én figur, og regner ut endringen i prosent.

1. Finn arealet av sirkelen Hele gjerdet er omkretsen. Sirkelen får radius: \[ \begin{aligned} 2\pi r &= 100 \\ r &= \dfrac{50}{\pi} \end{aligned} \]

Arealet blir: \[ \textcolor{red}{A_{\text{sirkel}}} = \pi \left(\dfrac{50}{\pi}\right)^2 = \textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} \]

2. Finn arealet av kvadratet Hver side er en firedel av gjerdet: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{100}{4} = 25 \\ \textcolor{blue}{A_{\text{kvadrat}}} &= 25^2 = \textcolor{blue}{625} \end{aligned} \]

3. Regn ut prosenten Hvor mange prosent noe er større, finner vi slik, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \dfrac{\text{ny} - \text{gammel}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]

Her er kvadratet det vi sammenligner med. Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\textcolor{red}{\dfrac{2500}{\pi}} - \textcolor{blue}{625}}{\textcolor{blue}{625}} \cdot 100\,\% \\ &= \left(\dfrac{4}{\pi} - 1\right) \cdot 100\,\% \\ &\approx 27{,}3\,\% \end{aligned} \]Vi runder av til én desimal.

I trekant \( ABD \) kjenner vi to vinkler og siden \( AB\text{.} \) Da kan vi bruke sinussetningen.

1. Bruk sinussetningen Sinussetningen i trekant \( ABD \) forteller oss at: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\sin \textcolor{blue}{A}} = \dfrac{\textcolor{red}{AB}}{\sin \textcolor{red}{D}} \]Hver side står over sinus til vinkelen rett overfor seg. Se videoen Sinussetningen hvis du er usikker.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{A} &= \textcolor{blue}{120^\circ}, & \sin \textcolor{blue}{120^\circ} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \textcolor{red}{D} &= \textcolor{red}{30^\circ}, & \sin \textcolor{red}{30^\circ} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{AB} &= \textcolor{red}{7} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og løser for \( \textcolor{blue}{BD}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{BD}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} &= \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\dfrac{1}{2}} = 14 \\ \textcolor{blue}{BD} &= 14 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Omkretsen er summen av de fire sidene. Vi mangler \( AD \) og \( CD\text{,} \) og begge får vi fordi trekantene er spesielle.

1. Finn siden AD Vinkelsummen i trekant \( ABD \) gir vinkelen ved \( B\text{:} \) \[ \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ \]

Vinklene ved \( B \) og \( D \) er like, så trekanten er likebeint. Det betyr at sidene overfor dem er like lange, som i videoen Oppgave 3A (Trigonometri + Pytagoras): \[ \textcolor{blue}{AD} = AB = \textcolor{blue}{7} \]

2. Finn siden CD I trekant \( BCD \) er to av sidene like lange. \( BD \) har vi fra a), og \( BC \) fra figuren: \[ BD = BC = 7\sqrt{3} \]

Vinkelen mellom dem er \( 60^\circ\text{,} \) så de to andre vinklene er også like store: \[ \begin{aligned} \angle BCD = \angle BDC &= \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ \end{aligned} \]

Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet: \[ \textcolor{red}{CD} = BC = \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \]

3. Legg sammen sidene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} O &= AB + BC + \textcolor{red}{CD} + \textcolor{blue}{AD} \\ &= 7 + 7\sqrt{3} + \textcolor{red}{7\sqrt{3}} + \textcolor{blue}{7} \\ &= 14 + 14\sqrt{3} \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: \( {BD = 7\sqrt{3}} \) står i oppgaveteksten i a).

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i to trekanter. I hver av dem kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem, så vi bruker arealsetningen.

1. Skriv opp arealsetningen Arealsetningen forteller oss at: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{q} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]der \( \textcolor{green}{v} \) er vinkelen mellom sidene \( \textcolor{blue}{p} \) og \( \textcolor{red}{q}\text{.} \) Se videoen Arealsetningen hvis du er usikker.

2. Regn ut trekantene I trekant \( ABD \) er vinkelen ved \( A \) mellom \( {AB = 7} \) og \( {AD = 7}\text{,} \) der \( {AD = AB} \) fordi vinklene ved \( B \) og \( D \) begge er \( 30^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{7} \cdot \sin \textcolor{green}{120^\circ} \\ &= \dfrac{49}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{49\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

I trekant \( BCD \) er vinkelen ved \( B \) mellom \( {BC = 7\sqrt{3}} \) og \( {BD = 7\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{7\sqrt{3}} \cdot \textcolor{red}{7\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{60^\circ} \\ &= \dfrac{147}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} T_{ABD} + T_{BCD} &= \dfrac{49\sqrt{3}}{4} + \dfrac{147\sqrt{3}}{4} \\ &= \dfrac{196\sqrt{3}}{4} \\ &= 49\sqrt{3} \end{aligned} \]